Resistencia de Materiales - Universidad de Los Andes

Tema 5 - Deflexión en Vigas
Resistencia de Materiales
Tema 5
Deflexión en vigas
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Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Mecánica
Tema 5 - Deflexión en vigas
Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica
Ecuación diferencial de la elástica
Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida
en el tema 2, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con
el momento flector en una viga sometida a flexión pura:
1 M ( x)
=
ρ
E⋅I
(5.1.1)
Donde ‘ρ’ es el radio de curvatura, ‘E’ el módulo de elasticidad del
material del que se compone la viga, ‘I’ el momento de inercia de la sección
transversal de la viga y ‘M(x)’ el momento flector al que está sometida la
misma. Observemos que este último término se ha designado como
dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘x’).
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Tema 5 - Deflexión en vigas
Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica
Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del
cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto
‘P(x,y)’ puede determinarse mediante la expresión
1
=
ρ
d2y
dx 2
  dy 
1 +  
  dx 

2




3
2
(5.1.2)
Donde, dada la relación ‘y = f(x)’:
dy
dx
Corresponde a la primera
derivada de la función
d 2 y Corresponde a la segunda
dx 2 derivada de la función
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Tema 5 - Deflexión en vigas
Sección 1 - Ecuación diferencial de la elástica
Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el
término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:
1 d 2 y M ( x)
= 2 =
ρ dx
E⋅I
(5.1.3)
Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo
orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las
deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas
transversales.
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Tema 5 - Deflexión en vigas
Sección 2 – Método de Doble Integración
Método de Doble Integración
Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para
resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en
vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los
diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente
las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo
integral.
El método de doble integración produce ecuaciones para la
pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del
punto de máxima deflexión.
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Sección 2 - Método de Doble Integración
Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
d 2 y M ( x)
=
2
dx
E⋅I
(5.1.3)
El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de
que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección
transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la
ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso
considerado, la rigidez a la flexión es constante.
Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por
el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos:
x
dy
E ⋅ I ⋅ = ∫ M ( x) ⋅ dx + C1
dx 0
(5.2.1)
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Sección 2 - Método de Doble Integración
x
dy
E ⋅ I ⋅ = ∫ M ( x) ⋅ dx + C1
dx 0
(5.2.1)
Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las
condiciones de frontera, como se explicará más adelante.
Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es
satisfactoria la aproximación:
dy
= tg (θ ) ≅ θ
dx
(5.2.2)
De modo que con la expresión
anterior se puede determinar la
inclinación de la recta tangente a la
curva de la elástica para cualquier
longitud ‘x’ de la viga.
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Sección 2 - Método de Doble Integración
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior,
tenemos:
x

E ⋅ I ⋅ y ( x) = ∫  ∫ M ( x) ⋅ dx + C1  ⋅ dx + C2
00

x
(5.2.3)
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para
cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que
‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus
valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os)
punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos
recoger esta información.
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Sección 2 - Método de Doble Integración
En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en
un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Del apoyo en ‘A’ puede establecerse:
x = LA → y = 0
Y, debido al apoyo en ‘B’ :
x = LB → y = 0
Debido al empotramiento ‘A’ :
x = LA → y = 0
x = LA → θ = 0
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
Método de Área de Momento
El método de área-momento proporciona un procedimiento
semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos
específicos sobre la curva elástica de la viga.
La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas
asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama
consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar.
Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y
momentos concentrados.
El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para
calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso
requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las
técnicas para preparar diagramas de momento flector.
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado
dos puntos cualquiera (‘A’ y ‘B’) y se han trazado rectas tangentes a los
mismos.
Puede observarse que ‘θB/A ’
es el ángulo que forma la tangente
que pasa por el punto ‘B’ respecto a la
que pasa por ‘A’. De forma análoga
se define el ángulo ‘θA/B ’.
Es
importante notar que ambos tienen la
misma magnitud, y se miden en
sentido contrario.
Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos
plantear la ecuación de la elástica de la forma:
d  dy  dθ M ( x)
=
 =
dx  dx  dx
E⋅I
(5.3.1)
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
Si integramos la expresión anterior, obtenemos:
θB
∫ dθ =
θA
xB
M ( x)
∫x E ⋅ I ⋅ dx
A
(5.3.2)
Planteando que:
θB/ A = θB −θ A
(5.3.3)
Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:
θB/ A
xB
M ( x)
=∫
⋅ dx
E⋅I
xA
(5.3.4)
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
θB/ A
xB
M ( x)
=∫
⋅ dx
E⋅I
xA
(5.3.5)
Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de
momento:
“El ángulo entre dos rectas
tangentes a dos puntos cualquiera
sobre la curva elástica es igual al
área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’
entre esos dos puntos”
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable
la aproximación:
dt ≅ x ⋅ dθ
(5.3.6)
Donde ‘dθ’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos
puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el
punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘dθ’ queda:
dt = x ⋅
M ( x)
⋅ dx
E⋅I
(5.3.7)
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:
xB
t A/ B
M ( x)
= ∫ x⋅
⋅ dx
E⋅I
xA
(5.3.8)
Lo cual puede rescribirse de la forma:
xB
M ( x)
⋅ dx
E⋅I
xA
t A/ B = xA ⋅ ∫
(5.3.9)
Donde ‘xA’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’) que existe
entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M·E/I’.
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
La ecuación 5.3.9 supone la base del segundo teorema de área
momento:
“La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ sobre la curva
elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual
al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este
momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la
desviación vertical ‘tA/B ’ ”.
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Sección 3 - Método de Area de Mometo
De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’
respecto a la tangente que pasa por ‘A’. Para ello, se calcularía el momento
de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’, es decir:
xA
tB / A
M ( x)
= xB ⋅ ∫
⋅ dx
E⋅I
xB
(5.3.9)
Donde ‘xB’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el
centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la
ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se
encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Método de Tres Momentos
Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier
número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores
en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En
el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el
cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los
extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego
pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones.
En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica
en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de
ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos
desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para
cualquier combinación de cargas.
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura.
Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’),
donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las
que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas
sobre los tramos ‘L12 ’ y ‘L23 ’.
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Se tendría entonces:
Note que los momentos flectores (‘M1’, ‘M2’, ‘M3’) se han dispuesto
en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes
‘V2i ’ y ‘V2d ’ no son necesariamente iguales; depende de la condición de
apoyo ó carga que exista en el punto ‘2’.
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma
separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En
el caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para
los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha
asumido ‘M2 < M1’ y ‘M2 < M3’.
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Ahora, observemos una representación exagerada de la curva
elástica entre los puntos 1 y 3. Puede notarse que se cumple la relación de
triángulos:
h1 − t1/ 2 t3 / 2 − h3
=
L12
L23
(5.4.1)
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Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión
de los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’:
x2
t1/ 2
t1/ 2 =
1
E⋅I
M ( x)
= x1 ⋅ ∫
⋅ dx
E⋅I
x1
 1

 1   1
 2 
M
⋅
L
L
+
M
⋅
L
L
+
A
⋅
x
 2 1 12  3 12   2 2 12  3 12  12 1 

 




(5.4.2)
x2
M ( x)
⋅ dx
E⋅I
x3
t3 / 2 = x1 ⋅ ∫
t3 / 2 =
1
E⋅I
 1

 2
 1
 1

M
⋅
L
L
+
M
⋅
L
L
+
A
⋅
x
23
3
 2 2 23  3 23   2 3 23  3 23 

 




(5.4.3)
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Sección 4 - Método de Tres Momentos
Finalmente, al sustituir ‘t1/2 ’ y ‘t3/2 ’ en la ecuación 5.4.1, se obtiene:
M 1 ⋅ L12 + 2 M 2 ( L12 + L23 ) + M 3 ⋅ L23 +
6 A12 ⋅ x1 6 A23 ⋅ x3
+
=
L12
L23
 h1
h3 


6⋅ E ⋅ I ⋅
+
 L12 L23 
(5.4.4)
Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos
flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama
ecuación de los tres momentos.
Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada,
los términos ‘h1’ y ‘h3’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de la
ecuación se hace cero.
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