Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a
Primer Curso de Ingenierı́a Industrial
9 de junio de 2007
PROBLEMA 2
Una esfera de radio b posee un hueco esférico centrado y de radio a. La esfera hueca alberga
una carga Q que se distribuye uniformemente en su volumen. Calcule:
a) Densidad de carga en la esfera.
b) Campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
c) Trabajo necesario para llevar una carga q desde el infinito hasta una distancia c del centro
de la esfera, siendo c > b.
d) ¿Cuál es el nuevo valor del módulo del campo eléctrico en el centro de la esfera una vez
que se ha traı́do la carga q del apartado anterior?
SOLUCIÓN:
Apartado a) Dado que la carga se encuentra uniformemente distribuida en la esfera hueca,
para hallar la densidad de carga basta con dividir la carga total por el volumen de dicha esfera
hueca:
Q
Q
(1)
= 4
ρ=
3
3
V
3 π(b − a )
Apartado b) Dada la alta simetrı́a del problema puede hallarse el campo eléctrico empleando
la Ley de Gauss:
· dA
= 4πkQint .
(2)
E
SG
Donde recordamos que Qint hace referencia a la carga total encerrada dentro de la superficie
gaussiana SG a través de la cual se calcula el flujo del campo eléctrico. En este caso resulta
evidente que la superficie gaussiana de integración ha de ser una esfera cuyo centro coincida con
el de la esfera hueca y a cuyo radio llamaremos r. Por la simetrı́a del problema el campo eléctrico
debe ser radial y con valor constante sobre la superficie de la esfera escogida como superficie
gaussiana. Ası́ la ecuación de la Ley de Gauss (2) queda sencillamente como:
Sr
· dA
=
E
Sr
EdA = E
Sr
dA = E4πr 2 = 4πkQint
(3)
Es decir:
Qint
(4)
r2
Para evaluar Qint en esta ecuación debemos distinguir tres casos según sea el radio r de la
superficie gaussiana escogida:
E=k
Si r < a, Qint = 0 (no hay carga encerrada dentro de la esfera) por tanto de la Ley de
Gauss (4) se deduce que E = 0. Es decir, el campo eléctrico en el hueco de la esfera es
nulo.
Si a < r < b solamente una parte de la carga total Q queda incluida dentro de la superficie
gaussiana. En concreto, el volumen de esfera hueca con carga que queda dentro de Sr es:
V0 = 43 π(r 3 − a3 ) y, por tanto, la carga total encerrada por esta superficie es:
Qint = ρV0 =
4
Q
r 3 − a3
3
3
π(r
−
a
)
=
Q
.
4
3
3 3
b3 − a3
3 π(b − a )
(5)
Donde se empleado la expresión para ρ que se ha encontrado en el apartado anterior (1).
Usando (5) en (4) obtenemos para el campo eléctrico:
E=k
Q r 3 − a3
r 2 b3 − a3
(6)
Si r > b la esfera hueca completa se encuentra dentro de la superficie gaussiana y Qint = Q,
es decir que tenemos:
Q
(7)
E=k 2
r
que coincide con el campo eléctrico que generarı́a una partı́cula puntual con carga Q
situada en el centro de la esfera hueca.
Apartado c) El trabajo para llevar una carga q desde el infinito a un punto c es:
W = ∆U = q(V (c) − V (∞))
(8)
Dado que el campo eléctrico en el exterior de la esfera hueca es el de una carga puntual (7), el
potencial electrostático asociado a dicho campo es también el de una carga puntual:
Q
(9)
r
Esta expresión del potencial asume V (∞) = 0. Teniendo en cuenta esto y sustituyendo V (r)
para r = c en (8) obtenemos:
qQ
(10)
W = ∆U = qV (c) = k
c
V (r) = k
Apartado d) El Principio de superposición establece que el campo eléctrico en cualquier punto
del espacio debe ser la suma vectorial de los campos eléctricos creados por las diferentes distribuciones de carga. En este caso particular hemos hallado que el campo eléctrico creado por la
esfera en su centro es nulo y, por lo tanto, el campo eléctrico que hay en el centro de la esfera
se debe exclusivamente a la carga puntual. Como la carga está a una distancia c del centro de
la esfera tenemos que el módulo del campo eléctrico es:
q
(11)
E=k 2
c