Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n 41092 Sevilla Examen Parcial de Fundamentos Fı́sicos de la Ingenierı́a Primer Curso de Ingenierı́a Industrial 9 de junio de 2007 PROBLEMA 2 Una esfera de radio b posee un hueco esférico centrado y de radio a. La esfera hueca alberga una carga Q que se distribuye uniformemente en su volumen. Calcule: a) Densidad de carga en la esfera. b) Campo eléctrico en todos los puntos del espacio. c) Trabajo necesario para llevar una carga q desde el infinito hasta una distancia c del centro de la esfera, siendo c > b. d) ¿Cuál es el nuevo valor del módulo del campo eléctrico en el centro de la esfera una vez que se ha traı́do la carga q del apartado anterior? SOLUCIÓN: Apartado a) Dado que la carga se encuentra uniformemente distribuida en la esfera hueca, para hallar la densidad de carga basta con dividir la carga total por el volumen de dicha esfera hueca: Q Q (1) = 4 ρ= 3 3 V 3 π(b − a ) Apartado b) Dada la alta simetrı́a del problema puede hallarse el campo eléctrico empleando la Ley de Gauss: · dA = 4πkQint . (2) E SG Donde recordamos que Qint hace referencia a la carga total encerrada dentro de la superficie gaussiana SG a través de la cual se calcula el flujo del campo eléctrico. En este caso resulta evidente que la superficie gaussiana de integración ha de ser una esfera cuyo centro coincida con el de la esfera hueca y a cuyo radio llamaremos r. Por la simetrı́a del problema el campo eléctrico debe ser radial y con valor constante sobre la superficie de la esfera escogida como superficie gaussiana. Ası́ la ecuación de la Ley de Gauss (2) queda sencillamente como: Sr · dA = E Sr EdA = E Sr dA = E4πr 2 = 4πkQint (3) Es decir: Qint (4) r2 Para evaluar Qint en esta ecuación debemos distinguir tres casos según sea el radio r de la superficie gaussiana escogida: E=k Si r < a, Qint = 0 (no hay carga encerrada dentro de la esfera) por tanto de la Ley de Gauss (4) se deduce que E = 0. Es decir, el campo eléctrico en el hueco de la esfera es nulo. Si a < r < b solamente una parte de la carga total Q queda incluida dentro de la superficie gaussiana. En concreto, el volumen de esfera hueca con carga que queda dentro de Sr es: V0 = 43 π(r 3 − a3 ) y, por tanto, la carga total encerrada por esta superficie es: Qint = ρV0 = 4 Q r 3 − a3 3 3 π(r − a ) = Q . 4 3 3 3 b3 − a3 3 π(b − a ) (5) Donde se empleado la expresión para ρ que se ha encontrado en el apartado anterior (1). Usando (5) en (4) obtenemos para el campo eléctrico: E=k Q r 3 − a3 r 2 b3 − a3 (6) Si r > b la esfera hueca completa se encuentra dentro de la superficie gaussiana y Qint = Q, es decir que tenemos: Q (7) E=k 2 r que coincide con el campo eléctrico que generarı́a una partı́cula puntual con carga Q situada en el centro de la esfera hueca. Apartado c) El trabajo para llevar una carga q desde el infinito a un punto c es: W = ∆U = q(V (c) − V (∞)) (8) Dado que el campo eléctrico en el exterior de la esfera hueca es el de una carga puntual (7), el potencial electrostático asociado a dicho campo es también el de una carga puntual: Q (9) r Esta expresión del potencial asume V (∞) = 0. Teniendo en cuenta esto y sustituyendo V (r) para r = c en (8) obtenemos: qQ (10) W = ∆U = qV (c) = k c V (r) = k Apartado d) El Principio de superposición establece que el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debe ser la suma vectorial de los campos eléctricos creados por las diferentes distribuciones de carga. En este caso particular hemos hallado que el campo eléctrico creado por la esfera en su centro es nulo y, por lo tanto, el campo eléctrico que hay en el centro de la esfera se debe exclusivamente a la carga puntual. Como la carga está a una distancia c del centro de la esfera tenemos que el módulo del campo eléctrico es: q (11) E=k 2 c