problemas de crecimiento y decrecimiento.

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO BOLIVAR
UNIDAD DE RECURSOS BASICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
AREA DE MATEMATICAS
PROBLEMAS DE CRECIMIENTO
Y
DECRECIMIENTO.
PROF:
INTEGRANTES:
Cristian Castillo
María Hernández C.I 20.223.925
Heleni Casañas
C. I 18.827.278
Enderwer Bolivar C.I 19.871.366
ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
Se llama lineal de primer orden a toda ecuación de la forma
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales se deben seguir un grupo de
pasos para llegar luego a una E.D de variable separable que es resuelta de forma
mucho más sencilla.
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.
En esta parte de la matemática estudiamos ecuaciones diferenciales de primer
orden que rigen el crecimiento de varias especies. A primera vista parece imposible
describir el crecimiento de una especie por medio de una ecuación diferencial, ya
que el tamaño de una población no puede ser una función diferenciable con
respecto al tiempo. Sin embargo, si el tamaño de una población es grande y se
incrementa en uno, entonces el cambio es mi pequeño comparado con el tamaño de
la población. Asi pues, se toma la aproximación de que poblaciones grandes
cambian continuamente, e incluso de manera diferenciable, con respecto al tiempo.
El problema de valor inicial
Y la solución de esta ecuación es:
k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos
fenómenos en los que intervienen crecimiento o de decrecimiento o desintegración.
En biología, se ha observado que en cortos periodos la rapidez de crecimiento de
algunas poblaciones (como la de las bacterias o de animales pequeños) es
proporcional a la población presente en el tiempo t. Si conocemos una población en
cierto tiempo inicial arbitrario , la solución de la ecuación propuesta nos sirve
para predecir la población en el futuro – claro esta que es para
. En física y
en química, la ecuación anterior se usa en reacciones de primer orden, esto es, en
reacciones cuya rapidez o velocidad,
, es directamente proporcional a la
cantidad x de una sustancia que no se ha convertido, o que queda cuando el tiempo
es t. la desintegración o decaimiento del U 238 (uranio) por radioactividad, para
convertirlo en Th 234 (Torio) es una reacción de primer orden.
Primer problema propuesto
Un cultivo tiene una cantidad inicial P de bacterias. Cuando t= 1 h, la cantidad de
bacterias es de
P . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de
bacterias P(t) en el momento de t, calcule el tiempo necesario para triplicar la
cantidad inicial de microorganismos.
Solución:
Nos dan dos condiciones
t= 0
P(0) = P
t= 1
P(1) = P
Sustituyendo la variable x de la ecuación por la de P que es la que estamos
trabajando nos queda que:
; Es una Ecuación Diferencial lineal de 1er orden.
Donde
Es la población existente de bacterias.
K es la constante de crecimiento.
Procedemos a calcular la E.D:
Primero sacamos el factor integrante de la ecuación.
Obteniendo este valor del factor de integración.
Luego multiplicamos el Factor de Integrando por la ecuación.
Entonces:
Integramos
Donde nos queda que:
P(t) =C
Recordamos las condiciones iníciales de t = 0 ; P(0) = C
P(0) =
Pero
Ahora calculo :
Aplicamos logaritmo natural para
cancelar el exponencial
Ahora sustituimos
Calculamos el tiempo cuando
En conclusión la cantidad real P de bacterias presentes en el tiempo t = 0 no
influyo para la determinación del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara
y el tiempo requerido para que una población inicial de 100 de bacterias siempre
será aproximadamente 2,71 horas.
Segundo problema propuesto.
Fechado con radiocarbono alrededor de 1950, el químico Willard Libby invento
un método que emplea al carbono radioactivo para determinar las edades
aproximadas de fósiles. La teoría del fechado con radiocarbono se basa en que el
isotopo del carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación
cósmica sobre el nitrógeno. La razón dice la cantidad de C-14 al carbono ordinario
en la atmosfera parece ser constante y en consecuencia, la cantidad proporcional
del isotopo presente en todo organismos vivos es igual a la de la atmosfera. Cuando
muere un organismo la absorción del C-14, sea por respiración o alimentación,
cesa, Así, si se compara la cantidad proporcional del C-14 presente por ejemplo en
un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera. Es posible obtener
una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que
la vida media del C-14 radioactivo es, aproximadamente, 5600 años.
Ejemplo:
Se analizo un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la
cantidad original de C-14, calcule la edad del fósil.
Solución:
Hacemos el mismo procedimiento pero en vez de P colocamos A que es la cantidad
de años.
Quedaría:
Sacamos el factor de integración
Lo multiplicamos por todos lo miembros
Entonces:
Para t= 5600 años (constante del C-14) se tiene que:
Luego:
Recordamos que:
Sustituimos en :
Se encontró en el fósil que:
Sustituimos