Intersección de subespacios, suma y suma directa

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Geometria y Algebra Lineal 1 2007 - practico 10
Intersección de subespacios, suma y suma
directa
Ejercicio 1. Considere el espacio vectorial P2 de los polinomios de grado menor o igual que 2 y
S1 = [x2 , 4x] y S2 = [x2 − x − 1, 1] subespacios de P2 . Hallar una base de S1 ∩ S2 .
Ejercicio 2. Sea {u1 , u2 , u3 , u4 } una base de un espacio vectorial V . Se consideran los siguientes vectores: w1 = u1 , w2 = u1 − u2 , w3 = u1 − u2 + u3 , w4 = u1 − u2 + u3 − u4 . Hallar
dim ([w1 , w2 , w3 ] ∩ [u1 , u2 ]).
Ejercicio 3. Considere P3 el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 3 y los subespacios
S1 y S2 definidos por S1 = {p ∈ P3 : p0 (1) = p(1) = 0} y S2 = [x3 , −3x + 2]. Hallar una base de
S1 ∩ S2 .
Ejercicio 4. Sean S y T dos subespacios de un espacio vectorial V , y
A = {v1 , . . . , vn },
B = {w1 , . . . , wm },
generadores de S y T respectivamente. Mostrar que la unión {v1 , . . . , vn , w1 , . . . , wm } de ambos generadores es un generador del subespacio suma S + T . Indicar si la intersección de ambos generadores
es un generador del subespacio intersección S ∩ T .
Ejercicio 5. Sean S1 el subespacio de las matrices reales 2 × 2 con traza nula,
S1 = {M ∈ M2×2 (R) : tr(M ) = 0},
y S2 el subespacio de las matrices reales 2 × 2 antisimétricas,
S2 = {N ∈ M2×2 (R) : N = −N t }.
Hallar S1 + S2 e indicar si la suma S1 + S2 es directa.
Ejercicio 6. Sean S y T los subconjuntos de C(R) formados por las funciones pares e impares
respectivamente. Mostrar que ambos son subespacios vectoriales, y que C(R) = S ⊕ T .
Ejercicio 7. Considerar el espacio vectorial Mn×n (R) de las matrices reales n × n.
1. Sea M ∈ Mn×n (R). Probar que M + M t es simétrica y que M − M t es antisimétrica.
2. Sean S y S 0 los subespacios
de matrices simétricas y antisimétricas respectivamente. Probar
L 0
que Mn×n (R) = S
S.
Ejercicio 8. Sean S y T dos subespacios con dimensión finita de un espacio vectorial V .
1. Sea A = {u1 , . . . , ul } una base de S ∩ T . Mostrar que existen bases
B = {u1 , . . . , ul , v1 , . . . , vm }
C = {u1 , . . . , ul , w1 , . . . , wn }
de S y T respectivamente, que extienden a la base A.
2. Mostrar que {u1 , . . . , ul , v1 , . . . , vm , w1 , . . . , wn , } es una base de S + T .
3. Concluir que
dim(S + T ) = dim(S) + dim(T ) − dim(S ∩ T ).
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Ejercicio 9. Hallar una base de S1 + S2 y una base de S1 ∩ S2 en los siguientes casos.
1. S1 = [(1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1)] y S2 = [(1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3)].
2. S1 = [x3 + x2 + x, x3 + x, x3 + x2 ] y S2 = [2x3 + x2 − 2, 3x3 + 2, 4x3 − x2 + x] subespacios
de P3 , los polinomios de grado menor o igual que 3.
Ejercicio 10. Sea V = {f : R → R} el espacio vectorial de las funciones reales. Dado A ⊂ R, se
define el conjunto de funciones K(A) = {f ∈ V : f (x) = 0 ∀ x ∈ A} (esto es, K(A) es el conjunto de
las funciones que se anulan en A).
1. Pruebe que K(A) es un subespacio vectorial de V para cualquier A ⊂ R.
2. Pruebe que si B = Ac (esto es, B es el complemento de A) entonces:
a) V = K(A) + K(B).
Sugerencia: haga un dibujo
L
b) V = K(A) K(B).
Sugerencia: estudie el subespacio K(A) ∩ K(B).