Cambios de variable para integrales trigonométricas

Cambios de variable para integrales trigonométricas
1) Si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en seno), se hace cos x = t
con lo que
√
−dt
sen x = 1 − t2 ; − sen x dx = dt =⇒ dx = √
1 − t2
Z
Z
Z
2
2
Ejemplo: sen3 x cos2 x dx = sen
x dx} = − (1 − t2 )t2 dt.
| {z
| {z x} cos x sen
−dt
1−t2
2) Si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x) (integrando impar en coseno), se hace sen x = t
con lo que
√
dt
cos x = 1 − t2 ; cos x dx = dt =⇒ dx = √
1 − t2
Z
Z
Z
3
2
2
2
Ejemplo: (cos x + cos x) sen x dx = (cos
x + 1}) sen x cos
x dx} = (2 − t2 )t2 dt.
| {z
| {z
2−t2
dt
3) Si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x), se hace tan x = t , con lo que
cos x = √
Z
Ejemplo:
1
1+
t2
; sen x = √
cos2 x
dx =
sen4 x
Z
t
1+
t2
; (1 + tan2 x) dx = dt =⇒ dx =
dt
1 + t2
dt
.
t4
4) En los restantes casos, se hace tan
x
= t , con lo que
2
2t
1 − t2
x
1
x
t
;
cos
x
=
=√
; sen = √
=⇒ sen x =
2
2
1 + t2
1 + t2
1 + t2
1 + t2
³
x´ ³x´
2dt
1 + tan2
d
= dt =⇒ dx =
2
2
1 + t2
Z
Z
2 + sen x
1 + t + t2
Ejemplo:
dx =
dt.
2 + cos x
(3 + t2 )(1 + t2 )
cos
5) Cambio de productos en sumas. A partir de
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y
sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y
se obtiene
sen x sen y =
cos(x − y) − cos(x + y)
2
cos x cos y =
cos(x − y) + cos(x + y)
2
sen x cos y =
sen(x − y) + sen(x + y)
2