Esfera Hiperboloide de dos hojas

Esfera
2
2
2
2
Ecuación: x +y +z = a
Aplicación:
Hiperboloide de dos hojas
Ecuación Cartesiana:
Aplicación:
Cilindro eliptico
Ecuación : X² + Y² = 1
a² b²
Usos : Los multiplanos del Marqués de Ecquevilly
Rosa de cuatro hojas
Ecuacion : p= a sen 2 

Usos : Esta ecuacion es muy utilizada en programas virtuales
para la elaboracion de flores de 4 petalos para publicidad
,objetos artesanales
El seno hiperbólico de un número real x, que
está definido mediante la fórmula, donde ex es
la función exponencial.
Esta función, junto con el coseno hiperbólico y
la tangente hiperbólica, conforman unas reglas como las
trigonométricas tradicionales,
El coseno hiperbólico de un número real , está definido mediante
la fórmula,
donde ex = exp.(x), siendo exp.(x) la función
exponencial, es decir, la potencia de base
natural e y exponente x.
Folium de Descartes
• La ecuación cartesiana del folium de Descartes:
x3 + y3 − 3axy = 0
• Su ecuación polar
• Existe también un método para el folium de descartes que es a través de sus tangentes
creado por Fermat (no solo para el folium de descartes también para la cicloide) se
adjunta una pagina con la explicación y la deducción en de estas
http://revistaerm.univalle.edu.co/VolXIIIN2/delatorre.pdf
• La ecuación según las tangentes:
• Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea, puede hallarse una
ecuación para la tangente de la curva en (x1,y1):
• La curva tiene una asíntota:
x+y+a=0
Aplicación del folium de Descartes
La aplicación del folium de descarte es graficar la curva presentada con este nombre en el
plano cartesiano.
No encontré aplicación al folium de descartes en la vida real y se descarta que las vueltas
de una montaña rusa sean la aplicación del folium de descartes puesto que es una
clotoide.
Parábola Cúbica
La función
y = f(x) = x3
Es una parábola
cúbica
• Ecuación Canónica de la parábola cúbica :
En que:
L es la longitud de la curva de transición
R es el radio de la curva circular
• En la parábola cúbica las ordenadas aumentan en forma proporcional al cubo de las
abscisas y el radio de curvatura en cada punto es aproximadamente proporcional al
inverso de la distancia al origen.
• Ecuación Cartesiana:
Aplicación de la Parábola Cúbica
• Es la graficación de una función cúbica f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3
• En la vida cotidiana los ferrocarriles en sus rieles tienen esta forma en algunas de sus curvas.
Extras
• Como dato extra se adjunta una página donde podrás encontrar información referente al tema.
http://www.epsilones.com/paginas/i-curvas.html#curvas-parabola
Ecuación :
x = ( a + b ) cos
/b
- b cos
+b
y = ( a + b ) sen - b sen a + b
/b
APLICACIONES :
CONO ELIPTICO :
ECUACION :
En palabras : X al cuadrado partido a al cuadrado mas y al cuadrado
partido b al cuadrado menos z al cuadrado partido c al cuadrado es 0 .
APLICACIONES :
Espiral de Fermat
(Espiral parabólica)
Gráfico:
Su Ecuación:
r=θ
1/2
Aplicación:
Curva cotangente
Gráfico:
Su ecuación:
Y= ctnX
Aplicación:
CARACOLES DE PASCAL
Primer caracol de pascal
segundo caracol de pascal
tercer caracol de pascal
Formula:
Formula:
Formula:
R = 1 + Cos (a)
R = 1 + 2Cos (a)
R = 1.5 + Cos (a)
Aquí les dejo las curvas con sus fórmulas y algunas aplicaciones lo más parecido posible.
Lemniscata de dos hojas
Aplicaciones:
Símbolo infinito
Hélice
Elipsoide
Aplicaciones
Planeta Tierra
La Cisoide de Diocles:
Huevo
Ecuación Polar:
Y cartesiana:
Su aplicación se remonta siglos atrás, cuando se le intentaba dar
solución a problemas tales como: la trisección de un triángulo, la
duplicación del cubo o la cuadratura de un círculo, la que consiste
en la elaboración de un cuadrado que tuviera la misma área a la de
un círculo, algo así:
Esto problemas sin solución
con regla y compás se podía
solucionar
con
el
uso
de
ciertos tipos de cónicas, como
la Cisoide de Diocles o la
concoide de Nicomedes.
Concoide de Nicomedes:
Ecuación polar:
Ecuación cartesiana:
Aplicación: tiene el mismo uso que la cisoide de Diocles.
Como dato:
La siguiente dirección, muestra como se crean la concoide y la
cisoide.
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/03-04/PG0304-lcandres.pdf.
Campana De Gauss.
En matemáticas la función Gaussiana (En honor a Carl Friedrich Gauss).
Descripción: El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, + ∞), es simétrica respecto a la
media µ, Tiene un máximo en la media µ, crece hasta la media µ y decrece a partir de ella, en los puntos µ σ y µ + σ presenta puntos de inflexión, El eje de la abscisas es una asíntota de la curva.
La grafica de la función es simétrica en forma de campana, conocida como campana de gauss.
Las funciones Gaussiana se utilizan frecuentemente en estadística.
Formula: La campana de gauss es una curva que obedece a
la ecuación G(X)=1/(δ √ (2π)) · e (− (x − μ)2)/ (2δ2)  (Función de densidad)
Aplicación:
La campana de Gauss esta muy relacionada con las campanas de iglesia y cualquier otro tipo de campanas.
Muchos dicen que le pusieron campana por que se asemejaba a la forma de una campana.
Hipérbola
Descripción: Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio
del problema de la duplicación del cubo donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de
una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
El primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge. La Hipérbola es un lugar geométrico de
todos los puntos P(x,y) de R2 ubicados de tal manera, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de
el, es constante, es una curva plana y no cerrada formada por dos ramas que se extienden hasta el infinito
pero en sentido opuesto.
Los puntos fijos son los focos y la distancia F1 y F2 entre ellos se encuentra la distancia focal.
Fórmula:
Aplicación:
Uno de los objetos que más se asimilan a una hipérbola son los
relojes de arena .
Lemniscata de Benvoulli
Se define como el lugar geométrico donde el producto de las distancia de los puntos a los focos es
constate.
Ecuación:
Dibujo:
Aplicación:
Con esta curva se puede hacer fácilmente, un infinito perfecto; expresión tan utilizada por los
matemáticos desde su descubrimiento.
Espiral de Arquímedes
Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta
que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.
Ecuación en coordenadas polares (r, θ)
Siendo a y b
números reales
Estrofoide
Es el lugar geométrico de los puntos M1 y M2 (que se ubican en rectas arbitrarias que pasan por
el punto A), para las cuales PM1 = PM2 = OP (P es el punto arbitrario del eje OX)
Ecuaciones:
En forma paramétrica
Donde el parámetro t es la tangente del triángulo Box.
En coordenados polares
Ahora saquemos la ecuación de una letra de este nombre:
Curva de Probabilidades:
A lo largo de la historia, matemáticos como De Moivre, Gauss o Galton se sorprendieron por la
frecuencia con la que aparece la llamada curva Normal o de Gauss en estudios estadísticos.
La curva normal, como cualquier otra curva de probabilidad, verifica que:
• El área total que limita con el eje de abscisas es igual a 1.
• La probabilidad de la variable X tome valores entre a y b coincide con el área limitada por la
curva, el eje OX y las rectas x = a y x = b.
• La probabilidad de que X tome un valor concreto es igual a 0. Porque no existe una única curva
normal; la gráfica depende de su media, y de su desviación típica.
Normal
• Distribuciones de probabilidad normales
• La distribución de probabilidad normal (D.P.N.) es la distribución de probabilidad más
importante. Hay una cantidad ilimitada de variables aleatorias continuas que tienen una
distribución normal. La D.P.N. tiene una variable aleatoria continua y usa dos funciones: una para
determinar los valores de y de la gráfica que representa la distribución, y otra para determinar
probabilidades. La siguiente fórmula es la que se denomina función de distribución de
probabilidad normal:
• Para toda x real.
• Cuando se traza una gráfica de tales puntos, aparece la curva normal o Campana de Gauss
como se muestra en el siguiente gráfico:
La probabilidad asociada con el intervalo a ≤ x ≤ b está dada por:
P(a ≤ x ≤ b) =
(x).dx
La Distribución Normal Estándar
• Hay un número ilimitado de distribuciones de probabilidad normal, aunque afortunadamente
todas están relacionadas con una distribución, la distribución normal Estandard.
Propiedades:
• El área total bajo la curva normal es igual a 1.
• La distribución tiene forma de campana en donde el eje x es su asíntota.
• Tiene media igual a 0 y desviación Estándar igual a 1.
• La media divide el área en dos mitades simétricas.
• Casi toda el área está entre z = -3 y z = +3.
Aplicación:
Una aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad.
Muchos bienes de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría
de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de
avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.
En un universo determinista, basado en los conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se
conocen todas las condiciones. En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de
esta fuerza es conocida, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto
también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez
de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente.
Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para
analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta.
Evoluta de Elipse
Mantarraya
La evoluta de una curvas el lugar geométrico de los centros de curvatura
de la misma.
La ecuación genérica de la evoluta de una elipse en coordenadas
cartesianas es:
(ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 -b2)2/3
La ecuación genérica de la evoluta de una elipse en ecuaciones
paramétricas es:
ax = (a2 - b2) cos3
by = (a2 - b2) sen3
Curva seno inversa
Molecula de ADN
Al considerar la gráfica de la función seno:
Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:, etc, la función seno es continua y
estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la
función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo
Luego, se define la función seno como:
La función
.
así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo
, por lo que existe una única función, definida en el intervalo
, llamada
función senoinverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:
Se tiene entonces que
Luego,
.
es el único número
para el cual
Por ende, la ecuación de la curva seno inversa es:
Y= arc sen x
Aplicación
Los surcos de los discos de viriles, forman una espiral de Arquímedes, los cuales se van haciendo
igualmente espaciados y maximizados al tiempo de grabaciones.
INVOLUTA DEL CÍRCULO
Parametros cartesianos:
.
(involucionar del círculo de centro 0 y
un radio a , (a, 0)).
Parametros complejos:
Parametros polares :
con
Ecuación polar:
Ángulo tangensial
Abscisa curvilínea:
Radio de curvatura :
Ecuación intrínseca :
1.-
2.-
cartesiano:
Ecuación cartesiana diferencial :
APLICACIONES:
ESPIRAL HIPERBOLICA
Una espiral hiperbólica es una Curva Plana
trascendental, también conocida como espiral
recíproca. Se define por la ecuación polar rθ = a, y es
la inversa de la Espiral de
Arquímedes.http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Hyp
erspiral.png
Comienza en una distancia infinita del polo central (para θ comenzando desde cero, r = a/θ
comienza desde el infinito), y se enrolla cada vez más rápidamente mientras se aproxima al polo
central, la distancia de cualquier punto al polo, siguiendo la curva, es infinito. Aplicando la
transformación desde el sistema de coordenadas polares:





conduce a la siguiente representación paramétrica en Coordenadas cartesianas:
donde el Parámetro t es un equivalente de θ en las coordenadas polares.
La espiral tiene una asíntota en y = a: cuando t se aproxima a cero, la ordenada se
aproxima hacia a, mientras que la abscisa crece hasta el infinito:


Aplicaciones:
Es uno de los tipos de espiral mas comunes en la
naturaleza, se halla generalmente en las conchas de
los moluscos (en especial de la familia Gastropoda) y
en los centros de las flores.
Ovalo de cassini:
Definición:
Los óvalos de Cassini son una generalización de las lemniscatas
de Bernoulli (a=b); son el lugar geométrico de los puntos del
plano tales que el producto de sus distancias a dos puntos fijos
P y P' es una constante b2, siendo 2a=distancia (P, P’). Para a=0
se obtiene una circunferencia.
Esta es la curva descrita por
un punto P que se mueve de
tal manera que el producto
de las distancias entre P y
dos puntos fijos (situados
entre si a una distancia 2a)
es una constante b2.
Ecuaciones:
La ecuación genérica de los óvalos de Cassini en forma polar es:
r4 + a4 - 2a2r2 cos 2q = b4
La ecuación canónica de los óvalos de Cassini en coordenadas
cartesianas es:
(x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) - a4 + b4 = 0
Nota: La forma del óvalo depende de la proporción b/a. Cuando
b/a es mayor que 1, el lugar geométrico es una única vuelta
conectada. Cuando b/a es menor que uno, el lugar comprende
dos vueltas desconectadas. Cuando b/a es igual a 1 la curva se
denomina Lemniscata.
Ovalo de cassini
Lemniscata.
Aplicaciones:
*Esta curva fue estudiada por Cassini en 1680 al estudiar el
movimiento relativo de la Tierra y el Sol.
*Se utiliza tambien en la construccion de tablas de superficie
regladas:
Curva coseno:
Definición:
El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en
el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se
indica.
cos t = coordenada x del
punto P
sin t = coordenada y del
punto P
Grafica y ecuaciones:
y = A cos [ω(x - α)] + C
Donde:





A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la
línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa
ciclo).
ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω.
α es el desplazamiento de faso.
y = cos x
Aplicaciones:
*La curva coseno es utilizada en la arquitectura para poder
crear diseños innovadores para la sociedad logrando que las
simples y comunes formas arquitectónicas ya construidas
sean mejoradas por un diseños poco común y mas llamativo
como es el caso de este edificio, la torre espacio que de verdad
impresiona como la matemática influye en nuestra vida y no
nos damos cuenta:
*Se utiliza también en la construcción de las curvas de las
montañas rusas para que su confección se exitosa y no se
produzca ningún desequilibrio en sus mediadas para que
todo “calce en su lugar” y no se produzca un gran accidente
en su uso en la los parques de diversiones:
Lituus
La curva Lituus fue estudiada por Roger Cotes en 1722 [Robert C Yates 1952].
Descripción
La curva es asintótica al eje x positivo, y el otro extremo del espiral hacia el
polo. La sobre imagen esta en un terreno desde 0.1a 20*π. Como θ se
aproxima al infinito, esta curva se aproxima al origen.
Fórmulas
El Lituus es una espiral descrita por la ecuación polar
p² θ = a²
Imagen
Aplicaciones
Esta curva es utilizada principalmente como un elemento decorativo. Ejemplos:
Un báculo del Arzobispo
de Heinrich Finstingen
1260-1286
Voluta de un violín inacabado
(El espiral lituus es a veces erróneamente llamada voluta)
Rosa de “n” hojas
Investigada en el siglo XVIII por Abbot Guido Grandi.
Descripción
Esta formada por una forma que rota y se repite periódicamente, es una curva
que se aleja y se acerca al centro repetidas veces
En el caso de las plantas suele ser la base de la hoja, el “nodo” alrededor del
cual se desarrolla toda la hoja o el centro de simetría circular en el caso de las
flores.
Fórmulas e imágenes
Imagen muestra posición del primer pétalo.
Si k es par, n=2k
Si k es impar, n=k
π/k
a
x
P= a cos K θ
π/2k
a
P=a sen K θ
x
Aplicaciones
Esta ecuación que define la curva formada por las flores que tienen más de 4
pétalos geométricos. Por ejemplo:
Black-Eyed Susan
Margaritas
Cardioide
Ecuación polar es: r = 2a(1 + cos)
Sus ecuaciones paramétricas
son: x = a * (1 + cosA); y = A.
La ecuación genérica de la cardioide en
coordenadas cartesianas es:
(x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)
Su aplicación: Se le llama cardioide por su semejanza con el dibujo de un corazón.
También es parecida a una manzana cortada por la mitad.
Semiparabola
Aplicación: El caso de un avión que vuela horizontalmente con velocidad constante (M. R.
U), sin en algún momento es dejado caer desde el avión un objeto, su movimiento resultante
tendrá como trayectoria una semiparábola.
También cuando una persona lanza una pelota de tenis contra la muralla y cae al piso. Su
trayectoria tendrá como resultado una semiparabola.
Lemniscata de dos hojas
Aplicación
Símbolo infinito que se
utiliza en muchos casos en
matemáticas.
Elipsoide
Aplicación:
La forma de la Tierra y la
forma de un huevo de
gallina
Hiperboloide de 1 hoja
Gráfico
Aplicación
Basurero
Fórmula
x² + y² - z² = 1
a²
b²
c²
Paraboloide elíptico
Gráfico
Aplicación
Copa
Fórmula
y² + x² = cz
b²
a²
Curva Sinusoide:
Se entiende por Sinusoide a la función seno o la curva que la
representa, en
general todos los gráficos de ondas se llaman
sinusoides. La sinusoide puede ser descrita por la siguiente fórmula:
Fórmula → Y=Asen(bx+c)
Gráfico →
Aplicación →
Se puede ver que
las ondas se ven reflejadas en la
pantalla de este osciloscopio.
Bifolium:
Ecuación Cartesiana →
Otra Ecuación →
Gráfico →
Aplicación →
Se puede apreciar que las alas de la
mosca tienen un gran parecido a la
curva bifolium.
o
Espiral Logarítmica
En plano
cartesiano
En la
naturaleza
Su ecuación en coordenadas polares sería:
Hiperboloide de dos hojas
Focos de
En plano
cartesiano
Automóvil
Paraboloide Hiperbólico
Ecuacion: 2x+y2-z2 = 0