COEFICIENTE PIEZOTÉRMICO

COEFICIENTE DE EXPANSIÓN TÉRMICA ISOBÁRICA, DE
COMPRESIBILIDAD ISOTÉRMICA Y PIEZOTÉRMICO
1.- Objetivo:
Determinación de los coeficientes termodinámicos de un gas (por ejemplo: aire): coeficiente de
expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico.
2.- Principio:
Para determinar el coeficiente de expansión térmica isobárica se calienta el gas manteniendo su
presión constante, obteniendo la relación entre el volumen y la temperatura.
El coeficiente de compresibilidad isotérmica se determina a partir de la relación entre la presión y
el volumen en un proceso a temperatura constante.
En la determinación del coeficiente piezotérmico se eleva la temperatura del gas manteniendo su
volumen constante. De esta forma se determina la relación entre la presión y la temperatura.
3.- Materiales:
- Gas de prueba (p.e. aire)
- Un matraz para contener el gas de prueba
- Un manómetro flexible (para variar la altura de referencia)
- Un tubo de goma para conectar el matraz al manómetro
- Un vaso con agua para calentar al baño maría
- Dos termómetros de mercurio
- Un tapón de goma perforado
- Un soporte para calentar por debajo el vaso
- Un calentador (p.e. de gas)
4.- Montaje:
Se realiza el montaje de la figura 1.
Termómetros
Manómetro
Gas
Baño
Calentador
fig. 1. Esquema del montaje
Coeficiente de expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico
1
Hay que asegurarse de que no haya fugas de gas en las juntas del matraz, ni en cualquiera de las
entradas a éste. También hay que revisar las posibles fugas en el tubo que conecta el manómetro y el
matraz. En el caso de que pudiera existir alguna, se puede solucionar usando un poco de silicona.
5.- Procedimiento:
Se echa agua en el vaso que rodea al matraz para conseguir un baño térmico. Se deja que se
atempere el gas y se anotan las temperaturas iniciales que marcan los dos termómetros ( t01 , t0 2 ). A
continuación se iguala la presión del interior del matraz y la atmosférica igualando la altura de las
columnas del manómetro señalando esta altura ( z0 ).
5.1 Proceso para la determinación del coeficiente de expansión térmica isobárica:
Se calienta lentamente el recipiente de agua, removiendo ésta para conseguir un ascenso
homogéneo de la temperatura del sistema. Al mismo tiempo se va manteniendo la presión del interior
constante igualando las alturas de las columnas del manómetro (esta presión debe permanecer constante
durante todo el proceso). Se finaliza el proceso cuando el salto de temperatura sea apreciable, siempre que
el manómetro se mantenga dentro de su escala. En este momento se apaga el calentador y se deja que se
atempere el interior del sistema. Se anotan las temperaturas que indican los termómetros ( t f1 , t f2 ) así
como la disminución de la altura en la rama del manómetro conectada al matraz ( ∆z1).
5.2 Proceso para la determinación del coeficiente de compresibilidad isotérmica:
Se levanta (o se baja) una de las columnas del manómetro todo lo posible y se anota la diferencia
de alturas entre ambas columnas ( ∆z1) así como la altura que ha disminuido (o aumentado) la columna
que está conectada con el matraz ( ∆z2 ).
5.3 Proceso para la determinación del coeficiente piezotérmico:
Se calienta lentamente el recipiente de agua, removiendo ésta para conseguir un ascenso
homogéneo de la temperatura del sistema. Al mismo tiempo se va manteniendo el volumen del interior
constante levantando una de las columnas del manómetro (este volumen debe permanecer constante
durante todo el proceso). Se finaliza el proceso cuando el salto de temperatura sea apreciable (alrededor
de 10ºC), siempre que el manómetro se mantenga dentro de su escala. En este momento se apaga el
calentador y se deja que se atempere el sistema. Se anotan las temperaturas que indican los termómetros (
t f1 , t f2 ) así como la diferencia de alturas entre las columnas del manómetro ( ∆z2 ).
6.- Fundamento teórico:
Se definen los coeficientes de los gases, expansión térmica isobárica, compresibilidad isotérmica y
piezotérmico respectivamente, como:
Coeficiente de expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico
2
FG IJ
H K
−1 F ∂V I
k≡
G J
V H ∂p K
F 1 I F ∂p I
β ≡ G JG J
H p K H ∂T K
α≡
1 ∂V
V ∂T
(1)
p ,ni
(2)
T , ni
(3)
V
Para la ecuación de estado de los gases ideales ( pV = mRT ) se tiene respectivamente:
α=
1
1
1
, k=
, β=
T
p
T
(4)
existiendo entre ellas la relación: β =
α
pκ
Para la medida experimental de ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se tendrá:
α0 =
∆V
V0 (T f − T0 )
k0 = −
∆V
V0 p f − p0
d
∆p
p0 T f − T0
β0 =
d
(5)
(6)
i
(7)
i
Teniendo en cuenta que si el manómetro tiene una sección A , ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ), quedarán:
α0 =
∆z2 A
V0 ∆T
k0 = −
β0 =
(8)
∆z2 A
V0 ρg∆z1
(9)
ρg∆z1
( 10 )
p0 ∆T
Siendo:
∆T = T f − T0 =
t f1 + t f 2
2
−
t01 + t02
2
d
i
, Ti ≈ ti1 + 273 ≈ ti2 + 273
( 11 )
7.- Cálculo de errores:
∆α 0 =
∆k0 =
FG ∂α
H ∂∆z
FG ∂k
H ∂∆z
I F ∂α ∆b∆T gJI + FG ∂α
∆( ∆z )J + G
K H ∂∆T K H ∂V
2
0
2
2
2
0
0
I F ∂k ∆AIJ + FG ∂k
∆∆z J + G
K H ∂A K H ∂V
2
0
2
2
0
0
0
I F ∂α ∆AIJ
∆V J + G
K H ∂A K
2
2
0
0
0
I F ∂k ∆∆z IJ
∆V J + G
K H ∂∆z K
2
0
0
1
2
( 12 )
2
( 13 )
1
Coeficiente de expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico
3
∆β 0 =
FG ∂β
H ∂h
I F ∂β ∆b∆T gIJ + FG ∂β
∆h J + G
K H ∂∆T K H ∂p
2
0
4
2
0
4
0
0
I
∆p J
K
2
( 14 )
0
Siendo:
∂α 0
∆z2 A
∆z2
∂α 0
∂α 0
A
=−
;
;
;
=
=
2
∂∆T
∂∆z2 V0 ∆T
∂A V0 ∆T
V0 ∆T
b g
∂α 0
∆z A
= − 22
∂V0
V0 ∆T
( 15 )
∆z A
∂k0
A
∂k0
∂k0
∆z2
=− 2 2
;
;
;
=
=
∂V0
V0 ρg∆z1 ∂∆z2 V0 ρg∆z1 ∂A V0 ρg∆z1
∂k0
∆z2 A
=−
2
∂∆z1
V0 ρg ∆z1
b g
(16)
∂β 0
ρg∆z1
=−
;
2
∂∆T
p0 ∆T
∂β 0
ρg
;
=
∂∆z1 p0 ∆T
∂β 0
ρg∆z
=− 2 1
∂p0
p0 ∆T
b g
( 17 )
8.- Realización del ensayo:
Presión atmosférica en el momento de realizar el ensayo:
p0 = 96 kPa
Se consideran los siguientes valores de ρ (del líquido manométrico) y g suponiendo despreciables
sus incertidumbres frente a las de las demás medidas realizadas:
ρ = 1000 kg ⋅ m-3 ;
g = 9,8 m ⋅ s-2
Las incertidumbres serán para todos los ensayos los siguientes:
∆( ∆z ) = 5·10-4 cm; ∆T = 0,5 K; ∆p0 =1000 Pa; ∆V0 = 5·10-7 m3; ∆d = 5·10-6 m; ∆A = 10-11 m2
8.1 Ensayo a presión constante:
Se realizan dos ensayos, obteniendo los resultados detallados en la tabla 1.
Tabla 1
t01 (ºC)
t02 (ºC)
∆z2 ·10-3 (m)
t f1 (ºC)
t f 2 (ºC)
1
25,0
25,0
198
26,5
26,5
2
25,0
25,0
201
27,0
27,0
Ensayos
Se realizan los cálculos detallados del ensayo número 1:
Sustituyendo en ( 11 ):
∆T =
26,5 + 26.5 25.0 + 25.0
= 1,5 K
−
2
2
Se calculan las incertidumbres sustituyendo en ( 15 ) e introduciendo todos los valores calculados
en ( 12 ):
∆α 0 =
e0,0258 ⋅ 5 ⋅10 j + b−0,0034 ⋅ 0,25g + e−15,704 ⋅ 5 ⋅10 j + e406,154 ⋅ 5 ⋅10 j
−4 2
2
−7 2
−6 2
= 9 ⋅10−4 K-1
Coeficiente de expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico
4
Finalmente, basándose en ( 8 ), será:
0,198 ⋅ π ⋅ ( 2 ⋅10−3 )2
= 0,005 K-1
3,25 ⋅10−4 ⋅1,5
α0 =
Los resultados de los cálculos son los expuestos en la tabla 2.
Tabla 2
b
∆z2 ·10-3
∆T
T0
α0
∆α 0
α 0 teórico
(m)
(K)
(K)
(K-1)
(K-1)
(K-1)
1
198
1,5
25,0
0,005
0,003
0,0034
2
201
2,0
25,0
0,004
0,003
0,0034
Ensayos
g
La incertidumbre en la medida que más influencia tiene sobre el valor obtenido de α 0 es la debida
a la medida de las temperaturas.
Teniendo en cuenta la incertidumbre, el valor obtenido es una buena aproximación del real.
8.2 Ensayo a temperatura constante:
Se realizan dos ensayos, obteniendo los resultados detallados en la tabla 3.
Tabla 3
V0·10-6
∆z1·10-3
∆z2 ·10-3
(m3)
(m)
(m)
1
325
81
170
2
325
52
183
Ensayos
Se realizan los cálculos detallados del ensayo número 1:
Se calculan las incertidumbres sustituyendo en ( 16 ) e introduciendo todos los valores calculados
en ( 13 ):
∆k0 =
e−10
−4
⋅ 5 ⋅10−4
j + e−0,0083 ⋅ 5 ⋅10 j + e−15,704 ⋅ 5 ⋅10 j + e4,87 ⋅10
2
−6 2
−7 2
−5
⋅ 5 ⋅10−4
j
2
= 7,01 ⋅10−8 Pa-1
Finalmente, basándose en ( 9 ), será:
0,17 ⋅ π ⋅ ( 2 ⋅10−3 )2
k0 =
= 8,3 ⋅10−6 Pa-1
−4
3,25 ⋅10 ⋅1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,081
Los resultados de los cálculos son los expuestos en la tabla 4.
Tabla 4
Ensayos
∆z1·10-3
∆z2 ·10-3 V0 ·10-6
b
k0
∆k0
k0 teórico
(m)
(m)
(m3)
(Pa-1)
(Pa-1)
(Pa-1)
1
81
170
325
8,3·10-6
0,07·10-6
10,8·10-6
2
52
183
325
13,9·10-6
0,15·10-6
10,4·10-6
Coeficiente de expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico
g
5
Teniendo en cuenta la pequeña incertidumbre en el cálculo de κ 0 , no es explicable que el valor
obtenido se aleje tanto del valor teórico.
8.3 Ensayo a volumen constante:
Se realizan dos ensayos obteniendo los resultados detallados en la tabla 5.
Tabla 5
t01
t0 2
∆z1·10-3
t f1
t f2
(ºC)
(ºC)
(cm)
(ºC)
(ºC)
1
23,0
23,0
390
30,0
32,0
2
23,0
23,0
480
30,0
31,0
Ensayos
Se realizan los cálculos detallados con los datos del ensayo número 1:
Sustituyendo en ( 11 ):
∆T =
30,0 + 31,0 23,0 + 23,0
−
= 7,5 K
2
2
Se calculan los errores sustituyendo en (17) e introduciendo todos los valores calculados en (14):
∆β 0 =
b0,036 ⋅ 0,0005g + b−0,00087 ⋅ 0,25g + e−6,8 ⋅10
2
2
−8
j
⋅1000
2
= 9 ⋅10−4 K-1
Finalmente, basándose en ( 10 ), será:
β0 =
1000 ⋅ 9,8 ⋅ 0,48
= 0,007 K-1
3
96 ⋅10 ⋅ 7,5
Los cálculos para todos los ensayos quedan resumidos en la tabla 6:
Tabla 6
Ensayos
∆z1·10-3
∆T
T0
β0
∆β 0
-1
-1
b
β 0 teórico
(m)
(K)
(K)
(K )
(K )
(K-1)
1
480
7,5
296
0,007
0,0009
0,0034
2
390
8,0
296
0,005
0,0006
0,0034
g
Vuelve a ocurrir en este caso que sin ser importante la incertidumbre en la medida, el valor
obtenido se aleja del valor teórico más que la magnitud de la incertidumbre.
Coeficiente de expansión térmica isobárica, de compresibilidad isotérmica y piezotérmico
6