V - Universidad Tecnológica de Pereira

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE TECNOLOGIA ELECTRICA
Curso Básico de
Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia
Antonio Escobar Zuluaga
Pereira - Risaralda - Colombia
2011
1
Matriz admitancia YBU S
Los componentes de un sistema de potencia se encuentran interconectados eléctricamente lo que
hace que un cambio de un parámetro de un elemento o de la potencia generada o demandada
en un nodo, produzca una variación de las corrientes, potencias o tensiones existentes en otras
partes del sistema. Un efecto que inicialmente es localizado puede generar efectos globales, y su
intensidad depende, entre otras cosas, de la distancia eléctrica existente entre los elementos. La
relación de interdependencia entre los diferentes elementos del sistema de potencia puede ser
adecuadamente caracterizada por la matriz admitancia: YBU S o la matriz impedancia ZBU S . A
continuación se presenta la forma de obtener la matriz YBU S a partir de las relaciones circuitales
que se pueden plantear en el sistema de potencia.
1.1. Determinación de las relaciones entre corrientes y tensiones nodales en un sistema interconectado
Todas las tensiones nodales del sistema pueden ser agrupadas en un vector siguiendo la
enumeración arbitraria que el analista haya hecho de los nodos. Las corrientes se dividen en dos
grandes grupos. El primer grupo lo conforman las corrientes asociadas a los generadores y a las
cargas del sistema. Estas corrientes se denominan corrientes inyectadas y, por convención,
siempre se toman entrando al nodo donde se encuentra conectado el generador o la carga. Estas
corrientes presentan una particularidad: provienen de la parte externa del sistema que representa
la parte no estática o variable. El segundo grupo de corrientes lo conforman las corrientes que
fluyen por el interior del sistema de potencia, es decir, a través de las lı́neas, de los transformadores, y de los elementos pasivos. Estas corrientes fluyen por la denominada parte interna
del sistema o simplemente por el sistema interno. La figura 1 muestra un sistema de potencia
con 4 nodos, 3 cargas y dos generadores, en donde el sistema se ha separado en la parte interna
y la parte externa.
En resumen, el sistema de potencia se divide en dos sistemas: el sistema externo y el sistema
interno. Al primer grupo pertencen los generadores y las cargas del sistema. El sistema interno lo
conforman las lı́neas, transformadores y demás elementos pasivos que permanecen inalterados
durante la operación del sistema. Los nodos permiten la interconexión entre el sistema interno
y el sistema externo.
sistema externo
sistema interno
Figura 1: Representación de un sistema de potencia a través del sistema interno y externo.
Cuando se formula matemáticamente el sistema solo se escriben las ecuaciones que relacionan
las corrientes inyectadas del sistema, las tensiones nodales y los parámetros de los elementos
del sistema interno escritos en forma de admitancias. Las corrientes que fluyen por el interior
del sistema no se plantean explı́citamente. Las relaciones existentes entre las tensiones nodales,
las corrientes netas inyectadas en cada nodo y las admitancias de los elementos del sistema, se
determinan aplicando a la red la primera y la segunda ley de Kirchhoff.
La figura 2 muestra el sistema de potencia de 4 nodos de la figura 1 modificado. En la nueva
representación, los generadores y las cargas, que conforman el sistema externo, se han reemplazado por las corrientes inyectadas I1 , I2 , I3 e I4 . Como se puede observar, la corriente I1
representa el efecto neto del generador conectado al nodo 1 y la carga conectada al mismo nodo. En el nodo 2, I2 es la corriente inyectada por el generador conectado al nodo 2. En los nodos
3 y 4, las corrientes inyectadas I3 e I4 representan corrientes de las cargas conectadas a dichos
nodos.
La figura 2 también presenta la estructura que asumirá el sistema de potencia cuando se repre-
sente matemáticamente. Las corrientes inyectadas representan el sistema externo, la matriz
YBU S representa al sistema interno y las tensiones nodales V1 , V2 , V3 y V4 , asociadas a los
nodos, permiten unir estos dos sistemas.
V1
I1
V2
sistema interno:
[Y]BUS
I2
I3
V3
I4
V4
Figura 2: Representación de un sistema de potencia por corrientes inyectadas, tensiones
nodales y [Y ]bus .
Para llevar el sistema de potencia a una representación matemática, se plantea inicialmente la
ley de Kirchhoff de corrientes a todos los nodos del sistema. Para esto es necesario escribir los
parámetros del sistema interno en forma de admitancias. Para un elemento con impedancia zij
conectado entre los nodos i y j, la admitancia se calcula como yij = 1/zij . La figura 3 muestra
las lı́neas de transmisión del sistema de la figura 1 representadas a través de sus admitancias. A
partir de esta representación se pueden plantear las ecuaciones de corriente en los nodos.
Suma de corrientes que salen del nodo 1 = suma de corrientes que entran al nodo 1:
y12 (V1 − V2 ) + y13 (V1 − V3 ) = I1 (1)
Suma de corrientes que salen del nodo 2 = suma de corrientes que entran al nodo 2:
y12 (V2 − V1 ) + y24 (V2 − V4 ) = I2 (2)
Suma de corrientes que salen del nodo 3 = suma de corrientes que entran al nodo 3:
y13 (V3 − V1 ) + y34 (V3 − V4 ) = I3 (3)
Suma de corrientes que salen del nodo 4 = suma de corrientes que entran al nodo 4:
y34 (V4 − V3 ) + y24 (V4 − V2 ) = I4 (4)
V1
V2
y12
I1
I2
y
13
y
24
y
I3
34
V3
I4
V4
Figura 3: Representación de parámetros de las lı́neas usando admitancias.
En las expresiones anteriores, las corrientes que circulan por el sistema interno han sido expresadas en función de las tensiones nodales y las admitancias de los elementos usando la relación:
Corriente en la lı́nea ij: Iij = yij (Vi − Vj )
Esto quiere decir que, para el ejemplo anterior, las corrientes del sistema interno no aparecerán
explicitamente escritas en las ecuaciones y en su lugar aparecen las tensiones nodales y los
parámetros de las lı́neas.
Las expresiones (1), (2), (3) y (4) pueden reescribirse de la siguiente manera:
Suma de corrientes que salen del nodo 1 = suma de corrientes que entran al nodo 1:
(y12 + y13 )V1 − y12 V2 − y13 V3 = I1 (5)
Suma de corrientes que salen del nodo 2 = suma de corrientes que entran al nodo 2:
−y12 V1 + (y12 + y24 )V2 − y24 V4 = I2 (6)
Suma de corrientes que salen del nodo 3 = suma de corrientes que entran al nodo 3:
−y13 V1 + (y13 + y34 )V3 − y34 V4 = I3 (7)
Suma de corrientes que salen del nodo 4 = suma de corrientes que entran al nodo 4:
−y24 V2 − y34 V3 + (y24 + y34 )V4 = I4 (8)
Reescribiendo las expresiones (5), (6), (7) y (8) en forma de un producto de dos vectores se
tiene:
I1 =
I2 =
[ (y12 + y13 ) −y12 −y13 0 ]
[ −y12 (y12 + y24 ) 0 y24 ]


V
 1 
 V 
 2 


 V3 


V4

V1



 V 
 2 


 V3 


V4
I3 =
[ −y13 0 (y13 + y34 ) −y34 ]

V1

V1



 V 
 2 


 V3 


V4
I4 =
[ 0 −y24 −y34 (y24 + y34 ) ]



 V 
 2 


 V3 


V4
Estas ecuaciones pueden reescribirse de manera compacta en forma matricial, de la siguiente
forma:

I1


 

 I  
 2  
=

 I3  
 

I4
(y12 + y13 )
−y12
−y12
(y12 + y24 )
−y13
0
0
−y24
−y13
0

V1



 V 
 2 
 (9)

  V3 
(y13 + y34 )
−y34


V4
−y34
(y24 + y34 )
0
y24
En esta representación matricial, el vector de corrientes se denomina vector de corrientes inyectadas, el vector de tensiones se denomina vector de tensiones nodales o variables de estado,
y la matriz conformada por las admitancias de las lı́neas (representadas con letras minúsculas)
se denomina matriz admitancia o YBU S . En forma general, los elementos de la matriz YBU S se
denominan con letras mayúsculas y cada elemento toma los ı́ndices de la fila y la columna a
la que pertenecen. En consecuencia, el elemento Yij representa el elemento de la matriz YBU S
situado en la fila i y en la columna j. Para el ejemplo anterior se tiene:

I1


Y11 Y12 Y13 Y14

 
 I   Y
 2   21 Y22 Y23 Y24

=
 I3   Y31 Y32 Y33 Y34

 
I4
Y41 Y42 Y43 Y44

V1



 V 
 2 

 (10)
  V3 


V4
Al comparar las expresiones (9) y (10) se concluye que:

Y
 11
 Y
 21

 Y31

Y41
Y12 Y13 Y14
Y22 Y23 Y24
Y32 Y33 Y34
Y42 Y43 Y44


 
 
 
=
 
 
(y12 + y13 )
−y12
−y13
0
−y12
(y12 + y24 )
0
y24
−y13
0
(y13 + y34 )
−y34
0
−y24
−y34
(y24 + y34 )







Se puede concluir que: 1) Los elementos de la diagonal de la matriz YBU S son positivos y se
obtienen sumando las admitancias de los elementos que llegan a cada nodo; 2) Los elementos
por fuera de la diagonal son negativos y corresponden a las admitancias de los elementos que
unen los nodos. Si no existe un elemento uniendo dos nodos entonces allı́ hay una impedancia
infinita (circuito abierto) o una admitancia cero. Escrito en forma matemática se tiene que:
Yii =
n
X
yij
j=1
Yij = −yij
En general, para un sistema de n nodos se tiene:
 
I1
 .  
 .  
 .  
 

 Ii  = 
 

 .  
 ..  
 


In
Cuya notación es la siguiente:

Y11 ... Y1i ... Y1n

..
..
..
.. 

.
.
.
. 


Yi1 ... Yii ... Yin


.. 
..
..
..

. 
.
.
.

Yn1 ... Yni ... Ynn

V1
.. 

. 

Vi 

.. 
. 

Vn
[I] = [YBU S ][V ]
En el ejemplo anterior vamos a suponer que los valores de las impedancias de las lı́neas en p.u.
corresponden a los siguientes valores:
z12 = (0,12 + j0,41)p.u.; z13 = (0,15 + j0,54)p.u.; z24 = (0,13 + j0,46)p.u. y z34 = (0,11 +
j0,39)p.u. El sistema de potencia puede representarse de la forma mostrada en la figura 4.
V1
V2
z 12 = (0.12 + j 0.41) p.u.
I1
z 24 = (0.13 + j 0.46) p.u.
I3
V3
I4
I2
V4
Figura 4: Sistema de potencia en función de impedancias.
Al calcular la inversa de las impedancias se obtienen las siguientes admitancias:
y12 =
y13 =
y24 =
y34 =
1
z12
1
z13
1
z24
1
z34
=
=
=
=
1
(0,12+j0,41)p.u.
1
(0,15+j0,54)p.u.
1
(0,13+j0,46)p.u.
1
(0,11+j0,39)p.u.
= (0,6575 − j2,2466)p.u.
= (0,4776 − j1,7192)p.u.
= (0,5689 − j2,0131)p.u.
= (0,6699 − j2,3752)p.u.
El sistema en función de admitancias corresponde al de la figura 5.
En consecuencia, los elementos de la matriz YBU S son los siguientes:
Y11 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 1, por lo tanto:
Y11 = y12 + y13 = (0,6575 − j2,2466)p.u. + (0,4776 − j1,7192)p.u.
Y11 = (1,1351 − j3,9658)p.u.
y 12 = (0.6575 - j 2.2466)p.u.
I1
y 24 = (0.5689 - j 2.0131)p.u.
I3
I2
I4
Figura 5: Sistema de potencia en función de admitancias.
Y12 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 2, con signo negativo.
Y12 = −y12 = −(0,6575 − j2,2466)p.u. = (−0,6575 + j2,2466)p.u.
Y13 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 3, con signo negativo.
Y13 = −y13 = −(0,4776 − j1,7192)p.u. = (−0,4776 + j1,7192)p.u.
Y14 es la admitancia del elemento que une al nodo 1 y el nodo 4, con signo negativo.
Y14 = −y14 = 0 p.u. ⇒ no existe una lı́nea que una el nodo 1 y el nodo 4.
Y21 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 1, con signo negativo.
Y21 = −y21 = (−0,6575 + j2,2466)p.u. ⇒ y21 es la misma admitancia y12
Y22 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 2.
Y22 = y12 + y24 = (0,6575 − j2,2466)p.u. + (0,5689 − j2,0131)p.u.
Y22 = (1,2264 − 4,2597)p.u.
Y23 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 3, con signo negativo.
Y23 = 0 p.u. ⇒ no existe una lı́nea que una el nodo 2 y el nodo 3.
Y24 es la admitancia del elemento que une al nodo 2 y el nodo 4, con signo negativo.
Y24 = −y24 = (−0,5689 + j2,0131)p.u.
Y31 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 1, con signo negativo.
Y31 = −y13 = (−0,4776 + j1,7192)p.u. ⇒ y31 es la misma admitancia y13
Y32 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 2, con signo negativo.
Y32 = −y32 = 0 p.u. ⇒ no existe una lı́nea que una el nodo 3 y el nodo 2.
Y33 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 3.
Y33 = y13 + y34 = (0,4776 − j1,7192)p.u. + (0,6699 − j2,3752)p.u.
Y33 = (1,1475 − j4,0944)p.u.
Y34 es la admitancia del elemento que une al nodo 3 y el nodo 4, con signo negativo.
Y34 = −y34 = (−0,6699 + j2,3752)p.u.
Y41 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 1, con signo negativo.
Y41 = −y41 = 0 p.u. ⇒ no existe una lı́nea que una el nodo 4 y el nodo 1.
Y42 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 2, con signo negativo.
Y42 = −y42 = (−0,5689 + j2,0131)p.u.
Y43 es la admitancia del elemento que une al nodo 4 y el nodo 3, con signo negativo.
Y43 = −y43 = (−0,6699 + j2,3752)p.u.
Y44 es la suma de las admitancias que llegan al nodo 4.
Y44 = y24 + y34 = (0,5689 − j2,0131)p.u. + (0,6699 − j2,3752)p.u.
Y44 = (1,2388 − j4,3883)p.u.
La matriz YBU S asume entonces la siguiente forma:

(1,1351 − j3,9658)
(−0,6575 + j2,2466) (−0,4776 + j1,7192)
0

 (−0,6575 + j2,2466) (1,2264 − 4,2597)
0
(−0,5689 + j2,0131)


 (−0,4776 + j1,7192)
0
(1,1475 − j4,0944) (−0,6699 + j2,3752)

0
(−0,5689 + j2,0131) (−0,6699 + j2,3752) (1,2388 − j4,3883)
La matriz YBU S en formato de magnitud y ángulo asume la siguiente forma (todos los valores
se encuentran en p.u.):








4,1250∠ − 74,0277

 2,3408∠106,3139


 1,7843∠105,5241

0∠0
2,3408∠106,3139
4,4328∠ − 73,9377
0∠0
2,0920∠105,7808
1,7843∠105,5241
0∠0


2,0920∠105,7808 


4,2521∠ − 74,3441 2,4678∠105,7512 

2,4678∠105,7512 4,5598∠ − 74,2353
0∠0
1.2. Caracterı́sticas especiales de la matriz Ybus
Es una matriz cuadrada de tamaño (n × n) siendo n el número de nodos.
Es una matriz simétrica. esto quiere decir que el elemento Yij es igual al elemento Yji .
Los elementos de la diagonal son positivos y se pueden calcular sumando las admitancias
de los elementos conectados a los nodos. Por ejemplo, el elemento Yii es la suma de las
admitancias de los elementos conectados al nodo i. Por lo tanto:
n
X
Yii =
yij
j=1
Los elementos por fuera de la diagonal Yij de la matriz YBU S son el negativo de la admitancia del elemento yij . Por lo tanto:
Yij = −yij
La matriz es diagonalmente dominante, es decir, la magnitud de los elementos de la diagonal es numéricamente mayor que la magnitud de los elementos fuera de la diagonal.
Esto puede observarse en el ejemplo resuelto.
En sistemas de potencia donde la reactancia supera en tres o más veces el valor de la
resistencia, el ángulo de los elementos de la diagonal resultan negativos y de magnitud
menor a 90 grados. Los ángulos de los elementos fuera de la diagonal resultan positivos
y superiores pero cercanos a 90 grados.
En sistemas reales de gran tamaño la matriz YBus es dispersa, es decir, contiene muchos
ceros. Esta condición ocurre porque normalmente sólo existe conexión directa entre nodos
geográficamente vecinos y no existe conexión directa entre nodos geográficamente distantes. En un sistema eléctrico de la vida real del orden de 100 nodos, un nodo promedio
puede estar interconectado con 3 o 4 nodos, y unos pocos nodos pueden tener conexión
con 8 o 9 nodos. La figura 6 muestra el disgrama unifilar del sistema eléctrico colombiano
2012 reducido a 93 nodos y 155 corredores y que es utilizado como sistema de prueba en
investigaciones de planeamiento de sistemas de transmisión de energı́a eléctrica. Puede
observarse que el nodo 27 tiene conexión con 8 nodos, mientras los nodos 51 y 52 solo
presentan conexión con 2 nodos. Las lı́neas punteadas son conexiones futuras mientras las
lı́neas llenas representan corredores existentes. Si se observa el esquema se puede notar
que en general los nodos se conectan únicamente con algunos (pocos) nodos vecinos.
81
48
49
63
46
53
45
52
47
50
51
54
56
88
84
57
43
42
55
17
12
15
37
86
41
40
68
24
39
61
76
18
21
58
38
75
19
20
22
23
82
16
62
13
66
60
14
32
31
67
69
34
70
33
73
72
4
30
65
59
8
9
85
83
2
77
79
74
36
64
87
5
29
27
93
71
89
25
35
6
1
78
10
3
7
90
28
91
26
80
11
44
92
Figura 6: Sistema Colombiano de 230KV y 500KV, de 93 nodos y 155 corredores.
Se deja al lector la tarea de determinar el número de conexiones que tiene cada uno de los 93
nodos de este sistema y sacar una conclusión para el sistema eléctrico colombiano 2012.
1.3. Forma alternativa de construir la matriz YBU S .
La matriz YBU S también puede construirse a través de la multiplicación de tres matrices, que en
principio son más sencillas de construir. Según esta forma alternativa, la matriz YBU S se puede
obtener a través del siguiente producto:
YBU S = A Yprimitiva AT
Donde:
A es la matriz incidencia nodo-rama o tambien denominada matriz incidencia nodoelemento. Es una matriz cuyo número de filas corresponde al número de nodos del sistema
y el número de columnas al número de elementos que contiene el sistema interno.
AT es la transpuesta de la matriz A, es decir, una matriz donde las filas de A se convierten
en las columnas de AT .
Yprimitiva es una matriz que solo contiene elementos en la diagonal, si no existen acoples
mutuos entre elementos. La cantidad de términos en la diagonal de esta matriz es igual
a número de elementos que contenga el sistema interno y cada posición en la diagonal
asume el valor de la admitancia de cada elemento.
Para el sistema de potencia de la figura 5, vamos a asumir que la lı́nea de transmisión que une
los nodos 3 y 4 sale de servicio por razones de mantenimiento. El sistema asume entonces la
forma mostrada en la figura 7. Se desea encontrar la matriz YBU S del sistema de potencia para
la nueva configuración.
Para el sistema de la figura 7 se define las siguiente matriz primitiva en p.u.:
1−2


1−3 

2−4
1-2
1-3
2-4
0,6575 − j2,2466
0
0
0
0,4776 − j1,7192
0
0
0
0,5689 − j2,0131




Como se puede observar, los elementos del sistema, que en este caso son lı́neas de transmisión
son nombrados de acuerdo a los nodos entre los que se encuentran conectados. Por lo tanto,
el elemento 1-2 representa la lı́nea que une los nodos 1 y 2. El elemento 1-3 es la lı́nea que
une los nodos 1 y 3; y el elemento 2-4 es la lı́nea que une los nodos 2 y 4. Observese también
Figura 7: Sistema Colombiano de 230KV y 500KV, de 93 nodos y 155 corredores.
que el elemento de la diagonal donde se intersecta la fila 1-3 con la columna 1-3, contiene la
admitancia de la lı́nea de transmisión que une los nodos 1 y 3, y los demás elementos de la fila
1-3 y de la columna 1-3 son ceros.
A continuación construimos la matriz incidencia nodo-rama que denominamos A. Para esto
construimos una matriz con tantas filas como nodos tenga el sistema, nombrados en orden
ascendente, y tantas columnas como elementos tenga el sistema. Dado que el sistema de la
figura 7 tiene 4 nodos (1, 2, 3 y 4) y tres lı́neas de transmisión (1-2, 1-3 y 2-4), esta matriz resulta
de cuatro filas y tres columnas (4x3). A continuación se muestra la matriz A correspondiente a
este sistema de potencia. Debe tenerse cuidado de colocar los elementos en las columnas de A
en el mismo orden en que fueron colocadas en la matriz Yprimitiva .
1

1-2
1-3
2-4
1
1
0
0

1 


0 

1

2 
 −1

A=
3 
 0
4
0
−1
0

Cada columna de la matriz incidencia nodo-rama o nodo-elemento sólo debe contener una posición con
valor 1 y una posición con valor -1. Las demás posiciones deben ser ceros. Cada columna está asociada
a un elemento del sistema ası́: la columna 1 está asociada al elemento 1-2, la columna 2 al elemento 1-3
y la columna 3 al elemento 2-4. Cada columna debe tener un 1 en la fila correspondiente al nodo inicial
del elemento y un -1 en la fila correspondiente al nodo final del elemento. Por lo tanto, en la columna 1,
que corresponde al elemento 1-2, debe haber un 1 en la fila 1 y un -1 en la fila 2. En la columna 2, que
corresponde al elemento 1-3, debe haber un 1 en la fila 1 y un -1 en la fila 3. Finalmente, en la columna
3, que corresponde al elemento 2-4, debe haber un 1 en la fila 2 y un -1 en la fila 4.
Ahora realizamos la operación: YBU S = A Yprimitiva AT .

1
1

 −1


 0

0
0
−1
0
0


 0,6575 − j2,2466
0
0
1 


0
0,4776 − j1,7192
0

0 

0
0
0,5689 − j2,0131
−1

1 −1

 1

0
0
0
0
−1
1
0
Que resulta igual a:

1
1

 −1


 0

0
0
−1
0
0


 0,657 − j2,246 −0,657 + j2,246
0
0
1 


  0,477 − j1,719
0
−0,477 + j1,719
0
0 

0
0,568 − j2,013
0
−0,568 + j2,013
−1
Finalmente se llega a:

1,1351 − j3,9658
−0,6575 + j2,2466 −0,4776 + j1,7192

 −0,6575 + j2,2466
1,2264 − 4,2597


 −0,4776 + j1,7192
0

0
−0,5689 + j2,0131
0
0,4776 − j1,7192
0
Que corresponde a la matriz YBU S del sistema de potencia analizado.
0


−0,5689 + j2,0131 



0

0,568 − j2,013






0 

−1