Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas

Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas urbanas
Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos
en zonas urbanas
Pedreira Andrade, Luís P. [[email protected]]
Lema Fernández, Carmen S. [[email protected]]
Dpto. Economía Aplicada
Universidade da Coruña
Allende Alonso, Sira [[email protected]]
Universidad de La Habana (La Habana-Cuba)
RESUMEN
En los últimos años se ha dado un gran impulso a la investigación en métodos
heurísticos por su utilidad cuando no hay métodos exactos, cuando el tiempo de procesamiento
es muy grande, cuando los datos son poco fiables o cuando los necesitamos como paso
intermedio en la aplicación de otro método. Son muchos los campos de aplicación, en este
trabajo proponemos su utilización en la regulación de semáforos en zonas urbanas. Así
introducimos un método híbrido de solución para el problema de control óptimo de semáforos
que tiene dos ejes fundamentales: la resolución de un problema de complementariedad lineal y
el uso imprescindible de una heurística para explorar el dominio acotado del vector de
longitudes de fase, usando el ambiente de programación Matlab y las facilidades que éste ofrece
en Optimizatión Toolbox, Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox.
Palabras claves:
Optimización; control de semáforos; métodos heurísticos.
Clasificación JEL (Journal Economic Literature):
C61
Área temática: Programación matemática
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
1
Pedreira Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sira
1. INTRODUCCIÓN
En el trabajo que presentamos en las XIV Jornadas ASEPUMA y II Encuentro
Internacional [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y Pedreira, L. (2006)] analizábamos
un problema de control óptimo de semáforos que consistía en:
Conocidas las tasas de llegada y de salida de vehículos del cruce, para un entero
N dado, y un tiempo inicial t0, queremos calcular una sucesión t1, t2,…,tN de instantes
de cambio de las luces de los semáforos (tiempos switching) óptima bajo un criterio. El
criterio a considerar se expresa en una función objetivo a minimizar que denotamos por
J. Es posible, por ejemplo, considerar como criterio:
•
Longitud media de la cola sobre todas las colas
4
J1 = ∑ w i
∫
tN
t0
tN - t0
i =1
•
l i ( t )dt
Longitud media de la cola sobre la peor cola

J 2 = max  w
i
 i

•
∫
li (t) dt 

t N − t 0 
tN
t0
(2)
J3= max (w i li ( t ))
(3)
Longitud de cola en el peor caso
i, t
•
(1)
Tiempo de espera medio sobre todas las colas
(El tiempo de espera medio es igual a la longitud media de cola dividida por la
tasa media de llegada).
4
J4 = ∑ w i
i =1
•
∫
tN
t0
l i ( t )dt
λ i (t N − t 0 )
(4)
Tiempo de espera medio sobre la peor cola
tN

li (t)dt 
∫
t


J 5 = max w 0
i
 i λ (t − t ) 
i N
0 

XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
(5)
2
Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas urbanas
donde wi>0 para todo i, son los factores peso que se pueden usar para dar una
importancia más alta a algunos carriles; li(t) es la longitud de la cola (es decir el número
de coches esperando) en el carril Li en el instante de tiempo t; λ i es la tasa media de
llegada de vehículos en el carril Li (dada en vehículos por segundo).
En la práctica se establecen las duraciones mínimas y máximas para los tiempos
verde y rojo del semáforo y longitudes máximas para las colas. Todo ello conduce al
siguiente problema P:
Minimizar J
(6)
sujeto a:
δmin,verde,1≤δ2k+1-δamb≤δmax,verde,1
N
para k=0,1,…,   − 1 ,
2
(7)
δmin,verde,2≤δ2k-δamb≤δmax,verde,2
 N − 1
para k=0,1,…, 
,
 2 
(8)
xk≤xmax
para k=1,2,…,N
(9)
x2k+1=max(x2k+b1δ2k+b3,b5)
 N − 1
para k=0,1,…, 
,
 2 
(10)
x2k+2=max(x2k+1+b2δ2k+1+b4,b6)
N
para k=0,1,…,   − 1 ,
2
(11)
donde δmin,verde,i (respectivamente δmax,verde,i) es el mínimo (respectivamente el máximo)
tiempo verde en el carril Li, y (xmax)i es la máxima longitud de cola en el carril Li.
2. MÉTODOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA P
2.1. Escribir las restricciones del problema P como un ELCP
Para determinar la sucesión temporal switching óptima debemos optimizar la
función objetivo J en la solución del ELCP (problema de complementariedad lineal
extendido)[de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)]; para ello consideramos (10) para un
índice arbitrario k. Esta ecuación se puede reescribir como sigue:
x2k+1≥x2k+b1δ2k+b3
(12)
x2k+1≥b5
(13)
(x2k+1)i = (x2k+b1δ2k+b3)i o (x2k+1)i = (b5)i para i =1,2,3,4
(14)
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
3
Pedreira Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sira
o equivalentemente:
x2k+1- x2k-b1δ2k-b3≥0
x2k+1- b5≥0
(x2k+1-x2k-b1δ2k-b3)i (x2k+1-b5)i = 0
para i=1,2,3,4
Como una suma de números no negativos es igual a 0 si y sólo sí todos los
números son iguales a 0, este sistema de ecuaciones es equivalente a:
x2k+1-x2k-b1δ2k-b3≥0
(15)
x2k+1-b5≥0
(16)
4
∑
i =1
(x2k+1-x2k-b1δ2k-b3)i(x2k+1-b5)i = 0
(17)
Podemos repetir este razonamiento para (11) y para cada k. Así si definimos:
 x1 
 δ0 
x 
 δ 
x*=  2  y δ*=  1  donde δk = tk+1-tk, k=0,1,2,…,N-1
 M 
 M 
 


x
 N
δ N −1 
obtenemos el problema P en la siguiente forma:
Minimizar J
(18)
sujeto a:
Ax*+Bδ*+c≥0
(19)
x*+d≥0
(20)
Ex*+Fδ*+g≥0
(21)
(Ax*+Bδ*+c)T(x*+d)=0
(22)
cuyas restricciones son un caso especial de ELCP y donde A y E son matrices
cuadradas de orden 4N (A es P-matriz); B y F son matrices de orden 4NxN; c,d y g son
vectores de orden 4Nx1.
La dificultad de este método es que el problema ELCP es un problema NP-duro, y
el algoritmo propuesto en [de Schutter, B. y de Moor, B. (1995)] para resolver el ELCP
usa tiempos de ejecución exponenciales, lo que implica que no es factible si el número
de ciclos switching N es grande.
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
4
Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas urbanas
2.2. Resolver un problema aproximado-relajado
En este método [de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)] se usan funciones
objetivo aproximadas que dependen explícitamente de x* y δ*, de la siguiente forma:
~
~
dados x0 y t0, se define la función li (., x*,δ
δ*), -o para abreviar li (.) - como la función
lineal a trozos que interpola en los puntos ((tk,li(tk)) para k=0,1,…,N. Las funciones
~
objetivo aproximadas Jl para l=1,2,3,4,5 están definidas como en (1)-(5) pero
~
reemplazando li por li ; y se relajan las restricciones reemplazándose las ecuaciones
(10)-(11) por ecuaciones de la forma (12)-(13) sin tener en cuenta (14). Se obtienen
soluciones subóptimas y cuando se manejan las funciones aproximadas de J1 y J4 la
solución para este problema es una solución suficientemente buena para el problema P,
pero no se puede afirmar lo mismo cuando se usan las aproximadas de J2, J3 y J5.
2.3. Método híbrido de solución
Consiste en una heurística para fijar los valores de δ* ∈ (IR o+ ) N más un algoritmo
eficiente para resolver el problema LCP [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y
Pedreira, L. (2006)] que se obtiene usando la siguiente propiedad: Para cada δ* ∈ (IR o+ ) N ,
las restricciones de ELCP (19)–(22) describen un problema de complementariedad
lineal (LCP) con solución única, esto quiere decir que dado δ* la longitud de las colas
está unívocamente determinada. El proceso sería el siguiente:
0)
Ĵ =M (valor suficientemente grande), k=1. Repetir q veces.
1)
Mediante una heurística se explora el dominio acotado del vector δ*: Construir
un vector δ*.
2)
Fijado δ*, se determina la solución factible única del problema de
complementariedad lineal LCP(δ*) correspondiente. Sea x*(δ*) la solución
determinada.
3)
Se evalúan las funciones Ji según los distintos criterios.
4)
Para cada criterio s: Si Js(x*(δ*))< Ĵ S entonces Ĵ S :=JS(x*(δ*)) y δ̂δ (s)= δ*.
q=q+1
La heurística utilizada en el mencionado trabajo (con la que se hicieron algunas
pruebas para ejemplos concretos) fue simulated annealing. Esta es una heurística que
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
5
Pedreira Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sira
simula el proceso de enfriamiento de un sólido sometido a altas temperaturas a fin de
mejorar su estructura cristalina, fue introducido por Kirkpatrick et al (1983). En cada
iteración este algoritmo genera aleatoriamente un nuevo punto. La distancia de ese
nuevo punto al punto inicial o la extensión de la búsqueda esta basada en una
distribución de probabilidad con una escala proporcional a la temperatura.
El algoritmo acepta todos los nuevos puntos que mejoran la función objetivo,
pero también con una cierta probabilidad puntos en los que la función objetivo toma un
peor valor, así se evita el quedar atrapados en mínimos locales, y se puede explorar
globalmente para obtener otras soluciones posibles. A medida que la temperatura
disminuye, el algoritmo reduce la extensión de su búsqueda para converger a un
mínimo. Es un algoritmo interesante ya que genera soluciones iniciales para utilizar otro
algoritmo. Ofrece buenas aproximaciones al óptimo; se demuestra su convergencia en
probabilidad a una solución óptima.
3. MÉTODOS PARA EXPLORAR EL DOMINIO ACOTADO DEL
VECTOR δ*
Además de la mencionada, otras heurísticas pueden ser aplicadas. Como los
métodos heurísticos no son exactos es conveniente considerar alternativas de enfoques y
comparar los resultados. Dada la disponibilidad de las implementaciones generales
propuestas sobre Matlab y dado que sus procedimientos en Optimizatión toolbox,
Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox se ajustan bien a las características del
problema, proponemos la aplicación de los algoritmos:
3.1. Direct Search
En el Toolbox se implementan dos “direct search algorithms” que se llaman
Generalized Pattern Search (GPS) algorithm y Mesh Adaptative Search (MADS)
algorithm. En ambos casos en cada paso, el algoritmo busca un conjunto de puntos
(llamados una malla –mesh-) alrededor del punto (calculado en el paso previo del
algoritmo) en el que la función objetivo tiene el mejor valor (current point). La malla
está formada por varios puntos cada uno de los cuales se calcula sumando al current
point un múltiplo de un vector de los que forman el pattern (estos vectores son de
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
6
Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas urbanas
dirección fija en GPS mientras que en MADS se usa una selección aleatoria). Si el
pattern search algorithm encuentra un punto en la malla que mejora el valor de la
función objetivo respecto a su valor en el current point, el nuevo punto se convierte en
punto de partida para el próximo paso del algoritmo.
3.2. Genetic Algorithms (GAs)
Están basados en la selección natural, proceso que conduce la evolución
biológica. Fueron introducidos por John Holland (1975). En cada paso, el algoritmo
genético selecciona individuos al azar entre los de la población en ese momento, que se
convertirán en padres y los usa para crear los individuos de la generación siguiente. Los
componentes que han de considerarse a la hora de implementar un GA son los
siguientes:
. Una representación en términos de “cromosomas”, de las configuraciones de cada
problema: método de codificación del espacio de soluciones en cromosomas.
. Una manera de crear las configuraciones de la población inicial.
. Una función de evaluación que permita ordenar los cromosomas de acuerdo con la
función objetivo: medida de la bondad o función fitness.
. Operadores genéticos que permitan alterar la composición de los nuevos
cromosomas generados por los padres durante la reproducción.
. Valores de los parámetros que el algoritmo genético usa (tamaño de la población,
probabilidades asociadas con la aplicación de los operadores genéticos).
Éste método fue usado en [Sánchez, J.J.; Galán, M. y Rubio, E. (2004)] para
resolver un problema de gestión de semáforos. Se diseña un modelo de tráfico
microscópico es decir un modelo que supone el tráfico como un conjunto de partículas
que se mueven según un modelo de reglas. Usan además un autómata celular, que es un
sistema que va aprendiendo poco a poco para hacer un modelo preciso.
Con esta teoría los vehículos se consideran como entidades unidimensionales.
Las calles se ejemplifican como un conjunto de puntos. En cada punto sólo puede haber
un vehículo en cada instante de tiempo. Para alcanzar una solución del problema se
representa el estado de los semáforos mediante un cromosoma, que tiene longitud
variable en función del período de tiempo que se quiera optimizar, aunque se supone
que ese período de tiempo representa un ciclo base que se repite indefinidamente. Este
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
7
Pedreira Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sira
cromosoma está compuesto por valores enteros que representan qué semáforo está
abierto en el cruce en cada momento. Los resultados obtenidos con esta codificación y
el simulador descrito muestran que aparte de ser una forma válida, permite optimizar
varias intersecciones al mismo tiempo, lo que reduce los tiempos de cálculo con
respecto a otras soluciones.
3.3. Threshold Acceptance
Usa una aproximación similar a simulated annealing, pero en vez de aceptar
nuevos puntos que empeoran la función objetivo con una cierta probabilidad, acepta
todos los nuevos puntos bajo un umbral (thershold) fijado. El umbral se va
sistemáticamente bajando, como se hacía con la temperatura. Como threshold
acceptance evita el cálculo de la aceptación probabilística de simulated annealing, puede
conjeturarse un tiempo de cálculo inferior al requerido por simulated annealing.
4. APLICACIÓN: REGULACIÓN MEDIANTE SEMÁFOROS DE
LA GLORIETA DE AMÉRICA (A CORUÑA)
Esta glorieta de la ciudad de A Coruña, está con frecuencia colapsada por la
gran cantidad de vehículos que a ella acceden a través de las calles Bolivia, Cabo
Santiago Gómez, Ciudad de Lugo y Palomar. Solamente pueden abandonarla a través
de las calles Palomar (circulación hacia Riazor) o Uruguay (circulación hacia una de
las salidas de la ciudad), también se utiliza para cambiar de sentido de circulación en la
calle Palomar.
El edificio que se observa en la parte inferior izquierda de las imágenes es el
palacio de la Ópera. Cuando hay espectáculo (generalmente viernes o sábado por la
noche) el embotellamiento es extremo, llegando incluso a colapsar vías tan importantes
como la Avenida de Finisterre o Juan Flórez. En la actualidad sólo existen señales de
ceda el paso. Con nuestros estudios intentamos realizar una regulación mediante
semáforos que reduzca apreciablemente los embotellamientos.
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
8
Métodos heurísticos aplicados al control de semáforos en zonas urbanas
5. CONCLUSIONES
• Además de los diversos campos de aplicación de los métodos heurísticos:
problemas de transporte y asignación, regulación de flujos de producción,
pronósticos de ventas, análisis financiero, inspección de calidad, diseño de
circuitos electrónicos, predicciones económicas, etc.; nosotros proponemos su
utilización en la regulación de semáforos. En la actualidad la gestión del
tránsito circulatorio es una prioridad de actuación en la mayoría de las
ciudades. A menudo no es viable aumentar las infraestructuras y casi siempre
es una solución muy cara. La buena coordinación de la red de semáforos de la
ciudad y la optimización de los ciclos y fases de cada uno de ellos, son
herramientas fundamentales para resolver la congestión.
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
9
Pedreira Andrade, Luís P.; Lema Fernández, Carmen S.; Allende Alonso, Sira
• En el mercado hay diversos sistemas de simulación de tráfico, también en la
literatura existen trabajos que usan programación dinámica, programación
entera mixta, algoritmos de flujo, algoritmos basados en reglas lógicas y en
algún caso otros tipos de heurísticas.
• Nuestro trabajo en la actualidad y en un futuro próximo está centrado en:
diseñar una red de semáforos para la glorieta de América, realizar los cambios
necesarios para adaptar el modelo expuesto en [Allende, S.; Blanco, A.; Lema,
C. y Pedreira, L. (2006)] a este problema concreto, implementar el algoritmo
propuesto en 2.3 para regular los semáforos, usar las diferentes opciones en
cuanto a métodos heurísticos que el toolbox de Matlab nos ofrece, para así
poder comparar resultados y obtener en cada momento la mejor solución que
permita una respuesta suficientemente rápida para las fases y ciclos de los
semáforos, con el objeto de disminuir la congestión.
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
ALLENDE, S.; BLANCO, A.; LEMA, C. y PEDREIRA, L. (2006). “Modelo de
optimización con restricciones de equilibrio para el control de semáforos”. Rect@,
Actas14, 1, pp. 44.1- 44.13.
•
DE SCHUTTER, B. y DE MOOR, B. (1998) “Optimal traffic light control for a
single intersection”, European Journal of Control, 4, 3, pp. 260-276.
•
DE SCHUTTER, B. y DE MOOR, B. (1995) “The extended linear complementarity
problem”, Mathematical Programming, 71, 3, pp. 289-325.
•
S. KIRKPATRICK, S.; GELATT, J.R. y VECCHI, M.P. (1983) “Optimization by
Simulated Annealing”. Science, 220, pp. 671-680.
•
HOLLAND, J. (1975) Adaptation in Natural and Artificial Systems, University of
Michigan Press, Ann Arbor.
•
SÁNCHEZ, J.J.; GALÁN, M. y RUBIO, E. (2004) “Genetic algorithms and cellular
automata. A new architecture for traffic light cycles optimization”. Proceedings of
the 2004 Congress on Evolutionary Computation CEC2004, pp. 1668-1674.
XVI Jornadas ASEPUMA – IV Encuentro Internacional
Rect@ Vol Actas_16 Issue 1:707
10