TEMA 9 ESTABILIDAD ESTÁTICA LONGITUDINAL

ETSEIAT (UPC)
Mecánica del Vuelo (06-07)
TEMA 9
ESTABILIDAD ESTÁTICA LONGITUDINAL
9.1. INTRODUCCIÓN
A partir de este tema se estudiarán la estabilidad y controlabilidad del avión, es
decir, los cambios de actitud como sólido rígido alrededor de su centro de masas, y se
comenzará el estudio por la estabilidad y la controlabilidad puramente estáticas.
Se ha supuesto que el avión tiene un plano de simetría (el plano xb-zb) y por tanto
sus movimientos pueden descomponerse en dos grandes categorías:
• Movimiento longitudinal: Todas las variables lateral-direccionales del
problema son idénticamente nulas (β, φ, p, r, δa, δr), por lo que las tres
ecuaciones dinámicas lateral-direccionales (una de fuerza según el eje yb,
perpendicular al plano de simetría, y dos de momentos según los ejes xb y zb,
que conforman el plano de simetría) son idénticamente nulas, y sólo han de
plantearse dos ecuaciones dinámicas de fuerzas (según los ejes xb y zb) y una
ecuación dinámica de momentos (según el eje yb).
• Movimiento lateral-direccional: Alguna de las variables lateral-direccionales
del problema no es idénticamente nula, por lo que hay que plantear las tres
ecuaciones dinámicas lateral-direccionales, además de las longitudinales.
Otra hipótesis adicional habitual para comenzar estos estudios consiste en suponer
el avión en vuelo de planeo o, lo que es el mismo, suponer que el empuje del avión pasa
por su centro de masas.
9.2. SUSTENTACIÓN TOTAL
La sustentación y el momento de cabeceo totales de un planeador pueden
obtenerse a partir de las contribuciones de las distintas partes y de las interferencias,
siendo estas contribuciones funciones lineales del ángulo de ataque
Un planeador, desde un punto de vista longitudinal, está constituido por el
conjunto ala-fuselaje y la cola horizontal, y las acciones aerodinámicas a considerar son
(ver Figura 9.1):
• Conjunto ala-fuselaje: Lwb , Dwb , M acwb ≠ f (α wb )
• Cola horizontal: Lt , Dt , M act ≠ f (α t )
Además hay que tener en cuenta dos efectos de interferencia del ala sobre la cola
horizontal:
• Deflexión de estela, ε , que es la disminución en el ángulo de ataque de la
cola horizontal, debida a la velocidad inducida por los torbellinos
desprendidos del ala
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• Eficiencia aerodinámica de la cola, ηt (η t = qt / q ), debida a la reducción de
velocidad de la corriente libre que llega a la cola por estar inmersa en la estela
del ala
La Figura 9.1 representa las velocidades sobre el conjunto ala-fuselaje y sobre la
cola horizontal, la geometría a considerar y las fuerzas y momentos que actúan en el plano
de simetría del avión, todo ello referido a una la línea de referencia del fuselaje (LRF).
Según esto, la sustentación, la resistencia, el coeficiente de sustentación y el coeficiente
de resistencia del avión completo pueden escribirse como:
L = Lwb + Lt cos ε − Dt sin ε
D = Dwb + Dt cos ε + Lt sin ε
L
S
= C Lwb + CLtηt t cos ε − CDtηt
qS
S
D
S
CD =
= CDwb + CDtηt t cos ε + CLtηt
qS
S
CL =
St
sin ε
S
St
sin ε
S
Para calcular el coeficiente de sustentación de un avión convencional es usual
utilizar las hipótesis de que ε << 1 y que C Dt << CLt . Así pues:
C L = C Lwb + C Lt ηt
St
S
(9.1)
Los coeficientes de sustentación del conjunto ala-fuselaje y de la cola horizontal
son:
C Lwb = awbα wb
CLt = atα t
α t = α wb − iwb + it − ε + τ eδ e
⎛ ∂ε ⎞
⎟α wb
⎝ ∂α ⎠
ε = ε0 + ⎜
en donde awb y at son las pendientes de las curvas de sustentación del conjunto alafuselaje y cola horizontal, iwb e it son las incidencias o calados de las líneas de
sustentación nula del ala-fuselaje y de la cola horizontal respecto de una línea de
referencia del fuselaje, τ e es la efectividad del timón de profundidad, y ε 0 y (∂ε ∂α ) son
características aerodinámicas conocidas dependientes, respectivamente, de la torsión
aerodinámica del ala y de la intensidad de los torbellinos desprendidos por el ala.
Introduciendo estas últimas expresiones en la ecuación (9.1) queda finalmente:
CL = CL 0 + CLαα wb + CLδ e δ e
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St
(it − iwb − ε 0 )
S
∂ε
S
CLα = awb + atηt t (1 −
)
S
∂α
S
CLδ e = atηt t τ e
S
C L 0 = atηt
Siempre es posible cambiar el origen de los ángulos de ataque, por lo que el
modelo lineal anterior es válido para otros orígenes. Por ejemplo, si se miden ángulos de
ataque respecto de la línea de referencia del fuselaje:
α b = α wb − iwb
CL = CL′ 0 + CLαα b + CLδ e δ e
CL′ 0 = CL 0 + CLα iwb
9.3. MOMENTO DE CABECEO TOTAL
Utilizando de nuevo la Figura 9.1 y proyectando las fuerzas existentes según las
direcciones normal y paralela a la LRF se obtienen las fuerzas normales y axiales del
conjunto ala-fuselaje, N wb y Cwb , y de la cola horizontal, N t y Ct :
N wb = Lwb cos(α wb − iwb ) + Dwb sin(α wb − iwb )
Cwb = − Lwb sin(α wb − iwb ) + Dwb cos(α wb − iwb )
N t = Lt cos(α t − it ) + Dt sin(α t − it )
Ct = − Lt sin(α t − it ) + Dt cos(α t − it )
Tomando ahora momentos aerodinámicos alrededor del centro de masas:
M A = N wb xa + C wb z a + M acwb − N t lt + Ct zt + M act
Para adimensionalizar los momentos de cabeceo se utilizan usualmente la presión
dinámica de la corriente libre, q, la superficie alar, S, y la cuerda media aerodinámica, c:
CmA =
MA
Sz
Sc
= CNwb xˆa + CCwb zˆa + Cmacwb − CNtVˆtηt + CCtηt t t + Cmactηt t t
qSc
Sc
Sc
en donde se denomina coeficiente de volumen de la cola horizontal a:
Sl
Vˆt = t t
Sc
y se han introducido dos distancias adimensionales mediante:
xˆa = xa c , zˆa = za c
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Suponiendo además que:
C Nwb ≅ C Lwb , CCwb ≅ −CLwb (α wb − iwb ) + CDwb
C Nt ≅ CLt
, CCt ≅ −C Lt (α t − it ) + C Dt
se obtiene:
CmA = C Lwb ( xˆcg − xˆacwb ) + Cmacwb − C LtVˆtηt
En la anterior expresión x̂cg y x̂acwb son las posiciones del centro de masas del
avión y del centro aerodinámico del conjunto ala-fuselaje, medidas según la línea de
referencia del fuselaje, a partir de un punto genérico de la misma (morro del avión, borde
de ataque del ala, etc.), positivas hacia atrás y adimensionalizadas con la cuerda media
aerodinámica c. Introduciendo en la última expresión los valores de C Lwb y C Lt obtenidos
en el apartado anterior:
CmA = Cm 0 + Cmα α wb + Cmδ e δ e
donde
Cm 0 = Cmacwb − atηtVˆt (it − iwb − ε 0 )
∂ε
Cmα = awb ( xˆcg − xˆacwb ) − atηtVˆt (1 −
)
∂α
Cmδ e = − atηtVˆtτ e
En esta expresión lineal del coeficiente de momento de cabeceo aerodinámico
aparecen dos coeficientes aerodinámicos que tienen nombre propio:
• Cmα ≡ Índice de estabilidad estática longitudinal con mandos fijos (frente
a perturbaciones en ángulo de ataque y a factor de carga constante), que se
estudiará en siguiente apartado.
• Cmδ e ≡ Potencia de control longitudinal (ver siguiente tema).
9.4. ÍNDICE DE ESTABILIDAD ESTÁTICA LONGITUDINAL CON MANDOS
FIJOS Y PUNTO NEUTRO CON MANDOS FIJOS
El concepto físico intuitivo de un avión estable frente a perturbaciones en ángulo
de ataque establece que debe generarse un momento de cabeceo que vaya contra la
perturbación, es decir, para un incremento positivo del ángulo de ataque debe aparecer un
momento negativo. Como se está estudiando un avión no motorizado (planeador):
⎛ ∂C ⎞
⎛ ∂Cm ⎞
⎜⎜
⎟⎟
= Cmα
= ⎜⎜ mA ⎟⎟
⎝ ∂α wb ⎠δ e , n ⎝ ∂α wb ⎠δ e , n
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y, por tanto, a Cmα se le denomina “Índice de estabilidad estática longitudinal con
mandos fijos” (frente a perturbaciones en ángulo de ataque y a factor de carga constante)
y su signo dará idea de la estabilidad estática del planeador:
Cmα < 0 →
Cmα = 0 →
Cmα > 0 →
Avión ESTABLE
Avión INDIFERENTE
Avión INESTABLE
La Figura 9.2 representa las cuatro posibles rectas de CmA en función de α wb para
δ e = 0 . Téngase en cuenta que sólo es posible volar en equilibrio de momentos y con
α wb > 0 en el punto A (rectas 2 y 3) y que, de éstas, sólo la recta 2 garantiza un planeador
estable.
Se denomina Punto Neutro con Mandos Fijos, N 0 , a la posición del centro de
masas (adimensionalizada con la cuerda media aerodinámica) que anula Cmα :
N 0 = ( xˆcg )C mα = 0
at
∂ε
ηtVˆt (1 − )
awb
∂α
= awb ( xˆcg − N 0 )
N 0 = xˆacwb +
Cmα
en donde se ha supuesto lt = cte .
El punto neutro representa la posición más retrasada que puede ocupar el centro de
masas para que el avión sea estáticamente estable con mandos fijos, frente a
perturbaciones en ángulo de ataque y en vuelo a factor de carga constante (Figura 9.3).
Se denomina Margen Estático con Mandos Fijos, H 0 , a:
H 0 = N 0 − xˆcg
Cmα = − awb H 0 ,
Un avión estable tiene un margen estático con mandos fijos positivo y uno
inestable, negativo.
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FIGURA 9.1. Fuerzas y momentos aerodinámicos de un planeador en vuelo
longitudinal.
FIGURA 9.2. Casos que pueden presentarse para el momento de cabeceo.
FIGURA 9.3. Punto neutro con mandos fijos.
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