TEMA 5: Tablas con múltiples causas de salida: Invalidez.

MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 TEMA 5: Tablas con múltiples causas de salida: Invalidez.
Muerte e invalidez. Grados de invalidez.
Orden y efectivos. Probabilidades dependientes e independientes.
Modelo práctico de invalidez.
Modelo racional de invalidez.
Tablas con múltiples causas de salida: Invalidez.
Entre las otras causas de salida de un individuo de su grupo aparte del fallecimiento, la
invalidez es posiblemente la de mayor importancia por las consideraciones sociales que
conlleva. Las tablas de invalidez presentan los resultados de probabilizar la mortalidad y la
invalidez de forma independiente y dependiente. Además deben considerar los distintos grados
de invalidez y su carácter de invalidez permanente o no. Lo fundamental en este aspecto es la
posibilidad o no de reactivación del individuo que ha sufrido la invalidación .Lo que implicaría,
o no, la reincorporación al grupo del que salió.
Grados de invalidez.
El régimen general de la Seguridad Social en España distingue tres grados de
incapacidad dependiendo de cómo puede verse afectada la capacidad laboral de un trabajador
como consecuencia de una enfermedad o accidente:
1. Incapacidad Laboral Transitoria (ILT):Supone un duración de la invalidez no
superior a 18 meses.
2. Invalidez Provisional: Cuando se superen los 18 meses pero no los 6 años
3. Invalidez permanente: Cuando transcurridos 6 años no ha habido recuperación o
cuando las características del accedente o enfermedad determinan que no la va a
haber. La incapacidad permanente puede ser a su vez:
a. Incapacidad permanente parcial para la profesión habitual: Se entiende
por la tal la que, sin alcanzar el grado de total ocasiona al trabajador una
disminución de su rendimiento no inferior al 33% de las tareas asociadas a
la misma aunque no le impide realizar las tareas fundamentales.
b. Incapacidad permanente total para la profesión habitual: Aquella que
inhabilita al trabajador para la realización de todas la tareas de dicha
profesión, o al menos de todas las fundamentales; aunque, eventualmente,
pueda dedicarse a otra profesión diferente.
c. Incapacidad permanente absoluta: Aquella que inhabilita totalmente al
trabajador para el desarrollo de cualquier profesión.
d. Gran invalidez: Aquella en la que el trabajador, a causa de pérdidas
anatómicas o funcionales necesita ayuda de otra persona para realizar las
actividades esenciales de la vida desplazarse, vestirse o alimentarse.
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Página 1 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Orden y efectivo
Llamaremos Orden al grupo de personas de una determinada edad (la misma para todas
ellas), en el que no se producen nuevas entradas y cuya evolución en el tiempo puede depender
de una sola (Orden simple) o varias causas de salida (Orden compuesto).
Llamaremos Efectivo al grupo de personas de una determinada edad (la misma para
todas ellas) en el que sí pueden producirse nuevas entradas y cuya evolución en el tiempo
vendrá dada por la incorporación de nuevos individuos por quizá diferentes causas pero sólo por
una causa de salida ( Efectivo simple) o por varias causas de salida ( Efectivo compuesto).
Probabilidades dependientes e independientes
Supongamos que tenemos un colectivo del que puede haber hasta K causas de salidas
excluyentes y exhaustivas. Llamaremos a al conjunto de estas K causas de salida. Llamaremos
a estas causas como I,II,III,…,K-sima ; o bien utilizando alguna letra relacionada con la propia
causa ─ las más habituales serán la d para el caso de defunción , la i para el caso de incapacidad,
la w para el caso de la jubilación.
La formalización de una causa de salida se llevará a cabo por la introducción de
superíndice con la letra correspondiente a la causa.
Así supuesto que la probabilidad de salida del grupo depende sólo de la edad, teniendo
en cuenta el conjunto a de las causas de salida formalizaríamos la probabilidad temporal ( en n
años) de eliminación (salida) de un individuo de x años de edad por cualquier causa de a
como:
a
n
qx
Que será el complementario de la probabilidad de permanencia:
a
n
px  1 na qx
Nótese como aquí el par << eliminación/ permanencia >> juega un papel idéntico al
del par <<muerte/supervivencia>> en el estudio de las tablas de vida (1 sola causa de salida).
Por lo tanto podemos hablar de probabilidad temporales o diferidas de eliminación o
permanencia, función de permanencia, tanto instantáneo de eliminación, etc.
A partir de la probabilidad anual de eliminación por cualquier causa podemos obtener la
función de permanencia para el grupo como:
a
lx 1  alx (1 a qx )
y a partir de ahí, elaborar la tabla de permanencia para el grupo.
Introducida la notación y esta consideración de analogía con la teoría biométrica ya
conocida pasemos a definir la probabilidad dependiente de eliminación como la probabilidad
de salida de un individuo de un determinado colectivo por una causa concreta, pero teniendo en
cuenta que podría verse afectado por el resto de causas de salida consideradas en el estudio.
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Página 2 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Hablaremos, por tanto, de la probabilidad de salir del colectivo por la causa I (invalidez,
por ejemplo) sabiendo que también existe la causa II (defunción, por ejemplo).Si una persona se
invalida la probabilidad de muerte se ve modificada, presumiblemente al alza.
Definiremos, por otro lado, la probabilidad independiente o pura de eliminación por
una determinada causa cuando no se considere la existencia de otras, o considerando que las
otras no se ven afectadas por este hecho).
Antes se ha definido la probabilidad (temporal) de eliminación por cualquier causa.
Obviamente la eliminación por cualquier causa es la unión de las eliminaciones por cada una de
las causas posibles y como todas las causas posibles son excluyentes (y exhaustivas, también).
La probabilidad de la unión será la suma de las probabilidades:
K
a
n
qx   na qxk
k 1
No debemos perder de vista que la probabilidad de cada una de estas causas considera la
existencia de las otras, y por lo tanto se trata de las probabilidades dependientes.
Veamos la relación entre probabilidades dependientes e independientes.
Para aproximarnos a la relación entre probabilidades dependientes e independientes,
supongamos, el caso particular y simplificado de que existen sólo dos causas de salida
independientes.
Suponemos, primero, la existencia de dos órdenes simples, lxI y lxII, con dos causas de
eliminación diferentes e independientes. Podemos definir la probabilidad de que una persona del
colectivo lxI salga de ese orden por la causa I, entre las edades x y x+1 como:
qxI 
d xI lxI  lxI 1
lxI 1


1

lxI
lxI
lxI
E igualmente para el colectivo lxII:
q xII 
d xII l xII  l xII1
l xII1


1

l xII
l xII
l xII
Ahora supongamos un orden compuesto lxI,II; siendo a ={I, II} las dos causas de salida
analizadas. La probabilidad de que una persona del orden permanezca en el mismo durante un
periodo puede obtenerse considerando la no eliminación por ninguna de las dos causas:
a
lxI , II1
px  I , II  (1  qxI )(1  qxII )
lx
Llamemos la atención sobre el hecho de que estamos calculando la probabilidad de
permanencia a partir de las probabilidades puras o independientes.
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Página 3 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Podríamos, no obstante, definir la probabilidad de eliminación relativa a la causa I
teniendo en cuenta la existencia de la causa II, es decir la probabilidad dependiente de
eliminación por la causa I como:
a
qxI  *qxI 
d xI ( II )
lxI , II
E igualmente para la segunda causa, II la probabilidad dependiente sería:
a
d xII ( I )
q  *q  I , II
lx
II
x
II
x
Siendo dxI(II) el número de personas que han salido a la edad x por la causa I, aunque
podrían haberlo hecho por la causa II; e igualmente dxII(I) el número de personas que han salido
a la edad x por la causa II aunque podrían haberlo hecho por la I.
Obviamente, al cabo de un periodo el número de permanentes será los permanentes del
periodo anterior menos los eliminados por una u otra causa:
lxI , II1  lxI , II  d xI ( II )  d xII ( I )
Si en esta expresión dividimos por los permanentes del periodo anterior tendremos la
probabilidad de que una persona permanezca en el colectivo ( no se ve afectado por ninguna de
las causas:
a
px 
lxI , II1 lxI , II d xI ( II ) d xII ( I )


 I , II  1  *qxI  *qxII
lxI , II lxI , II lxI , II
lx
Comparando esta expresión con la que teníamos anteriormente en función de las
probabilidades independientes tendremos una primera relación entre probabilidades
independientes y dependientes:
a
lxI , II1
px  I , II  (1  qxI )(1  qxII )  1  *qxI  *qxII
lx
Probabilidades dependientes en función de las probabilidades independientes
Se trata de establecer una serie de expresiones que permitan calcular las probabilidades
dependientes de eliminación, *qxI y *qxII, en función de las dependientes, qxI y qxII. Supongamos,
como hipótesis de partida que cada una de las causas de salida afecta a la mitad del colectivo no
afectado por la otra.
Esta hipótesis y la relación que se deriva puede visualizarse mejor a través de esta
representación geométrica (Chuard,1981: Mathematiques Actuarielles des Caisses de Pensions,
Institut de Sciences Actuarielles de l’Université de Lausanne.)
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Página 4 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Cada una de las áreas del dibujo puede interpretarse como:
P: probabilidad de que el individuo no se vea afectado por ninguna de las dos causas de salida:
probabilidad de permanencia el área (coincidente con la probabilidad) P es:
P  (1  qxI )(1  qxII ) SI: probabilidad de que el individuo salga del colectivo por la causa I, pero no por la II:
S I  qxI  (1  qxII ) SII: probabilidad de que el individuo salga del colectivo por la causa II, pero no por la I:
S II  qxII  (1  qxI ) Finalmente en el rectángulo superior derecho tenderemos la probabilidad de que el individuo
salga del colectivo por cualquiera de las dos causas consideradas ya que son los casos en los
que se dan las dos circunstancias. En función de la hipótesis de partida las causas I y II se
repartirán a partes iguales los casos de forma que :
I
II

 q q
S I  S II  x x 2
La probabilidad independiente de eliminación por la causa I ( en función de la interpretación
gráfica anterior) es


qxI  S I  S I  S II
De manera que:
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Página 5 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 q I  q II
1



S I  S I  qxI  S II  qxI  x x  qxI (1  qxII )  S I  S I  *qxI =
2
2
La suma de SI +SI′ es la probabilidad de salida por la causa I descontando aquellos casos en los
que aun dándose la causa I ( junto con la II) la causa que efectivamente produce la eliminación
es la II es decir se trata de la probabilidad dependiente de eliminación por la causa I y
tendremos la relación:
1
* qxI  qxI (1  qxII )
2
Como es lógico podemos emplear ahora el mismo argumento para la causa II y obtendríamos
una relación semejante:
1
* qxII  qxII (1  qxI )
2
Probabilidades independientes en función de las dependientes
Nos planteamos, ahora, la obtención de una relación que nos exprese las probabilidades
independientes en función de las dependientes. Esta situación es mucho más frecuente en la
práctica ya que la información disponible a priori será la proveniente del cálculo de las
frecuencias relativas de los individuos afectados por una causa de salida (sabiendo que pueden
verse afectados por otra) y el total de individuos integrantes del orden compuesto.
El cálculo de la probabilidad de eliminación por una determinada causa podrá realizarse
teniendo en cuenta el número de personas que salen por esa causa dividido por la población
inicial corregida por (disminuida en) la mitad de las salidas producidas por la otra causa. Esto
es:
qxI 
d xI ( II )
lxI , II  12 d xII ( I )
qxII 
d xII ( I )
lxI , II  12 d xI ( II )
Dividiendo numerador y denominador por lxI,II , obtendremos las relaciones:
qxI 
* qxI
1  12 * qxII
qxII 
* qxII
1  12 * qxI
Esta relación puede generalizarse para múltiples causas ( más de dos) de salida ,de forma que la
probabilidad independiente por una determinada causa,k, de salida teniendo en cuenta la
existencia de a causas de salida puede calcularse por :
qxk 
a
qxk
1  12 ( a qx  a qxk )
Modelo práctico de invalidez
El llamado modelo práctico de invalidez establece las siguientes hipótesis de partida:
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Página 6 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 1. No se considera la posibilidad del retorno a la actividad
2. Se considera que ,para cualquier edad, bajo la contingencia de invalidez todo
superviviente es activo o inválido.
3. Se considera que la contingencia de invalidación puede darse a cualquier edad.
El esquema de arriba muestra las contingencias posibles consideradas por las hipótesis
de modelo y cómo se puede salir de la situación de actividad a la invalidez, de la de actividad a
la de fallecimiento y de la de invalidez a la de fallecimiento con sus respectivas probabilidades.
El siguiente otro esquema muestra posibles cómo pueden afectar estos supuestos del
modelo a la evolución del colectivo inicialmente considerado.
El colectivo inicial al llegar a la edad x cabe clasificarlo entre inválidos y activos a la edad x
l x  l xa  hxi
De la situación de activos (verde en el gráfico) a la edad x, los individuos lxa pueden pasar a
formar parte de tres colectivos distintos a la edad x+1:
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Página 7 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 1. Pueden fallecer durante el periodo considerado, manteniéndose activos hasta tal
eventualidad: dxa= dxaa será el número de individuos a los que les ocurrirá esto ( (la
transición gris en el gráfico, representa el fallecimiento; la zona gris superior : esta
eventualidad –fallecimiento en activo)
2. Pueden invalidarse durante el periodo, constituyendo el conjunto de Bx individuos. Los
individuos invalidados durante el periodo puede fallecer o no constituyendo los
subcolectivos :
a. Activos que, tras invalidarse en el periodo, acaban falleciendo ( naranja-gris);
suponen una cantidad dxai de individuos
b. Activos que, tras invalidarse en el periodo, se mantienen con vida ( naranjablanco) . Constituirán un conjunto de lx+1ai individuos que pasarán a engrosar la
cohorte de inactivos en el periodo siguiente.
3. Pueden seguir siendo activos al final del periodo (verde) constituyendo la cohorte de
activos permanente en el periodo siguiente (lx+1aa= lx+1a)
Por lo tanto, tendremos que :
l xa  d xa  Bx  l xaa1  d xa  d xai  l xai1  l xa1
Por otro lado la cohorte de inválidos a la edad x ,compuesta de hxi individuos, podrá
transitar a dos posibles situaciones finales en el transcurso del periodo:
1. Podrán continuar vivos e inválidos al final del periodo ( naranja) que integrarán un total
de hx+1ii
2. Podrán fallecer antes de llegar a la edad x+1 ( gris inferior) constituyendo un colectivo
de gxi individuos.
Y a partir de estas expresiones podemos obtener una serie de relaciones casi inmediatas fáciles
de identificar en el gráfico:
1.
colectivo de supervivientes activos a la edad x+1 es igual al colectivo de supervivientes
activos de edad x, menos aquellos individuos que fallecen a lo largo del periodo menos
aquellos que se invalidan:
l xa1  l xa  d xa  Bx
2. Al considerar la contingencia de invalidación hemos de considerar aquellos individuos
activos a la edad x que se invalidan durante el periodo y se mantienen con vida a la edad
x+1 junto con aquellos que se invalidan durante el periodo y más tarde fallecen antes de
cumplir la edad de x+1:
l xa1  l xa  d xa  l xai1  d xai
3. El colectivo de supervivientes inválidos a la edad x+1 que ya lo eran a la edad x estará
formado por los inválidos de edad x+1 menos aquellos de ellos que ha fallecido: (se
mantiene en naranja)
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Página 8 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 hxii1  hxi  g xi 4. El colectivo de supervivientes inválidos a la edad de x+1 ,que no lo eran a edad x, y,
por lo tanto estaban activos, estará formado por las personas invalidadas menos aquellas
de éstas que hayan fallecido: ( los que pasan a ser naranja-a-cuadros-sobre-blanco que
son todos los invalidados ,naranjas-a-cuadros, menos aquellos de ellos que fallecen,
naranjas a cuadros sobre gris.)
l xai1  Bx  d xai
5. El colectivo de supervivientes inválidos a la edad x+1 son los que ya lo eran y aún
siguen siéndolo porque no han muerto( los que siguen siendo naranja) más los que eran
activos a la edad x y se han invalidado durante el periodo , pero no han fallecido
(naranjas-a-cuadros-sobre-blanco)
hxi 1  hxii1  l xai1 6. El número de fallecidos entre las edades x y x+1 es la suma de los activos fallecidos
más los que tras haberse invalidado han fallecido después, más los que ya eran inválidos
a la edad x y han fallecido antes de cumplir x+1. (Grises: grises de arriba, grises de
abajo y grises a cuadros)
d x  d xa  g xi  d xai
7. La función de supervivencia o supervivientes para la edad x+1 estará formada por el
colectivo de los activos a esa edad más los inválidos a esa edad
l x 1  l xa1  hxi 1
8. En definitiva la cohorte de la edad x+1 puede verse como la de x menos las
defunciones acaecidas:
l x 1  l x  d x
Generación de probabilidades dependientes e independientes en el modelo práctico de
invalidez
Por un lado pueden considerarse las siguientes probabilidades independientes:

La probabilidad de fallecimiento de un activo a la edad x : qxa

La probabilidad de invalidación de un activo a la edad x : ix

La probabilidad de fallecimiento de un inválido de edad x como inválido: qxi
De forma que las probabilidades independientes de supervivencia serán :

La probabilidad de supervivencia de un activo de edad x:
pxa  1  qxa
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 9 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 
La probabilidad de supervivencia de un inválido de edad x:
pxi  1  qxi
Y en función de estas probabilidades podemos expresar la función cohorte de activos a la edad
x+1 como:
l xa1  l xa (1  qxa )(1  ix )
Para la determinación de las probabilidades dependientes hemos de analizar cuál es la situación
en el momento inicial x del individuo considerado , teniendo en cuanta su pertenencia a cada
uno de los dos posibles subcolectivos ( inválidos o activos)
1. El individuo está activo a la edad x
En el transcurso del periodo puede encontrarse en diferentes situaciones excluyentes
entre sí:

Puede seguir formando parte del colectivo de individuos activos : lx+1a (o lx+1aa)

Puede fallecer durante el periodo sin haber perdido su condición de activo: dxa (o dxaa)

Puede invalidarse durante el periodo: Bx
Veamos cómo serían las probabilidades de cada una de estos sucesos:
Partiendo de la función cohorte de activos para x+1:
l xa1  l xa  d xa  Bx
Y dividiendo por la función cohorte de activos para x ,obtendremos la probabilidad
dependiente de supervivencia de un activo de edad x como activo :
* pxaa 
lxa1 l xa d xa Bx
d xa Bx
1






l xa
l xa lxa lxa
lxa lxa
De esta forma tenemos que :
La probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x sin perder la condición
de activo será:
* qxaa 
d xa
l xa
La probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x será:
* ix 
Bx
l xa
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Página 10 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Y la probabilidad dependiente de supervivencia de una activo de edad x como activo
quedará:
* pxaa  1  *qxaa  *ix
Respecto a la invalidación, podemos analizar dos situaciones posibles ya que el activo
puede invalidarse y continuar vivo al final del periodo lx+1ai o, puede invalidarse y luego
fallecer antes de cumplir la edad x+1, dxai.
Bx  l xai1  d xai
En consecuencia, la expresión de la probabilidad dependiente de invalidación de un
activo de edad x, vendrá dada por:
* ix 
Bx l xai1 d xai
 a  a  * pxai  *qxai
a
lx
lx
lx
Vemos pues que la probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x es
la suma de la probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x que se
invalida a lo largo del periodo más la probabilidad de fallecimiento de un activo de edad x
que se ha invalidado antes de fallecer.
Llegados aquí, podemos definir la probabilidad dependiente de supervivencia de un
activo de edad x como la probabilidad (dependiente) de que llegue vivo a la edad x+1 tanto
en la condición de activo como en la de inválido. Es decir:
* pxa  * pxaa  * pxai
Por otro lado, la probabilidad (dependiente) de fallecimiento de un activo de edad x será la
probabilidad ( dependiente) de fallecimiento a esa edad tanto en la condición de activo
como si se invalida con anterioridad. Es decir:
* qxa  *qxaa  *qxai
Y, obviamente, un activo de edad x, o bien sobrevivirá o bien fallecerá, por lo que:
1  * pxa  *qxa
Las principales relaciones obtenidas, son , en resumen:
1. 
* p xaa  *q xaa  *ix
2. 
* ix  * p xai  *qxai
3. 
* pxa  *qxa  1
2. El individuo está inválido en x
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Página 11 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Ahora consideramos un individuo inválido a la edad x ( perteneciente al colectivo de
hxi ). Pueden encontrase al final del periodo en dos situaciones diferentes:

Puede continuar formando parte del colectivo de individuos inválidos pero ahora de
edad x+1,

Puede fallecer antes de cumplir la edad de x+1.
(No hay otra posibilidad porque el modelo práctico excluye la posibilidad de recuperación )
Partiendo de la función cohorte de inválidos de edad x+1:
hxii1  hxi  g xi
Dividiendo por hxi obtendremos la probabilidad (dependiente) de superviviencia de un
inválido de edad x:
hxii1
g xi
* p  ii  1  ii
hx
hx
i
x
Que nos proporciona, también la probabilidad (dependiente) de fallecimiento de un
individuo invalido:
* qxi 
g xi
hxii
 * pxi  1  *qxi
Retomando la expresión de la función de supervivencia de más arriba definida como:
l xa1  l xa  * p xaa  l xa  (1  *q xaa  *ix )
Y utilizando la relación ya conocida entre probabilidades independientes y dependientes:
(1  qxa )  (1  ix )  1  *qxaa  *ix
Obtendremos:
* q xaa  qxa (1  12 ix )
* ix  ix (1  12 qxa )
3. Transición entre estados: activo en x e invalido en x+1
Supongamos para estudiar la transición entre activo e invalido a lo largo del periodo las
siguientes dos hipótesis:
1) La contingencia de invalidación sigue una distribución uniforme a lo largo
del periodo x,x+1
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Página 12 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 2) Las personas que se invalidan a lo largo del periodo están sometidas a la
misma probabilidad de fallecimiento que las que se encontraban invalidas al
comienzo del periodo.
La función cohorte para los individuos activos en x que al llegar a x+1 están vivos e
inválidos vendrá dada por :
lxai1  Bx  1 pxi  1
2
2
La uniformidad de la distribución temporal de la invalidación (hipótesis 1) equivale a
considerar que todas las invalidaciones se producen justo a la mitad del periodo y que el riesgo
de fallecer actúa sólo durante la segunda mitad, de forma que consideramos la probabilidad de
supervivencia medio año de un inválido de edad x+½ años.
Igualmente, la probabilidad de fallecimiento para un individuo inválido sería:
1
2
qxi  1  1 1 pxi  1
2
2
2
Las dos hipótesis conjuntamente, junto con el hecho de que sólo existe una posible
causa de salida del colectivo de inválidos (el fallecimiento), nos permite considerarlo como un
orden simple al que podemos suponer generado en la mitad del año) y cuya probabilidad de
supervivencia hasta el siguiente año ( medio año más) será:
1
2
pxi  1 
2
hxi 1
hxi  1
2
Relación en la que si aproximamos el tamaño del colectivo de inválidos en la mitad del
periodo como el promedio entre sus extremos:
1
hxi  1  (hxi  hxi 1 )
2
2
Obtenemos que la probabilidad temporal de supervivencia será:
1
2
pxi  1 
2
1  q xi
hxi 1
hxi 1
pxi  hxi
pxi




hxi  1 1 (hi  hi ) 1 hi (1  p i ) 1 (1  p i ) 1  1  q i
2
x
x 1
x
x
x
x
2
2
2
2
Y la probabilidad temporal de fallecimiento quedará:
1
2
qxi  1  1 1 pxi  1  1 
2
2
2
1 q

1
1   qxi
2
i
x
1
1 i
1 i
 qx  1  qxi
 qx
2
2

1
1
1   qxi
1   qxi
2
2
Y las defunciones:
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Página 13 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 d xai  Bx  1 qxi  1
2
2
1 i
 qx
 Bx  2
1
1   qxi
2
Teniendo en cuenta el cálculo de Bx a partir de las probabilidades independientes:
1
Bx  l xa  *ix  lxa  ix  (1  qxa )
2
Con lo que podemos reescribir la función cohorte de un individuo activo a la edad x que
llega invalido a la edad x+1 como:
l
ai
x 1
1 a
1  qxi
 l  ix  (1  qx ) 
1
2
1   qxi
2
a
x
Igualmente la función de fallecimiento para un activo de edad x que se invalida en el
periodo será:
d xai  B x  1 q xi  1
2
2
1 i
1 i
1 i
 qx
 qx
 qx
1 a
a
a
2
2
2
 Bx 
 l x  *i x 
 l x  i x  (1  q x ) 
1 i
1
1 i
2
1   qx
1   qx
1   q xi
2
2
2
Y ,por último se puede expresar la función cohorte de un inválido en función de las
probabilidades independientes como:
1
1  qxi
hxi 1  hxii1 l x ai1 hxi  (1  qxi )  l xa  (1  qxa ) 
1
2
1  q1x
2
Modelo racional de invalidez
La diferencia esencial con el modelo práctico de invalidez es la posibilidad de
recuperación de los inválidos. Esto es :La posibilidad de que las personas que eran inválidas en
x lleguen activas ( tras su recuperación) a x+1. La probabilidad de tal circunstancia la haremos
sólo depender de la edad aunque, de hecho, podría depender de otros factores, pero aquí no lo
consideraremos. La situación esquemática es como el grafo:
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 14 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 En este modelo los colectivos de activos e inválido la edad x pueden sufrir una mayor
variedad de contingencias que en el modelo anterior ya que además de activos que se
mantienen así, activos que se invalidan y sobreviven, activos que fallecen activos, activos que se
invalidan y luego fallecen, inválidos que continúan así, e inválidos que mueren inválidos; ahora
hay que añadir inválidos que se rehabilitan o se reactivan y llegan vivos y activos a x+1 e
inválidos que se rehabilitan y luego fallecen como activos. Todas estas situaciones pueden
visualizarse en el esquema siguiente:
En este modelo generalizaremos los colectivos de supervivientes y fallecidos ya sean
activos o inválidos utilizando la siguiente notación:
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 15 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 : generalizará los supervivientes englobando l y h.
: generalizará los fallecidos englobando d y g
El colectivo de activos xa, es ahora un efectivo compuesto; efectivo ya que tiene una
causa de entrada ( la reactivación o recuperación) y compuesto porque tiene dos causas de salida
(fallecimiento e invalidación). A los activos a la edad x les podrán ocurrir las siguientes
contingencias en la transición de la edad x a la x+1:
xaa de ellos fallecerán antes de cumplir los x+1 años conservando hasta entonces su
condición de activos.( Transición en gris de la parte superior del gráfico)
x+1aa de ellos cumplirán la edad de x+1 sin perder su condición de activos (Transición
en verde en el gráfico)
Bx de ellos se invalidarán en el transcurso del año. Dentro de estos podemos distinguir:
x+1ai :Los que tras invalidarse llegarán vivos a la edad x+1 (Transición en
cuadros- verdes-sobre- naranja en el gráfico).
xai :los que siendo activos a la edad x se invalidan entre los x y los x+1 años
pero fallecen antes de llegar a cumplir los x+1 ( Transición en cuadros naranjas-con
ribete-verde sobre fondo gris )
( Recordemos el esquema cromático: verde ,activo; naranja, invalido; gris , fallecido):
ax  aax  aax1  Bx  aax  aax1  aix1  aix
Por su parte el colectivo de los inválidos, xi, es, también, un efectivo compuesto, tiene
una causa de entrada : la invalidación y dos causas de salida: La rehabilitación y el
fallecimiento.
De forma que los inválidos a la edad x podrán convertirse durante la transición de x a
x+1 en los siguiente colectivos:
xii: Colectivo de personas que estando inicialmente inválidas a la edad x fallecen antes
de cumplir la edad x+1 sin perder su condición de invalidez.(Transición en gris, en la parte
inferior del gráfico)
x+1ii: Colectivo de personas que estando invalidas a la edad x se mantienen en tal
condición y vivas hasta los x+1 años.( transición en naranja, en el gráfico)
Tx: Colectivo de personas que estando inválidas a la edad x se reactivan o rehabilitan a
lo largo del periodo anual. Se pueden distinguir :
x+1ia: Colectivo de los que siendo inválidos a la edad x se reactivan durante el
periodo y se mantienen vivos al cumplir la edad x+1 (Transición en cuadros naranjas
sobre fondo verde, en el gráfico)
x+1ia: Colectivo de los que siendo inválidos a los x años, se reactivan durante el
periodo y finalmente mueren antes de cumplir los x+1 años con la condición de activos.
Tendremos, por lo tanto:
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 16 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 ix  iix  iix 1  Tx  iix  iix 1  iax  iax 1
Una vez analizadas las distintas situaciones posibles, veamos cuáles son las principales
relaciones que se observan:
1. l x  ax  ix
El colectivo total de supervivientes de edad x es la suma de los activos de edad x y los
inválidos de edad x.
2.
ax 1  aax1  iax 1
El total de activos de edad x+1 son los activos en x que siguen vivos en tal condición al
cumplir los x+1 más los inválidos en x que se rehabilitan durante el periodo anual y se
mantienen con vida y activos al cumplir x+1
3.
aax1  ax  aax  Bx
El colectivo de activos en x que sobreviven hasta x+1 sin perder tal condición son los
activos a las edad x menos los que fallecen como activos durante el año menos que los se
invalidan ( Que a su vez pueden sobrevivir como inválidos o no)
4.
iax 1  Tx  iax
El colectivo de inválidos a la edad x que sobreviven como activos a la edad x+1 son los que
se han rehabilitado durante el periodo menos aquellos que tras rehabilitarse han fallecido.
5. ix 1  iix 1  aix1
Los supervivientes inválidos a la edad x+1 son los inválidos de edad x que han sobrevivido
como tales más los activos de edad x que se han invalidado y que han sobrevivido como
inválidos hasta la edad x+1
6.
iix 1  ix  iix  Tx
Los inválidos de edad x que sobreviven como tales hasta la edad x+1 son los inválidos de
edad x que había menos los inválidos de edad x que han fallecido como tales menos los
inválidos de edad x que se han rehabilitado durante el periodo
7.
aix1  Bx  aix
Los activos de edad x que han sobrevivido como inválidos a la edad x+1 serán los activos
que se hayan invalidado durante el periodo menos aquellos activos invalidados durante el
periodo que hayan fallecido.
8.
d x  aax  aix  iix  iax
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 17 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 El total de fallecido es la suma de los activos de x años que han fallecido como tales más los
que lo han hecho tras invalidarse más los inactivos de x años que han fallecido como tales
más los que lo han hecho tras rehabilitarse.
9. l x 1  ax 1  ix 1
El total de superviviente a la edad x+1 es el total de supervivientes activos a esa edad más
el total de superviviente inválidos a esa edad
Y ,por último, en definitiva , podemos generar el colectivo” total” de personas vivas de edad
x+1, lx+1, como el colectivo de personas de edad x menos la totalidad de las salidas del colectivo
“total” de vivos :
l x 1  l x  d x
Generación de probabilidades dependientes e indepenidentes dentro del modelo racional
de inválidez
En el modelo racional de invalidez podemos generar las siguiente probabilidades
independientes:

Probabilidad de fallecimiento de un activo de edad x: Qxa

Probabilidad de invalidación de un activo de edad x: Ixa

Probabilidad de fallecimiento de un inválido de edad x: Qxi

Probabilidad de rehabilitación de un inválido de edad x: Rxi
Las probabilidades independientes de supervivencia vendrán dada por los respectivos valores
complementarios:
La probabilidad de supervivencia de un activo será: Pxa=1− Qxa
La probabilidad de supervivencia de un inválido: Pxi=1− Qxi.
Y con la definición de estas probabilidades expresaremos la función cohorte de un activo y de
un inválido como:
aax1  ax (1  Qxa )(1  I x )
iix 1  ix (1  Qxi )(1  Rx )
En cuanto las probabilidades dependientes tendremos:
1. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x sin perder su
condición de actividad.
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 18 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 * Qxaa 
aax
ax
2. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un inválido de edad x sin perder su
condición de actividad.
* Qxii 
iix
ix
3. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un inválido de edad x que se rehabilita y
fallece como activo:
* Qxia 
iax
ix
4. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x que se invalida y
muere como inválido:
* Qxai 
aix
ax
5. Probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x como activo:
aax1
*P  a
x
aa
x
6. Probabilidad dependiente de supervivencia de un inválido de edad x como inválido:
* Pxii 
iix 1
ix
7. Probabilidad dependiente de supervivencia de un inválido de edad x que se ha
rehabilitado
* Pxia 
iax 1
ix
8. Probabilidad dependiente de supervivencia de un activo que se ha invalidado:
* Pxai 
aix1
ax
9. Probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x:
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 19 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 * Ix 
Bx
 *Pxai  *Qxai
ax
10. Probabilidad dependiente de rehabilitación de un inválido de edad x:
* Rx 
Tx
 *Pxia  *Qxia
i
x
Llegados a este punto podemos definir la probabilidad dependiente de supervivencia de un
activo de edad x como la probabilidad de que un activo de edad x llegue vivo a la edad x+1,
tanto en condición de actividad como en la de invalidez:
* Pxa  *Pxaa  *Pxai
Y, asimismo, podremos calcular la probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo
de edad x como la probabilidad de que fallezca antes de cumplir x+1 años, tanto en la
condición de actividad como de invalidez:
* Qxa  *Qxaa  *Qxai
Al admitir la rehabilitación, podremos calcular la probabilidad de supervivencia para un
individuo de edad x según su expresión:
* Pxi  *Pxii  *Pxia
Y análogamente la probabilidad dependiente de fallecimiento para un inválido será:
* Qxi  *Qxii  *Qxia
Las principales relaciones del modelo son, por lo tanto:
1.
* Pxaa  *Qxaa  *I x  1
2.
* I x  *Pxai  *Qxai
3.
* Rx  *Pxia  *Qxia
4.
* Pxa  *Qxa  1
5.
* Pxi  *Qxi  1
A partir de las probabilidades dependientes podemos calcular la función cohorte para los
activos y para los inválidos como:
aax1  ax  (1  *Qxaa  *I x )
iix 1  ix  (1  *Qxii  *Rx )
Y por lo tanto la siguiente relación entre probabilidades dependientes e independientes:
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 20 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 (1  Qxa )(1  I x )  1  *Qxaa  *I x
(1  Qxi )(1  Rx )  1  *Qxii  *Rx
Y a partir de ellas la ya conocida relación de las probabilidades dependientes en función
de las independientes:
1
Ix )
2
* Qxaa  Qxa (1 
1
* I x  I x (1  Qxa )
2
1
* Qxii  Qxi (1  Rx )
2
1
* Rx  Rx (1  Qxi )
2
Si consideramos ahora que las contingencias de invalidación y de rehabitilización
siguen una distribución uniforme en el intervalo [x,x+1]; suponiendo, por lo tanto que todas
las rehabilitaciones e invalidaciones se producen a mitad de año, tendremos que:
1. El número de personas que siendo activas a la edad x se invalidan y fallecen antes de
cumplir x+1 será el número de personas que se invalidan por la probabilidad temporal
de fallecimiento ( en medio año) de una persona invalida de edad x + ½:
aix  B x  1 Q xi  1
2
2
2. El número de personas inválidas a la edad x que se rehabilitan y fallecen antes de
cumplir x+1 años será el producto de del número de personas que se rahabilitan por la
probabilidad temporal de fallecimiento ( en medio año) de una persona activa de edad
x + ½:
iax  T x  1 Q xa 1
2
2
3. La función de supervivencia del colectivo de activos de edad x que se invalidan y llegan
inválidos a x+1 será el producto de los que se invalidan por la probabilidad temporal de
supervivencia ( medio año) de un persona inválida de edad x + ½
aix1  Bx  1 Pxi 1
2
2
4. La función de supervivencia del colectivo de inválidos de edad x que se rehabilitan y
llegan activos a x+1 será el producto de los que se rehabilitan por la probabilidad
temporal de supervivencia ( medio año) de los activos de edad x + ½
iax 1  Bx  1 Pxa 1
2
2
MS-5 Múltiples causas de salida
Página 21 de 22 MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS CURSO: 2011‐2012 Al igual que ocurría en el modelo práctico y, dado que entre x+1/2 y x+1 también
trabajamos con un orden simple de inválidos ( o con un orden simple de activos), podremos
utilizar las siguientes relaciones:
1 i
 i
i
 x  12  2 ( x   x 1 )

a 1  1 (a  a )
x 1
 x  2 2 x
De forma que las probabilidades temporales podrían expresarse como:
1 i

Qx
 i
2
Q

1
1
 2 x 2
1
1  Qxi

2

 i
1  Qxi
 12 Px  12 
1

1  Qxi

2
1 a 
Qx 
a
2
1Q
1 
x 2
2
1 
1  Qxa 
2 
1  Qxa 
a
P


1
x  12
2
1 a 
1  Qx
2

Quedando, finalmente:
1 i
Qx
1 a
ai
a
2
 x   x  I x (1  Qx ) 
1
2
1  Qxi
2
1 a 1  Qxi
ai
a
 x 1   x  I x (1  Qx )
1
2
1  Qxi
2
1 a
Q
1 i 2 x
ia
i
 x   x  Rx (1  Qx )
1
2
1  Qxa
2
1
1  Qxa
iax  ix  Rx (1  Qxi )
1
2
1  Qxa
2
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