NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS RACIONALES
RECORDEU:
⎫
⎧a
Los números racionales son Q = ⎨ tal que a ∈ Z, b ∈ Z~ {0} ⎬
⎩b
⎭
a c
a c
Dos fracciones , son equivalentes, =
si a ⋅ d = b ⋅ c
b d
b d
a
Una fracción
es irreducible si mcd(a,b)=1, es decir, si a, b son primos entre si.
b
Para comparar fracciones, conseguiremos fracciones equivalentes que tengan por
denominador el mcm de los denominadores, después compararemos los
numeradores.
a
Para simplificar una fracción
dividiremos numerador y denominador por el mcd(a,b).
b
Operaciones:
a c a+c
a c a−c
a c a⋅c
a c a⋅d
+ =
− =
: =
⋅ =
b b
b
b b
b
b d b⋅d
b d b⋅c
Uso de la calculadora:
Las teclas de fracciones son:
La tecla
a bc
a bc
dc
nos servirá para introducir números de la forma a +
2
tenemos que escribir:
5
El resultado es 3┘2┘5
Ejemplo: Si queremos introducir 3 +
2
3
a bc
Si hacemos
a bc
5
dc
El resultado es
17┘5
2 17
=
5
5
7
Para introducir
tenemos que escribir:
5
5 = El resultado es 1┘2┘5
7
a bc
3 2
Para efectuar + escribiremos:
4 5
4
+ 2 a bc 5
= El resultado es
3
a bc
Si hacemos
El resultado es 23┘20
dc
Es decir, 3 +
1┘3┘20
b
c
Por tanto,
3 2 23
+ =
4 5 20
Ejercicios d’autoaprenendizaje
a) Ordenar de menor a mayor (sin efectuar la división) las seguientes fracciones:
2 −4 3 −5
,
, ,
3 5 4 6
Calculamos fracciones equivalentes a las anteriores que tengan el mismo denominador.
El denominador común a totes es el mínimo común múltiplo de los denominadores.
mcm(3,5,4,6)=60
2
x
60
2 40
=
⇔ x=
⋅ 2 , por tanto =
3 60
3
3 60
− 4 − 48 3 45 − 5 − 50
Análogamente,
,
=
,
.
=
=
5
60
4 60
6
60
Ahora ordenaremos los numeradores − 50 < −48 < 40 < 45
−5 −4 2 3
Entones,
<
< <
6
5
3 4
144
540
Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por el máximo común divisor de
ambos.
mcd(144, 540)=36
144 144 : 36
4
=
=
540 540 : 36 15
Con ayuda de la calculadora:
144 a b c
540 = El resultado es 4┘15
b) Simplificar la fracción
1⎞ ⎛
3⎞
⎛
c) Calcular ⎜ 3 − ⎟ : ⎜1 + ⎟ =
4⎠ ⎝
5⎠
⎝
1⎞ ⎛
3 ⎞ ⎛ 12 1 ⎞ ⎛ 5 3 ⎞ 11 8 11 ⋅ 5 55
⎛
: =
=
− ⎟:⎜ + ⎟ =
⎜ 3 − ⎟ : ⎜1 + ⎟ = ⎜
4⎠ ⎝
5 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 5 5 ⎠ 4 5 4 ⋅ 8 32
⎝
Hacemos la división
Primero los paréntesis, reduciendo a
común denominador.
Con ayuda de la calculadora:
( 3 − 1 a bc 4 ) : ( 1 a bc
dc
El resultado es 55┘32
3
a bc
5
)
=
El resultado es
1┘23┘32
Ejercicios propuestos.
1. Ordenar de menor a mayor (sin efectuar la división):
a)
6 3
,
7 5
c)
−1 2 − 4 3 − 3
, ,
, ,
4 3 11 5 2
b)
−4 −3 −5
,
,
5 2 7
d)
23 12 19 22
,
, ,
40 25 30 45
2. Simplificar las siguientes fracciones:
a)
b)
c)
d)
1200
=
210
180
=
8100
800
=
640
1024
=
1280
e)
f)
g)
h)
360000
=
9000000
2048
=
10000
30
=
45
256
=
144
i)
j)
k)
l)
6600
=
1320
28
=
70
4550
=
2860
1802
=
2074
3. Efectuar las siguientes operaciones, simplificando el resultado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
5 2
− =
2 5
5 13
3
+
−
=
14 70 98
2
4
−3+ =
3
5
13
4
9
−
+
=
121 55 10
2 ⎛5 2 ⎞
−⎜ − ⎟ =
3 ⎝ 7 21 ⎠
7 ⎛ 3
1⎞
−⎜
+ ⎟=
20 ⎝ 40 80 ⎠
⎛3 2⎞ ⎛3
⎞
⎜ + ⎟ − ⎜ − 3⎟ =
⎝4 5⎠ ⎝5
⎠
2
⎛ 4 1⎞
−3−⎜ + ⎟ =
5
⎝5 2⎠
3 4
× =
5 9
5 4
:
=
7 23
2 5 9
× ×
=
3 4 25
2 1 3
+ × =
3 5 2
1⎞⎛ 2 5⎞
⎛
m) ⎜ 3 − ⎟ ⎜ + ⎟ =
2⎠⎝3 2⎠
⎝
2 4 5
× : =
n)
3 5 8
2
4
o)
− 3: =
3
5
1⎞ ⎛ 2 5⎞
⎛
p) ⎜ 3 − ⎟ : ⎜ + ⎟ =
2
⎝
⎠ ⎝3 2⎠
3 1 5 7
× + : =
q)
2 5 6 4
3 ⎛5
⎞
r)
⎜ − 4⎟ =
4⎝2
⎠
l)
5
6 =
1 3
+
2 5
3
5
×2− :2=
5
7
3
2
+ =
4
4
5
4−
s)
t)
u)
v)
1
3+
=
1
3+
3+
w)
1
3−
3−
3−
1
3
=
1
1
3
4. Calcular:
a) La mitad de
13
11
b) La quinta parte de
2
3
3
5
d) La mitad de la tercera parte de 50
c) El doble de
5. Completar la tabla:
a
b
3
−4
4
1
3
1
2
a+b
a−b
1
a+b
1 1
−
a b
1
5
1
4
−4
3
Problemas
1.
Considerando como unidad cada una de les siguientes figuras representar en
1
3
2
cada una los números racionales ,
,
8
4
5
2.
En les siguientes figuras determinar la fracción de trozo sombreado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
j)
k)
i)
l)
m)
2
3
de litro de aceite, le ponemos dentro de litro más.
5
7
¿Qué fracción de litro contiene, ahora, la botella?
3.
En una botella de litro hay
4.
Un palo está enterrado
palo?.
5
de su longitud y sobresalen 3 m. ¿Cuánto mide el
6
5.
1
del dinero que tiene. Si juega 5 veces y
3
cuando empezó tenía 243 euros, ¿cuánto dinero le queda?
Un jugador pierde cada vez que juega
6.
Una cartulina rectangular tiene
1
3
m de largo y
m de ancho. ¿Cuánto mide su
5
4
perímetro? ¿Cuál es su área?
2
1
1
de los alumnos juegan al fútbol,
hacen natación,
juegan al
5
4
8
tenis y el resto no practica ningún deporte. ¿Qué fracción del total no participa en
ningún deporte?.
7.
En una clase,
8.
Hemos ido de excursión para subir una montaña de 1890 metros. El primer día
subimos la mitad, el segundo 2/3 de lo que quedaba y el tercer día llegamos a la
cima. Calcular cuántos metros subimos cada día.
9.
Tengo 3850 euros ahorrados. El viernes iré al cine. La entrada vale 700 €. El
sábado iré de fiesta y quiero gastarme la tercera parte de lo que me quede, y así
le compraré el domingo un regalo a mi madre de flores la mitad de lo que me
quede. ¿Cuánto dinero he gastado cada día y cuánto tengo todavía?
10. En las rebajas de los grandes almacenes hacen el 25% de descuento pero
añaden el l 12% de IVA. ¿Qué prefieres que te hagan primero?
11. Un grifo llena un depósito en 5 horas y otro lo vacía en 6 horas. Si están los dos
grifos abiertos, ¿en cuánto tiempo se llena el depósito?.
12. El tangram es un rompecabezas de 7 piezas que forman un cuadrado. Calcular el
área de cada pieza del tangram tomando como área unidad la del cuadrado
grande.