INSTITUCION EDUCATIVA N° 113 “Daniel Alomia Robles SESION DE AREA: C.T.A Profesor: José Rivera Aldave Grado: 5to “A” “B” y “C” Fecha: 12 -08-.10 A PRENDIZAJE I.- UNIDAD DE TRABAJO: MOVIMIENTO COMPUESTO EN DOS DIMENSIONES II.-CONTENIDOS BASICOS: 1.- Movimiento de un cuerpo en un plano. Concepto. Elementos.- Leyes.ecuaciones.- Problemas de movimiento vertical, horizontal y parabólico o lanzamiento de proyectiles III.- OBJETIVOS.1. Aplicar estos principios en la solución de situaciones problemáticas. 2.-Resuelven problemas tipos y/o experimentales. Asimismo problemas con movimiento compuesto. IV.- MOTIVACIÓN.- (10 min) Analizan experimentalmente el movimiento de una esfera que rueda sobre una superficie y su caída, y otra con ángulo de elevación. IV.- ADQUISICIÓN Y RETENCIÓN (65 min.) MOVIMIENTO COMPUESTO EN DOS DIMENSIONAES En la naturaleza los movimientos no se presentan aisladamente sino combinadas, tanto el MRU (movimiento horizontal) como el MRUV.(movimiento vertical o caída libre) Ejemplo: La bolilla que es impulsada desde una mesa, hecho que esta sometido a dos movimientos uno que le imprime la fuerza horizontal y otro vertical por la caída (aceleración de la gravedad) Cada uno de estos movimientos son independientes manteniendo sus propias leyes, cuya trayectoria resulta una curva o parábola Ejemplo: 0 0 0 1s 2m 9.82 m/s2 2s 4m 19.6 m/s2 Movimiento horizontal 2m 4m 6m 8m 9.82 19.6 29.46 39.28 3s 6m 29.46 m/s2 4s 8m 39.28 m/s2 x (e) Movimiento vertical t x y y (h) La trayectoria que describe la bolita es una parábola. La ecuación de la trayectoria curva de las bolita la obtenemos relacionando la posición vertical “y” y la horizontal “x” en el mismo instante. MRUV h= - gt2 2 MRU Y e=vx t Galileo Galilei concluyó el siguiente principio: “Si un cuerpo tiene un movimiento en dos dimensiones (compuesto) cada uno de los movimientos se comporta como si los demás no existiesen” CASOS DE MOVIMIENTOS COMPUESTO EN DOS DIMENSIONES.- Se presentan dos casos: A).- MOVIMIENTO VERTICAL .- Es el caso particular del MRUV en que un cuerpo puede ser lanzado verticalmente hacia arriba o hacia abajo, existiendo una velocidad inicial.- Este movimiento esta sujeto a la gravedad. Se utilizan las misma formulas del MRUV. Cuando un movimiento es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial, se presentan dos casos a). – Altura Máxima.- Es aquella que alcanza un cuerpo en su movimiento de ascenso, hasta que la velocidad final es igual a cero e inicia su descenso. h max = Vo2 2g b).- Tiempo máximo.- Es el lapso que demora el móvil en alcanzar la altura máxima, es el tiempo de subida que dura hasta que la velocidad sea igual a cero.- El tiempo de subida del móvil es igual al tiempo de bajada. t max = Vo g PROBLEMA.1- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s. Calcula: a).- ¿En que tiempo alcanzará su altura máxima? b).- ¿Qué altura máxima alcanzara? c).- ¿En que tiempo regresara al punto de lanzamiento? Vo= 40 m/s 2 d).- ¿Con que velocidad final llegara al suelo? (g= 10 m/s ) SOLUCION DATOS: Vb = 40 m/s g =10 m/s2 Tmax = ¿ Vf = ¿ hmax = ¿ SOLUCION 1: ¿En que tiempo alcanzará su altura máxima? t= V 40 m/s = 4s 2 g 10 m/s SOLUCION 2.- ¿Que altura máxima alcanzara? hmax = Vo2 = (40 m/s)2 = 80 m 2g 2(10 m/s2) SOLUCION 3.- Tiempo que tardara en regresar. h = gt2 = se despejar t = 2h 2 V g SOLUCION 4.- Encontramos la velocidad final. hmax = Vf 2 = Despejamos Vf 2g Vf = Vo+ gt Vf= g.t Vf= 10 (4) Vf= 40 m/s = 2(80 m) = 4 s V 10 m/s2 2g x h = Vf 2 Vf2 = 2g . h Vf2 = 2(10) ( 80m) Vf = V 1600 = 40 m/s PROBLEMA 2.- Se lanza verticalmente un cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de 49 m/s. Calcula: a).- La máxima altura alcanzada b).- El tiempo que demora en subir y bajar SOLUCION. A).- Para hallar el tiempo de subida = tiempo de bajada DATOS. tmax = Vo 49 m/s = 4.9 s g 10 m/s2 Vo = 49 m/s g = 10 m/s2 B).- La máxima altura alcanzada Vo = 49 m/s tmax = ¿ hmax = ¿ hmax = Vo2 = (49 m/s)2 = 2401 = 120.5 m 2g 2(10 m/s2) 20 Puede usarse la fórmula del tiempo de bajada h = gt2 2 Movimiento vertical 2h = 2 (120.5 ) = 241 = V 24.1 = 4.9 s V g V 10 V 10 MOVIMIENTO HORIZONTAL.(MRU)- Un ejemplo clásico es el movimiento que lleva un proyectil disparando en un tiro horizontal que sale de un arma con movimiento uniforme rectilíneo ( MRU) e= v. t . Pero en este movimiento interviene la gravedad imprimiendo un movimiento de caída uniformemente acelerado h = gt2 2 EJEMPLO DE MOVIMIENTO COMPUESTO.Ejemplo: el chorro de agua que sale por un orificio de un caño horizontal. Este movimiento describe un movimiento curvilíneo (parabólico) Movimiento horizontal MRU ( e = v x t ) MRUV t= y (h) La trayectoria que describe el avión es una parábola. EJEMPLO 1.- Un chorro de agua sale por un orificio que esta a 2 m sobre el suelo. Avanzando horizontalmente 0.80 m . Calcula: a).-¿Que tiempo emplea en llegar al suelo? b).- ¿Con que velocidad horizontal sale agua por el orificio? c).- ¿Con que velocidad final choca al suelo? 0.80 m 2m SOLUCION: Datos: h= 2 m e= 0.8 m g= 10 m/s2 t= ¿ Vh = Vv = Vr Formula para encontrar el tiempo (MVCL) t= 2h V g = 2(2) V 102 = V 4m 10 = V 0.4 = 0.63 s Formula para encontrar la velocidad horizontal (MRU) v = e = 0.8 m = 1.26 m/s t 0.63 s Formula para encontrar la velocidad Vertical (MRUV) Vv2 = Vo2 + 2 gh Vv2= (1.26 )2 + 2( 10 ) ( 2) Vv2 = 1.58 + 40 Vv2 = 41.58 Vv = V 41.58 = 6.44 m/s Luego ya tenemos la velocidad horizontal y la velocidad vertical. Tenemos que hallar la Velocidad resultante mediante Pitágoras. Vh = 1.26 m/s Vr = ¿ Vv= 6.44 m/s Vr2 = Vh2 + Vf2 Vr2 = (1.26 )2 + ( 6.44 )2 Vr2 = 1.58 + 41.47 = V 43.05 = 6.56 m/s EJEMPLO 2.- Una esfera es lanzada horizontalmente desde una altura de 24 m con una velocidad inicial de 100 m/s. calcula: Vo= 24 m/s a).- El tiempo que dura la esfera en el aire b).- El alcance horizontal del proyectil c).- La velocidad con que la esfera llega al suelo. 24 m SOLUCION: Datos: h = 24 m Vo = 100 m/s g = 10 m/s2 t= ¿ Vv = ¿ e= ¿ A).- Formula para hallar el tiempo (MVCL) t= 2h = 2(24) = V 4.8 = 2.19 s V g V 10 b).- El alcance horizontal del proyectil se halla mediante la formula del Espacio (MRU) e= v . t e = 100 x 2.,19 e = 219 m c).- La velocidad final con que la esfera llega al suelo. Primero se halla la velocidad vertical mediante la formula de la Velocidad final del MVCL Vv2 = Vf2 + 2g t Vv2 = (100 m)2 + 2( 10) (2.19 s) Vv2 = 10000 m + 43.8 Vv = V10043.84 Vv = 100.2 m/s EJEMPLO 3.- Desde un avión que vuela horizontalmente a una velocidad de 30 m/s se suelta una bomba con una velocidad resultante de 50 m/s con respecto a la superficie de la tierra formando un ángulo de 53º con respecto a la horizontal. Si la altura en la que se encuentra el avión es de 100 m ¿Qué espacio horizontal recorrió la bomba? (g= 10 m/s2) SOLUCION: Velocidad horizontal Vh = 30 m/s 53 º Vv= ¿ Vr= 50 m/s h = 100 m eh = ¿ DATOS: Vh = 30 m/s Vr = 50 m/s Vv = ¿ h = 100 m g = 10 m/s2 eh = ¿ SOLUCION a).- Primero hallamos la velocidad vertical: (MVCL) Para hallar el otro vector de la velocidad se aplica el teorema de Pitágoras R2 = A2 + B2 502 = 302 + B2 302 + B2 = 502 B2 = 502 - 302 B2 = 2500 – 900 B = V 1600 B = 40 m/s Vv= 40 m/s b).- Trabajamos luego el movimiento vertical TIEMPO (MVCL) (caída libre) para hallar el T= Vv – Vh = 50 – 30 = 20 = 2 s G 10 10 c).- Aplicamos la formula del espacio horizontal del MRU e = Vh . t e = 30 m/s x 2 s e = 60 m Respuesta: El espacio horizontal que ocupó fue de 60 m EJERCICIO 1- Un cuerpo cae desde una altura de 80 metros. Calcula. a).- ¿Que tiempo tardara en caer? Rpta.- 4 s b).- ¿Con que velocidad llegara al suelo? Vf= 40 m/s EJERCICIO 2.- Un avión vuela horizontalmente a 1000 m de altura con velocidad constante de 50 m/s y deja caer una bomba. Hallar: a).- La velocidad vertical (MVCL)con que la bomba llega a la tierra. Rpta 52. 75 m/s (140 m/s) b).- El tiempo (MVCL) que tarda en caer. Rpta: 14.14 s c).- La distancia (MRU) recorrida por el avión desde que suelta la bomba hasta que llega a la tierra. Rpta: 707 m Vh= 50 m/s h= 1000 m EJERCICIO 3.- Un futbolista patea una pelota con una velocidad inicial de 12 m/s formando un ángulo de elevación de 15º Calcula a).- ¿Que altura máxima alcanza el balón?.- Rpta.- 0.49 m b).- ¿Que tiempo tarda en subir?. Rpta : 0.32 s c).- ¿Cual es el alcance horizontal máximo? Rpta: 7.35 m José Rivera Aldave Profesor de CTA Rossana Quispe Sandoval SDFG