Los Numeros Complejos

Los Números
Complejos
Eduardo Chinea Mora
1ºA
Temario
• Introducción
• Representación gráfica
• Operaciones de números complejos
• Forma polar
Pasar de forma polar a forma binómico
Pasar de forma binómico a forma polar
Multiplicación y división
Potencias y raíces
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Introducción
• Toda expresión en la forma a + bi donde a y b son
números reales e i es la unidad imaginaria( ) recibe el
nombre de Número Complejo. Se designan a los
números complejos con la letra Z ; así z = a + bi
• Se llama PARTE REAL a la primera componente “a”.
• Se llama PARTE IMAGINARIA a la segunda componente
“b”.
• Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es
un Número Imaginario Puro.
• Dos números complejos son iguales si lo son cada una
de sus partes. a + bi = c + di  a = c y b = d
• Dos números son conjugados cuando tienen la misma
parte real y partes imaginarias opuestas. Se representa
con una raya sobre la Z. Ej: z = a + bi z = a – bi
• Dos complejos son opuestos cuando lo son tanto la parte
real como la imaginaria. Ej: z = a + bi
-z = -a –bi
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Representación gráfica
• Re. es la parte real y
se representa en el
eje de las X.
• Im. es la parte
imaginaria y se
representa en el eje
de las Y.
• Z(a,b) es el punto del
numero complejo.
• r es igual al modulo
de z(a,b).
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Operaciones
• Para sumar los números complejos se suman
algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y
sus partes imaginarias. Ej: Dados z1 = a1 + b1i y z2 = a2
+ b2i
Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i
• Para restar cantidades complejas, se restan las partes
reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Ej: z1 - z2
=(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i
• La multiplicación puede hacerse directamente observando
que i2 = -1. Ej: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
• Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente
en forma de fracción y se racionaliza el denominador de
esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción
por la conjugada del denominador. Ej:
z1
a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc)i ac  bd  (ad  bc)i





2
z2
c  di
c  di c  di
c2  d 2
z2
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Pasar de polar a binomica
• La forma trigonométrica
de un número complejo
se establece observando
el triángulo amarillo.
• Luego:  sin   y  y  r sin 

r

cos   x  x  r cos 

r
• Por lo tanto:
z  ( x, y)  x  yi  r cos   i r sin   r (cos   i sin )
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Pasar de binomica a polar
• Para pasar un número complejo z = a + bi
a forma polar z = ra es suficiente con
hallar el módulo |z| y el argumento a.
• Llamaremos módulo del número complejo
z, al número real dado por
a 2  b2 y lo
denotaremos por |z|.
• Llamaremos argumento a la tangente de
la fraccion de b entre a. tag =
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Multiplicacion y division
• La multiplicación de dos números
complejos en su forma polar da como
resultado un número complejo cuyo
módulo es igual al producto de sus
módulos y cuyo argumento es igual a la
suma de los argumentos.Ej: z x z = (r x r)a
+a
• La division es igual que la multiplicacion
pero cambiando los simbolos de
multiplicacion por el de division y el de
sumar por el de restar.
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Potencias y raices
• Las potencias daran como resultado el
modulo elevado a la potencia y el
argumento multiplicado por la potencia.
• Las raices es igual al numero de raices que
indica el radical. El argumento es igual a :
argumento + 360 x (el radical – 1) y ÷ por
el radical.
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