detalle # 1 a

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RESOLUCION PROPUESTA : TEMA 1 DEL 03.08.04 EJERCICIO #1 ampliada con introducción teórica
SISTEMA DE COORDENADAS INTRÍNSECO ( EN EL PLANO )
normal
Y
tangencial
uN
uT
(ecuación # 1) V  vu

.T
es la relación fundamental del sistema intrínseco que se
V

expresa en términos del vector velocidad.
j
O
Si relacionamos este sistema con el sistema cartesiano
fijo de origen “O”, de la figura:
i
X
(versor tangente) uT  cos .i  sin . j
(versor normal) uN   sin .i  cos . j
(ecuaciones # 2 )
Para hallar la aceleración, derivamos la ecuación # 1:
dV dv
du
 .uT  v. T
dt
dt
dt
(ecuación # 3 )
El versor tangente tiene módulo constante pero
su dirección varía en cada punto de la trayectoria
curvilínea. Asumamos que el ángulo ““ nos
informa de su orientación respecto del eje “X”. Calculemos la derivada temporal del versor tangente:
Partimos de la ecuación # 2:
duT
dt
  sin . d i  cos . d j  d ( sin  .i  cos . j )   .uN
dt
donde hemos considerado a la velocidad angular:
dt
dt
d

dt
Reemplazando en la ecuación # 3:
a
dv
.uT  v. .u N  a  atan genteuT  anormal u N
dt
(ecuación # 4)
SISTEMA DE COORDENADAS POLAR (O CILÍNDRICO EN EL PLANO)
arco de
trayectoria ds
Y
versor
transv. “”

r
j
“”

(ecuación # 5)
r  r.
vector posición
arco de
circunferencia;
módulo de r
constante
es la relación fundamental del sistema
polar que se expresa en términos del
vector posición.
i
O
X
Si relacionamos este sistema con el sistema cartesiano fijo de origen “O”, de la figura:
  cos .i  sin  . j
(versor circunferencial)    sin  .i  cos  . j
(versor radial)
(ecuaciones # 6 )
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Para hallar la velocidad, derivamos la ecuación # 5:
dr dr
d
 .  r.
dt dt
dt
El versor radial tiene módulo constante pero su dirección varía en cada punto de la trayectoria
curvilínea. Asumamos que el ángulo ““ nos informa de su orientación respecto del eje “X”.
Calculemos la derivada temporal del versor radial:
d
dt
  sin  . d i  cos  . d j  d ( sin  .i
Reemplazando:
dt
dt
dt
V
dr dr
 .  r. .
dt
dt
 cos  . j )   .
(ecuación # 7)
(Velocidad expresada en sus componentes radial y circunferencial)
Para hallar la aceleración, derivamos la ecuación # 7:
a
dV d 2r
dr d  dr
d
d
 2 .  .
 . . 
r.  r. .
dt
dt
dt dt
dt
dt
dt
Calculemos la derivada temporal del versor circunferencial:
d
dt
  cos . d i  sin  . d j  d ( cos .i  sin . j )   .
dt
dt
dt
Reemplacemos:
dV d 2r
d
a
 2 .  v. .  v. . 
r.  r. 2.
dt
dt
dt
2
a  d 2r .  r. 2.  2v. .   .r.
( ecuación # 8 )
dt
En esta ecuación los términos del segundo miembro establecen las componentes radial, centrípeta,
coriolis y tangencial; respectivamente; de la aceleración de la partícula. Los dos primeros términos
son radiales y los dos últimos circunferenciales.
[ver enunciado]
Para el caso del ejercicio:
1 a)
FS-T
El par de interacción gravitatoria tiene
la dirección del versor radial
Y
satélite
VA mA VA= pA
perigeo “A”
a
apogeo “C”
VC
Tierra
f
b
X
FT-S
“B”
VB
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La fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el satélite (FS-T) es de dirección radial
en el sistema polar con centro en el centro de la Tierra ( si suponemos que la masa del satélite es
mucho menor que la masa terrestre). Sino podemos considerar la masa reducida del satélite, para el
sistema aislado Tierra-satélite.
El par de interacción correspondiente es central (fuerzas centrales).
Entonces para m << M , respecto del centro de la Tierra, vemos que los torques de las fuerzas
externas sobre el satélite son nulos. Por lo tanto se debe conservar el momento cinético o angular del
satélite respecto del centro de la Tierra.
O
 O  0  dL  0  LO  cte.en toda la o´rbita
dt
Calculemos para los puntos “A”; “B”; “C”:
LOA  rAT  pA  (a  f )i  mVA j  m(a  f )VAk
LOB  rBT  pB  ( f .i  bi. )  mVBi  mbV
. Bk
LOC  rC T  pC  (a  f )i  (mVC ) j  m(a  f )VC k
En una elipse se pueden relacionar los semiejes “a” ; “b”; con la distancia al foco “f”:
Y
-b
+a (punto “2”)
-f
+b (punto “1”)
+f
X
-a
La cónica llamada elipse se define como: lugar geométrico de los puntos donde las distancias
sumadas a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Entonces:
Punto1:(b  f )  (b  f )  D  D  2b  D2  4b2
de la igualación sacamos:
Punto2: 2 (a  f )  D  D  4(a  f )
2
2
2
2
2
a 2  f 2  b2  f 2  b2  a 2  f   b2  a 2
Vamos a expresar los módulos de momentos cinéticos o angulares expresados anteriormente, en
función de los semiejes de la elipse y de allí calcularemos las velocidades en los puntos
correspondientes:
LOA  m(a  b2  a 2 )VA
LOB  m.bVB
LOC  m(a  b2  a 2 )VC
Como los tres momentos son iguales podemos calcular las velocidades
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(a 
LOB
 VB 
m.b
b2  a2 )VA
LOC
(a  b2  a2 )VA
m(a  b2  a2 )
b
 VC 
 vector  VB 
(a  b 2  a 2 )
(a  b2  a2 )VA
b
.
i

(a  b2  a2 )2VA
(a  b2  a2 )2VA
VC 
 VC 

(a 2  b 2  a 2 )
2a 2  b2
vector  VC  
(a  b2  a2 )2VA
j
2a 2  b2
1b)
La aceleración total tiene una única componente radial en un sistema de coordenadas polares con
origen en la Tierra, (. Debido a que la única fuerza sobre el satélite “s” es la interacción
gravitatoria, que es una fuerza central y tiene la dirección radial “”
a
d 2r
.  r. 2.
dt 2
Entonces por la segunda ley de Newton y su ley de gravitación universal:
FST  mS (
d 2r
 r. 2 ).
dt 2
Gm m
FST   S2 T
r

GmT
d 2r
igualamos:
a   2 .  ( 2  r. 2 ).
r
dt
Gm
 a   2 T . (ecuación # 9)
r
Si lo expresamos en coordenadas intrínsecas para el punto “B” y el punto “C”:
Y
apogeo “C”
uN
Tierra

uN

uT
“B”
   sin .uT  cos .uT
X
uT
(ecuación # 10)
La aceleración es radial y varía con la inversa del cuadrado del radio “r”, sus componentes
intrínsecas serán variables según la orientación de los versores respecto del foco de la elipse. En la
dirección del versor normal “UN” se encontrará siempre el centro de curvatura de la trayectoria
elíptica, pero no necesariamente el foco de ésta. Si la trayectoria fuese circular, entonces coincidirían
el foco y el centro de curvatura; la circunferencia es un caso particular de elipse.
En el apogeo “C”, la dirección del versor “UN” coincide con el versor radial “” pero el sentido es
opuesto, en ese punto la aceleración tangencial es nula y el módulo de la velocidad es constante en
ese instante (mínima en este caso). Algo similar ocurre en el perigeo “A” ( la velocidad es máxima en
este caso).
La componente tangencial de la aceleración tiene sentido coincidente con la velocidad, durante una
porción de la trayectoria y en ella el módulo de la velocidad aumenta. Análogamente durante la otra
porción el módulo disminuye porque la aceleración tangencial es opuesta a la velocidad.
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Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto “B”:
sin  
b
r
;
cos 
f
r
; y las ecuaciones #9 #10:
GmT
b
f
( uT  u N )
2
r
r
r
GmT
a B  3 (buT  fu N ) entonces recordamos que estamos aplicando en “B”:
r
aB 
GmT
aB 
(2b  a )
2
2
3
2
(buT  b2  a 2 uN )
Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto “C”:
sin  0
;
cos  1 ; y las ecuaciones #9 #10:
aC 
GmT
(0uT  u N )
r2
aC 
análogamente:
GmT
1
2b(b  (b2  a2 ) 2 )  a2
uN
1 c)
En el sistema {Tierra; satélite} que se considera aislado, se mantiene constante el momento angular
o cinético respecto de la Tierra. Pues la fuerza central realiza torque nulo respecto de la Tierra. El
satélite se considera de masa pequeña y la Tierra se considera homogénea. En caso contrario habría
que tomar como punto de reducción al centro de masa del sistema.
Se verifica que la fuerza de atracción gravitatoria es una fuerza conservativa, y no hay trabajo de
ninguna fuerza no conservativa ( por ejemplo fuerzas tidales o que provocan las mareas, actividad
atmosférica y actividades sobre la Tierra se consideran despreciables). Entonces se conserva la
energía mecánica de este sistema aislado.
[volver a resol, MODELO 2]