2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones 2.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA DIFERENCIA ENTRE LAS PROPORCIÓNES DE DOS POBLACIÓNES Prueba de una cola H0: (p1- p2) = VALOR H1: (p1- p2) > VALOR ó [ H1: (p1- p2) < VALOR] Estadística de Prueba z Prueba de dos colas H0: (p1- p2) = VALOR H1: (p1- p2) VALOR ( pˆ 1 pˆ 2 ) VALOR ( pˆ pˆ ) 1 3 Región de rechazo z > z o sea z < - z Región de rechazo z > z/2 Cuando VALOR ≠ 0 ( pˆ pˆ ) 1 2 pˆ 1 qˆ1 pˆ 2 qˆ 2 n1 n2 qˆ1 1 pˆ 1 Donde: y qˆ 2 1 pˆ 2 Cuando VALOR = 0 ( pˆ pˆ ) 1 2 pˆ qˆ 1 1 n1 n2 Donde el número total de éxitos en la muestra combinada es (x1+x2). pˆ 1 pˆ 2 pˆ x1 x2 n1 n2 Supuesto: Los tamaños de las muestras n1 y n2, son suficientemente grandes. Esta condición se cumplirá si n1 pˆ 1 4 y n1qˆ1 4 y n2 pˆ 2 4 y n2 qˆ 2 4 Ejemplo 2.11: En fechas recientes se han llevado a cabo campañas para impulsar a la gente a que ahorre energía compartiendo automóviles para ir al trabajo. Algunas ciudades han creado un incentivo para compartir automóviles designando ciertos carriles de las autopistas como “exclusivos para automóviles compartidos” (esto es, que sólo vehículos con dos o más ocupantes pueden utilizar estos carriles).Con objeto de evaluar la efectividad de este plan, el personal de las casetas de cobro en una 72 2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones ciudad vigiló 2,000 automóviles seleccionados al azar antes del establecimiento de los carriles exclusivos para automóviles compartidos, y 1500 automóviles después de establecerse dichos carriles. Los resultados del estudio se muestran en la siguiente tabla, donde x1 y x2 representan los números de automóviles con dos o más pasajeros (es decir, pasajeros en autos compartidos) en las muestras de “antes” y “después”, respectivamente. ¿Los datos indican que la fracción de automóviles con pasajeros que comparten el transporte aumentó durante este periodo? Utilice a = .05. Tamaño de muestra Pasajeros con autos compartidos Antes de establecer carriles de autos compartidos n1 =2000 X1=655 Después de establecer carriles de autos compartidos n2=1500 X2=576 Solución: Si definimos p1 y p2 como las verdaderas proporciones de automóviles con pasajeros que comparten el mismo transporte antes y después del establecimiento de los carriles. La prueba quedaría: H0: (p1- p2) = 0 H1: (p1- p2) <0 La prueba es de un extremo porque solo nos interesa determinar si la proporción de automóviles que comparten el pasaje ha aumentado, es decir, si p2 > p1). Observa que sí p2 tiene que ser mayor que p1, entonces (p1- p2) <0. Lo anterior indica que decir que estaremos probando si la proporción de automóviles aumentó después de poner el carril adicional. El estadístico de prueba para muestra grande es: ( pˆ 1 pˆ 2 ) 0 1 1 pq ( ) n1 n 2 z Ahora, las proporciones de la muestra serían: 655 576 655 576 0.3275 ; pˆ 2 0.384 ; p 0.517 2000 1500 2000 1500 Por lo tanto q 1 0.517 0.483 pˆ 1 De este modo: z (0.3275 0.384) 0 0.0565 3.31 0.0170 1 1 (0.517)(0.483)( ) 2000 1500 El valor crítico de z para α=.05 es z= -1.645 “Puesto que cae en la región de rechazo, hay pruebas suficientes con α=.05, de que la proporción de pasajeros que comparten el transporte aumento después de poner el otro carril” 73 2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones Ejemplo 2.12. Algunos científicos han vinculado la disminución catastrófica en el número de ranas que habitan en el mundo, con la radiación ultravioleta no bloqueada por la maltrecha capa de ozono del planeta (Tampa Tribune 1o. de marzo de 1994). No obstante, la rana arbórea del Pacífico no parece estar en declinación porque produce una enzima que aparentemente protege a los huevos de la radiación ultravioleta. Investigadores de la Oregon State University compararon las tasas de eclosión de dos grupos de rana arbórea del Pacífico. Un grupo de huevos se protegió con pantallas que bloquean la luz ultravioleta, mientras que el segundo grupo se dejó sin protección. En la tabla se presenta el número de huevos que eclosionaron con éxito en cada grupo. Compare las tasas de eclosión de los dos grupos de huevos de rana arbórea del Pacífico mediante una prueba de hipótesis. Utilice α = .01 Número total Número de eclosiones Huevos protegidos del sol 70 34 Huevos sin sombra 80 31 Solución: El problema nos pide comparar las tasas de eclosión entre huevos protegidos (le llamaremos la población 1) y no protegidos (población 2). La hipótesis nula plantearía el hecho de que no existe diferencia H0: (p1 - p2) = 0 Mientras que en la hipótesis alternativa, nosotros debemos definir lo que queremos probar, en este caso probaremos si es que hay mayor eclosión en los huevos protegidos, por lo que p1 Debe ser mayor que p2. De este modo, la hipótesis alternativa quedaría de la siguiente manera: H1: (p1- p2) >0 Entonces: pˆ 1 34 0.4857 ; 70 pˆ 2 31 0.3875 80 ; (0.4857 0.3875) 0 0.0982 1.21 0.0811 1 1 (0.4333)(0.5667)( ) 80 70 z p 34 31 0.4333 70 80 Note como el valor de z es positivo (> 0), lo que corresponde con la H1. Si el resultado hubiera sido negativo, significa que los huevos eclonan mejor sin sombra, esto si se rechaza H0. El valor crítico de z para α=.01 es z= 2.33 “Puesto que el estadístico cae en la zona de aceptación de H 0, se concluye que no hay diferencia entre proteger los huevos, y no protegerlos, eclonan de igual manera” 74 2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones EJERCICIOS: 2.3 Los bloqueadores de calcio pertenecen a una de varias clases de medicamento que comúnmente se recetan para aliviar la presión arterial elevada. Un estudio realizado en Dinamarca revelo que los bloqueadores de calcio también podrían ser efectivos para reducir el riesgo de ataques cardiacos (Tampa Tribune, 23 de marzo de 1990). Un total de 897 pacientes daneses, todos recuperándose de un ataque cardiaco, recibieron una dosis diaria del medicamento Verapamil, un bloqueador de calcio. Después de 18 meses de seguimiento, 146 de estos pacientes habían vuelto a sufrir un ataque cardiaco. En un grupo de control de 878 personas (las cuales tomaron un placebo) 180 sufrieron un ataque cardiaco. ¿Los datos proporcionan suficientes pruebas para inferir que los bloqueadores de calcio son efectivos para reducir el riesgo de ataques cardiacos? Pruebe con α = .01. R. No, z=-2.30 2.4 Cada 10 años la División de Mecánica de la ASEE lleva a cabo una encuesta que abarca todo Estados Unidos sobre la educación en mecánica a nivel de licenciatura en universidades. En 1985, 66 de las 100 universidades encuestadas cubrían la estática de fluidos en su programa de ingeniería a nivel de licenciatura, en comparación con 43% en la encuesta de 1975 (Engineering Education, abril de 1986). Suponiendo que también se encuestaron 100 universidades en 1975, realice una prueba para determinar si el porcentaje de universidades que cubren la estática de fluidos aumento entre 1975 y 1985. Utilice a = .01. R. z= 3.27, Rechazar H0 TAREA 2.4 2.7. Se llevó a cabo un estudio para determinar el impacto de una estación de trabajo de multifunción (MFWS, multifunction workstation) sobre la forma en que trabajan los gerentes. En el estudio participaron dos grupos de gerentes de una agencia de defensa con base en St. Louis Missouri: un grupo de prueba formado por 12 gerentes que ya utilizan software de MFWS y un grupo de control con 25 gerentes que no utilizan MFWS. Una pregunta de la encuesta se refería a las fuentes de información de los gerentes. En el grupo de prueba (usuarios de MFWS), cuatro de los 12 gerentes indicaron que su principal fuente de información era la computadora, en tanto que dos de los 25 gerentes del grupo de control (no usuarios de MFWS) dependen de la computadora como principal fuente de información. a. ¿Hay pruebas de que exista una diferencia entre las proporciones de usuarios de MFWS y no usuarios de MFWS que dependen de la computadora como principal fuente de información?. Pruebe utilizando a = .10. b. ¿Tienen las muestras el tamaño suficiente para que sea válido el procedimiento inciso a? del 2.8. Los sistemas domésticos de calefacción solar se pueden dividir en dos grupos, sistemas de calefacción solar pasivos y sistemas de calefacción solar activos. En un 75 2.4.P.H. Diferencia de dos proporciones sistema pasivo, la casa misma es un colector de energía solar, en tanto que en un sistema activo se utilizan equipos mecánicos complicados para convertir los rayos del sol en calor. Considere la diferencia entre las proporciones de sistemas de calefacción solar pasivos y activos que requieren menos de 200 galones de combustible al año. Se seleccionan muestras aleatorias independientes de 50 hogares con calefacción solar pasiva y 50 con activa, y se registra la proporción de hogares que requirieron menos de 200 galones de combustible el año anterior, con los resultados que se presentan en la tabla. ¿Hay pruebas de una diferencia entre las proporciones de casas con calefacción solar pasiva y activa que requirieron menos de 200 galones de combustible el año anterior? Pruebe con un nivel de significancia de α = 0.02 Número de hogares Número que requirieron menos de 200 galones de combustible el año anterior Solar Pasivo 50 Solar Activo 50 37 46 R.z=2.4 2.9. En 1982 se encuestaron 371 compañías manufactureras y comerciales con miras a determinar el grado en que implementaban sistemas de información logística. En 1987 se efectuó una encuesta de seguimiento de 459 empresas a fin de medir la tendencia durante cinco años en la computarización de la información logística (Industrial Engineering, julio de 1990). Una de las preguntas de la encuesta se refería al porcentaje de empresas que habían computarizado datos de mercados externos. Entre 1982 y 1987 este porcentaje aumento de 22 a 33%. Utilice esta información para probar si durante este período de cinco años hubo un incremento significativo en el porcentaje de empresas que computarizaron los datos de mercados externos. Pruebe con α = .05. 76