3.1.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media: es lo que viene a la mente de la mayoría de las personas cuando se
menciona la palabra “promedio”.Como este término tiene ciertas propiedades
matemáticas deseables, es la más importante de las tres medidas que
estudiaremos. La media aritmética se calcula al sumar los valores de un conjunto y
al dividir el producto de esta suma entre el número de valores del mismo. De este
modo, la media de los valores 70, 80 y 120 es:
70  80  120 270

 90
3
3
Si un alumno presentó cuatro exámenes y obtuvo calificaciones de 83, 94,
95 y 86, la calificación promedio del alumno es 89.5:
83  94  95  86
 89.5
4
la media de una muestra(una parte de la población) se representa por el
símbolo x , y su cálculo se puede expresar en notación sigma como se observa
a continuación:
n
x
x
i 1
n
i
o en forma más simple, como x 
x
i
n
El procedimiento para calcular la media aritmética de toda la población es el
mismo que para el de una muestra de ella, solo que esta se representa con el
símbolo µ.
Media ponderada: La fórmula anterior para calcular la media aritmética
supone que cada observación es de igual importancia. En términos generales,
esto suele suceder así, no obstante hay algunas excepciones. Tomemos por
ejemplo, la situación en que un profesor informa a s u clase que les hará dos
exámenes de una hora cada uno de los cuales equivaldrá al 30% de la
calificación de todo el curso, y un examen final que corresponderá al 40%.El
cálculo de la media deberá considerar las diferentes ponderaciones de los
exámenes. Se aplica la siguiente fórmula:
n
w x
media ponderada =
i 1
n
i
w
i 1
i
i
Donde wi es el valor de la observación i-ésima. Así, un alumno que obtenga
80 en el primer examen, 90 en el segundo y 96 en el final, obtendrá un promedio
de 89.4
Examen
Calificación
Ponderación
No. 1
80
0.30
No. 2
90
0.30
Media ponderada
=
No.3
96
0.40
0.30( 80 )  0.30( 90 )  0.40( 96 )
 89.4
0.30  0.30  0.40
1.00
Supóngase que en otra asignatura hay un examen de medio curso y otro final, y
que este último va a valer el doble que el primero. Un alumno que obtenga 95 en
el primer examen y 89 en el segundo, tendría un promedio de 91.
Examen
Calificaci
Ponderaci
ón
ón
Media ponderada =
Intermed
95
1
1( 95 )  2( 89 )
 91
io
1 2
final
89
2
Mediana: La segunda medida de tendencia central de un conjunto de
números es la mediana .Su característica principal es que divide un conjunto
ordenado en dos grupos iguales; la mitad de los números tendrá valores que son
menores que la mediana, y la otra mitas alcanzará valores mayores que esta. Para
encontrar la mediana, primeramente es necesario ordenar los valores
(generalmente de menor a mayor).Posteriormente se deberá separar la mitad de
los valores para obtener la mediana.
Por ejemplo, la mediana del grupo 5, 6 y 8 es 6, en el cual el 6 está en medio.
En términos generales, la mediana ocupa la posición (n +1 )/2. Por tanto para tres
números, la posición es (3+1)/2 = 2 o sea, la segunda posición. Considérese un
segundo ejemplo: Obtener la mediana de estos valores: 7, 8, 9 y 10, según la
fórmula, la posición de la mediana es (4+1)/2 = 2.5 que se encuentra a la mitad de
los dos valores intermedios, o sea 8.5 en este caso. Esto deja dos valores
menores y dos mayores.
A continuación se muestran algunos ejemplos:
Par
a. 2, 3,3,4
b.1, 18, 19, 20
c.5.1,6.5,8.1,9.1,10.1,15.5
Mediana
3
18.5
8.6
Impar
a.1,2,3,3,3,4,7
b.9,40,80,81,100
c.3.7,9.2,10.1,11.8,12.8
Mediana
3
80
10.1
Una medida estrechamente ligada con la median es el cuartil. Los cuartiles
dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales:25% de los valores serán
menores que el primer cuartil (Q1),50% serán menores que el segundo(Q2=
mediana), 75% de los valores serán menores que el tercero(Q3) y el 25% serán
mayores que este último. Los percentiles dividen los datos en cien subgrupos
iguales. Por ejemplo, 76% de los valores de un gran conjunto serán menores que
el valor del 760 percentil. Los percentiles y cuartiles se utilizan principalmente junto
con distribuciones de frecuencias, tema que se estudiará más adelante.
Moda: es el valor que con más frecuencia se presenta en un conjunto. Por
ejemplo, en el conjunto 10, 10, 8, 6 y 10, el 10 se presenta tres veces, en tanto
que cada uno de los otros valores, solamente una vez. El valor más frecuente, la
moda, es 10. el valor modal es descriptivo cuando se trabaja con conteo de datos,
y será estudiado con mayor detalle.
En comparación con la media y mediana, la moda es la menos útil para la
mayoría de los problemas estadísticos, ya que no se inclina por un análisis
matemático en el mismo sentido que lo hacen las otras dos(véase la tabla
siguiente).Sin embargo, desde un punto de vista puramente descriptivo, la moda
es indicativo del valor típico en términos del valor que se presenta con mayor
frecuencia La moda es más útil cuando uno o dos valores, o un grupo de estos,
ocurren con mayor frecuencia que otros. Por el contrario, cuando la mayoría o
todos los valores se presentan casi con la misma frecuencia, la moda no sirve
para descubrir datos.
Definición
Ventajas
Limitaciones
Media
1.refleja
cada
1.puede
ser
 xi
valor
excesivamente influida
x
n
2.propiedades
por los extremos
Mediana
Moda
La mitad de los
valores son mayores,
la otra mitad son
menores
Valor
más
frecuente
matemáticas
atractivas
1.Menos
sensible a valores
extremos que la media
Valor
“típico”:más
valores
reunidos
en
este
punto
que
en
cualquier otro
1.
difícil
determinar
si
muchos datos.
de
hay
1.no se presta
para
el
análisis
matemático.
2.Para algunos
conjuntos de
datos
puede no ser un valor
modal
EJERCICIOS 2.3 :
1. Halle la media y la mediana de cada conjunto
a. 4, 8, 7, 3, 5, 6
b. 2, 1, 7, 6
c. 0.010, 0.020, 0.030, 0.020, 0.015
d. 309, 81, 452, 530, 70, 55, 198,266
2. Se inspeccionan 15 radios antes de enviarlos para su venta. El número de
defectos por radio es
1, 0, 3, 4, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1
Obtenga la media, la mediana y la moda para el número de defectos.
3. Cuatro amigos trabajan en un supermercado algunas horas por día,
recibiendo el siguiente salario por hora.
Juan: $ 2.20
Tomás: $ 2.50
Javier: $ 2.40
Martín: $2.10
a. Obtenga el salario promedio por hora para los cuatro amigos.
b. Si Juan trabaja 20 horas, Javier 10, Tomás 20 y Martín 15 a la
semana, calcule sus sueldos totales y su salario medio por hora.
c. Si cada uno trabaja 40 horas a la semana, obtenga el salario
medio por hora y sus sueldos totales.
4. ¿Puede la media tener valor de cero? Explíquelo.
5. ¿Puede la mediana tener valor de cero? ¿Ser negativa? Explíquelo.
TAREA 2.3 : Calcular la media, mediana y moda utilizando software de los 5
problemas vistos en la sección distribución de frecuencias(Ejemplo 1, Ejercicio 2.2
y tarea 2.2)