DEFINICION DE IGUALDAD

GES 3º ESO:
ECUACIONES.
DEFINICION DE IGUALDAD
Una igualdad está formada por dos miembros, primero y segundo separados por un signo igual.
Una igualdad se puede cumplir:
- Siempre, por ejemplo 5 = 5
- Para algunos valores, por ejemplo, x  2  5 , sólo se cumple para el número que
sumado con 2 nos da 5, o sea 3.
Cuando en una igualdad intervienen letras se le llama ECUACIÓN. A las letras que intervienen
en la ecuación se le llaman incógnitas o variables.
Como hemos dicho en x  2  5 , esta ecuación sólo se cumple para un valor de la incógnita x,
es decir 3. A dicho valor de la incógnita se le llama solución de la ecuación.
Solución de la ecuación es el valor de la incógnita para el cual se cumple la igualdad.
Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Por ejemplo. x  3  7 , tiene como única
solución x = 4, por que es el único número que sumado con 3 nos da 7.Aquí vamos a ver las
ecuaciones con una incógnita, por lo tanto tendrán una única solución y serán de grado 1.
ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma
solución. Por ejemplo, x  2 y 3 x  6 , pues ambas se cumplen para x = 2.
BÚSQUEDA DE ECUACIONES EQUIVALENTES
Para obtener una ecuación equivalente a una dada se pueden hacer las siguientes operaciones:
 Se pueden sumar o restar números iguales a ambos miembros. Por ejemplo, x  3  5 ,
podemos restar 3 en ambos miembros  x  2 .
 Se puede multiplicar o dividir por números iguales o distintos en ambos miembros. Por
ejemplo, 4 x  5 , podemos dividir entre cuatro en ambos miembros
4
5
5
 4x  5  x   x  .
4
4
4
NOTA: En el caso primero acostumbramos a decir que el número está sumando (el 3) pasa al
otro restando; o sea, x  3  5  x  5  3  2 .
 De la misma manera, si el número estuviese restando pasaría sumando
x3 5 x  538
 En el caso 4 x  5 , acostumbramos a decir que el número está multiplicando, entonces
4
5
5
pasa al otro miembro dividiendo. 4 x  5  x   x  .
4
4
4
 Del mismo modo, si el número estuviese dividiendo, pasaría al otro multiplicando.
x
 8  x  8  3  24
3
1
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
1. 3 x  2  6 , primero se pasa el 2 al otro miembro restando 3x  6  2  3x  4 y luego
4
se pasa el 3 dividiendo x  .
3
2.  4 x  2  7 ,
se
hace
igual
que
el
caso
anterior.
5
 4 x  2  7  4 x  7  2  4 x  5  x  .
4
CUANDO HAY UN PARÉNTESIS: Se resuelve primero el paréntesis para quitarlo y después
se resuelve la ecuación normalmente.
3. 2( x  3)  6  2 x  6  6  2 x  12  x  6
11
4. 5( x  2)  1  5 x  10  1  5 x  11  x 
5
5. 3  2( x  6)  3  2 x  12  15  3x  x  5
Si hay más de una x se agrupan y después se resuelve:
6. 2 x  8 x  5 x  1  2 x  8 x  5 x  1  x  1/ 5
7. 3x  2( x  4)  6  3x  2 x  8  6  x  2
2( x  5)  5x  3( x  2)  7  2 x  10  5 x  3x  6  7
8.
 2 x  5x  3x  6  7  10  4 x  9  x  9 / 4
9. 3( x  1)  8( x  2)  5  3x  3  8x  16  5  x  24 / 11
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
2
3( x  2)  5( x  3)  17  3( x  1) Solc.: x  1
2( x  5)  2( x  1)  5x  2 Solc.: x  14 / 5
3( x  1)  2( x  3)  8( x  1)  5x  3 Solc.: x  5 / 3
5( x  1)  6 x  3  2( x  5)  2 x Solc.: x  18 / 11
2( x  3)  2( x  5)  3x  1 Solc.: x  5
3(2 x  1)  8( x  3)  5x  2 Solc.: x  25 / 9
3( x  1)  2( x  1)  2(5x  1)  3 Solc.: x  4 / 5
2 x  5( x  3)  7 x  2 x  1 Solc.: x  8
3( x  5)  3( x  1)  2( x  3) Solc.: x  9 / 4
2( x  1)  5( x  3)  2( x  9)  6 x  2 Solc.: x  3
3x  2( x  9)  2 x  5x  1  3 Solc.: x  14
6 x  1  2( x  3)  5( x  1) Solc.: x  10
2( x  3)  5( x  4)  6( x  1)  2 x  2 Solc.: x  30 / 11
8x  1  2( x  1)  6 x  3 Solc.: x  0
3x  1  2( x  5)  5x  1 Solc.: x  5 / 2
8x  2  5( x  1)  2 x  3 Solc.: x  4 / 11
ECUACIONES CON DENOMINADORES
Para resolverlas primero hay que reducir a común denominador, el mínimo común múltiplo
pasa a ser el denominador de todos. Luego se divide el m.c.m entre todos los denominadores y
lo que dé se multiplica por el numerador. Luego se tachan los denominadores y la ecuación que
queda se resuelve como en los casos anteriores.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
3
x 1
 3  2( x  1)  x  1  6  4 x  4  x  3
2
x
5x  1
 2( x  1) 
 2 x  12 x  12  15 x  3  x  15
3
2
2 x  1 x  2 5x  1
 26


 10  6  30  50 x  15 x  12 x  x 
5
2
3
53
3( x  1) 5 x 2 x  1
19


 28 x  2 x  1  18  x 
2
6
12
26
5( x  2) 8 x 2 x  1
37


 42 x  37  x 
3
6
4
42
2( x  1) 2 x  5

 2 x  1 Solc.: x = 17/ 10
2
3
4
5x  7 5x  1
2x  1
43

 4x 
Solc.: x 
3
9
18
110
2( x  1)
5x
33
 2x 
 2( x  1) Solc.: x 
5
3
41
2 x  2 3( x  2) 5 x  2
4


Solc.: x 
3
10
6
7
3 x  1 2( x  1)
2( x  1)
9

 x
 1 Solc.: x 
2
5
28
49
2( x  1) x  3 2 x  5
 31


 1 Solc.: x 
7
14
28
4
2x  5 x  1
2( x  3)
91

 x
Solc.: x 
3
6
5
7
5x  1 5x
2( x  1)
27

 2x 
Solc.: x 
2
3
5
77
x  1 2( x  1)
x 1
7

 x
Solc.: x 
3
12
5
3
x  3 2x  1
1 x
 11
x

 1
Solc.: x 
2
3
5
29
2( x  1) 2 x  1
9
x

 x  1 Solc.: x 
3
33
4
x  1 x 2( x  3)
3
 
 1  x Solc.: x 
2
4
8
4
3x  1 8 x 1  x
3


Solc.: x 
2
5
10
16
2  x 2x
x 1
29

 2
Solc.: x 
5
10
3
5
3x  1 2( x  1)
1 x
2

 2x 
Solc.: x 
4
3
12
11