problemas autoevalua..

PROBLEMAS AUTOEVALUACIÓN POLILIBRO 2
PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN UNIFORME
1.
La venta promedio diaria de un supermercado es de 40 mil pesos y hay una venta
mínima de 30 mil pesos diarios. Si la venta de combustible se apega a una distribución
uniforme:
a) Determinar la venta máxima diaria. R = 50 mil
b) ¿En qué porcentaje de días las ventas exceden los 34 mil litros? R = 80%
2.
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo [10,20]
a) Si se selecciona un punto al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de
12.5? R = 0.75
b) Encontrara k tal que P(x > k)=0.375
R = 16.25
3. Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme en el intervalo
[-6, -1]. Obtener:
a) P(x>   )
R = 0.2114
b) P(-5  x  -2)
R = 0.6
4.
5.
Sea X una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, b].
a) Obtener el valor de b si se sabe que P(x  1)=0.1
R =10
b) Calcular P(x  7)
R = 0.3
Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo -,   , en donde  >0 .
Determinar el valor de  de modo que satisfaga que P(x  1)= 13 .
6.
R=3
Suponga que X es una variable aleatoria distribuida uniformemente con E(x)=1/2 y
Var(x) = 4/3. Encontrar:
a) La función de densidad.
0.25 para -1.5  x  2.5
f (x)= 
de otra forma
 0
b) La función de distribución.
0

F ( x)=  x+1.5
4
1

para x <-1.5
para -1.5  x  2.5
para x >2.5
7.
La cantidad de líquido en milímetros que una máquina expendedora de café vacía en
los vasos sigue una distribución uniforme en el intervalo [130, b].
a) Obtener el valor de b si se sabe que P(x  140)=0.3 .
R = 163.33
b) ¿Cuántos mililitros contiene en promedio un vaso?
R = 146.66
c) Cuál es la probabilidad de que en un vaso se rebasen los 155 mililitros, dado que
se sabe que hay más de 150 mililitros de café?
R = 0.6249
8.
Se sabe que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b].
Si P(x>2)=1/3 y P(x<-1)=1/6:
a) Encontrar los valores de a y b.
R = a = -2 y b = 4
b) Calcular P(-1.5< x <3).
R = 0.75
9.
Suponga un experimento en que se hace una medición al azar y está distribuida
uniformemente en el intervalo [0, 3].
a) Calcular la probabilidad de que la medición esté entre 1.5 y 2.
R = 1/6
b) Si se realizan 5 mediciones independientes ¿cuál es la probabilidad de que 2 de
ellas estén entre 1.5 y 2?
R = 0.1608
10. Un meteorólogo hace una medición del tiempo al azar. Si las mediciones se distribuyen
en forma uniforme en el intervalo [1, 4]:
a) Calcular la probabilidad de que la medición esté entre 2.5 y 3.
R = 1/6
b) Si se realizan 6 mediciones independientes, encontrar la probabilidad de que 3 de
ellas esten entre 2 y 3.
R = 0.2195
11. Un paracaidista cae aleatoriamente en un sitio de la línea entre las marcas A y B.
Calcular la probabilidad de que:
a) esté más cerca de A que de B.
R = 0.5
b) la distancia respecto a A sea más de 3 veces la distancia respecto a b.
R = 0.25
PROBLEMAS DE DISTRIBUCION EXPONENCIAL
1.
Si el tiempo de espera de los convoyes del metro en cualquier estación de la línea 1
está regida por una distribución exponencial con media de 3 minutos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar un convoy entre 2 y 4 minutos?
R = 0.2498
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar un convoy menos de 2 minutos?
R = 0.4866
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya que esperar un convoy más de 5 minutos?
R = 0.1889
2.
Suponga que el tiempo de espera para ser atendido en un banco corresponde a una
distribución exponencial y que en promedio es de 15 minutos. Calcular la probabilidad
de que el tiempo de espera sea:.
a) Menor de 10 minutos.
R = 0.4866
b) Entre 5 y 10 minutos.
R = 0.2031
3.
Un componente de un aparato de radio dura 1000 horas en promedio. Si la duración de
la vida de esa parte sigue una distribución exponencial, determine la probabilidad de
que su vida sea:
a) superior a 200 horas .
R = 0.8187
b) inferior a 1200 horas
R = 0.6988
c) entre 700 y 1100 horas
R = 0.1637
d) ¿Cuál es la desviación estándar de su vida útil?
R = 1000
4.
El tiempo de espera en una cola de un banco para ser atendido, se apega a una
distribución exponencial y en promedio hay que esperar 15 minutos. Calcular la
probabilidad de que el tiempo de espera sea:
a) menor de 10 minutos.
R = 0.4866
b) entre 5 y 10 minutos.
R = 0.2031
5.
Un sistema contiene cierto tipo de componentes cuya duración en años está distribuida
exponencialmente con promedio de 6 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un
componente:
a) funcione a lo más 7 años y 6 meses?
R = 0.7135
b) Continúe funcionando después de 9 años?
R = 0.2231
6.
Sea X una variable aleatoria continua con distribución exponencial, en la que E(x) = 3.
Calcular:
a) Var(x)
R=9
b) P(x > 3.5)
R = 0.3114
c) P(0< x 5)
R = 0.8118
7.
La cantidad de tiempo que un reloj público funciona sin necesidad de ser ajustado, es
una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 50 días.
Calcule la probabilidad de que tal reloj:
a) deba ajustarse en menos de 20 días.
R = 0.3297
b) no tenga que ser ajustado en por lo menos 60 días.
R = 0.3021
8.
La duración en minutos de las llamadas telefónicas de larga distancia desde cierta
central, es un fenómeno aleatorio que se distribuye exponencialmente con media de 3
de minutos:
a) calcular la probabilidad de que una llamada dure al menos 6 minutos.
R = 0.1353
b) Si se considera que el 10% de las llamadas son de mayor duración, calcule el tiempo
mínimo para considerar que una llamada es de mayor duración.
R = 6.9
9.
La duración en minutos en preparar cierta golosina es un fenómeno aleatorio con
función:
t

ce 3 si t  0
f (t )  

de otraforma
0
a) Determinar el valor de c de forma que se tenga una función de densidad.
R = 1/3
si t  0
0
b) Obtener la función de distribución.
R = F (t )    3t
si t  0
1  e
10. Sea X una variable aleatoria exponencial, tal que:
0
F ( x)  
 3x
1

e

a) Encontrar f(x)
x

 13 e 3
R = f (x)  

0
b) Calcular E(x), Var(x), P(x  3)
si x  0
si x  0
si x  0
de otra forma
R = (3, 9, 0.6231)
11. La duración en minutos de cierto experimento químico es una variable aleatoria con
función de densidad:


 1 e 100
f ( x)  100

0
x1
si x  0
de otraforma
Cinco componentes trabajan independientemente en un equipo, el cual falla si al menos
3 de los 5 componentes fallan. Calcular la probabilidad de que el equipo funcione al menos
255 horas sin fallar.
R = 0.9738
12. Supóngase que los años de vida de los habitantes de una ciudad, es una variable
aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 50 años. Calcular la
probabilidad de que una persona de esa ciudad:
a) Rebase los 65 años
R = 0.2725
b) Viva al menos 70 años, dado que ya celebró su cumpleaños 40.
R = 0.5488
c) ¿Para qué valor de c se cumple que P(x>c) = 0.5
R = 34.657
13. El tiempo que transcurre para que una persona sea atendida en un restaurante es una
variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con media de 4 minutos.
¡Cuál es la probabilidad de que:
a) ¿una persona sea atendida en menos de 3 minutos?
R = 0.5277
b) si van 5 veces al restaurante, en 3 de ellas atiendan en menos de 3 minutos?
R = 0.3278
14. Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo [1, 3 y sea
Y otra variable aleatoria continua que se distribuye exponencialmente con media  .
Encontrar el valor de  tal que  x2   y2 .
R = 1.1547
15. La falla de una resistencia en un circuito electrónico X está distribuida uniformemente
en el intervalo [0, 2] y la falla en un condensador Y en el mismo circuito se distribuye
exponencialmente con media  .
a) Encontrar  si P( X  1)  P(Y  1)
R = 1.4428
b) Calcular P(Y>2)
R = 0.25
16. Suponga que para una zona del sur de México es posible modelar la actividad sísmica
utilizando la distribución exponencial. Se sabe que la probabilidad de que un temblor
sea mayor a 3.5 grados en la escala de Richter es 0.25.
a) Encontrar la variancia de la variable aleatoria que mide la actividad sísmica en la
escala de Richter.
R = 6.3748
b) Calcular la probabilidad de que 3 de 5 temblores superen los 4 grados en la escala
de Richter.
R = 0.0544
PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL
1.
El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica, es una variable aleatoria que
se apega a una distribución normal con media 12.9 minutos y desviación estándar 2
minutos. Encontrar la probabilidad de que el ensamble de la pieza mecánica dure:
a) al menos 11.5 minutos.
R = 0.758
b) entre 11 y 14.8 minutos.
R = 0.6579
2.
La edad en que se presenta determinada enfermedad en los niños se distribuye
normalmente, con media 10 años y desviación estándar 2 años. Si un niño contrajo la
enfermedad ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté;
a) entre 8 y 12 años?
R = 0.6827
b) por encima de los 11 años?
R = 0.3085
c) por debajo de los 12 años?
R = 0.8413
3.
El tiempo promedio de bajada de los esquiadores de una competencia es de 8.72
minutos con desviación estándar de 1 minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que un
esquiador seleccionado al azar baje en:
a) al menos 8.8 minutos?
R = 0.4681
b) a lo más 7 minutos?
R = 0.0427
c)
entre 6.8 y 7.9 minutos?
R = 0.1514
4.
Si las calificaciones de coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes están
normalmente distribuidas, con media 100 y desviación estándar13:
a) calcular la probabilidad de que si se selecciona un estudiante al azar , su
coeficiente intelectual sea mayor de 133.
R = 0.0055
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes tendrán un coeficiente intelectual de cuando mucho
90?
R = 22.06%
5.
Las calificaciones para el examen de admisión a cierta Universidad se apegan a una
distribución normal, con media 500 y desviación estándar100.
a) Calcular la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación de entre
325 y 675.
R = 0.9199
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes obtendrán calificaciones menores de 400?
15.87%
R = 15.87%
6.
Los pesos de los pernos que produce una compañía se distribuyen normalmente, con
media 8 kilogramos y desviación estándar 0.9 kilogramos. Si se selecciona un perno al
azar, encontrar la probabilidad de que su peso se encuentre:
a) arriba de 9.5 kilogramos.
R = 0.0475
b) entre 7.3 y 9.1 kilogramos.
R = 0.6711
7.
Supóngase que las calificaciones de un examen se distribuyen en forma normal, con
media 76 puntos y desviación estándar15 puntos.
a) Si el 10% de las calificaciones más bajas reprueban el curso, calcular la
calificación mínima para aprobar.
R = 56.77
b) Si el grupo consta de 50 alumnos ¿cuántos alumnos se espera que obtengan
calificaciones entre 74 y 80 puntos?
R = 7.9
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar obtenga
calificación mayor de 79 puntos?
R = 0.4207
8.
Los diámetros de los tubos que se usan en un sistema de desagüe se distribuyen de
acuerdo a una distribución normal, con media de 950 milímetros y desviación estándar
de 10 milímetros. Si se selecciona un tubo al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tubo tenga un diámetro entre 947 y 958
milímetros?
R = 0.406
b) ¿Cuál debe ser el valor de “c”, de modo que la probabilidad de que un tubo que
tiene un diámetro menor que “c” sea 0.85?
R = 960.36
9.
Se sabe que los resultados de un examen de física tienen una distribución normal, con
media 70 puntos y variancia 36 puntos cuadrados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apruebe el examen, si la calificación
mínima aprobatoria es de 65 puntos?
R = 0.7969
b) ¿Cuál debe ser la calificación mínima para que pasen el 80% de los que presentan
el examen?
R = 64.95
10. Las calificaciones obtenidas en un examen por los aspirantes a un trabajo, tienen una
distribución aproximadamente normal, con media 85 y desviación estándar 4.
a) ¿Qué porcentaje de aspirantes tendrán una calificación superior a 90?
R = 10.56%
b) Si para aprobar el examen se requiere obtener una calificación superior a 80 ¿cuál
es la probabilidad de que una persona apruebe el examen?
R = 0.89
11. Suponga que las calificaciones de un examen están distribuidos normalmente, con
media 76 puntos y desviación estándar 15 puntos. El 15% de las mejores calificaciones
reciben A y el 10% de las más bajas obtienen R. Encontrar la calificación mínima para:
a) obtener A.
R = 91.54
b) aprobar, esto es, no recibir R.
R = 56.77
12. El número de palabras por minuto de las mecanógrafas de una compañía se distribuye
normalmente, con media 90 y desviación estándar 16. Si se selecciona al azar a una
mecanógrafa:
a) Encontrar la probabilidad de que el número de palabras que escriba por minuto
este entre 82 y 98.
R = 0.3892
b) Si el 15% de las mecanógrafas más deficientes asisten a un curso de capacitación
¿cuál será mínimo número de palabras por minuto para no asistir a dicho curso?
R = 73.42 74
13. Un automovilista ha observado que el tiempo promedio empleado en ir de la casa a la
oficina es de 30 minutos, con desviación estándar de 5 minutos. ¿Cuántos días del año
espera llegar tarde a su trabajo, si todos los días sale de su casa a las 8:20 horas y debe
llegar a su oficina a las 9:00 horas?. Considérese que el empleado trabaja 260 días al
año.
R = 5.928  6 días
14. Supóngase que z tiene distribución normal. Determinar k tal que P(|z|  k)= 14 .
R = 1.15
15. Ciertos bastoncillos de plástico son cortados automáticamente por una máquina. Las
longitudes reales están distribuidas normalmente, con media de 6 centímetros y
desviación estándar de 0.06 centímetros.
a) Si los bastoncillos deben estar entre 5.9 centímetros a 6.1 centímetros ¿Qué
porcentaje de bastoncillos se salen de los límites de aceptación?
R = 9.49%
b) ¿Qué valor debe tener la desviación estándar para que el 99% de los bastoncillos
estén dentro de los límites de aceptación?
R = 0.0388
16. Se acepta que la vida útil de cierta marca de baterías para automóvil se apega a una
distribución normal, con media 38 meses y desviación estándar 2 meses.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una batería cualquiera dure más de 40 meses?
R = 0.1587
b) Si la compañía no desea reemplazar más del 5% de las baterías vendidas ¿Qué
tiempo de garantía debe dar?
R = 34.71
17. Un fabricante de lavadoras asegura que la vida media del modelo que produce dura,
bajo condiciones normales de trabajo en el hogar, 5.75 años, con una desviación
estándar de 2 años. Si la vida de este modelo se apega a una distribución normal:
a) ¿Qué garantía debe ofrecer el fabricante, si está dispuesto a reparar únicamente
una de cada 100 lavadoras vendidas?
R = 1.098
b) Si da garantía por 2 años ¿qué porcentaje de máquinas necesitarán reparación antes
de que expire dicha garantía?
R = 3.01%
18. Suponga que la variable aleatoria X tiene una distribución normal con media 10 y
variancia 9. Determinar el valor de “c” tal que P(x  c)=2 P(x>c) .
R = 11.236
19. El propietario de un restaurante ha observado que la demanda de carne de res en su
negocio tiene una distribución normal con media de 240 kilogramos y desviación
estándar de 23 kilogramos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera se consuman más de 300
kilogramos de carne de res?
R = 0.0045
b) ¿Qué cantidad de carne de res debe estar disponible diariamente para que la
probabilidad de que se agote la dotación no sea mayor de 0.01?
R = 293.498
20. Las calificaciones obtenidas en un examen de admisión a una escuela tienen una
distribución normal, con media 85 puntos y desviación estándar 4 puntos.
a) Si el 10.56% de los que presentan el examen obtienen calificación MB ¿cuál es la
calificación mínima para obtener calificación MB?
R = 90
b) Obtener un intervalo simétrico al rededor de la media, de forma que ahí se ubiquen
el 80% de las calificaciones.
[79.872, 90.128]
R = [79.872, 90.128]
21. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una compañía en un
mes, tiene una distribución normal con media 100 horas y desviación estándar 20
horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por incapacidad de un mes cualquiera se
encuentre entre 50 y 80 horas? R = 0.1525
b) ¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá haber para que la probabilidad de excederlo
sea de 10%?
R = 125.64
c)
Si ingresan 8 empleados en un mes ¿cuál es la probabilidad de que más de 6
permanezcan entre 50 y 80 horas con incapacidad?
R = 0.00001329
22. En un examen de química la puntuación promedio fue de 82 puntos, con desviación
estándar de 5 puntos. Los estudiantes con puntuación de 88 a 94 puntos obtuvieron
calificación B. Si las calificaciones tienen una distribución aproximadamente normal y
8 estudiantes recibieron calificación B ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen?
a) 74.84  75 b) 65.83  66 c) 26.83  27 d) 48.83  49
23. En una fábrica de gelatinas en polvo, la distribución de pesos de los sobres se apega a
una distribución normal, con desviación estándar de 1.4 gramos.
a) Si el 1% de los sobres pesa más de 56 gramos ¿cuál es el valor de la media?
R = 52.7436
b) Un sobre cualquiera no pasa el control de calidad si se desvía de la media en al
menos 4 gramos. Si un día se fabrican 3 mil sobres ¿cuántos de ellos se espera que
sean rechazados?
R = 12.6  13
24. Una fábrica produce pistones cuyo diámetro se distribuye normalmente, con un
diámetro medio de 10 centímetros y desviación estándar de 0.002 centímetros. Para
que un pistón se considere bueno para salir al mercado debe encontrarse dentro del
intervalo [9.996, 10.003]. Si el diámetro del pistón es inferior de 9.996 centímetros se
desecha y si es mayor que 10.003 centímetros se reprocesa.
a) ¿Qué porcentaje de pistones salen al mercado?
R = 9.965
b) ¿Cuáles deben ser los límites del intervalo, para que sólo el 0.51% de los pistones
sean desechados y el 2% sean reprocesados?
R = [9.9948, 10.0041]
25. En una prueba de aptitudes para el ejercicio se reporta que el 10% de los universitarios
graduados que realizan la prueba obtienen calificación de 1120 o menos y el 10%
obtienen 1400 puntos o más. Suponga que las calificaciones se distribuyen
normalmente.
a) Encontrar la media y desviación estándar.
R = 1 260, 106.2
b) Calcular la probabilidad de que una persona obtenga calificación de cuando menos
1100 puntos.
R = 0.9292
26. Supóngase que los pesos en kilogramos de las personas de una población están
distribuidos normalmente. Se sabe que P(x  160)=0.5 y P(x  140)=0.25 . Obtener los
valores de la media y desviación estándar.
R = 160, 29.67
27. Supóngase que una variable aleatoria X tiene una distribución normal, en la que
E(X2 )  68 y P(x<10)=0.8159. Calcular la probabilidad de que P(x  11) .
R = 0.0735
PROBLEMAS DE APROXIMACION DE LA BINOMIAL MEDIANTE LA
NORMAL
1.
Supóngase que el 10% de los alumnos que presentan examen de Estadística a título de
suficiencia lo aprueban. Si en un grupo se presentan 60 alumnos a dicho examen ¿Cuál
es la probabilidad de que aprueben:
a) Más de 7 alumnos?
R = 0.2578
b) Cinco alumnos?
R = 0.1662
2.
Si el nacimiento de un niño es igualmente probable que el nacimiento de una niña,
encontrar la probabilidad de que de los próximos 200 nacimientos:
a) Más del 40% sean niños.
R = 0.0019
b) Entre el 43% y el 57% sean niñas.
R = 0.9596
3.
Se lanzan 400 veces una moneda legal. Encontrar la probabilidad de obtener:
a) Entre 185 y 210 soles.
R = 0.7925
b) Menos de 176 o más de 227 soles.
R = 0.0101
4.
La probabilidad de que una resistencia resista una sobrecarga eléctrica es 0.6. Si se
prueban independientemente 200 resistencias ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Ni menos de 120 ni más de 135 de ellas soporten la prueba?
R = 0.5604
b) Al menos 110 la resistan?
R = 0.9357
5.
La probabilidad de que cierto tipo de transistor dure más de 2 mil horas de uso es 0.6.
Si se seleccionan 100 transistores al azar ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) No menos de 60 ni más de 70 duren más de 2 mil horas?
R = 0.5233
b) Al menos 50 duren más de 2 mil horas?
R = 0.9793
6.
El 3% de las cartas que se envían a cierta ciudad no llevan timbres postales correctos.
En 500 de dichas cartas:
a) ¿Cuántos timbres incorrectos se espera encontrar?
R = 15
b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 ó menos cartas con timbres incorrectos?
R = 0.0064
7.
Se sabe que el 10% de los transistores de cierta marca se queman antes del tiempo de
garantía. Si se venden 100 de esos transistores ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Se tengan que sustituir por lo menos 18 de ellos? 0.0062
b) Se tengan que sustituir por lo menos2 y no más de 15 transistores?
R =0.9328