anacap6

CAPITULO 6
LA ELIPSE
6.1 Definición
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, en forma tal que la suma
de las distancias del punto a otros dos puntos fijos sea una constante (2a).
Los puntos fijos se llaman focos , el punto medio del segmento que los une es el centro de la
elipse y la recta que pasa por ellos es el eje.
6.2 Construcción
Para construir una elipse, trazamos su eje y se localizan los focos F, F´ y los vértices V, V´ .
Ahora, elegimos cualquier punto Q del segmento F´F . Trazamos arcos por encima y por debajo del eje
, usando los focos como centros y con un radio igual a QV. A continuación, usando los mismos centros
y con radio igual a QV´ , trazamos arcos que corten a los arcos anteriores, obteniéndose cuatro puntos
sobre la elipse. Se pueden hallar otros puntos variando la posición del punto Q.
Figura 6.1
Se demuestra la validez de esta construcción, observando que para el punto P se cumple:
F´P + FP = QV + QV´ = VV´= 2a
6.3 Ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen.
a) Eje mayor el eje X. Con el propósito de hallar una forma sencilla de la ecuación de la elipse,
supondremos, que los focos son los puntos fijos F(c, 0) y F´(-c, 0) sobre el eje X y como centro el
punto medio de FF´ en el origen 0, como se pude observar en la figura 6.2.
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 139
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Figura 6.2
Observamos que la distancia entre los focos es 2c unidades, siendo c  0. Si P(x, y ) es un punto
cualquiera sobre la elipse y si 2a ( a  c ) es la suma de la distancias del punto a cada uno de los focos ,
entonces, de acuerdo a la definición de la elipse tenemos:
F  P  FP  2a
( x  c ) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2 a
Despejando el primer radical y elevando al cuadrado la ecuación resultante:
( x  c) 2  y 2  2 a  ( x  c) 2  y 2

( x  c) 2  y 2
   2a 
2
( x  c) 2  y 2

2
( x  c) 2  y 2  4 a 2  4 a ( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2
x 2  2 xc  c 2  y 2  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2  x 2  2 xc  c 2  y 2
2 xc  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2  2 xc
Volviendo a despejar el radical y simplificando:
a ( x  c) 2  y 2  a 2  xc
Elevando al cuadrado la ecuación anterior:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 140
CAPITULO 6
LA ELIPSE
a
( x  c) 2  y 2

2
 (a 2  xc) 2
a 2  ( x  c) 2  y 2   a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 ( x 2  2 xc  c 2  y 2 )  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 x 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
a 2 x 2  c2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c2
x 2 (a 2  c 2 )  a 2 y 2  a 2 (a 2  c 2 )
La expresión a2 - c2 es positiva y la podemos hacer igual a b2, para obtener:
bx 2  a 2 y 2  a 2b 2
Dividiendo la expresión anterior entre a2b2 obtenemos finalmente:
x2 y2

1
a 2 b2
(6.1)
que es la ecuación de la elipse en forma ordinaria con centro en el origen y eje focal sobre el eje X.
Despejando a c2 de la expresión b2 = a2 - c2 , hallamos que la cantidad a2 - b2 = c2 es positiva,
por lo tanto , se cumple que, en valor absoluto a  b .
Dado que la ecuación (6.1) sólo contiene potencias pares de x e y , se puede probar, mediante los
criterios de simetría, que la elipse se es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y , y con
respecto al origen.
Si en la ecuación (6.1) se despeja y en función de x y x en función de y, obtenemos.
y
b 2
a  x2
a
y
x
a 2
b  y2
b
La primera ecuación nos indica que la variable y, toma valores reales, sólo si, el subradical a2 - x2 es no
negativo, es decir :
a2  x2  0
a2  x2 o x2  a2
x a
a  x  a
La variable x, sólo puede tomar valores comprendidos entre -a y a y se excluyen aquellos valores
para los cuales  x |  a. Si x =  a , entonces y = 0 , es decir, la elipse, corta al eje X en (  a, 0), como
se muestra en la figura 6.3
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 141
CAPITULO 6
y2
LA ELIPSE
La segunda ecuación señala que la variable x , adquiere valores reales, sólo si, el subradical b2 es no negativo, esto es:
b2  y 2  0
b2  y 2 o y 2  b2
y b
b  y  b
Es decir, la variable y, sólo puede tomar valores comprendidos entre -b y b y se excluyen aquellos
valores para los cuales | y |  b. Si y =  b, entonces x = 0 , esto es, la elipse corta al eje Y en (0,  b),
según se muestra en la figura 6.3
Figura 6.3
Al segmento de recta V´V de longitud 2a que pasa por los focos de la elipse se le llama eje mayor;
a la cuerda B´B de longitud 2b que pasa por el centro y es perpendicular al eje mayor , se le llama eje
menor. Las longitudes correspondientes al semieje mayor y semieje menor se representan por a y b
respectivamente. Los puntos extremos V y V´ del eje mayor son los vértices de la elipse ; los puntos
extremos B´ y B del eje menor son los covértices de la elipse.
Al deducir la ecuación de la elipse, se utilizó la relación b2 = a2 - c2 , la cual, se puede escribir como:
a 2  b2  c2
cuya interpretación geométrica es: La longitud del segmento, trazado desde un foco hasta un extremo
del semieje menor es igual a la longitud del semieje mayor, es decir FB = OV.
A la cuerda LR ( L´R´ ) perpendicular al eje mayor que pasa por el foco F ( F´ ) se le llama
Lado recto. Si en la ecuación (6.1) sustituimos las coordenadas ( c , y ) que corresponden a uno de los
extremos del lado recto, hallamos:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 142
CAPITULO 6
LA ELIPSE
y
b
b 2
b2
a 2  c2  
b 
a
a
a
de donde, se obtiene que, la longitud del lado recto LR, es igual a:
2b 2
LR 
(6.2)
a
Otra cantidad importante en el estudio de una elipse es su excentricidad , que se representa por e
y está dada por la expresión:
e
c

a
a 2  b2
1
a
(6.3)
Esta cantidad proporciona información acerca de la forma que tiene una elipse. Si suponemos que a
tiene un valor fijo, observamos que, conforme c  a entonces e  1 y b  0, esto es, la elipse se
achata, degenerando en un segmento de recta de longitud 2a. Si c 0 entonces, e  0 y b  a, es
decir, la elipse degenera en una circunferencia de radio a. En una elipse , siempre se cumplirá la
desigualdad 0  e 1.
b) Eje mayor el eje Y. De manera semejante , se demuestra que la ecuación de una elipse con centro en
el origen , eje mayor el eje Y y focos en los puntos (0,  c), está dada por:
siendo a  b.
x2 y2

1
b2 a 2
(6.4)
La longitud del lado recto LR y la excentricidad e , también están dadas por las ecuaciones (6.2)
y (6.3). Las coordenadas de los demás elementos se muestran en la figura (6.4).
Figura 6.4
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 143
CAPITULO 6
LA ELIPSE
A las expresiones (6.1) y (6.2) se les conoce como formas ordinarias de la ecuación de la elipse.
En estas ecuaciones, el término con mayor denominador, nos indica en su correspondiente numerador,
el eje ( X o Y ), con el cual coincide el eje mayor de la elipse.
Ejemplo1. Hallar: a) la longitud del semieje mayor y semieje menor; c) las coordenadas de los vértices
y focos; d) la excentricidad y e) la longitud del lado recto de la elipse: 16x2 + 25y2= 400.
Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 400, se tiene:
16 x 2 25 y 2 400


400
400 400
x2 y2

1
25 16
la cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje X. Por lo tanto, es una ecuación
de la forma (6.1), entonces:
a5y b4
c  a 2  b 2  25  16  9  3
Elementos de la elipse:
Vértices: V(a,0) = V(5,0) y V´(-a,0) = V´(-5,0)
Covértices: B(0,b) = B(0,4) , B´(0,-b) = B´(0,-4)
Focos: F(c,0) = F(3,0) y F´(-c,0) = F´(-3,0)
Extremos del lado recto: L(3, -16/5) y R(3, 16/5) , L´(-3,-16/5) y R´(-3,16/5)
Longitud del lado recto: LR = 2b2 / a = 32/5
Excentricidad : e = c / a = 3 /5
Gráfica:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 144
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Ejemplo 2.- Hallar: a) las longitudes del semieje mayor y semieje menor; c) las coordenadas de los
vétices y focos; d) la excentricidad y e) la longitud del lado recto de la elipse: 16x2 + 9y2= 576.
Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 576, se tiene:
16 x 2 9 y 2 576


576 576 576
x2 y2

1
36 64
la cual representa una elipse con centro en el origen y eje focal el eje Y. Por lo tanto, es una ecuación
de la forma (6.4), entonces:
a8y b6
c  a 2  b 2  64  36  28  2 7
Elementos de la elipse :
Vértices: V(0, a) = V(0,8) y V´(0,-a) = V´(0, -8)
Covértices: B(b,0) = B(6,0) y B(-b,0) = B´(-6, 0)
Focos: F( 0, c) = F(0, 27) y F´( 0, - c) = F´(0, -27)
Extremos del lado recto: L (-9/2, 2 y R(9/2, 2 , L´(-9/2, -2 y R´(9/2, -2
Longitud del lado recto: LR = 2b2 / a = 72 / 8 = 9
Excentricidad : e = c / a = 27 / 8 = 7 / 4
Gráfica:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 145
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Ejemplo 3.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes: Focos en ( 4, 0) ,
vértices en ( 5, 0).
Solución: Si localizamos los vértices y focos en el plano cartesiano, observaremos que es una elipse con
centro en el origen y eje mayor el eje X . Por lo tanto:
a5 y c4
b  a 2  c 2  25  16  9  3
y dado que la ecuación de la elipse es de la forma (6.1), hallamos:
x2 y2

1
a 2 b2
x2 y2

1
25 9
9 x 2  25 y 2  225
Elementos de la elipse:
Vértices: V(5,0), V´(-5,0)
Covértices: B(0,3) , B´(0,-3)
Focos: F(4,0), F´(-4,0)
Extremos del lado recto: L(4,-9/5) y R(4, 9/5) , L´(-4, -9/5), R´(-4, 9/5)
Longitud del lado recto: LR = 18/5
Excentricidad: e = c / a = 4 / 5
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 146
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Gráfica:
Ejemplo 4.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes: Focos en ( 0,) ,
semieje menor igual a 8.
Solución: Si localizamos los focos en el plano cartesiano, observaremos que es una elipse con centro en
el origen y eje mayor el eje Y . Por lo tanto:
c6 y b8
a  b 2  c 2  64  36  100  10
y dado que la ecuación de la elipse es de la forma (6.4), hallamos:
x2 y2

1
b2 a 2
x2 y2

1
64 100
100 x 2  64 y 2  6400
Elementos de la elipse:
Vértices: V(0,10) , V´(0,-10)
Covértices : B( 8, 0) , B´(-8, 0)
Focos: F(0,6) , F´(0,-6)
Extremos del lado recto: L( -32/5 , 6) y R( 32/5, 6) , L´(-32/5, -6) , R´(32/5 ,-6)
Longitud del lado recto: LR = 64/5
Excentricidad : e = c / a = 3 / 5
Gráfica :
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 147
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Ejemplo 5.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen , semieje mayor de 4 unidades de
longitud sobre el eje Y , y la longitud del lado recto igual a 9/2.
Solución: Conociendo la longitud del semieje mayor a = 4 y la longitud del lado recto , podemos
determinar la longitud del semieje menor b.
2b 2
LR 
a
9 2b 2

2
4
2
b 9
b3
dado que, el eje mayor, está sobre el eje Y , la ecuación de la elipse tiene la forma (6.4). Por lo tanto.
x2 y2

1
b2 a 2
x2 y2

1
9 16
16 x 2  9 y 2  144
6.4 Ecuación ordinaria de la elipse con centro fuera del origen.
a) Eje mayor paralelo al eje X. Cuando el centro C( h, k ) se encuentra fuera del origen del sistema de
coordenadas y el eje mayor es paralelo al eje X, podemos determinar la ecuación, considerando a un
sistema de coordenadas X´0Y´ , cuyo origen se encuentra en el centro de la elipse, según se muestra en
la figura (6.4).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 148
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Figura 6.4
La ecuación de la elipse con respecto a al sistema de coordenadas X´0´Y´, está dada por :
( x ) 2 ( y ) 2
 2 1
a2
b
en donde x´y y´ representan las coordenadas de un punto P de la elipse, con respecto a este sistema.
Para expresar esta ecuación con respecto al sistema X0Y , usaremos una traslación de ejes.
De la figura 6.4 observamos que:
x x  h
,
y y  k
que al sustituir en la ecuación de la elipse con centro en X´0´Y´:
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
a2
b2
(6.5)
que es la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje X. Las
coordenadas de sus elementos se muestran en la figura 6.4. La longitud del lado recto LR y La
excentricidad e están dadas por las ecuaciones (6.2) y (6.3) respectivamente.
b) Eje mayor paralelo al eje Y. De manera semejante, se demuestra que la ecuación de una elipse con
centro C( h, k ) fuera del origen y eje mayor paralelo al eje Y esta dada por:
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
b2
a2
(6.6)
La longitud del lado recto LR y la excentricidad están dadas por las ecuaciones (6.2) y (6.3). Las
coordenadas de sus elementos se muestran en la figura (6.5).
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 149
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Figura 6.5
6.5 Forma general de la ecuación de la elipse
Si desarrollamos las operaciones y simplificamos de tal forma que desaparezcan los
denominadores, hallaremos una expresión semejante a :
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
(6.7)
que representa la forma general de la ecuación de una elipse, y en donde, los coeficientes A y B tienen
el mismo signo con A B.
6.6 Reducción de la forma general a la forma ordinaria
La ecuación de una elipse en su forma general, se puede reducir a su forma ordinaria,
completando los términos en x y y a trinomio cuadrado perfecto:
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
D 
E 


A x 2  x   B y 2  y    F


A 
B 
 2 D
 2 E
D2 
E2 
D2 E 2
A x  x 

  B y  y 
  F 
A
B
4 A 4B
4 A2 
4B2 


D
E 
BD 2  AE 2  4 ABF


  B y 
 
A x 


2A
2B 
4 AB
2
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 150
2
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Haciendo:
D
2A
E
k
2B
BD 2  AE 2  4 ABF
G
4 AB
h
se obtiene:
A( x  h) 2  B( y  k ) 2  G
que se puede escribir como:
( x  h) 2 ( y  k ) 2

1
H
K
la cual representa la forma ordinaria de la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor
paralelo al eje X o al eje Y, dependiendo si H K o H K.
Ejemplo 6.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en C(5,1) y vértice en V(5,4), con un extremo del
eje menor en B(3,1).
Solución: Al localizar los elementos dados en el plano cartesiano, nos daremos cuenta que, se trata de
una elipse con eje mayor paralelo al eje Y , entonces, su ecuación es de la forma (6.6). De los datos,
sabemos que: h = 5 y k = 1 .Hallemos a , b y c.
a  CV  4  1  3 , b  CB  5  3  2 , c  a 2  b 2  9  4  5
Los demás elementos de la elipse son:
V  (h, k  a )  V  (5,2)
F (h, k  c)  F (5,1  5 )
F  (h, k  c)  F  (5,1  5 )
B (h  b, k )  B(7,1)
L h  b 2 a , k  c  L(11 3 ,1  5 )
R (h  b 2 a , k  c)  R (19 3,1  5 )
L  h  b 2 a , k  c  L (11 3 ,1  5 )
R (h  b 2 a , k  c)  R (19 3,1  5 )
La ecuación es :
( x  5) 2 ( y  1) 2

1
4
9
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 151
CAPITULO 6
LA ELIPSE
La gráfica es :
Ejemplo 7.- Determinar la ecuación de la elipse con vértices V´(-5, 2) y V(3, 2) y covértices B(-1, 5) y
B´(-1,-1).
Solución: Se trata de una elipse con eje mayor paralelo al eje X , entonces, su ecuación es de la forma
(6.5). El centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento formado por V´V ó B´B , esto
es:
5  3 2
22 4
h

 1 , k 
 2
2
2
2
2
Hallemos a, b y c.
a  CV  3  ( 1)  4 , b  CB  5  2  3 , c  a 2  b2  16  9  7
Los demás elementos de la elipse son:
F (h  c, k )  F (1  7 ,2)
F  (h  c, k )  F  (1  7 ,2)
L h  c, k  b 2 a   L(1  7 , 1 4)
R (h  c, k  b 2 a )  R (1  7 , 17 4)
L  h  c, k  b 2 a   L ( 1  7 , 1 4)
R (h  c, k  b 2 a )  R (1  7 , 17 4)
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 152
CAPITULO 6
LA ELIPSE
La ecuación es :
( x  1) 2 ( y  2) 2

1
16
9
La gráfica es :
Ejemplo 8.- Determinar la ecuación de la elipse con vértices V(6, 8) y V´(6, -2) y covértices B(10, 3) y
B´(2, 3).
Solución: Es una elipse con eje mayor paralelo al eje Y , entonces, su ecuación es de la forma (6.6). El
centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento formado por V´V ó B´B , entonces:
h
6  6 12
8 2 6

6 , k 
 3
2
2
2
2
Hallemos a, b y c:
a  CV  8  3  5 , b  CB  10  6  4 , c  a 2  b 2  25  16  9  3
Los demás elementos de la elipse son:
F (h, k  c)  F (6,6)
F  (h, k  c)  F  (6,0)
L h  b 2 a , k  c  L(14 5 ,6)
R (h  b 2 a , k  c)  R (46 5 ,6)
L  h  b 2 a , k  c  L (14 5 ,0)
R (h  b 2 a , k  c)  R (46 5 ,0)
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 153
CAPITULO 6
LA ELIPSE
La ecuación es:
( x  6) 2 ( y  3) 2

1
16
25
La gráfica es:
Ejemplo 9.- Hallar la ecuación de la elipse, siendo la longitud de uno de los ejes de 18 unidades y las
coordenadas de los extremos del otro eje (2,5) y (2, -3).
Solución: Se trata de una elipse con centro fuera del origen y eje mayor paralelo al eje X.
a
18
BB 5  ( 3 ) 8
9 , b

  4 , c  a 2  b 2  81  16  65
2
2
2
2
El centro está en el punto medio, entre los extremos del eje:
h
22 4
5 3 2
 2 , k 
 1
2
2
2
2
Los elementos de la elipse son:
V ( h  a , k )  V ( 111
,)
,
V  ( h  a , k )  V  ( 7 ,1 )
B( h , k  b )  B( 2 ,5 )
,
B ( h , k  b )  B ( 2 ,3 )
F ( h  c , k )  F ( 2  65 ,1 ) , F  ( h  c, k )  F  ( 2  65 ,1 )
L h  c, k  b 2 a   L( 2  65 , 7 9 ) , R( h  c, k  b 2 a )  R( 2  65 ,25 9 )
L  h  c , k  b 2 a   L ( 2  65 , 7 9 ) , R ( h  c , k  b 2 a )  R ( 2  65 ,25 9 )
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 154
CAPITULO 6
LA ELIPSE
La ecuación de la elipse:
( x  2) 2 ( y  1) 2

1
81
16
Gráfica:
Ejemplo 10.- Hallar la ecuación de la elipse con centro en (5, 1) , vértice en (5, 4), con un extremo del
eje menor en (3, 1).
Solución: Las longitudes del semieje mayor y semieje menor, están dadas por las distancias del centro
al vértice y covértice respectivamente:
a  CV  4  1  3
b  CB  5  3  2
c  a 2  b2  9  4  5
Por ser una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje X , tiene por ecuación:
( x  5) 2 ( y  1) 2

1
4
9
Elementos de la elipse:
Vértices: V( 5,4) , V´(5, -2)
Covértices: B´(3,1) , B(7,1)
Focos: F( 5, 1+ 5 ) , F´(5,1-5 )
Extremos del lado recto: L( 11/3, 1+ 5) y R(19/3, 1+ 5) , L´(-11/3, 1- 5) y R´(19/3, 1- 5)
Excentricidad : e = c/a = 5 / 3
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 155
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Gráfica:
Ejemplo 11.- Hallar la ecuación de la elipse con vértice en (6,3), focos en (-4,3) y (4,3).
Solución: El centro de la elipse se localiza en el punto medio del segmento que une los focos:
h
4  4
3 3
0 , k 
3
2
2
La longitud del semieje mayor y distancia focal, se obtienen a partir de la distancia del centro al vértice
y al foco respectivamente:
a  CV  6  0  6 , c  CF  4  0  4 , b  a 2  c 2  36  16  20  2 5
La ecuación de la elipse:
x 2 ( y  3) 2

1
36
20
Elementos de la elipse:
Vértices: V(6,3) , V´(-6,3)
Covértices: B(0, 3 + 25) , B´(0, 3 - 25)
Extremos del lado recto: L(4, -1/3) y R(4, 19/3) , L´(-4, -1/3) y R´(-4, 19/3)
Longitud del lado recto: LR = 20/3
Excentricidad: e = c / a = 2/3
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 156
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Gráfica:
Ejemplo 12.-Determinar la ecuación de la elipse con extremos del eje menor en (3,5) , (3,-3) y vértice
en (-2,1).
Solución: El centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento que une los extremos del
eje menor:
3 3
5 3
h
3 , k 
1
2
2
Las longitudes del semieje mayor y menor, se obtienen a partir de la distancia del centro al vértice y
covértice respectivamente:
a  CV  3  ( 2 )  3  2  5 , b  CB  5  1  4 , c  a 2  b2  25  16  3
Ecuación de la elipse:
( x  3) 2 ( y  1) 2

1
25
16
Elementos de la elipse:
Vértices: V(8,1) , V´(-2,1)
Covértices: B(3, 5) , B´(3,-3)
Focos: F(6,1) , F´(0,1)
Extremos del lado recto: L(6,-11/5) y R(6,21/5) , L´(0, -11/5) , R´(0,21/5)
Longitud del lado recto: LR = 32/5
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 157
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Excentricidad: e = c/a = 3/5
Gráfica:
Ejemplo 13.- Dada la ecuación de la elipse 4x2 + 9y2 - 48x + 72y +144 = 0 , hallar su centro, semiejes,
vértices y focos. Graficar.
Solución: Agrupando y factorizando los términos que contienen a x y y:
4( x 2  12 x)  9( y 2  8 y)  144
Completando cuadrados en las expresiones dentro del paréntesis:
4( x 2  12 x  36)  9( y 2  8 y  16)  144  144  144
4( x  6) 2  9( y  4) 2  144
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 144 y simplificando:
( x  6 )2 ( y  4 )2

1
36
16
La cual representa a una elipse con centro en C(6, 4) y eje mayor paralelo al eje X. Por lo tanto:
a  6 , b  4 , c  a 2  b 2  36  16  20  2 5
Elementos de la elipse:
Vértices: V(12,-4) , V´(0,-4)
Covértices: B(6,0) , B´(6,-8)
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 158
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Focos: F(6+25,-4) , F´(6-25,-4)
Extremos del lado recto: L(6+25,-20/3) y R(6+25,-4/3), L´(6-25,-20/3) y R´(6-25,-4/3)
Longitud del lado recto: LR = 16/3
Excentricidad: e = c / a = 5 / 3
Gráfica:
Ejemplo 14.- Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos
Q(3,1) y R(5,-1) sea igual a 10.
Solución: Aplicando la condición que debe cumplir el punto P, tenemos:
QP  RP  10
( x  3) 2  ( y  1) 2  ( x  5) 2  ( y  1) 2  10
Despejando a cualquiera de los radicales y elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación resultante:
( x  3) 2  ( y  1) 2  10  ( x  5) 2  ( y  1) 2
( x  3) 2  ( y  1) 2  100  20 ( x  5) 2  ( y  1) 2  ( x  5) 2  ( y  1) 2
x 2  6 x  9  y 2  2 y  1  100  20 ( x  5) 2  ( y  1) 2  x 2  10 x  25  y 2  2 y  1
Despejamos el radical y simplificamos:
20 ( x  5) 2  ( y  1) 2  16 x  116
5 ( x  5) 2  ( y  1) 2  4 x  29
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 159
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación y simplificando:
25( x 2  10 x  25  y 2  2 y  1)  16 x 2  232 x  841
25x 2  25 y 2  250 x  50 y  650  16 x 2  232 x  841  0
9 x 2  25 y 2  18 x  50 y  191  0
Completando cuadrados en los términos que contienen x y y :
9( x 2  2 x )  25( y 2  2 y )  191
9( x 2  2 x  1)  25( y 2  2 y  1)  191  9  25
9( x  1) 2  25( y  1) 2  225
9( x  1) 2 25( y  1) 2

1
225
225
( x  1) 2 ( y  1) 2

1
25
9
Por lo tanto, se trata de una elipse con centro en C(-1,1) y eje mayor paralelo al eje X , longitud del
semieje mayor igual a 5, longitud del semieje menor igual a 3.
Ejemplo 15.- Hallar la ecuación de la elipse de centro (4, -1), uno de sus focos en (1,-1) y que pase por
el punto (8,0).
Solución: Se trata de una elipse con centro en C(4, -1) y eje mayor paralelo al eje X. La semidistancia
focal se obtiene mediante la distancia del centro al foco.
c  CF  4  1  3
ó
a 2  b2  9
(1)
Además, el punto (8,0) debe satisfacer una ecuación de la forma (6.5), esto es:
(8  4) 2 (0  1) 2

1
a2
b2
16 1

1
a 2 b2
16b 2  a 2  a 2 b 2
(2)
Hagamos simultáneas las ecuaciones (1) y (2). Despejando b2 de la ecuación (1) y sustituyendo en la
ecuación (2):
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 160
CAPITULO 6
LA ELIPSE
16(a 2  9)  a 2  a 2 (a 2  9)
16a 2  144  a 2  a 4  9a 2
a 4  26a 2  144  0
(a 2  8)(a 2  18)  0
a  8 ó a  18
Al sustituir en la ecuación (1) a = 8 , hallamos b = -1 que es una cantidad imaginaria.
Sustituyendo a = 18 en la ecuación (1), encontramos b = 3.
Por lo tanto, la ecuación de la elipse en forma ordinaria es:
( x  4) 2 ( y  1) 2

1
18
9
o en forma general:
( x  4) 2  2( y  1) 2  18
x 2  2 y 2  8x  4 y  0
La gráfica es:
Ejemplo 16.- Hallar la ecuación de la elipse con centro (3,1), uno de los vértices en (3, -2) y
excentricidad e = 1 / 3 .
Solución: Se tiene una ecuación de la forma (6.6) y la longitud del semieje mayor es la distancia del
centro (3,1) al vértice(3,-2):
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 161
CAPITULO 6
LA ELIPSE
a  CV   2  1  3  3
c
1 c
3
e    c   1
a
3 3
3
b  a 2  c2  9  1  8  2 2
Por lo tanto, la ecuación de la elipse en forma ordinaria es:
( x  3) 2 ( y  1) 2

1
8
9
ó en forma general:
9( x  3) 2  8( y  1) 2  72
9 x 2  54 x  81  8 y 2  16 y  8  72
9 x 2  8 y 2  54 x  16 y  17  0
Ejemplo 17.- Un arco semielíptico tiene 80 metros de luz. Sabiendo que su altura es 30 metros, hallar la
altura del arco en un punto situado a 20 metros del centro:
Solución: Supóngase el centro de la elipse en el origen del sistema de coordenadas, entonces, se trata de
una ecuación de la forma (6.1), en donde a = 40m. (2a = 80m.) y b = 30m. Por lo tanto, para x = 20m.
tenemos:
x2
y2

1
40 2 30 2
( 20 )2
y2

1
1600 900
400
y2

1
1600 900
1 y2
y2
3

1

4 900
900 4
3
30
y 2  900  y 
3 , y  15 3
4
2
La altura correspondiente a x = 20m. es de y = 153m.
Ejemplo 18.- La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol, en donde éste ocupa uno de
los focos. La longitud del semieje mayor es de 149.5 millones de kilómetros y la excentricidad tiene un
valor de 0.017. Hallar la distancia máxima (afelio) y la distancia mínima (perihelio) del Sol a la Tierra.
Solución: Se puede determinar que la mínima y la máxima distancia del Sol a la Tierra está dada por :
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 162
CAPITULO 6
LA ELIPSE
Dmin  a  c  a  ae  a (1  e)
Dmax  a  c  a  ae  a (1  e)
en donde se utilizó la relación: e = c/a
Por lo tanto, sustituyendo los datos hallamos que:
Dmin  a (1  e)  149.5(1  0.017)  146.958
Dmax  a (1  e)  149.5(1  0.017)  152.041
en donde las cantidades están dadas en millones de kilómetros.
Ejemplo 19.- Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (0,1), (1,-1), (2,2) ,(4,0) y cuyos eje
son paralelos a los ejes coordenados.
Solución: Supóngase que la ecuación de la elipse en forma general está dada por:
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
Con los cuatro puntos dados, podemos formar un conjunto de cuatro ecuaciones independientes con
cinco parámetros por determinar, por lo tanto, al hacerlas simultáneas, sólo podremos eliminar a cuatro
de ellos , los cuales estarán en términos de un parámetro que se toma como referencia.
Al sustituir los puntos dados obtenemos las siguientes ecuaciones:
BE F  0
A B D E  F  0
4 A  4B  2D  2E  F  0
16 A  4 D  F
(1)
(2)
(3)
(4)
Tomemos como referencia al parámetro F
Eliminemos E, sumando la ecuación (1) con la ecuación (2):
A  2B  D  2F  0
(I)
Eliminemos E, multiplicando la ecuación (2) por 2 y sumando con la ecuación (3):
6 A  6 B  4 D  3F  0
(II)
Formemos un sistema de ecuaciones con (4), (I) y (II)
Eliminemos D, multiplicando la ecuación (4) por -4 y sumando con la ecuación (II):
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 163
CAPITULO 6
LA ELIPSE
4 A  8 B  4 D  8 F  0
6 A  6 B  4 D  3F  0
2 A  2B
- 5F  0
(III)
Eliminemos D, multiplicando la ecuación (4) por -1 y sumando con la ecuación (II):
16 A  4 D  F  0
6 A  6 B  4 D  3F  0
10 A  6 B  2 F  0
(IV)
Finalmente formemos un sistema de ecuaciones con (III) y (IV)
Eliminemos A, multiplicando la ecuación (III) por 5 y sumando con la ecuación (IV):
10 A  10 B  25F  0
10 A  6 B  2 F  0
 4 B  23F  0
B
23
F
4
Sustituyendo en la ecuación (III):
 23 
2 A  2  F   5F  0
 4 
23
2 A  F  5F  0
2
13
2A F  0
2
13
A F
4
Sustituyendo los parámetros A y B en la ecuación (I):
13
 23 
F  2  F   D  2 F  0
 4 
4
59
 F  D  2F  0
4
51
D F  0
4
51
D F
4

Sustituyendo A, B y D en la ecuación (1):
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 164
CAPITULO 6
LA ELIPSE
23
FEF0
4
19
E F0
4
19
E
F
4

Sustituyendo en la forma general de la ecuación de la circunferencia:

13 2 23 2 51
19
Fx  Fy  Fx  Fy  F  0
4
4
4
4
Multiplicando por -4 y dividiendo entre F:
13x 2  23y 2  51x  19 y  4  0
que es la ecuación de la elipse que pasa por los puntos dados.
La gráfica correspondiente es:
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 165
CAPITULO 6
LA ELIPSE
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Para cada una de las siguientes elipses hallar a) las longitudes del semieje mayor y menor , b) las
coordenadas de los vértices , covértices y focos, c) los extremos de cada lado recto, d) longitud de
cada lado recto , e) la excentricidad. Construir la gráfica
x2
y2
a)

1
169 144
x2 y2
c)

1
25 16
y2
x2
b)

1
289 225
x2 y2
d)

1
64 100
2.- Dadas las condiciones siguientes, determinar la ecuación de la elipse.
a) Vértices (4, 0) , focos (3, 0)
b) Vértices (06), focos (0, 4)
c) Vértices (5, 0) , focos (4 ,0)
d) Vértices (017), focos (0, 8)
3.-Las siguientes ecuaciones, representan a una elipse. Hallar las coordenadas de los vértices y focos,
las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados
rectos.
a) 9x2 + 4y2 = 36
c) 16x2 + 25y2 = 400
b) 4x2 + 9y2 = 144
d) 9x2 + 25y2 = 225
4.-Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2, 0), y su excentricidad es igual 2 / 3.
5.- Los focos de una elipse son los puntos (), y la longitud de sus lados rectos es igual a 9. Hallar la
ecuación de la elipse.
6.- Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X . Hallar la ecuación
sabiendo que pasa por los puntos (6, -1) y (2, 

Determinar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su centro en el origen, uno de sus
vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto (5 , 14/3).
8.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes:
a) a = 5 , b = 3, eje mayor paralelo al eje X, centro en (2,1)
b) a = 13 , b = 5, eje mayor paralelo al eje X, centro en (-1, 5)
c) a = 25 , c = 7, eje mayor paralelo al eje Y, centro en (-4,3)
d) a = 17 , c = 8, eje mayor paralelo al eje Y, centro en (4, -2)
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 166
CAPITULO 6
LA ELIPSE
9.- Obtener las ecuaciones de las elipses siguientes:
a) Eje mayor paralelo al eje X con centro en (-1,3) y ejes mayor y menor de longitudes 10 y 6
respectivamente.
b) Eje mayor paralelo al eje Y con centro en (3,-4) y ejes mayor y menor de longitudes 34 y 30
respectivamente.
c) Vértice en (5,4) y uno de los extremos del eje menor en (3,1)
d) Vértices en (8,2) y (-2,2) , uno de sus focos en (6,2)
e) Un vértice en (6,3) y sus focos en (-4,3) y (4,3)
f) Un vértice en (6,3) y sus focos en (-4,3) y (4,3)
g) Centro en (-3,1), vértice en (14,1) y un foco en (5,1)
h) Centro en (2,1), vértice en (2,-12) y un foco en (2,6)
10.- Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes:
a) Extremos del eje menor en (-2,2), un vértice en (1,1)
b) Extremos del eje menor en (3,5) y (3,-3) , un vértice en (-2,1)
c) Extremos del eje menor en (-3,-2) y (1,-2), un vértice en (-1,1)
11.-Reducir las siguientes ecuaciones a la forma ordinaria y hallar las coordenadas del centro, focos,
vértices y covértices. Determinar la longitud del lado recto y la excentricidad.
a) x2 + 4y2 -6x + 16y +21 = 0
b) 4x2 + 9y2 + 32x - 18y +37 = 0
c) 25x2 + 9y2 -200x + 90y +400 = 0
d) 2x2 + 3y2 -8x - 18y +29 = 0
e) 3x2 + 2y2 -24x + 12y + 60 = 0
Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x, y) que cumplen con las siguientes condiciones:
12.- La suma de las distancias de cada punto P(x, y) a los puntos fijos (-2,3) y (6 , 3) es 10.
13.- La suma de las distancias de cada punto P(x, y) a los puntos fijos (3,-4) y (3, 12) es 34.
14.- La suma de las distancias de cada punto P(x, y) a los puntos fijos (2,-3) y (2,7) es 12.
15.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (3,2) es la mitad de la
correspondiente a la recta x + 2 = 0 . ¿ Qué curva representa dicho lugar ?
Profr. ALBERTO ALAVEZ CRUZ 167