COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA 1 FISICA GRADO ONCE ASIGNATURA: NOMBRE : GRADO: FISICA MOVIMIENTO PERIODICO ONCE EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA LA UNIDAD 1. ¿Cuál es la principal característica de un movimiento periódico? 2. ¿Qué relación existe entre período y frecuencia de un movimiento periódico? 3. Una varilla efectúa 120 vibraciones durante un tiempo de un minuto. Hallar el período y la frecuencia del movimiento. 4. La frecuencia de un movimiento oscilatorio es de 8 Hz. Determinar el período de movimiento. 5. Un volante realiza 1500 revoluciones cada 3 segundos y otro efectúa 3500 en 5 segundos. Calcular cuantas vueltas dará más el uno que el otro, durante un tiempo de 3/4 de minuto. vibratorio es de 4 Hz y el período de otro movimiento similar es de 0,5 segundos. Calcular: el valor de la velocidad a los 0,8 y 1,4 segundos después de haberse iniciado el movimiento. la elongación es de 0,26 centímetros, ¿cuántas puntadas dará la máquina por minuto? 15. Determinar el valor de la 19. La amplitud de oscilación de aceleración en un MAS, para una partícula es de 0,5 a) Diferencia de frecuencia cuando el valor de la centímetros y el período de 0,1 entre los dos movimientos. elongación es segundo. ¿Al cabo de cuánto b) Diferencia de períodos. de 3 y 5 centímetros, tiempo su elongación valdrá respectivamente. Frecuencia 0,2 centímetros? 8. ¿Cuáles son las del movimiento: 4 Hz. características de un 20. Un péndulo de 20 centímetros movimiento armónico simple? 16. Una partícula ejecuta un MAS de longitud oscila con período de 12 centímetros de amplitud de 0,4 segundos; si su longitud 9. ¿En qué condiciones el y frecuencia de 2 Hz. Calcular: se aumenta en 1,6 metros, movimiento de un péndulo se ¿cómo se modificará el puede considerar como MAS? período? ¿Cómo cambia la a) Valores máximos de la frecuencia? velocidad y aceleración. 10. ¿Entre qué valores varía la elongación en un MAS? b) Valores de la velocidad y 21. Al traer un reloj de péndulo del polo al ecuador terrestre, ¿se aceleración al cabo de 2,4 11. ¿Es constante la velocidad de atrasa o se adelanta? segundos de haberse un cuerpo que realiza un MAS? iniciado el movimiento. 22. Determinar experimentalmente 12. En un movimiento pendular, el valor del período de un c) Posición de la partícula a los ¿cómo varía la energía cinética péndulo de 1,2 metros de 3,2 segundos de iniciación y la potencial cuando la masa longitud, con base en el dato del movimiento. pendular se aleja y acerca a la hallado calcular el valor de la posición de equilibrio? gravedad en dicho lugar. 17. Una partícula ejecuta un MAS. Cuando su elongación vale 0,5 13. En un MAS la amplitud tiene un metros, su velocidad es de valor de 0,05 metros y el 5 m/s y cuando la elongación es período es de 0,8 segundos. de un metro, la velocidad es de Calcular la elongación para 3 m/s. Hallar la amplitud de tiempos de: 0,2; 0,4 y 1,2 de vibración. haberse iniciado el movimiento. 6. ¿Cuál es la frecuencia normal 14. En un MAS la amplitud tiene un 18. La aguja de una máquina de coser efectúa un MAS, siendo valor de 0,10 metros y el con que palpita un corazón? la amplitud de 0,3 centímetros. período es de 2 segundos. Si al cabo de 1/20 de segundo 7. La frecuencia de un movimiento Calcular COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA 2 FISICA GRADO ONCE 6. Mostrar en forma experimental un movimiento pendular haciendo ver con ayuda de una gráfica, que Objetivos específicos se trata de un movimiento debido a la fuerza de gravedad. Como consecuencia del estudio de la presente unidad, el alumno 7. Deducir una expresión matemática que muestre los debe quedar en capacidad de: factores que determinan el valor 1. Identificar las diferentes clases del período en de movimientos, tales como: un péndulo simple. uniforme, acelerado, circular utilizando un uniforme y 8. Investigar, periódico, especificando con péndulo, la manera como puede claridad en cada caso, las hallarse el valor de la gravedad características o propiedades de de un lugar. cada uno. 2. Clasificar las diferentes formas o modalidades del movimiento INTRODUCCIÓN periódico, estableciendo la debida diferencia, por ejemplo Entre los fenómenos físicos de entre un movimiento oscilatorio cotidiana observación el más y uno vibratorio, o entre un común es sin duda el del movimiento pendular y uno movimiento. Desde que nos arrullan cuando niños hasta ondulatorio. cuando morimos, nos estamos 3. Explicar con dos o tres ejemplos moviendo. Durante el período de las características particulares nuestra existencia presenciamos a de un movimiento armónico diario, el movimiento de las aguas, simple MAS. de los vientos, de los animales, de 4. Resolver por lo menos 10 los vehículos, etc. Por las lecturas ejemplos de problemas relativos que realizamos nos estamos a las variables: elongación, informando del movimiento de los velocidad, aceleración y energía planetas, las partículas y los electrones. en un MAS. 5. Dibujar sobre el mismo sistema Entre las variadas clases de coordenado las gráficas movimiento, el denominado correspondientes a las periódico, reviste una importancia variables: elongación, extraordinaria, pues la mayor velocidad y aceleración. parte de fenómenos como el calor, UNIDAD 1 MOVIMIENTO PERIODICO el sonido, la luz y la electricidad, f) Coméntese el movimiento de la poseen elementos de tierra alrededor del sol y el de los periodicidad, como tendremos electrones en torno del núcleo. ocasión de comprobarlo a lo largo del presente curso. 1-1. Concepto de movimiento periódico En Unidades de Física 10, se estudiaron diversas clases de movimientos, tales como el que realiza un cuerpo que se mueve uniformemente en línea recta. Consideramos también el movimiento rectilíneo con aceleración constante y el circular uniforme, en el cual la rapidez se conserva constante aun cuando tiene lugar un cambio continuo de la dirección. Aparte de éstas formas de movimiento, existen otras, en las que el móvil ejecuta Figura 1-1. Diferentes clases de repetidamente el mismo movimiento periódico movimiento a intervalos iguales de tiempo. ¿Qué diferencias y semejanzas se pueden establecer entre los Experimentos: movimientos observados? ¿Se a) Hágase oscilar un péndulo, advierte algún elemento común en los movimientos b) Obsérvese el movimiento de las todos examinados? ¿Cuál es? manecillas de un reloj, c) Hágase vibrar una cuerda Si los experimentos sugeridos se han realizado con atención tensa, seguramente la mayoría de los d) Obsérvese el movimiento de un alumnos formularán la siguiente columpio, observación: se trata en todos los e) Tómese el pulso de dos o tres casos, de movimientos que se repiten con similares caracpersonas, COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA 3 FISICA GRADO ONCE terísticas a inter\ralos iguales de tiempo. En el caso del movimiento pendular, por ejemplo, la masa suspendida del hilo figura 1-1, partiendo de su posición de equilibrio AB, es llevada por la acción de una fuerza hasta la posición AC; abandonada en éste instante, la masa busca recuperar su posición inicial, pero a causa de la energía cinética adquirida, no sólo alcanza dicha posición, sino que logra llegar a otra AD simétrica de AC, con respecto a AB. De este momento en adelante el movimiento pendular se repite con similares características durante algún tiempo. De conformidad con la ley de la conservación de la energía, el movimiento debería ser indefinido, si a él, no se opusiera la fuerza de rozamiento, la que en forma gradual va amortiguando las oscilaciones hasta que finalmente el cuerpo oscilante vuelve a su condición de reposo. Analizando los demás movimientos observados, se llega muy aproximadamente a la conclusión antes enunciada, o sea, que se trata en todos los casos de movimientos que se repiten con las mismas características a intervalos iguales de tiempo. A esta clase de movimiento periódico. se le denomina La expresión periódico se aplica a esta clase de movimiento en razón de que el vocablo se utiliza para significar fenómenos o hechos que se repiten igualmente después de un cierto tiempo. Así, por ejemplo, si a una persona se le presenta fiebre todos los días a la misma hora, es lógico que se trate de una fiebre periódica; las publicaciones que aparecen diaria, semanal o mensualmente se les denomina también periódicas, justamente por las razones anotadas anteriormente. también fenómenos de naturaleza periódica: el sonido, la luz, las radiaciones caloríficas, la radiación gamma, los rayos X y finalmente, la radiación cósmica. En realidad el estudio del movimiento periódico parece abarcar el de la Física entera. equilibrio en virtud de la gravedad y de la inercia, d) Movimiento vibratorio: movimiento rápido a uno y otro lado de la posición de equilibrio en virtud de la elasticidad, e) Movimiento ondulatorio: movimiento vibratorio que se transmite 1-2. División del movimiento sucesiva y gradualmente, mediante las vibraciones de una periódico partícula a las demás de un Para su estudio, el movimiento determinado medio. periódico se divide en las 1-3. Elementos de un siguientes formas: movimiento periódico En la misma forma se explica, que en el estudio de Aritmética se hable de fracciones periódicas tales como: 0,333...; 0,252525..., etc. El estudio del movimiento periódico reviste especial importancia ya que casi la totalidad de los fenómenos físicos conocidos, encierran elementos a) Circular uniforme: de periodicidad. movimiento de rapidez constante cuya trayectoria es una En efecto, si examinamos el circunferencia, movimiento de la tierra alrededor del sol, el de la luna alrededor de b) Oscilatorio: movimiento a la tierra, el de la tierra sobre sí uno y otro lado de la posición de misma, el de los electrones en equilibrio, torno al núcleo, el de las ramas de un diapasón, etc, tenemos que c) Movimiento pendular: reconocer su inconfundible movimiento de una masa a uno y carácter periódico. Igualmente y otro lado de la posición de mucho más específicos son Experimento: tómense dos péndulos de 40 y 90 centímetros de longitud respectivamente y separándolos igualmente de su posición de equilibrio, hágaseles oscilar. Con ayuda de un cronómetro regístrese en cada caso el número de oscilaciones realizadas por cada péndulo, durante un minuto. En poder de los datos logrados, dedúzcanse por cálculo los siguientes valores: a) Tiempo empleado por cada péndulo para efectuar una oscilación completa, b) Número de oscilaciones o ciclos realizados por cada péndulo durante un segundo. Los resultados anteriores deben conducir a las siguientes COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA 4 FISICA GRADO ONCE conclusiones: para verificar una oscilación, cada péndulo emplea un determinado intervalo de tiempo; durante un segundo, cada péndulo efectúa un determinado número de oscilaciones o ciclos. La primera de las conclusiones anteriores permite fijar el concepto de período, como el intervalo de tiempo empleado por el péndulo para realizar una oscilación; la segunda permite fijar el concepto de frecuencia, entendida como el número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo, o sea un segundo Experimento: tómense dos péndulos de la misma longitud e igual masa pendular y separándolos desigualmente de su posición de equilibrio hágaseles oscilar. Figura 1-2. Noción de amplitud ¿Qué diferencia se puede observar entre los dos movimientos? ¿Durante todo el tiempo de oscilación conservan la misma diferencia de separación con relación a la posición de equilibrio? Un niño que se mece en un columpio de igual longitud que el de su compañero, puede en su movimiento de vaivén llegar a una posición extrema de mayor altura con relación al suelo, que el de su amigo; un émbolo puede tener una mayor carrera que otro, entendiendo como tal, la distancia entre las posiciones extremas que ocupa, o sea, la posición en que cambia el sentido del movimiento. La diferencia advertida entre el movimiento de los dos péndulos corresponde a la noción de amplitud, entendida como la máxima separación con respecto a la posición de equilibrio. Experimento: dos péndulos de igual longitud, háganse oscilar con igual amplitud, pero iniciando el movimiento de uno hacia la derecha y en el otro hacia la izquierda, figura 1-4. ¿Qué se observa? Los péndulos oscilan con igual período, frecuencia y amplitud, pero difieren en algo. Ambos péndulos pasarán simultáneamente por sus respectivas posiciones de equilibrio, pero con movimientos Dos péndulos pueden oscilar en de sentido contrario. fase u oscilar con diferencia de fase, la cual puede expresarse en función de períodos completos o por fracciones de período. En síntesis, todo movimiento periódico está caracterizado por cuatro elementos a saber: período, frecuencia, amplitud y diferencia de fase. Examinando los conceptos de período y frecuencia, es fácil deducir que se trata de dos Figura 1-3. Concepto de diferencia de magnitudes, que guardan entre fase sí una relación inversa que puede expresarse en forma Si quisiéramos igualar matemática. completamente los dos movimientos, ¿qué podríamos hacer? En efecto, llamando T al período Sencillamente cuando el uno haya y f a la frecuencia se halla que: llegado de su posición extrema derecha o izquierda, deténgase T = 1/f o sea que: f = 1/T hasta cuando el otro llegue a fin de igualar o sincronizar los dos El período siempre debe movimientos. ¿Cuánto hubo que expresarse en segundos y esperarse para lograr el la frecuencia en HERTZ (Hz) resultado deseado?. 1 Hz = 1 ciclo/s Figura 1-2. Noción de amplitud Sencillamente un semi-período, o sea que la diferencia fundamental entre el movimiento de los dos péndulos corresponde a un adelanto o retraso de un movimiento con respecto al otro. A este adelanto o retraso de un movimiento con relación al otro se le denomina en Física, diferencia de fase. 1-4. Movimiento simple MAS armónico Experimento: 1. Tome una banda de caucho, fíjela por uno de sus extremos y del otro suspenda una piedra. Estire un poco la banda con la mano y luego suéltela. COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA 5 FISICA GRADO ONCE 2. Repita el experimento anterior, pero usando un resorte en vez de la banda de caucho. 3. Una lámina de acero o una segueta fíjela como lo muestra la figura 1-4 y con la mano retírela de su posición de equilibrio y abandónela. Figura 1-4. Concepto de movimiento armónico simple ¿Qué clase de movimiento se observa en los tres casos? ¿Es oscilatorio? ¿E| movimiento es vibratorio? ¿Qué fuerzas intervienen en los tres movimientos? ¿Podemos afirmar que los movimientos observados se deben a fuerzas elásticas? ¿Recuerda usted la ley de Hook? ¿Qué tipo de relación se advierte entre la fuerza que obra y el desplazamiento que tiene Todo movimiento que obedezca lugar? a las características antes enunciadas es un movimiento Como los tres movimientos armónico simple MAS. La parecen tener similares relación entre la fuerza y el características, examinemos, por desplazamiento queda ejemplo, el que realiza la varilla. Si perfectamente descrita por medio se aplica a la masa M una fuerza de la ecuación: hacia la derecha de modo que origine un desplazamiento x, de F = kx o también F/x = K inmediato se observa la acción de una fuerza restauradora que pero teniendo en cuenta que se tiende a regresar la masa a su trata de igual dirección, pero de posición inicial. Esta fuerza sentido opuesto, la expresión decrece a medida que la masa anterior debe tomar la forma regresa llegando a anularse para la posición central, pero gracias a F = -kx la inercia y a la cantidad de movimiento lineal, la masa se mo- 1-5. Relación entre MAS y verá hacia la izquierda hasta movimiento circular uniforme alcanzar la posición B simétrica de A con respecto a 0. Experimento: arme un dispositivo como el que muestra la figura A partir de este momento, la masa l-5(a) que consiste esencialmente continúa moviéndose a uno y otro en un disco que puede girar lado, y de no existir roce, el movi- alrededor del centro O. miento debería repetirse indefinidamente. De un pequeño clavo C fijo al disco, pende en la forma en que El anterior análisis aplicado a los se ve, una cuerda que atraviesa demás casos permite deducir que una esfera de madera E, por un se trata en todos los ejemplos de orificio de mayor diámetro que el un movimiento muy particular en de ésta. Un peso P, permite el cual: la fuerza que actúa es mantener tensa la cuerda o hilo. variable, proporcional al desplazamiento y dirigida Cuando se hace rotar el disco, el siempre hacia el centro. Tanto peso sube y baja, en tanto que la la fuerza como el des- esfera E se mueve sobre el riel R plazamiento tienen_ la misma a uno y otro lado. ¿Qué ocurrirá dirección, pero sentido si al disco se imprime un opuesto. movimiento circular uniforme? ¿Cómo se moverá la esfera? (a) (b) Figura 1-5(a), (b). Ejemplo de MAS Cuando el punto C de la figura 1-5(a), en donde se halla clavado COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA 6 FISICA GRADO ONCE el perno pasa de la posición 1 a la 2, la esfera se desplazará sobre el riel desde el punto F al H; cuando el punto C va de la posición 2 a la 3, la esfera se desplazará del punto H al L. Es fácil entonces observar que mientras el punto C ha girado por media vuelta, la esfera ha pasado de su posición extrema derecha a su posición extrema izquierda y si el punto C continúa girando hasta completar una vuelta, la esfera regresará del punto L al F. De este momento en adelante, el movimiento de la esfera se repetirá con similares características. Tenemos en consecuencia que la esfera E realiza un movimiento oscilatorio de trayectoria rectilínea, en tanto que el punto C efectúa un movimiento circular uniforme. En esencia el punto E, no es sino la proyección de C sobre la recta o riel R. Partiendo de la simplificación introducida veamos cuales son las características del movimiento del punto P, cuando el punto Q ha barrido ángulos de: 30, 60, 90, 120,150 y 180 grados. La observación atenta de la figura 1-6 permite comprobar: Los puntos 1,2,….. sobre el diámetro AB corresponden a posiciones ocupadas por el punto P al cabo de intervalos iguales de tiempo. Compruébese con las medidas, si las distancias entre esas posiciones son iguales o distintas; indique cómo varían dichas distancias cuando el punto P se desplaza de A a O, de O a B, de B a O y, finalmente, de O a A. ¿En qué tramos el movimiento del punto P es acelerado y en cuáles retardado? posición central o de equilibrio; su valor puede ser positivo o negativo según se encuentre el móvil a uno u otro lado de dicha posición. La elongación máxima recibe el nombre de amplitud y se designa por el símbolo A, que corresponde también al valor del radio de la circunferencia de referencia. Observando la figura 1-7 se infiere que mientras el punto Q ha barrido el arco NQ determinando el ángulo ᶲ, su proyección P dotada de MAS tiene como elongación el valor del segmento OP cuya expresión analítica es, según la figura Por las razones anteriores el movimiento de P vuelve a ser acelerado entre B y O y retardado entre O y A. En conclusión, el MAS es acelerado cuando el punto P marcha hacia el centro y es retardado cuando se aleja de él. Su velocidad es máxima en el centro y nula en cualquiera de los extremos. El movimiento realizado por el punto E, es un caso típico de movimiento armónico simple. Si el dispositivo de la figura 1-5(a), lo despojamos de sus elementos físicos, para obtener una representación puramente geométrica, podemos sustituir el disco por una circunferencia, el clavo C por el punto Q y la esfera por el punto P, que se mueve sobre el diámetro AB, figura 1-5(b). De las observaciones anteriores se deduce: a) Mientras el punto Q realiza un movimiento uniforme sobre la circunferencia, el punto P no se desplaza uniformemente como se ha comprobado mediante la medida o por simple observación. b) Cuando el punto P va de la posición A al centro O, su movimiento es acelerado, ya que en tiempos iguales recorre segmentos desiguales; en efecto, segmento 1-2 menor que segmento 2-3 y segmento 2-3 menor que 3-4; en cambio el movimiento de P es retardado entre O y B, pues segmento 4-5 mayor que segmento 5-6 y 5-6 mayor que 6-7. 1-6. Elongación, velocidad y aceleración en un MAS Figura 1-6. Movimiento armónico simple Se denomina elongación, a la distancia que separad móvil en un momento dado de la Figura 1-7. Valor de la elongación en un MAS COLEGIO CRISTO REY MYRIAM SICACHA GAVIRIA FISICA GRADO ONCE 7