1.Teoría de Conjuntos

UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT
CURSO INTRODUCTORIO Y PREINGRESO
Asignatura: RAZONAMIENTO LÓGICO
Autor: José Manuel Díaz Fumero
GUIA No 1
Teoría de Conjuntos
Versión 1.02 Marzo. 2008
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CONTENIDO
1.Teoría de Conjuntos .......................................................................................................... 2
1.1. Definición.................................................................................................................... 2
1.2. Formas de determinar o describir conjuntos .......................................................... 2
1.2.1. Por Extensión ...................................................................................................... 2
1.2.2. Por Comprensión ................................................................................................ 2
1.3. Simbología .................................................................................................................. 3
1.4. Clases de Conjuntos .................................................................................................. 4
1.6. Conjunto Numérico ................................................................................................... 8
1.7. Ejercicios .................................................................................................................... 8
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1.Teoría de Conjuntos
1.1. Definición
Conjunto: es la colección de reunión de objetos en la que se sabe cuáles pertenecen a
ella y cuáles no. Los objetos que componen un conjunto se denominan elementos. Hay
conjuntos que tienen un solo elemento; otros no tienen elemento alguno.
Ejemplos de conjuntos:






Conjunto formado por todas las piezas de un carro.
Conjunto compuestos por los objetos dentro de la cartera de una Dama.
Conjunto constituido por las instalaciones de un Conjunto Residencial.
Conjunto formado por los componentes de un computador.
Conjunto formado por las piezas publicitarias para un producto.
Conjunto al que pertenecen los números pares.
1.2. Formas de determinar o describir conjuntos
Existen dos formas para determinar, describir o definir un conjunto: por extensión y
por compresión.
1.2.1. Por Extensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran cada uno de los
elementos del conjunto.
Ejemplos:
{
B={monedero, lentes, lápiz labial, polvo compacto, pastillero..............}
C={apartamentos, conserjería, ascensores, estacionamiento, escaleras....}
D={pantalla, mouse, teclado, unidad de discos, cpu}
E={comercial de tv, anuncio de radio, vallas, anuncios de prensa, volantes, internet}
A= parachoques, cauchos, amortiguadores, motor, caja, volante..........}
1.2.2. Por Comprensión
Un conjunto se determina por extensión cuando se da por una propiedad o una regla
que verifican todos sus elementos y solo ellos.
Ejemplos:
{ piezas de un carro}
B={ objetos dentro de la cartera de una Dama}
A=
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{ instalaciones de un Conjunto Residencial}
D={ componentes de un computador}
E={ piezas publicitarias para un producto}
C=
1.3. Simbología
Los conjuntos como ya se expreso en los puntos anteriores se representan usualmente
con letras mayúsculas (A, B, C....), los elementos con letras minúsculas van separados por
comas y encerrados entre llaves (
{}).
La forma gráfica de representar los conjuntos es mediante el uso del diagrama de
Venn. En estos diagramas se utilizan áreas rectangulares y circulares para visualizar los
conjuntos. Como se muestra en la siguiente figura.
D
C
E
Para denotar que un elemento x forma parte de un conjunto A, lo denotamos dela
siguiente forma: x  A que expresa que: “x pertenece a A”.
La no pertenencia o bien la propiedad de no ser el elemento a un objeto del conjunto
A, lo expresamos como sigue: a  A que expresa: “x no pertenece a A”.
En el desarrollo del curso se usaran con frecuencia entre otros los siguientes
símbolos:
= símbolo de igualdad
 símbolo usado para expresar “diferente de”
> mayor que
 mayor o igual que
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< menor que
 menor o igual que
/ tal que
 subconjunto de
 intersección de conjuntos
C complementación de conjuntos
1.4. Clases de Conjuntos
Conjunto Vacío: es el que no contiene ningún elemento y se simboliza por Ø o { }.
Ejemplo:
{
A= conjunto de perros que hablan
}
Conjunto Unitario: reciben el nombre de conjunto unitario aquellos conjuntos
compuestos por un sólo elemento.
Ejemplo:
{
B= mes del año que empiece por f
}
Conjunto Finito: es el conjunto compuesto por un número determinado de elementos.
C=
{x / x Z+ , x < 5} o C=={1,2,3,4}
Conjunto Infinito: es el conjunto que por su cantidad de elementos es difícil de
cuantificar.
Ejemplo:
C=
{x / x Z} Z son los números enteros
Conjunto Universal
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Conjuntos Disjuntos o Disyuntos son los conjuntos cuya intersección no existe, es
decir no se interceptan entre sí
1.5. Operaciones con Conjuntos
Antes de describir las operaciones de conjuntos vale destacar las siguientes
relaciones de conjuntos.
Relación de Contenencia o Subconjunto: si todos los elementos de un conjunto cualquiera S
pertenecen a otro R, decimos que el primero está incluido en el segundo o que S es
subconjunto de R y se denota:
SR
R
S
Partes de un conjunto: se denomina parte de un conjunto A, al conjunto formado por todos
los subconjuntos de A y se simboliza por P(A). El número de elementos del conjuntos
partes de A es 2n, donde n es el número de elementos de A.
Ejemplo:
Dado el conjunto A={ guante, pelota, bate}
El número de subconjuntos de A es 8, ya que 23 = 8 y dichos subconjuntos son:
{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate},
{ guante, pelota, bate}, { }
Luego P(A)=
{{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate},
{ guante, pelota, bate}, { }
}
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El cardinal de un conjunto: es el número de elementos de un determinado conjunto y se
denota con la letra n y acompañado entre paréntesis del nombre del conjunto. Ejemplo el
cardinal del conjunto A se representará como n(A).
Las operaciones con conjunto más comunes son: la unión, la intersección, el
complemento y la diferencia.
Unión: cuando se unen dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C
formado por todos los elementos de A, de B de a ambos. La unión se simboliza AB
En general: AB = C ={ x / x  A  x  B }
U
A
B
C
n(AB)= n(A)+n(B)- n(AB)
Intersección: cuando se intersecan dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C
formado por los elementos comunes a los dos conjuntos. La unión se simboliza AB y se
lee A intersección B.
En general: AB = C ={ x / x  A  x  B }
U
A
B
C
AB
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Diferencia cuando se hace la diferencia entre dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer
conjunto C formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. La unión se
simboliza A-B y se lee A diferencia con B.
En general: A-B = C ={ x / x  A  x  B }
A
B
U
C
A-B
Complemento: cuando se quiere obtener el complemento de un conjunto A dado, se
escribe un conjunto C, formado por todos los elementos del conjunto universal que no están
en A. Se simboliza AC y se lee A complemento.
En general: AC = C ={ x / x  U  x  A }
U
A
AC
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1.6. Conjunto Numérico
Entre los conjuntos numéricos que existen están los conjunto de puntos de una recta,
el conjunto de puntos de los puntos de un plano que constituyen una figura geométrica,
entre otros.
El conjunto de los números naturales:
N = {0, 1, 2, 3, 4,...........}
El conjunto de los números enteros:
Z = {....-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...........}
El conjunto de los números racionales:
Q = {a/b / a Z, bZ , b0}
1.7. Ejercicios
1.- Describa por extensión los siguientes conjuntos:
P={x / x es país de sur América que tiene costa sobre el océano Pacífico}
A={x / xZ+ , x<15}
H={x / xZ, x≥10x≤25}
D={x / xR/ x2-9x+14=0}
L={x / x es letra de la palabra América}
F={x /xN  x sea par}
2.- Escriba por comprensión los siguientes conjuntos:
A={1,2,3,4,5,6,..........}
B={x,y,z}
C={2,4,6,8}
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D={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}
E={a,b,c,d,e,f.............z}
3.- En cada diagrama sombree la operación indicada
B) (AB) (BC)
A) (A-B) (A-C)
U
B
A
A
B
C
C) ACBC CC
U
C
A
C
U
B
4.- A continuación se presentan los principales productos de exportación de países de la
comunidad andina de naciones
Bolivia
Colombia
Ecuador
Perú
Venezuela
Estaño
Café
petróleo
cobre
petróleo
gas natural
petróleo
camarones
petróleo
acero
Plata
Banano
banano
Antimonio
esmeraldas
café
zinc
aluminio
Café
Frutas
cacao
café
cacao
derivados del
pescado
café
a) Determinar por extensión los conjuntos B, C, P y V, cuyos elementos son los
principales productos de exportación de Bolivia, Colombia, Ecuador, Perú y
Venezuela, respectiva.
b) Determinar un conjunto que sirva como conjunto universal para B, C, E, P y V.
c) Encuentre:
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I. CP
II. BC
III. EC (exprese en palabras el significado de este conjunto)
IV. B-E
V. BCEPV ¿Qué significado tiene este conjunto?
5.- En el siguiente diagrama de Venn muestra ciertas características de los empleados de
una empresa donde:
H: representa el conjunto de los hombres
E
C: representa el conjunto de casados
E: representa el conjunto de extranjeros
Determine:
a) ¿Cuántas personas forman el conjunto universal?
b) ¿Cuántos hombres casados hay?
c) ¿Cuántas mujeres extranjeras solteras hay?
d) ¿ Cuántas personas extranjeras hay en la empresa?
e) ¿ Cuántas hombres nativos solteros hay?
f) ¿Hay igual números de hombres que de mujeres?
g) ¿Hay igual número de extranjeros que de nativos?
h) ¿Cuántas mujeres casadas hay?
i) ¿ Cuántas mujeres nativas solteras hay?
6.- Sabiendo que:
n(A) =35 y n(B)=40, halle n(AB) si:
a) n(AB)=8
b) A y B son disjuntos.
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C
8 16
9 3 2
H
5
7
11
7.- En una encuesta realizada a 100 personas sobre sus inversiones, se observó que 45
personas poseían acciones, 60 poseían bonos y 90 poseían por lo menos una de las dos
inversiones. Se desea obtener la siguiente información:
a) El número de personas que tienen ambas inversiones
b) El número de personas que no tienen ninguna de las dos inversiones
c) El número de personas que posee solamente acciones
d) El número de personas que poseen exactamente una de las dos inversiones
8.- En una encuesta sobre tres artículos A, B, C se obtuvieron los siguientes datos:
n(AB)=75, n(A)=43, n(C)=52, n(AB)=15, n(AC)=18, n(BC)=16, n(AC)=77
y n((ABC)C=113
Se desea saber:
a) El número de personas que prefieren el artículo B
b) Cuántas prefieren sólo el artículo B o C, pero no ambos
c) Cuántas prefieren por lo menos uno de los artículos
d) El número de personas a las que se les hizo la encuesta
e) El número de personas que sólo prefieren el artículo A
f) El número de personas que no prefiere ninguno de los tres artículos.
9.- En una universidad al analizar los horarios de clase se observo que:
El 43% de los estudiantes tienen clase a las 7 a.m
47% tiene a las 8 a.m.
40% a las 9 a.m
16% tienen clase a las 7 a.m. y a las 8 a.m
18% a las 7 a.m y a las 9 a.m
14% a las 8 a.m y a las 9 a.m
6% a las 7 a.m, 8 a.m y a las 9 a.m
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Se desea conocer:
a) Que porcentaje de estudiantes tienen clase durante esas tres horas
b) Sólo a las 8 a.m
c) Qué porcentaje no tiene clase durante esas tres horas
d) Sólo a las 7 a.m y a las 8 a.m