Guía final de Matematicas III 2011 Rosenblueth

Colegio Arturo Rosenblueth
Guía final de matemáticas III
Nombre___________________________________________No. Lista_____Gpo.___
Contesta cada problema en orden, con limpieza y claridad. En los problemas que se
requiera realiza un dibujo que te auxilie en la solución usando para ello regla, compás y
transportador. Es necesario que cada problema cuente con el procedimiento
Ángulos, Circunferencia y sus aplicaciones.
1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos:
a)
b)
40
160
2. Convierte a grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:
a) 0.7534 rad
b) 3.11345 rad
3. El minutero de un reloj es de 20 cm de longitud. ¿Qué recorrido realiza la punta de la
manecilla es 35 minutos?
Res.: 73.30 cm
4. So dos ciudades se encuentran separadas 270 millas en el mismo meridiano. Encuentra su
diferencia de latitud.(Investiga que es un meridiano y que un paralelo).
Res.: 3/44 rad
5. La curva de una vía de ferrocarril se va a tender en un círculo. ¿Qué radio deberá usarse si
la trayectoria cambia de dirección 35° en una distancia de 350 metros?
6. Calcula la longitud de un arco de circunferencia que se determina en un ángulo central de
40° si el diámetro de la circunferencia es de 200 cm.
7. El final de un péndulo de 40 pulgadas describe un arco de 5 pulgadas. ¿Qué ángulo recorre
el péndulo al balancearse?
Res.: 7.16°
8. Calcula el área de un sector circular determinado por un ángulo central de 50° en un
círculo de 24 cm de radio.
9. Un volante de 10 cm de radio gira a una velocidad promedio de 900 rev/min. ¿Qué tan
rápido viaja un punto en el borde en m/s.(1rev= 2 rad)
Res.: 9.4 m/s
10. Un círculo tiene un radio de 30 cm. ¿Cuánto mide el arco de un ángulo inscrito de 25°?
11. Calcula la medida de los siguientes elementos:
a) DE
A
b)
B
c)
12. Un ángulo excéntrico en una circunferencia de radio 4 determina dos arcos de 50°
y 30° respectivamente al prolongar sus lados. ¿Qué medida angular tiene dicho
ángulo.
Res.:40°
Funciones trigonométricas de un ángulo
13. Determina los valores de las funciones trigonométricas del ángulo  (el ángulo
positivo más pequeño en posición estándar) si P es un punto en el lado terminal de  y las
coordenadas de P son:
a) P(3,4)
b) P(-2,3)
c) P(-4,6)
14. En que cuadrante queda localizado  si:
a) sin  y cos  son negativos
b) sec  es negativa y tan  es negativa
c) sin  es positivo y tan  es negativo.
15. Encuentra los valores de el resto de las funciones trigonométricas si:
a) sin  
4
7
b) tan   
5
9
8
3
16. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del
triángulo rectángulo ABC dado:
c)
sec  
a) a=3, c=6
b) b=8,a=5
c) b=10,c=8
17. Dibuja un triángulo equilátero de longitud 2 en cada lado, biseca uno de sus
ángulos y emplea la figura para determinar las funciones trigonométricas de los
ángulos de 30° y 60°.
18. Cuando el Sol se encuentra a 20° sobre el horizonte, ¿cuánto medirá la sombra que
proyecta un edificio de25 m de altura?
Res.: 68.68 m
19. Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base dista 16 pies del
edificio. ¿A qué altura está el extremo superior de la escalera y que longitud tiene
si el ángulo que forma con el suelo es de 66°?
20. Determina la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte superior
cambia de 20° a 40° cuando un observador avanza 25 metros hacia la base de
este?
Res.: 18.62 m
21. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo isósceles cuya base mide 40 cm y cuyos
ángulos de base miden 70°?
Res.: 157 cm
22. Encuentra el valor de la función utilizando la calculadora:
a) Sin(12.46°)
b) Tan (234.5°)
c) Sec(34.8°)
d) Cot(-125°)
e) Csc(200°)
23. Tomando como referencia el triangulo rectángulo de la figura, resuelve el triángulo
para las condiciones dadas en cada inciso.
a)
b)
c)
d)
A=30° y a=10
C=40° y c=8
a=2, b=4
b=5 y C=60°
24. Para calcular el ancho de un río, un topógrafo instala su base en C en una orilla y
mira a un punto B en la orilla opuesta ; luego, girando un ángulo de 90°, mide una
distancia CA=225 m. Finalmente, instalando la base en A mide CAB  4820´ .
Encuentre al ancho del río.
Res.: 253 m
25. Tres barcos están situados de tal manera que A se encuentra a 225 km al este de C,
en tanto que B, al sur de C, tiene una orientación de S25°10´E de A. (a) ¿Cuál es la
distancia de B a A? (b) ¿Cuál es la distancia d B a C? (c) ¿Cuál es la orientación de A
respecto de a B?
Res.: (c) N25°10º
26. Expresa las siguientes funciones como funciones de ángulos agudos positivos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sin(130°)
Cos(220°)
Tan(315°)
Sec(154°)
Csc(213°)
Cot(125°)
27. Utiliza Geogebra para trazar la gráfica de las siguientes funciones:
a) y  sin(2 x)
b) y  sec(4 x)
c) y  cos(2 x)  sin( x)
28. Verifica las siguientes identidades trigonométricas.
sin x  cos 2 x
 sec x  cot x
sin x cos x
sec x
 sin x
b)
cot x  tan x
a)
c)
cos(2x)  cos4 x  sin 4 x
29. Simplifica a sumas de ángulos agudos los siguientes productos de funciones.
a) sin(60) cos(140) 
b) cos(100)cos(140) 
c) sin(160)sin(200) 
Ley de senos y cosenos
30. Empleando ley de cosenos resuelve el siguiente triángulo determinando la medida
de sus tres lados y tres ángulos.
31. Dibuja un octágono regular de lado 4 cm y determina la medida de cada ángulo
interior, el número de diagonales que se le pueden trazar y la longitud de cada
diagonal.
32. Un piloto vuela desde A 125 km en la dirección N38°20’O y regresa. Por un error, el
piloto vuela 125 km en la dirección S51°40´E. ¿a qué distancia quedo de A y en qué
dirección debe volar para regresar al punto de partida?
Res.: 29 Km S45°40´
33. Un faro se encuentra situado a 10 km al noroeste de un muelle. Un barco sale del
muelle a las 9:00 A.M. y navega hacia el osete a 12 km/h ¿A qué hora se encuentra
a 8 km del faro?
Res.: 9:17 y 9:54 A.M.
34. Una aeronave se desplaza en el aire a 300 mi/h con una orientación de 60°. El
viento tiene una orientación de 130° y una velocidad de 20 mi/h. Calcular la
velocidad terrestre del avión y el ángulo de deriva.
35. Tres círculos tangentes entre sí por la parte externa, con centros en A,B y C, tienen
radios de 50, 30 y 20 cm respectivamente. Encuentra el área del triángulo ABC y
del triángulo curvilíneo formado por los tres círculos. (Idea: Primero encuentra los
ángulos del triángulo con ley de cosenos, luego el área de cada sector circular y
finalmente el área del triángulo…)
Ecuaciones trigonométricas
36. Resuelve las ecuaciones trigonométricas siguientes:
a) 3 tan   5  0
b) 9sin   4  0
c) 2cos2 x  cos x 1  0
d) 2sin 1 (2 x)  3
Números complejos.
37. Realiza la operación dada:
a) (3  5i)  (2  i) 
b) (3  5i)  (2  i) 
c) (3  5i)(2  i) 
d) (3  5i)  (2  i) 
38. Convierte los números complejos a la forma polar:
a) z  3  6i
b) z  8  20i
c) z  25  625i
39. Hallar la raíz n indicada a cada número z dado
a) z  3  6i n =4
b) z  8  20i n=10
c) z  0  625i n=8
40. Resuelve las ecuaciones cuadráticas:
a) 3x 2  6 x  4  0
b) 9t 2  2t  4  0
Logaritmos y exponenciales.
41. Gráfica en Geogebra las siguientes funciones:
a) y  2e x
b) y  42 x
c) y  log6 x
d) y  ln( x)  log( x)
42. Encuentra el valor de la expresión dada:
a) log100000
b) log 2 256
c) ln 725
43. Transforma la ecuación exponencial a la forma logarítmica.
a) y  52 x
b) y  e4x
c) y  10
3x
44. Escribe la ecuación logarítmica de forma exponencial.
a) log(3x)  200
b) ln( x  y)  10
c) log 2 ( x  1)  8
45. Simplifica a un solo logaritmo la expresión dada:
a) 3ln x  2ln y  5ln z
b) 4log y  log y  4log z
46. Descompón las siguientes expresiones logarítmicas:
x4 y 2
z5
10 x
b) log
y
a) ln
47. Resuelve la ecuación logarítmica dada:
a) 2log x  4  0
Res.: x=100
b) 3ln 2  2ln x  0
48. Resuelve la ecuación exponencial
a) 32 x  27
b) 5e x  1  0
Res.: x = -1.6094
49. Que monto se acumula si se invierten $ 40,000 pesos en una cuenta que paga el
14% de interés anual capitalizado mensualmente al cabo de un año.
50. ¿Cuánto dinero debe depositarse en una cuenta que paga 8.5% de interés anual
para que al final de del tercer año se tenga un capital de $25,000 pesos si los
intereses se capitalizan anualmente?
Res.:$19572.70