Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

PRACTICA 1
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Observando la figura y teniendo en cuenta los datos que se adjuntan hallar:
• Ecuación diferencial del sistema
• Función de transferencia.
• Identificar y hallar el valor de la constante de tiempo. ¿Qué significado tiene?
• La respuesta temporal del sistema ante un escalón unitario
• El tiempo de establecimiento (ts) teniendo en cuenta que se trata de un sistema de primer orden.
• Calcular el valor de la respuesta para un tiempo igual a la constante de tiempo.
• Realizar la simulación en módulo Simulink de Matlab
• Determinar la constante de tiempo
• Determinar el tiempo de establecimiento
• Montar un circuito en el laboratorio y medir con el osciloscopio la constante de tiempo y el tiempo de
establecimiento.
• Comparar resultados y razonar discrepancias.
• Introducción
La práctica consta de tres partes bien diferenciadas:
• Base teórica
• Simulación en el ordenador
• Parte real
El objetivo es estudiar el comportamiento de un sistema de primer orden ante un escalón unitario hallando
principalmente su constante de tiempo y el tiempo de establecimiento.
Una vez realizadas las tres partes mencionadas habrá que compararlas, justificando los resultados y las
discrepancias.
• Base teórica
Los sistemas patrón que se estudian son los de 1er y 2º orden ya que son los sistemas básicos a partir de los
cuales pueden realizarse los demás.
Esta práctica se realizará con un sistema de 1er orden (en el denominador orden 1) cuya función de
transferencia (H(s)) tiene la siguiente forma:
Siendo
la constante de tiempo de un sistema de primer orden.
1
Constante de tiempo
: Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63'2% de su valor final, representando la velocidad del sistema.
Si la constante de tiempo es pequeña implica que el sistema es rápido y viceversa si la constante de tiempo es
grande el sistema es lento.
Tiempo de establecimiento ts: Se define como el tiempo necesario para que la respuesta alcance y se
mantenga en un rango alrededor del valor final establecido en ± 5%.
En las gráficas siguientes podemos ver estas definiciones:
Una vez definido las incógnitas establecidas en la práctica pasamos a identificar el sistema.
• Resultados
Voy a hallar la ecuación diferencial del sistema. Para ello observo el circuito a estudiar y planteo las
ecuaciones que lo rigen.
[1]
Pero sé la expresión de la intensidad (i)
[2]
Sustituyendo la ecuación [2] en la ecuación [1] obtenemos la ecuación diferencial del sistema buscado:
[3]
Ahora hallaremos la función de transferencia haciendo la transformada de Laplace a la ecuación obtenida
anteriormente y considerando condiciones iniciales del sistema, es decir, que nuestro circuito está
desconectado.
[4]
Una vez obtenido la función de transferencia, podemos identificar sin problemas la constante de tiempo que
en nuestro caso es :
[5]
2
Sustituyendo los valores dados como datos en el inicio del problema obtendremos la función de transferencia
de nuestro sistema;
que es la función de transferencia de nuestro sistema
Y además sabemos también el valor de la constante de tiempo [5], simplemente sustituyendo los valores
dados como datos en el inicio del problema.
Por lo que nuestro sistema quedaría de la forma siguiente:
Seguimos realizando las cuestiones y ya estamos en disposición de hallar la respuesta del sistema ante un
escalón unitario.
Escalón unitario
Entonces la respuesta será
Y sustituimos los valores correspondientes a cada una de las incógnitas obteniendo:
y descomponemos en fracciones simples
Resolvemos los residuos obteniendo lo siguiente:
s=0
s=−1/2
Con lo que tengo:
3
que es la transformada de Laplace
Con lo que buscando en tablas obtengo la respuesta de este sistema ante un escalón unitario que es:
[6]
Esta solución vamos a representarla en una gráfica:
La respuesta es un exponencial pero que consta de dos partes bien diferenciadas:
• El 1
• El −
Con lo que por el teorema de superposición, representando cada parte por separado obtenemos:
1
Ahora voy a hallar el tiempo de establecimiento teniendo en cuenta que es un sistema de primer orden.
Y para calcular el valor de la respuesta para un tiempo igual a la de la constante de tiempo:
4. Parte real
Entrando en el módulo Simulink del entorno Matlab, componemos el circuito del sistema a través de un
generador de pulsos (vi), función de transferencia con los datos antes calculados, y dos visores de pulsos
simulados, uno que muestra los pulsos emitidos por el generador, y otro que muestra la respuesta del sistema:
• La constante de tiempo :
b. La constante de establecimiento ts:
En el laboratorio observamos el circuito montado por nosotros, con su resistencia su condensador que están
conectados a un generador de funciones (vi) con una impedancia interna. La resistencia y el condensador
anteriormente mencionados están conectados en paralelo según el patrón del enunciado de la práctica. Para
ver la respuesta del sistema está colocado un osciloscopio con una impedancia interna. Se activa el generador
de funciones y se observa la respuesta, perfectamente en el osciloscopio, efectuando visualmente las medidas
de la constante de tiempo , y del tiempo de establecimiento ts:
4
La constante de tiempo sale casi tres veces mayor que en la simulación, esto puede ser debido:
La amplitud de salida no alcanza el valor de un voltio sino el valor de 0.75 v, pues la medida es alterada al
medir la resistencia y el condensador.
El generador de funciones así como el osciloscopio y todos los cables que forman la circuitería tienen una
impedancia interna añadida que falsea los resultados (Ninguna medida es exacta ya que se modifica el
sistema.
La resistencia y el condensador del circuito no alcanzan el valor que marca el fabricante.
1
2
Datos
R = 10K
C = 39 K
0,63
1
5
1
0,95
1,05
ts
Vi
Vc
1
t
(t)
r1=1
r2=−1
2
1
ts=1,8873
t=0,63
= 1 ms
ts = 1.2 ms
6
7
8