Matemática - Colegio Nacional "Rafael Hernández"
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Colegio Nacional Rafael Hernández U.N.L.P. Matemática Ingresantes a 1º año Año 2006 Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 1 Hoy empezás una nueva etapa, una nueva escuela, nuevos compañeros, seguramente tendrás nuevos horarios. Ahora sos alumno del Colegio Nacional y en él transcurrirás los próximos seis años de tu vida en los que tendrás un contacto cercano con la Matemática. Sabés que ella está presente en nuestra vida cotidiana, en la ciencia, en la economía, en el deporte Vamos a ayudarte a descubrirla, a que te guste, a no tenerle miedo ¡¡¡¡ BIENVENIDO !!!!! Y esperemos no te pase como a Manolito Y ya que estamos , para que vayas pensando ........... A mi padre ,que iba sin paraguas ni sombrero, lo pilló ayer un chaparrón. La ropa se le mojó, pero pese a llevar la cabeza descubierta, no se mojó ni un pelo ¿Cómo se explica? Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional “Rafael Hernández” Febrero de 2006 Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 2 NÚMEROS NATURALES NOS INFORMAMOS !!! Si emprendemos un viaje por el mundo de los números, nos vamos a encontrar, por ejemplo con las más simples, los que sirven para CONTAR LAS COSAS: el 1 , el 2 , el 3 ....... el 58 ....etc. Estos se llaman NUMEROS NATURALES y los indicamos así : N ¿Alguna vez pensaste cuál fue el origen de nuestro sistema de numeración ? Cuando apareció la necesidad de contar, al hombre primitivo le habrá resultado práctico para contar sus ovejas por ejemplo utilizar piedras una por cada oveja o posiblemente haya usado los dedos de la mano y cuando no le alcanzaron los dedos de las manos para contarlas ...., pues, si tenía que contar catorce ovejas, habrá pensado: son una vez las manos y cuatro dedos más. Mas adelante inventó los símbolos que en distintas épocas y en distintos pueblos no fueron los mismos. En nuestro sistema de numeración son diez , igual que los dedos de las manos y se llaman DIGITOS o CIFRAS. Son 0; 1; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 . Estos dígitos nos permiten expresar TODOS LOS NUMEROS NATURALES. ¿Cómo operamos con ellos? NOS INFORMAMOS Para entendernos bien, vamos a dar a cada cosa su nombre. En la suma: 8 + 102 + 1 + 7, cada número que sumamos se llama TERMINO O sea, aquí 8, 102, 1 y 7 son términos. ¿Y si aparecen signos menos? También se llaman términos, por ejemplo en el cálculo 34 – 21- 5 hay 3 términos: 34, 21, 5. ¿Un número que aparece multiplicando, se llama término? Definitivamente NO. Se llama FACTOR Ejemplo: 36 = 3 x 12 3 y 12 son factores. ¿Y si tenemos 8 . 5 + 3 ¿Cómo se llama ésto? Todo lo que multiplica es factor y lo que suma o resta es término; por lo tanto aquí 8 y 5 son factores del producto 8 x 5 en tanto 3 es un término. ¿Pero 5 no va sumando también? Si, pero está en el producto 8 x 5. Todo el producto es un término. Ah! Entonces hay dos términos, uno vale 40 y el otro 3. Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 3 1) Resuelve a) ( 5 + 7 . 3 ) . ( 8-2) = i) 7 + ( 2 + 3 . 4 ) :2 - 9 = b) 231 - 2 . 8 = j) ( 3.5 + 1.3 ) :1 +2 = c) ( 8 - 3 ) . 6 = k) (25 + 2.4 ) . ( 8 – 2.4) + (9+2.1) : 11 = d) ( 3 + 6 ) :3 = l) [3+2.(4+2.3) .2 +6: [2+(30-2.15)= e) 4 . 2 + 1 - 12 : 6 = ll) 2+3.[4+(2+5):7+(8+2.3).2 = f) (8+ 12 ) : 5 -1 = m) [8+3.(4+2.4).[(4+2.8+1).4+1= g) 8 + 3 . 6 = n)[8+3.(4+2.4).[(4+2.8+1).4+1= h) 3 + 6 : 3 = ñ)(6+3.4):[15: (1+2.2)-(2+3.6):(2+2.4)= 2) Completa los lugares en blanco a) b) c) d) e) 0 = 3. - 6 1= 4-(+ ) 2 = - 2 . 3 = ( 9 + ) : 8 + 4 = ( 1 + ) . ( . 2 ) 3) Completa con = o a) 17 . ( 3 + 5 ) b) 12. (3 . 8) c) 16 : ( 2 + 2 ) d) 328 . 156 e) 3 + ( 6 + 18 ) f) 8 - ( 3 - 1 ) g) (5-2).7 h) (12-6): 3 ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 17.3 + 17 . 5 (12 . 3 ) . 8 16 : 2 + 16 : 2 156 . 328 ( 3 + 6 ) + 18 (8-3)-1 5.7 – 2.7 12:3 – 6:3 4 INVESTIGAMOS: Es estudio de las propiedades de las operaciones con números, aporta métodos de cálculo más cómodos y eficaces. Veamos algunas propiedades Manolito hace referencia a una propiedad ¿Cómo se llama? .............................................................................................. ¿Cuáles de las operaciones matemáticas que conoces cumple con esa propiedad? Escribe un ejemplo: ........................................................................................................... Busca en el diccionario el significado del nombre de esa propiedad ........................................................................................................................... ................... .............................................................................................................................................. En símbolos ............................................................................................................................................. Propiedad Asociativa Busca en el diccionario Asociar .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ¿ Se cumple esta propiedad en las operaciones que conoces? Escribe ejemplos: .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. En símbolos ............................................................................................................................................. Propiedad Distributiva Busca en el diccionario Distribuir .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. Observa tus respuestas del ejercicio 3 a) y 3 g) y escribe alguna conclusión .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. En símbolos ............................................................................................................................................. Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 5 ESTAMOS EN PROBLEMAS !!!!!!!!! 1) Si multiplicamos un número por 42 y al resultado le sumamos 39, obtenemos 1635. ¿Cuál es el número que se multiplicó por 42? 2) Una compañera de Fede, Valería, ayudó a su madre en el negocio durante varios días. Al finalizar su tarea, recibió $27 y decidió comprar un reloj que costaba $10 y un adorno de $12 para su mamá. a) En la relojería encontró el reloj que buscaba con un descuento de $2. ¿Cuánto dinero le quedó después de esta compra? (Escribe el cálculo en un solo renglón). b) Por el adorno debió abonar $3 más para que lo enviaran a su casa. ¿Cuánto dinero le quedó después de la segunda compra? (escribí el cálculo correspondiente). 3) Al salir de la escuela, Federico fue hacer algunas compras. a) ¿A qué se debió la confusión? Escribí el cálculo que realizó Federico y el que hizo el empleado. b) ¿Cómo se pudo evitar el malentendido? c) Escriban un cálculo que exprese una tercera interpretación posible de la oferta publicitada. 4) Hay dos estanterías con 3 estantes en cada una. En una de ellas hay 5 latas en cada estante. En la otra, hay 3 latas en cada uno. ¿Cuántas latas hay en total? Julián dice que para responder hay que hacer 5 x 3 + 3 x 3 Pablo dice: ¡ No ! Hay que hacer ( 5 + 3) x 3 ¿Quién tiene razón y por qué? 5) Con $87, Rosario puede comprar 21 cajas de un producto y le sobran $3. ¿Cuánto dinero deberá agregar para comprar dos cajas más? 6) El precio de 4 radios es de $320 y el precio de 9 libros es de $270. Norma compró 10 libros y 10 radios. ¿Cuál de los siguientes cálculos corresponde a lo que Norma pagó? a) 320 : 4 + 270 : 9 x 10 b) ( 320 : 4 + 270 : 9 ) x 10 c) ( 320 : 4 ) x 10 + ( 270 : 9 ) x 10 Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 6 7) Para cada uno de los problemas que siguen: a) Decidí si es posible resolverlo y explica la respuesta. b) Indica los datos que faltan o sobran para dar una respuesta. I) Julián gastó para su cumpleaños $35 en bebidas y $20 en comida. Vinieron 15 chicos y se compraron 15 gaseosas. ¿Cuántas botellas bebió cada chico? II) María dio tres vueltas corriendo en una cancha de fútbol. Si en total tardó 9 minutos, ¿cuánto tardó en hacer cada vuelta? III) Martina compró en el supermercado 3 cajas de fósforos y otros productos. Gastó $ 35 y el kilo de pescado estaba $ 2. ¿Cuánto pagó por cada caja de fósforo? 8) Sobre una compra de 20 cajas de zapatos a $ 55 cada una, se hizo un descuento de $ 2 por caja y por la compra total se pagó un recargo de $ 4. ¿Cuál es la cuenta que permite saber cuánto se pagó en total? a) b) c) d) 4 + ( 55 – 2 ) x 20 55 x 20 – 2 x 20 + 4 20 x ( 55 – 2 ) + 4 ( 55 – 2 + 4 ) x 20 9) Coloca, si es necesario, el paréntesis donde corresponda para que el resultado sea correcto a) 25 + 8:2 = 29 f) 4 + 2 . 3 – 1 = 9 b) 3 + 2 . 5 = 25 g) 4 + 2 . 3 – 1 = 8 c) 30 + 8 : 2 + 1 = 20 d) 2 + 30 – 20 : 2 = 7 e) 4 . 2 – 3 + 5 = 10 f) 4Orden . 2 – 3 en + 5 números =0 naturales El siguiente cuadro muestra las calificaciones que obtuvieron en Matemática los alumnos de 7mo 4ta en el primer trimestre del año 2005. NOMBRE Alvarez, Alberto Bolívar, Inés Castro, Carlos Díaz, Juana Fernández, Francisco Hernández, Maria Martínez, Luis Pérez, Irma Rodríguez, Guillermo Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP NOTA 6 8 4 5 9 3 10 7 8 7 Si queremos indicar simbólicamente que un número o una cantidad es “mayor que”o “menor que” otro usamos los signos > y < . Si el número que está de un lado puede ser menor o también igual al otro usamos el signo Si el número que está de un lado puede ser mayor o también igual al otro usamos el signo Por ejemplo: Para aprobar me tengo que sacar una nota mayor o igual a 7 lo simbolizamos así: n7 En el aula hay como máximo 35 alumnos lo simbolizamos así: a 35 Observando la lista anterior: a) b) c) d) ¿Quién obtuvo la nota más baja? ¿Y la más alta? ¿Qué alumnos aprobaron? ¿Por qué? ¿Qué alumnos aplazaron? ¿Por qué? Nombra los alumnos que su nota fue mayor o igual a 4 y menor a 7. ¿Aprobaron? A pensar y escribir lo que pensaste 1) a representa la cantidad de figuritas que tiene Martín y b la cantidad de figuritas que tiene Marcos. ¿Qué significa cada una de las siguientes expresiones? a) b) c) d) a + b = 45 a>b a–b=5 a<2b 2) Si a es la cantidad de figuritas que tiene Octavio y b es la cantidad de figuritas que tiene Maria, ¿qué significa a + 10 = b? ¿Es posible conocer cuántas figuritas tienen cada uno? Si ahora sabemos que en total tienen 56 figuritas, ¿cuántas figuritas tiene Maria? 3) Si t representa la edad de Tomás y s la edad de Susana, expresa en palabras a) t – 3 = s b) t + s < 15 c) 2s – 1 = t 4) Encuentra un enunciado para cada una de las siguientes expresiones: a) b) c) d) a + b < 1000 x – 10 > 50 2 y – 3 = 18 2t < p Una historia interesante : la historia se sitúa en Alemania alrededor de 1784. Una maestra de segundo grado estaba cansada del lío que hacían sus alumnos. Para tenerlos callados les dio el siguiente problema . “ que calculen la suma de los primeros 100 números “ . Enseguida un alumno levantó la mano y dio la respuesta : 5050. El resto de los alumnos recién habían sumado los 10 primeros . La maestra totalmente sorprendida pidió que explique como lo hizo . El dijo “ lo que hice fue sumar el primero y el último ( o sea 1 y 100) . Esa suma 101 . Después seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99) Esta suma vuelve a dar 101 . Luego separé el tercero y el antepenúltimo (el 3 y 98) . De esta forma “apareando” se tienen 50 pares de números cuya suma da 101 . Luego 50 veces 101 da 5050 “ La anécdota termina aquí . El jovencito se llamaba Carl Gauss , nació en 1777 y murió 1855 y es considerado el “príncipe de la matemática” . ¿Te animás a sumar los 1000 primeros números ? Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 8 TEMA : MEDIR PERIMETROS Y SUPERFICIES I) Medidas de Longitud Recordamos: Desde hace muchos siglos el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera por relaciones comerciales, construcciones, etc. ¿A qué recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el codo, el palmo, el pie, la pulgada. Pronto aparecieron dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales. Surgió así el Sistema Métrico Decimal (Métrico: porque la unidad es el metro, decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro es potencia de 10) Múltiplos (mayores que la unidad) UNIDAD Submúltiplos (menores que la unidad) kilómetro hectómetro decámetro METRO decímetro centímetro milímetro km hm dam m dm cm mm 1000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m a) Completar hm cm m dam 7,38 m 0,097 km 0,038 cm 15 mm Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 9 0,096 hm 14,8 dm b) Ordena en forma creciente 2 m 8 dm; 4m 32 cm; 4 m 6 mm; 40 dm 8 mm; 5 m 9 cm 27 m 16 cm; 270 dm 16 mm; 6 m 9 mm; 6 m 7 cm; 2 dam 1 cm d) Expresa la denominación que corresponda 18,7 m 0,187 1,87 0,0187 39 cm 0,0039 390 0,39 72,8 km 0,036 dam 728 72800 7280000 3,6 36 0,36 d) Situaciones problemáticas 1)Sabiendo que un cabello humano crece aproximadamente 1 mm cada tres días. ¿Cuántos centímetros crecerá durante el mes de abril? 2)Un ovillo de hilo de nylon tiene 24,5 m. Usé primero 2 1 del ovillo y luego del resto ¿Cuántos 5 3 decímetros de hilo me quedan? 3)Trabaja a partir de los siguientes datos de algunos ríos de América: Amazonas : 6518 km Paraná : 4698 km Yukón : 3185 km Mississipi : 6051 km - Expresa en metros la longitud de cada uno - Expresa en hm la diferencia entre el Amazonas y el Paraná - Expresa en dam el promedio de los 4 ríos - Expresa en dm 3/5 del Yukón 4) En el triángulo ABC , el lado AB mide 12 cm; el lado BC mide 3 cm menos que AB y el lado AC mide 2 cm más que BC ¿Cuál es el perímetro de ABC? Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 10 5) En un triángulo isósceles los dos lados iguales miden 12,7 cm cada uno. Si el perímetro del triángulo es 36,9 cm. ¿Cuánto mide el otro lado? 6) La figura está formada por 4 cuadrados. Cada cuadrado tiene lado igual a la mitad del anterior. El perímetro del cuadrado más grande es de 48 cm. Calcula el perímetro de la figura. 7) Sofía y Enrique armaron sus distintivos para sus equipos de voley. El de Sofía es un triángulo equilátero de 12 cm de lado; el de Enrique es un cuadrado. Se encontraron en la mercería comprando cinta dorada para ribetearlos. Como es muy cara cada uno compró justo lo que necesitaba, que resultó ser la misma cantidad. ¿Cuánto mide el lado del distintivo de Enrique? 8) Las ruedas de un autito de juguete miden 3 cm de diámetro. ¿Cuántas vueltas completas darán las ruedas si el autito recorre 1 m ? ¿Cuántos cm más deberá recorrer para completar una vuelta más? 9) Menciona que espacio recorre al dar una vuelta una rueda de 35 cm de radio. 10) ¿Cuántas vueltas da una rueda de 40 cm de diámetro al recorrer una distancia de 150 m? 11) Con 18 m de puntilla se desea bordar pañuelos cuadrados de 18 cm de lado. a) ¿Para cuántos alcanza? b) ¿Sobra puntilla? 12) La siguiente figura se armó con un rectángulo, y un triángulo equilátero de 36 cm de perímetro. Si el largo del rectángulo es los 7 del lado del 3 triángulo y el ancho del rectángulo es la mitad del largo del rectángulo. ¿Cuál es el perímetro de la figura? Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 11 Departamento de Ciencias Exactas Colegio Nacional. UNLP 12