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HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CONTROL ESTADÍSTICO
DEL PROCESO
DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR
Enero, 2006
Página 1
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA DE LA CALIDAD
4
1.1 Calidad y mejoramiento
4
1.2 Historia del control estadístico del proceso
6
1.3 Métodos estadísticos para la mejora de la calidad
14
1.4 Administración por calidad total
18
2. FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
21
2.1 Conceptos básicos y distribución normal
21
2.2 Causas comunes y causas especiales
30
2.3 Bases estadísticas de las cartas de control
31
2.4 El resto de las 7 herramientas estadísticas
43
2.4 Implantación del CEP
77
3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
78
3.1 Introducción
78
3.2 Cartas de control de medias-rangos
78
3.3 Cartas de control medias-desviación estándar
106
3.4 Cartas de control para lecturas individuales
114
3.5 Selección entre cartas por variables y por atributos
116
3.6 Aplicación de cartas de control por variables
120
4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
122
4.1 Introducción
122
4.2 Cartas de Control para fracción no conforme - p
123
4.3 Cartas de Control np
134
4.4 Tamaño de muestra variable
135
4.5 Curva característica de operación y ARL
140
4.6 Cartas de Control para No Conformidades – c y u
143
4.7 Cartas de Control para tasas de defectos en ppm
158
Página 2
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES
159
5.1 Cartas de Control para corridas cortas de producción
159
5.2 Cartas de control modificadas y de aceptación
161
5.3 Cartas de Control para desgaste de herramienta o material
166
5.4 Carta de Pre – Control o de Arcoiris
169
5.5 Cartas de Control para procesos de salida múltiple
173
5.6 Cartas de control Cu Sum
173
5.7 Cartas de control EWMA
175
5.8 Carta de control de Media Movil
184
6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO
175
6.1 Introducción
175
6.2 Índices de capacidad
181
6.3 Capacidad del proceso con histogramas y papel normal
187
6.4 Capacidad del proceso con cartas de control
193
6.5 Capacidad de procesos con Minitab normales y no normales
196
6.6 Análisis de capacidad con experimentos diseñados
202
6.7 Estudios de capacidad de sistemas de medición
202
7. MUESTREO DE ACEPTACION POR ATRIBUTOS
248
7.1 El problema de la aceptación por muestreo
248
7.2 Muestreo simple por atributos
252
7.3 Muestreo doble, múltiple y secuencial
260
7.4 Tablas de muestreo MIL-STD-105E
270
7.5 Planes de muestreo de Dodge – Romig
274
8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES
274
8.1 Control de la fracción defectiva
279
8.2 Diseño de un plan de muestreo por variables
282
8.3 Tablas ASQC Z1.9 – 1993
285
8.4 Otros procedimientos de muestreo por variables
294
Página 3
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Apéndice 1. Fórmulas de CEP
Página 4
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA
1.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO
Las dimensiones de la calidad según Garvin son:
1. Desempeño (¿sirve el producto para el uso adecuado?)
2. Confiabilidad (¿qué tan frecuentemente falla el producto?)
3. Durabilidad (¿cuál es la vida útil del producto?)
4. Serviciabilidad (¿qué tan fácil se repara el producto?)
5. Estética (¿tiene el producto el estilo, color, forma, empaque y apariencia
adecuada?)
6. Características (¿qué hace el producto más allá de su desempeño básico?)
7. Calidad percibida (¿cuál es la reputación de la empresa o del producto?)
8. Cumplimiento de estándares (¿el producto está hecho de acuerdo a
estándares de diseño original?)
Así la calidad tradicionalmente es adecuación al uso.
Dentro de la adecuación al uso existen la calidad de diseño y la calidad de
conformancia. La de diseño se refiere al diseño original del producto,
los
materiales utilizados, especificaciones, y métodos empleados. La calidad de
conformancia se refiere a que tan bien cumple el producto los requerimientos de
las especificaciones de su diseño, que básicamente depende del proceso de
manufactura.
Una definición más moderna es que la calidad es inversamente
proporcional a la variabilidad.
De esta forma se define la mejora de calidad como:
Mejoramiento de la calidad es la reducción de la variabilidad en
productos y servicios.
Página 5
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EUA
LIE
JAPON
Objetivo
LSE
Fig. 1.1 Enfoques de conformacia
Como los métodos estadísticos tienen un papel importante en el mejoramiento de
la calidad, son objeto de estudio de la Ingeniería de calidad. Los datos
relacionados con la calidad se clasifican en atributos y en variables. Los de
atributos son discretos, enteros. Los de variables corresponden a mediciones con
valores reales como longitud, voltaje, etc. Existen diferentes herramientas
estadísticas para tratar con ambos tipos de datos.
Los productos no conformes o defectivos son los que no cumplen una o
varias especificaciones.
Un tipo específico de no cumplimiento de especificaciones es llamado
defecto o no conformancia.
Características del producto: Son los elementos que en conjunto describen la
calidad del producto, evaluadas respecto a especificaciones, como son:
1. Físicos: Longitud, peso, voltaje, viscosidad
2. Sensoriales: Gusto, apariencia, color
Página 6
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
3. Relacionados con el tiempo: Confiabilidad, durabilidad, serviciabilidad.
1.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Antecedentes
La teoría de la administración se desarrolló básicamente en los países
industrializados, en respuesta a los problemas que presentaron las grandes
empresas características del sistema capitalista.1 Sus primeros indicios se
observan con el economista Adam Smith con el concepto de división del trabajo
para aumentar la productividad en 1776.2
Smith notó que en una industria de fabricación de alfileres, diez personas, cada una
realizando una tarea específica, podrían producir 48,000 alfileres por día. Propuso que si
cada uno trabajara por separado y en forma independiente, los diez trabajadores tendrían
suerte en hacer 200 (o aún 10) alfileres al día.3
Smith concluyó que la división del trabajo incrementaba la productividad sin
embargo se consideraba al trabajador como extensión de la máquina. Durante la
revolución industrial, “iniciada en el siglo XVIII en Gran Bretaña…la mano de obra era
sustituida por máquinas de una manera acelerada”. 4
de productos en las fábricas.
Esto, a su vez, abarató la fabricación
Surge la administración científica con Frederick
Taylor.
Frederick Winslow Taylor (1856-1915): él no desarrolló una teoría de
administración, sino que hacía énfasis en los aspectos empíricos. 5 En 1911 publicó
sus “Principios de la Administración Científica”6 donde describe la administración
científica, y usó este término para definir “la única y mejor manera” de realizar un
1
Simón, Nadima S., Evaluación Organizacional, SICCO, México, 1997, p. 7
Smith, Adam, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, A. Strahan and T. Cadell,
London, 1793, pp. 7-8
3
Robbins, Stephen P., Management: Concepts and Applications, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1987, p.
31.
4
Ibidem, p. 31.
5
Simón, Nadima, op. cit., p. 9
6
Taylor, Frederick W., Principles of Scientific Management,, Harper & Bros., Nueva York, Estados Unidos
de América, 1911
2
Página 7
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
trabajo. Los estudios realizados antes y después de esta publicación, lo erigieron
como el padre de la administración científica.7 Sus cuatro principios son:
1. Crear una ciencia para cada elemento del trabajo del individuo, que sustituya al método
empírico; 2. Escoger científicamente y luego entrenar, enseñar y desarrollar al
trabajador; 3. Colaborar ampliamente con los trabajadores para asegurar que todo el
trabajo se realice conforme a los principios de la ciencia que se ha ido desarrollando; 4.
Hay una división casi igual del trabajo y la responsabilidad entre la administración y los
trabajadores. La administración se encarga de todo el trabajo para el cual esté mejor
dotada que los trabajadores.8
Taylor9 señaló que la creación de nuevos métodos de trabajo era responsabilidad
única de gerentes y administradores. La mayor desventaja del taylorismo es que
los trabajadores pueden ser descalificados “como si fueran extensión de las máquinas”,10
como consecuencia, se tiene poca motivación y alto ausentismo.
Frank (1864-1924) y Lillian Gilberth: diseñaron arreglos laborales para eliminar
movimientos manuales y corporales inútiles, también experimentaron en el diseño
y uso de herramientas y equipo adecuado para optimizar el desempeño del
trabajo.11 Encontraron que no es el trabajo monótono la causa de tanta
insatisfacción laboral, sino la falta de interés que muestran los gerentes por los
trabajadores.12
El “Fordismo” de Henry Ford: se implantó en empresas con líneas de productos
durables en Estados Unidos de América, fomentó la modificación de las normas
de consumo y de vida de los trabajadores, considerados como verdaderos
consumidores potenciales, para lo cual era necesario aumentar su poder de
compra y reducir costos de producción, con sistemas de protección social.13
7
Robbins, Stephen, op cit. p. 33.
Ibidem, p. 34 tomado de la obra de Frederick Taylor, Principles of Scientific Management, Nueva York,
Harper and Brothers, 1911, pp. 36-37.
9
Taylor, op. cit. 1911, p.20.
10
Hall, Richard, Organizaciones: Estructura y proceso. México, Prentice Hall Hispanoamericana, 1982, p.
304
11
Ibidem, p. 33
12
Koontz, Harold, op. cit. , p. 34.
13
Neffa, Julio Cesar, “Transformaciones del proceso del trabajo y de la relación salarial en el marco del
nuevo paradigma productivo. Sus repercuciones sobre la acción sindical”, en Sociología del Trabajo, Nueva
época, núm. 18, primavera de 1993, pp. 80-82
8
Página 8
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Con las crisis de los años ochenta, la producción masiva uniforme ya no es
competitiva, surge un nuevo paradigma que hace énfasis en la respuesta flexible
frente a los cambios impredecibles del mercado. 14
Control de calidad por inspección
Durante la primera guerra mundial el sistema de manufactura se volvió más
complejo, involucrando a más trabajadores reportando a un supervisor de
producción, con Taylor aparecen los primeros inspectores de control de calidad;
los trabajadores y el supervisor se enfocaron a la producción, desligándose del
auto - control de calidad de los artículos que producían, esto tuvo auge entre los
años 1920's y 1930's. Para evitar quejas y devoluciones de los clientes, los
productos se revisaban y separaban al final del proceso, identificando los
defectuosos por un departamento de Control de Calidad, sin embargo como la
inspección 100% realizada por personas tiene errores, se estableció un
departamento de Servicio para corregir los productos defectuosos en el
mercado.15 Se establecen después planes de muestreo militares, asumiendo que
cualquier proceso producirá defectos, los esfuerzos se enfocan a detectarlos, no a
prevenirlos. Los productos defectuosos, eran reprocesados o desechados,
incrementando los costos de producción entre un 20 a 30% e incrementando el
precio final del producto al menos 20%16, absorbiendo el cliente las ineficiencias
de la empresa. El departamento de Control de Calidad se convierte en el "policía
de la calidad" y se le responsabiliza de todos los problemas de calidad en la
empresa, está formado por especialistas y técnicos que se encargan
principalmente de detectar defectos en el producto final.
Con objeto de reducir el costo de la no calidad se desarrolló y aplicó el Control
Estadístico del Proceso como una siguiente etapa.
14
Ibidem, p. 83-84
Vid. Valdez, Luigi, Conocimiento es futuro, CONCAMIN, México, 1995, pp. 122-123
16
Ibidem, pp. 125-126
15
Página 9
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Control estadístico del proceso (CEP)
CEP en occidente
Durante la segunda guerra mundial se requirieron cantidades masivas de
productos, las inspecciones de rutina de los inspectores no eran suficientes, en
algunas compañías, tales como la Western Electric, bajo contrato de la American
Bell Telephone Company, estableció métodos de control de calidad más rigurosos
que infundieran confianza en sus instrumentos y electrodomésticos, en 1924 se
formó su departamento de Ingeniería de Inspección, entre sus primeros miembros
se encuentran Harold F. Dodge, Donald A. Qaurles, Walter A. Shewhart, Harry G.
Romig y otros.
Según Duncan “Walter Shewhart de los Laboratorios Bell fue el primero en aplicar las cartas de
control en 1924 haciendo un esbozo de la carta de control”17.
Por otra parte “H. Dodge y H.
Romig desarrollaron las tablas de inspección por muestreo de Dodge-Romig”18,
como una
alternativa a la inspección 100% al producto terminado, sin embargo su adopción
en occidente fue muy lenta, Freeman, sugiere que esto se dio por “la tendencia de los
ingenieros americanos a eliminar la variación, y su desdén por las teorías probabilísticas, así como
a la falta de estadígrafos industriales, adecuadamente entrenados”. 19
El trabajo de Shewhart, Dodge y Romig, constituye la mayor parte de lo que hoy
se conoce como “Control Estadístico del Proceso”. De esta forma con objeto de
hacer más eficientes a las organizaciones de inspección, “se proporciona a los
inspectores con unas cuantas herramientas estadísticas, tales como cartas de control y tablas de
muestreo”20.
Se reduce el nivel de variación del proceso hasta los límites
predecibles y se identifican las oportunidades de mejora. Se establecen sistemas
de medición formales desde los proveedores hasta el producto final y el proceso
se "estandariza”. Hoy en día la herramienta de las cartas de control (CEP) es
utilizada por los círculos de control de calidad para la identificación de problemas.
17
Duncan, Acheson, op. cit.p. 16.
Ibidem, p. 1
19
Freeman, H.D., “Statistical Methods for Quality Control”, MechanicalEngineering, April 1937, p. 261.
20
Feigenbaum, A.V., op. cit., 1986, p. 16
18
Página 10
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En 1931, W.A. Shewhart publica su libro “Economic Quality Control of Quality of
Manufactured Product”, donde describe las cartas para el control estadístico del
proceso. En medio de los años 30’s los métodos de control estadístico de calidad
se empezaron a aplicar en la Western Electric, brazo de manufactura de los
laboratorios Bell, sin embargo no fueron reconocidos estos métodos ampliamente.
Durante la II guerra mundial se expandió el uso de los métodos estadísticos de
control de procesos en la industria de la manufactura, la American Society for
Quality Control se formó en 1946 para promover su uso. De 1946 a 1949 W.
Deming es invitado a Japón a dar seminarios sobre control estadístico de calidad a
sus industriales, extendiendo el uso de éstos métodos. Aparecen las obras de
Eugene L. Grant y A.J. Duncan sobre control estadístico del proceso. En occidente
es hasta la década de los ochenta cuando se voltea hacia los métodos
estadísticos ya muy comunes en Japón dado el éxito industrial de este país.
En los años recientes, empresas de alta tecnología como Motorola, General
Electric, Xerox, AT&T, etc., desarrollan e implantan una metodología de calidad
total denominada Calidad 6 sigma con el objetivo de reducir los errores y defectos
a un máximo de 3.4 partes por millón (ppm), donde una de las herramientas clave
es el control estadístico del proceso, que permite obtener ahorros de costos muy
importantes.
CEP en Japón
En 1950 el experto Edwards W. Deming inició el entrenamiento en métodos
estadísticos en el Japón, incluyendo conferencias dirigidas a los líderes
industriales, en esta época Kaoru Ishikawa experto japonés en control de calidad
inició sus estudios sobre conceptos de control de calidad, describe su propia
motivación como sigue:
Página 11
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Yo desarrollé un gran respeto por el Dr. Shewhart por medio del estudio profundo
de sus conceptos en cartas de control y estándares... Sin embargo, me sorprendí
un poco que en EUA, donde efectué una visita de estudio, sus métodos casi no se
aplicaban. Yo deseo importar sus conceptos al Japón y asimilarlos para adaptarlos
a situaciones en Japón, de tal forma que los productos japoneses mejoraran su
calidad21
En 1955, Kaouru Ishikawa introdujo las técnicas de cartas de control en Japón, los
japoneses aprendieron el control de calidad de occidente, invitaron a Deming,
Juran y otros eruditos a Japón para que les enseñasen el control estadístico del
proceso. Sin embargo la implantación de estas técnicas fue posible después de su
modificación y adaptación a las empresas japonesas, incluyendo la creación de
varias herramientas útiles como refinamiento del control estadístico de calidad,
tales como las 7 herramientas estadísticas utilizadas normalmente por los círculos
de control de calidad y la aplicación de técnicas estadísticas avanzadas.
Entre las 7 herramientas estadísticas se encuentran: Diagrama de Ishikawa,
Diagrama de Pareto, Hoja de verificación, Diagrama de dispersión, Estratificación,
Histogramas y Cartas de control.
Estas técnicas junto con las computadoras han alcanzado un alto nivel en Japón,
“todas las industrias japonesas confían en los métodos estadísticos avanzados para el diseño de
productos”,22
esto también ha permitido que los supervisores de las fábricas
japonesas utilicen estadística de alto nivel para analizar problemas. Por ejemplo
para el caso del diseño de experimentos se tiene: “el diseño estadístico de experimentos
es el arreglo, bajo el cual se efectúa un programa experimental, incluye la selección de los niveles
óptimos de los factores que tienen influencia en la calidad del producto “23,
ayuda a optimizar
el tiempo y los elementos de diseño, determinando los materiales más baratos de
tal forma que el producto cumpla las especificaciones, y todavía se asegure que el
producto se desempeñará en forma satisfactoria bajo condiciones variables.
21
Ishikawa, Kaouru, "Tributes to Walter A. Shewhart," Industrial Quality Control, Vol. 22, No. 12, 1967, pp.
115-116.
22
Amsden, R., op. cit. , p. 537.
23
Winer, B., Statistical Principles in Experimental Design, McGraw Hill, 1971. p. 5.
Página 12
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Con la aplicación del Control Estadístico del Proceso, el trabajador tiene de nuevo
la oportunidad de controlar la calidad de su trabajo, no a través de inspección
100%, sino a través de técnicas de muestreo y de cartas de control, como método
preventivo de defectos, lo que permite su autocontrol para reducir la variabilidad
del proceso de producción, se complementa con
las siete herramientas
estadísticas y el ciclo de control de Deming (planear, hacer, verificar y actuar).
Desarrollo del Control Estadístico del Proceso
W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de
distribuciones casi normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las
medias de esas muestras, al graficar las medias en un histograma siguen una
distribución normal.24
*
* * *
**
***
**
**
***
**
Distribución de promedios
de las muestras
Universo
Fig. 1.2 Experimentos de Shewhart para las cartas de control
Encontró que las medias de las muestras correspondían
a las medias de la
población y que la desviación estándar de las medias de las muestras se
relacionaban con la desviación estándar de la población, como sigue:
24
Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co.,
1931, p. 182
Página 13
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
__
X
(1.1)
n
Donde n es el tamaño de la muestra y es la desviación estándar de la población.
Normalmente para conocer el estado de un proceso en determinado momento, es
necesario obtener un histograma de la característica de interés, tomando al menos
30 piezas. Se calcula la media y la desviación estándar de la muestra y se trata de
inferir sobre las características del proceso. Haciendo esto periódicamente se
pueden tener los comportamientos siguientes:
Hora 4
Hora 2
Hora 3
Hora 1
a) Proceso fuera de control
en media y variabilidad
b)Proceso en control
en media y esv. est.
Fig. 1.3 Comportamiento de procesos en control y fuera de
control25
Llevando un control de proceso a través de histogramas no sería práctico y
aprovechando sus hallazgos del comportamiento de las medias Shewhart sugirió
llevar un control del proceso tomando muestras no de 50 piezas, sino de sólo 5
consecutivas, monitoreando el comportamiento del proceso a través de las cartas
de control de Shewhart, la media del proceso con las medias de las muestras y la
variabilidad con su rango. Tomado límites de control establecidos a 3 de
medias o rangos.
25
Ford Motor Co., Continuing Process Control and Process Capability Improvement, Dearborn, Michigan,
1983
Página 14
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.3 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD
Se utilizan tres métodos estadísticos principales: las cartas de control, el diseño de
experimentos y el muestreo estadístico, además de las herramientas estadística
para la solución de problemas en planta por grupos de trabajo o Círculos de
calidad.
CARTAS DE CONTROL
LSC
LC
LIC
LSC = Límite superior de control
LC
= Línea central
LIC = Límite inferior de control
Fig.
1.4
Carta
de
control
de
Shewhart
y
sus
límites
de
control
La carta de control es una técnica muy útil para el monitoreo de los procesos,
cuando se presentan variaciones anormales donde las medias o los rangos salen
de los límites de control, es señal de que se debe tomar acción para remover esa
fuente de variabilidad anormal. Su uso sistemático proporciona un excelente
medio para reducir la variabilidad.
Página 15
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Un experimento diseñado es muy útil para descubrir las variables clave que tienen
influencia en las características de calidad de interés del proceso. Es un método
para variar en forma sistemática los factores controlables del proceso y determinar
los efectos que tienen esos factores en los parámetros finales del producto.
Permite reducir la variabilidad en la característica de calidad y en determinar los
niveles más adecuados de los factores controlables que optimizen el desempeño
del proceso.
ENTRADAS CONTROLABLES
X1
X2
INSUMOS DEL PROCESO
XP
Y
CARACT.DE CALIDAD
PROCESO
Materias primas,
Componentes, etc.
Z1
Z2
ZQ
ENTRADAS NO CONTROLABLES
Fig. 1.5 Proceso de producción, entradas y salidas
El principal método para diseñar experimentos es el diseño factorial, en el cual los
factores son variados de tal forma de probar todas las posibles combinaciones de
los niveles de los factores.
El diseño de experimentos es una herramienta fuera de línea es decir se utiliza
durante el desarrollo de los productos o procesos, más que durante su fabricación.
Página 16
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una vez que se han identificado las variables que afectan el desempeño del
proceso, normalmente es necesario modelar la relación entre estas variables y la
característica de calidad de interés. Para lo cual se puede utilizar el análisis de
regresión.
El monitoreo en el proceso de las variables relevantes que afectan las
características de calidad se hace por medio de cartas de control.
MUESTREO DE ACEPTACIÓN
Está relacionado con la inspección y prueba del producto, donde se selecciona e
inspecciona una muestra aleatoria de un lote mayor, resultando en una aceptación
o rechazo de ese lote mayor, esto ocurre en la recepción de materias primas y
componentes y en el producto terminado.
Tiene las siguientes ventajas:
-
El costo de evaluación es menor que con la inspección al 100%
-
Se puede aplicar más fácilmente cuando se trata de realizar pruebas
destructivas.
-
Se puede aplicar presión sobre la calidad de los lotes de proveedores ya que
con una pequeña muestra puede ser rechazado el total de us lote.
Entre sus desventajas se encuentran:
-
Se pueden cometer errores al aceptar lotes defectivos, dada la probabilidad
finita de encontrar productos defectivos en la muestra.
-
Si los lotes no son uniformes, el muestreo no es una técnica confiable.
-
No se garantiza que los lotes aceptados estén libres de defectivos.
A continuación se muestran diferentes esquemas de la aplicación del método.
Página 17
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
a) INSPECCIÓN EN LINEA
ENVIO
PROCESO
INSPECCION
CLIENTE
b) INSPECCION DE RECIBO
ENVIO
PROCESO
INSPECCION
c) INSPECCION RECTIFICADORA
CLIENTE
ACEPTAR ENVIO
CLIENTE
PROCESO
INSPECCION
RECHAZO
SCRAP
RETRA
BAJO
DISPOSICIÓN DE LOTES
Fig. 1.6 Variaciones del muestreo de aceptación
El muestreo de aceptación tiende a reforzar el apego o conformancia a
especificaciones pero no tiene un efecto de retroalimentación en el proceso de
producción o diseño que mejoren la calidad.
En el transcurso del tiempo, las tres técnicas estadísticas anteriores han tenido la
evolución siguiente:
Página 18
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Fig. 1.7 Evolución de la aplicación de métodos estadísticos
100%
MUESTREO DE
ACEPTACION
CONTROL DE PROCESO
DISEÑO DE
EXPERIMENTOS
0%
Tiempo
1.4
ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL
Para que sean efectivas las herramientas estadísticas, su aplicación debe ser
parte de un programa mayor de Calidad Total (Total Quality Management en EUA,
Company Wide Quality Control en Japón, Seis Sigma de Motorola, Modelo de
Dirección por Calidad de México (PNC), Malcolm Baldrige de EUA, QS 9000, VDA
6.1 VW, ISO 9000:2000, etc.), donde la alta dirección lleve el liderazgo por la
calidad, no funcionarán como elementos aislados.
La filosofía de Deming y Juran implica que la responsabilidad por la calidad se
expande a toda la organización, sin embargo para no caer en el error de que “la
responsabilidad de todos es la de nadie”, la calidad debe planearse.
Deming impulso el uso del CEP y los métodos estadísticos en Japón para la
reducción de la variabilidad y mejora continua de calidad, con sus 14
recomendaciones a la dirección.
COSTOS DE CALIDAD
Son costos asociados con producir, identificar, evitar o reparar productos que no
cumplan especificaciones. Normalmente se clasifican en cuatro categorías:
Página 19
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Prevención, Apreciación, Falla interna y Falla externa, algunos de los elementos
que incluyen son los siguientes:
Costos de prevención
Costos de falla interna
Planeación e Ingeniería de calidad
Scrap o desperdicio
Revisión de nuevos productos
Retrabajos
Diseño de productos y procesos
Re-inspección
Control de proceso
Análisis de falla
Entrenamiento
Ineficiencias
Colección y análisis de datos de calidad
Descuentos
Costos de apreciación
Costos de falla externa
Inspección y prueba en recibo
Atención de quejas
Inspección y prueba de productos
Producto regresado
Materiales usados en pruebas
Cargos por garantía
Mantenimiento de equipo de prueba
Costos legales
Costos de prevención
Son los costos asociados con los esfuerzos de diseño y manufactura enfocados a
la prevención de defectos, de tal forma de hacer bien las cosas a la primera vez.
Costos de apreciación
Son los costos asociados con la medición, evaluación, o auditoría a productos,
componentes y materiales comprados para asegurar su conformancia a los
estándares establecidos.
Costos de falla interna
Son los costos incurridos cuando los productos, componentes o materiales y
servicios no cumplen los requerimientos de calidad, y los defectos son
descubiertos antes de embarcar al cliente.
Página 20
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Costos de falla externa
Son los costos incurridos cuando el desempeño del producto no es el adecuado
una vez que lo utiliza el cliente.
Página 21
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO
DEL PROCESO (CEP)
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS
CONCEPTO DE VARIACIÓN
Los métodos estadísticos se basan en que no existen dos productos
EXACTAMENTE iguales de un proceso de manufactura, por tanto la VARIACIÓN
es inevitable, su análisis se hace con el apoyo de la estadística.
DISTRIBUCION NORMAL
La notación para una variable aleatoria que se distribuye normalmente es x N (
, 2 ), la forma de la distribución es simétrica, unimodal y en forma de campana.
Las áreas entre diferentes desviaciones estándar son:
1 68.26%
2 95.46%
3 99.73%
-3
Fig. 2.1
+3
Curva de distribución normal
Propiedades de la distribución normal
La distribución normal tiene forma de campana.
La distribución normal es una distribución de probabilidad que tiene media =
0 y desviación estándar = 1.
El área bajo la curva o la probabilidad desde más menos infinito vale 1.
La distribución normal es simétrica, cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.
Página 22
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros
y , en consecuencia hay un número infinito de distribuciones normales.
Existe una relación del porcentaje de población a la desviación estándar. En la
figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para 1 tiene un
porcentaje de 68.26%, 2 = 95.46% y 3 99.73%
-3s -2s -1s
+1s +2s +3s
68.26%
95.46%
99.73%
La población incluye todos los datos, la muestra es una porción de la población.
Población
Muestra
x-3s
x-2s
x-s
x
x+s
x+2s
x+3s
X
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
X
x-3
x-2
x-
x
x+
x+2
x+3
z
-3
-2
-1
0
1
2
Página 23
3
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La distribución normal estándar
El valor de z
Determina el número de desviaciones estándar entre algún valor X y la media
de la población . Para calcular el valor de Z usamos la siguiente fórmula.
Z
X
(2.1)
La distribución de probabilidad f (Z) es una distribución normal con media 0 y
desviación estándar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y
desviación estándar = 1 Z~N(0,1): La gráfica de densidad de probabilidad se
muestra en la figura.
F(z)
1
Z
0
La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal
estándar. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de
determinado valor Z.
NOTA: Cuando las tablas acumulativas de distribución normal sólo dan valores a
la izquierda de valores positivos de z, utilizando la propiedad de simetría se
pueden evaluar probabilidades o áreas a la izquierda de valores negativos de z.
P (x >= a) = 1 – P (x <= a)
(2.2)
P (x <= -a) = P (x >= a) y
P (x >= -a) = P (x <= a)
Página 24
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
También es muy útil hacer un diagrama de la distribución, indicando las áreas
buscadas.
Ejemplo 2.1 :
El gerente de personal de una gran compañía
requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta
prueba
y
alcancen
una
calificación
de
500.
Si
las
calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con
media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de
los solicitantes pasará la prueba?
Calculando el valor de Z obtenemos:
Z
X
= 500 485 0.5
30
Buscamos el valor correspondiente Z en las tabla de distribución normal.
Z0.5 = .69146 = 69.146% siendo esta la probabilidad de que la calificación sea
menor a 500 P (X<500). Dado que el porcentaje pedido es P( X 500) la solución
es 1-.69146 =.3085 , 30.85% de los participantes pasarán la prueba.
485
30.85%
Z.05
Ejemplo 2.2:
Encuentre las probabilidad siguiente usando la tabla Z,
P(-1.23 < Z > 0).
Página 25
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Z
-1.23
0
Solución: Buscamos el valor Z1.23 en las tablas siendo este = .89065. restando
.89065-.05 = .3905, este valor es la probabilidad de 0 a 1.23 que es
exactamente la misma de –1.23 a 0 por simetría. Por lo tanto la probabilidad es
.3905
Uso de la distribución normal en Excel
Para calcular la probabilidad dado un valor Z procedemos de la siguiente
manera:
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK
Seleccione la celda que contiene el valor de Z, que en este caso es Z= 1.3 ,
de click en aceptar y aparecerá la probabilidad buscada f(z)= .903199
Para calcular Z dada una probabilidad f(z)
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand.inv OK
De clic en aceptar. Procedemos de la misma manera que en el caso anterior,
pero en esta ocasión seleccionamos la probabilidad .93319
El valor Z = 1.4999
Ejemplo 2.3 : Suponga que una distribución normal dada tiene
una media de 20 y una desviación estándar de 4. calcule la
probabilidad P (X > 24).
Página 26
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones
fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK
El sistema muestra la ventana, en la cual llenamos los siguientes datos: X, Media,
desviación estándar, 1.
El resultado de la fórmula = .97724. , dado que esta es la probabilidad P(X 24), la
probabilidad buscada
P (X > 24) = 1-.8413= .1587
Para cálculos utilizando el paquete Minitab, usar:
1. Calc >Probability Distributions >Normal
2. Indicar Cumulative Distribution o inverse Cumulative Distribution
(dando valores de Z se obtienen valores de área) o Inverse Cumulative
Distribution (dando áreas proporciona los valores de Z).
3. En Input constant indicar el valor de Z (cumulative) para obtener el área
bajo la curva o proporcionar el área bajo la curva (Inverse cumulative) para
obtener el valor de Z. OK
Si se especifica una columna Cx para almacenamiento de los resultados, estos no
se muestran automáticamente, para verlos es necesario ejecutar la opción
>Manip >Display Data
Ejemplo 2.4: La resistencia a la tensión de un papel para bolsa
de comestibles es una característica de calidad importante.
La resistencia
x es normalmente distribuida con media 40
lb/in2 y la desviación estándar es 2 lb/in2, denotada como x
N (40, 4).
El comprador de bolsas requiere que al menos
tengan una resistencia de 35 lb/in2, ¿cuál es la probabilidad
de lograrlo?
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HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
P (x >= 35) = 1 –
P (x <= 35)
P (x<= 35)=P{ z <= (35-40)/2 }= P{z <= -2.5}=(-2.5)=
Por
tanto
la
probabilidad
deseada
es
0.0062
P(x>=35)=1–0.0062=
0.9938
35
Ejemplo 2.5:
=2
40
-2.5
0
=1
El diámetro de una flecha metálica usada en una
unidad disco es normalmente distribuida con media 0.2508” y
desviación estándar 0.0005”. La especificación de la flecha
está establecida como 0.2500
que
fracción
de
las
0.0015”. Se desea determinar
flechas
especificaciones.
La distribución es la siguiente:
0.2485
LIE
0.2508
0.2515
MEDIA PROCESO
= 0.0005
LSE
Página 28
producidas
cumplen
las
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
P(0.2485<=x<=0.2515)=P(x<=0.2515)–P(x <= 0.2485) =
={(0.2515–0.2508)/0.0005}–{(0.2485–0.2508)/0.0005} =
= (1.4) - (-4.6) = 0.9265 – 0.0000
= 0.9265
Es decir que el proceso tendrá un rendimiento del 92.65% de
flechas producidas de acuerdo a especificaciones.
Si
se
ajustase
la
media
del
proceso
a
0.2500,
lo
cual
representa la mejor condición de ajuste, se tendría:
P(0.2485<=x<=0.2515)=P(x<= 0.2515)–P(x <= 0.2485)=
={(0.2515–.2500)/0.0005}–{(0.2485–0.2500)/0.0005 }=
= (3.0) - (-3.0) = 0.99865 – 0.00135 =
= 0.9973
De esta forma centrando el proceso se obtendría el 99.73% de
rendimiento.
Algunas veces en vez de encontrar la probabilidad asociada con un valor particular
de una variable aleatoria, se requiere encontrar lo opuesto, es decir un valor de z
que donde se encuentre un cierto valor de probabilidad.
Ejemplo 2.6: si x N (10, 9). Se desea encontrar el valor de x
= a, tal que P(x > a) = 0.05.
En la tabla se encuentra que para P( z<= 1.645) = 0.95, por
tanto:
(a – 10) / 3 = 1.645
a = 14.935.
Página 29
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
La distribución normal tiene muchas propiedades útiles, una de estas se refiere a
la combinación lineal de variables aleatorias independientes. Si x1, x2 x3, ...., xn
son variables aleatorias independientes no necesariamente normales, con media
1, 2, ... n y varianzas 12, 22 , ..., n2 respectivamente, entonces la distribución
del estadístico siguiente:
y = a1x1 + a2x2 + ............. + anxn
(2.4)
es normal con media
y = a11 + a22 + ... + ann
y varianza
y2 = a1212 + a2222...,+ an2n2
donde a1, a2, ... an son constantes.
El Teorema del Límite Central establece que la distribución de la variable:
n
[y -
i ]
i 1
n
i2
(2.5)
i 1
Se aproxima a la distribución normal conforme n tiende a infinito. Es decir que la
suma de las n variables aleatorias independientemente distribuidas es
aproximadamente normal, independientemente de la distribución de las variables
individuales.
La aproximación se mejora conforme se incrementa n, en general si las x i están
distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema
del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control
estadístico de los procesos.
Página 30
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Se pueden cometer dos tipos de errores cuando se prueban hipótesis:
Error tipo I, se rechaza Ho cuando es verdadera.
Error tipo II, no se rechaza Ho cuando es falsa.
Las probabilidades de esos dos tipos de errores son:
= P(error tipo I)
= P(error tipo II)
donde la potencia de la prueba es
Potencia = 1 - = Probabilidad de rechazar correctamente Ho.
Alfa a veces se denomina riesgo del productor, denotando la probabilidad de que
un lote bueno o un proceso que produce partes aceptables en relación a una
característica de calidad sea rechazado.
Beta a veces se denomina riesgo del consumidor denotando la probabilidad de
aceptar lotes de calidad pobre, o permitiendo que un proceso continúe operando
de manera insatisfactoria respecto a una característica de calidad.
El procedimiento general para pruebas de hipótesis es especificar una
probabilidad de error tipo I o , y diseñar un procedimiento de prueba que
minimice la probabilidad de error tipo II.
Conforme se incrementa el tamaño n de muestra, se reduce la probabilidad de
error tipo II.
Página 31
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II
Tomando como estadístico de prueba Zc, y asumiendo que sigue una distribución
normal N(0,1).
Z c X 0
(2.6)
n
Para encontrar la probabilidad de error tipo II, se debe asumir que Ho es falsa y
entonces hallar la distribución de Zc. Suponiendo que la media de la distribución
realmente es:
1 = 0 +
con > 0
La hipótesis alterna H1 es verdadera y bajo esta suposición, el estadístico Zc es:
Zc N
,1
n
BAJO H0
- Z/2
0
BAJO H1
Zc’ = n /
Z/2
Fig. 2.2 La distribución de Zc bajo Ho y H1
La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que Zc se encuentre entre Z/2 y Z/2 dado que la hipótesis alterna es verdadera.
Para evaluar esta probabilidad, se evaluan F(Z/2) ) – F(-Z/2), donde F es la
distribución acumulativa normal estándar. La probabilidad de error tipo II es
(funciona igual para cuando < 0):
Página 32
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
n
n
Z / 2
Z / 2
(2.7)
Ejemplo 2.7: si los estándares especifican que la media de una
lata de café es de 16.0 oz., y de acuerdo a la experiencia se
sabe que la desviación estándar del contenido es de 0.1 oz.
Las hipótesis son:
Ho: = 16.0
Ho: 16.0
Asumiendo una probabilidad de error tipo I de 0.05 y tomando
una muestra de 9 latas, se tiene que el estadístico de prueba
es:
Z 0 X 16
0.1
9
Se rechaza Ho si Zo > Z0.025 = 1,96
Suponiendo que se desea encontrar la probabilidad del error
tipo
II
si
el
valor
verdadero
de
la
media
implicando que = 16.1 – 16.0 = 0.1, se tiene:
n
n
Z / 2
Z / 2
0.1 9
0.1 9
1.96
1.96
0
.
1
0
.
1
= (- 1.4 ) -
( -4.96 )
= 0.1492
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es
1
=16.1
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Es decir que la probabilidad de no rechazar Ho si la media es
16.1 oz. Es de 0.1492, o que la potencia de la prueba es de 1
- = 1 – 0.1492 = 0.8508.
De la ecuación anterior para , se observa que es una función de n, y de ,
tomando como 0.05 y graficando contra d = / , se obtienen las curvas
características de operación (OC).
(ver gráfica de curva OC)
En las curvas OC se observa que:
1. Entre mayor sea el valor de , se reduce la probabilidad de error tipo II para
una n y dadas. Es decir que la prueba detecta más fácilmente grandes
diferencias.
2. Conforme se incrementa n, la probabilidad de error tipo II es más pequeño para
una y dadas. Es decir que la prueba se hace más potente si se incrementa
el tamaño de muestra.
HERRAMIENTAS PARA CONTROL DEL PROCESO
Para que un producto cumpla especificaciones del cliente en forma consistente,
debe ser producido por un proceso estable y repetible, con poca variación
alrededor del valor nominal de las características de calidad del producto. El
Control Estadístico del Proceso es una serie de herramientas para la solución de
problemas enfocados a lograr la estabilidad del proceso y mejorar su habilidad, a
través de la reducción de su variabilidad. Las herramientas principales son:
1. Histograma o gráfico de tallos-hojas
2. Hojas de verificación
3. Gráfica de Pareto
Página 34
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
4. Diagrama de causa-efecto
5. Diagrama de concentración de defectos
6. Diagramas de dispersión
7. Cartas de control
Las cartas de control fueron desarrolladas por el Dr. Walter A. Shewhart de los
Bell Telephone Labs., se denominan Cartas de Control de Shewhart y se usan
para el monitoreo del proceso en línea. A continuación se explica la teoría de
variabilidad de Shewhart.
2.2 CAUSAS COMUNES Y CAUSAS ESPECIALES
La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no
importa que tan bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada
causas comunes o aleatorias de variabilidad, un proceso que opera en estas
condiciones se dice que está en control estadístico.
Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por máquinas,
errores de operadores o materiales defectuosos. Esta variabilidad es muy grande
en relación con la variabilidad natural y es originada por causas especiales o
asignables haciendo que el proceso opere fuera de control estadístico (ver página
siguiente).
De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se
encuentra dentro de los límites de control (LSC y LIC). Sin embargo cuando el
proceso está fuera de control, una gran proporción del proceso se encuentra fuera
de estos límites.
El Objetivo del CEP es la detección oportuna de la ocurrencia de causas
especiales para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan unidades
defectivas o no conformes, para esto se utilizan las cartas de control en línea,
Página 35
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
permitiendo también la estimación de la capacidad o habilidad del proceso y la
reducción continua de la variabilidad hasta donde sea posible.
Página 36
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.3 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL
Una carta típica representando un proceso en control estadístico se muestra a
continuación. Contiene una línea central que representa el valor promedio de la
característica de calidad correspondiente al estado “en control” y dos líneas
adicionales llamadas límites inferior y superior de control (LIC y LSC), los cuales
se seleccionan de tal forma que casi la totalidad de los puntos se encuentren
dentro de ellos, si esto ocurre no se requiere tomar ninguna acción.
LSC
LC
Tiempo
LIC
Fig. 2.3 Carta de control de Shewhart
Un punto que se encuentre fuera de los limites de control mostrará evidencia que
el proceso está fuera de control y será necesario una investigación de la causa
especial y la acción correctiva necesaria para eliminarla. También se tendrá un
alto riesgo de situación fuera de control si los puntos se agrupan es forma
sistemática dentro de los límites de control o muestran una tendencia.
Por ejemplo, la carta de control de medias prueba la hipótesis de que la media del
proceso está en control y tiene un valor 0 si un valor de media muestral X i cae
dentro de los límites de control; de otra forma se concluye que el proceso está
fuera de control y que la media del proceso tiene un valor diferente del de 0, por
decir 1, donde 1 0.
Página 37
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Se puede decir que las probabilidades de los errores tipo I y tipo II de la carta de
control, son esquemas de prueba de hipótesis para analizar el desempeño de las
cartas de control.
La probabilidad del error tipo I de la carta de control se presenta cuando se
concluye que el proceso está fuera de control cuando en realidad no lo está.
La probabilidad de error tipo II de la carta de control se presenta cuando se
concluye que el proceso está en control cuando en realidad está fuera de control.
La curva característica de operación (OC), con en el eje vertical, indica la
capacidad de la carta para detectar corridas de la media o rango del proceso de
diferentes magnitudes.
Ejemplo
2.8:
Para
el
caso
de
pistones,
evaluando
la
característica de calidad de diámetro interno del anillo. Si
la media del proceso es 74 y la desviación estándar es de
0.01mm, con un tamaño de muestra de n=5, se tiene:
La desviación estándar de las medias es:
X
n
.01
0.0045
5
Asumiendo que el proceso está en control y de acuerdo al
teorema del límite central se asume que las medias
X i se
distribuyen normalmente, se debe espera que el 100(1- )% se
encuentren entre 74 Z/2 (0.0045).
Si
se
escoge
arbitrariamente
a
Z/2
=
límites de control a “3 sigma”:
LSC = 74 + 3 (0.0045) = 74.0135
LIC = 74 – 3 (0.0045) = 73.9865
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3,
se
obtienen
los
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
74.0135
74
Tiempo
74.9865
Fig. 2.4 Carta de Control típica
El
ancho
de
los
límites
de
control
es
inversamente
proporcional al tamaño de muestra n, para un múltiplo de
sigma
dado.,
equivalente
a
La
selección
preparar
la
de
los
región
límites
crítica
de
control
es
probar
la
para
hipótesis en el tiempo:
H0 : = 74
H1 : 74
Con = 0.01 conocida.
Se puede definir un modelo general para una carta de control, si w es un
estadístico muestral que mide alguna característica de calidad de interés y
asumiendo que su media es w con desviación estándar w se tiene:
LSC = w + Lw
(2.8)
LC = w
LIC = w - Lw
Donde L es la distancia de los límites de control a partir de la línea central
expresada en unidades de desviación estándar.
Página 39
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
El uso más importante de la carta de control es la mejora del proceso, a través de
su monitoreo, al principio se observará que los procesos no están en control
estadístico, sin embargo con las cartas de control se podrán identificar causas
especiales que al ser eliminadas, resulten en una reducción de la variabilidad
mejorando el proceso.
DISTRIBUCION
DISTRIBUCION
DE LOS VALORES
DE LAS MEDIAS
INDIVIDUALES =.01 X 0.0045
COMPORTAMIENTO DEL PROCESO
LSC = 74.0135, LC = 74, LIC = 73.9865
Fig. 2.5 Comparación de la variabilidad de la población y la
de las medias y operación de la carta de control
El proceso de mejora usando la carta de control requiere la acción de la
supervisión, operador e ingeniería, la carta de control sólo detecta causas
especiales o asignables.
Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las
causas raíz del problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de
acción para situaciones fuera de control OCAP, activado con la ocurrencia de cada
evento. Incluye Puntos de chequeo que son causas potenciales asignables y
terminadores que son las acciones que resuelven la situación fuera de control.
Este documento OCAP es un documento vivo que debe ser actualizado
constantemente.
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HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ENTRADA
PROCESO
SALIDA
SISTEMA DE
EVALUACIÓN
Verificación
Detección de causa
y seguimiento
asignable
Implantar
Identificar causa
Acción
raíz del problema
Correctiva
Fig. 2.6 PROCESO DE MEJORA USANDO LA CARTA DE CONTROL
La carta de control es un dispositivo de estimación de parámetros del proceso una
vez que exhibe control estadístico, se puede estimar la media, varianza,
proporción, etc. que pueden ser utilizados para determinar la capacidad de los
procesos para producir productos aceptables, base de decisiones gerenciales y
contractuales.
Las cartas de control pueden ser clasificadas en dos clases: por atributos y por
variables dependiendo de cómo se evalúe la característica de calidad.
Si la característica de calidad se puede evaluar y expresar como un número real
en alguna escala de medición continua, se denomina una variable. En tales casos
se utilizan cartas de control de medias, que describan la tendencia central y cartas
de control basadas en rango o desviación estándar para controlar la variabilidad
del proceso.
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HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Muchas características de calidad no pueden ser medidas en una escala continua,
en esos casos se puede juzgar cada producto como conforme o como no
conforme sobre la base de que posea o no ciertos atributos, o se pueden contar el
número de no conformidades o defectos que aparecen en una unidad de producto.
Las cartas de control para tales características de calidad, se denominan cartas de
control por atributos.
Un factor importante en la aplicación de cartas de control es su diseño, es decir la
selección de tamaño de muestra, límites de control y frecuencia de muestreo.
Para la carta de control por variables del ejemplo se utilizó una muestra de 5
partes, límites de control a 3-sigma y una frecuencia de muestreo cada hora.
Si se incrementa el tamaño de muestra, decrece la probabilidad del error tipo II,
aunque el diseño de la carta de control también debe tomar consideraciones
económicas considerando los costos de muestreo, pérdidas por fabricar productos
defectuosos y costo de investigar indicaciones fuera de control que son “falsas
alarmas”.
Otra consideración en el uso de cartas de control es el tipo de variabilidad exhibida
por el proceso:
1. Procesos estacionarios: los datos del proceso varían alrededor de una media
fija de una manera fija y estable. Es decir se tiene un proceso en control de
acuerdo a Shewhart es el área de aplicación de las cartas de control más efectivo.
2. Procesos con datos no correlacionados: las observaciones dan la apariencia
de haberse extraído de una población estable (normal u otra), en análisis de series
de tiempo se denomina “ruido blanco”. En este caso los datos pasados históricos
no dicen nada en relación a predecir su comportamiento futuro.
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HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
3. Procesos estacionarios con datos correlacionados: las observaciones
sucesivas de en estos datos son dependientes; es decir un valor por arriba de la
media tiende a ser seguido por otro valor arriba de la media y viceversa, esto
produce corridas lentas y largas en algún lado de la media.
4. Procesos no estacionarios: ocurren en los procesos químicos e industrias de
proceso, los procesos son muy inestables y tienen corridas inestables alrededor
de una media fija. En estos casos se estabiliza el desempeño de los procesos por
medio de control automático por retroalimentación.
Las cartas de control han sido muy populares por las siguientes razones:
1. Son una herramienta probada para mejorar la productividad. Su aplicación
exitosa ayuda a reducir desperdicios y retrabajos, que son factores que
reducen la productividad (productos buenos por hora).
2. Son efectivas como herramientas de prevención de defectos. Apoyan el
concepto de hacerlo bien a la primera vez, es más costoso seleccionar
productos buenos en un lote con productos defectuosos, que fabricarlos bien
desde el principio.
3. Evitan que se hagan ajustes innecesarios en el proceso. Apoyan el concepto
de “si no esta mal, no lo arregles”, ya que identifican las causas comunes de
las especiales, evitan que se hagan ajustes cuando sólo se están teniendo
variaciones aleatorias en el proceso.
4. Proporcionan información de diagnóstico. Proporcionan un patrón de puntos
que permite la toma de decisiones para la mejora del proceso, al operador o al
ingeniero experimentado.
5. Proporcionan información acerca de la capacidad o habilidad del proceso.
Proporcionan información acerca de los parámetros importantes del proceso y
de su estabilidad con el tiempo, permitiendo la estimación de la capacidad del
proceso para producir dentro de especificaciones.
Página 43
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
SELECCIÓN DE LOS LÍMITES DE CONTROL
Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin
embargo se incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con límites de control
de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027. Si se selecciona el nivel de
riesgo de error tipo I en 0.002 o 0.001 en cada lado, se tienen los límites de control
a una distancia de 3.09-sigmas y los límites de control serán:
LSC = 74 + 3.09 (0.0045) = 74.0139
LIC = 74 – 3.09 (0.0045) = 73.9861
Estos límites de control se denominan límites probabilísticos a 0.001.
A
continuación se presenta una comparación entre límites.
+3.09
+3.0
LC
-3.00
-3.09
Fig. 2.7 Límites de control de Shewhart y Europeos
Los límites de control a 0.001 se utilizan en países europeos.
Algunos analistas sugieren el uso de límites preventivos trazados a 2-sigmas de la
línea central, para el caso de límites de control a 3-sigmas y a 0.025 de
probabilidad para límites de control a 0.001. Estos límites aumentan la sensibilidad
de la carta de control para identificar corrimientos de la media del proceso, en
forma más rápida. Si un punto cae fuera de los límites preventivos, Una
desventaja es que crean confusión con el personal y se incrementa el riesgo de
error tipo I (falsas alarmas).
Página 44
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
TAMAÑO DE MUESTRA Y FRECUENCIA DE MUESTREO
Al diseñar una carta de control, se debe especificar tanto el tamaño de muestra
como la frecuencia de muestreo, tamaños de muestra grandes permiten detectar
pequeñas corridas en la media del proceso como se observa en las curvas
características de operación.
Para la frecuencia de muestreo, la práctica industrial sugiere tomar muestras
pequeñas frecuentes, principalmente en producción masiva o cuando existe la
posibilidad de que existan muchas causas especiales, actualmente con las
computadoras esto es cada vez más fácil.
Otra forma de determinar la frecuencia de muestreo y el tamaño de muestra, es a
través de la longitud media de racha de la carta de control (ARL), que es el
número de puntos que deben ser graficados antes de que un punto indique una
condición fuera de control.
ARL
1
p
(2.9)
donde p es la probabilidad de que un punto exceda los límites de control. Para el
caso de 3-sigma p=0.0027 y el ARL0 = 370. Es decir que si el proceso está en
control, se generará un punto fuera de control como falsa alarma cada 370 puntos.
Si se toman muestras en intervalos fijos de tiempo en horas (h), entonces
aparecerá una falsa alarma cada tiempo promedio de indicación (ATS) en horas.
ATS ARLh
(2.10)
En el ejemplo si se toman muestras cada hora, se genera una falsa alarma cada
370 horas.
Página 45
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para evaluar que tan efectiva es la carta para detectar corrimientos en la media
del proceso, se utilizan las curvas características de operación. Por ejemplo, si
n=5 y la media se corre de 74.015mm, la probabilidad de que un punto caiga
dentro de los límites de control es aproximadamente 0.50, por tanto utilizando
p=0.50, se puede calcular el ARL1 para una situación fuera de control como sigue:
ARL1
1
1
2
p 0.5
Esto significa que el proceso requiere 2 muestras antes de detectar el corrimiento.
Si el muestreo se hace cada hora, el ATS = 2 h, si esto fuera inaceptable, se
podrían tomar muestras más frecuentes por ejemplo cada media hora o
incrementar el tamaño de muestra. Si n=10, de la curva característica de
operación se observa que p=0.9 y el ARL1 = 1.11 y el ATS = 1.11 h, lo cual puede
ser más aceptable.
En resumen las dos alternativas siguientes dan un resultado similar:
Diseño 1
Diseño 2
n=5
n = 10
Frec. Cada ½ hora
Frec. cada hora.
Las muestras se toman de manera más frecuente a la ocurrencia de cambios en el
proceso registrados en bitácoras (cambio de turno, cambio de materiales, ajustes,
fallas, etc.), con objeto de detectar las causas de situaciones fuera de control.
SUBGRUPOS RACIONALES
La idea fundamental en las cartas de control es colectar los datos de la muestra de
acuerdo al concepto de subgrupo racional es decir que el subgrupo debe
seleccionarse de tal forma que si están presentes causas asignables, la diferencia
Página 46
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
entre los subgrupos sea maximizada, minimizando la diferencia dentro del
subgrupo.
El tiempo en que se tomen las muestras es una buena base para formar
subgrupos, evitando que algunas observaciones se tomen al final de un turno y las
restantes al inicio del siguiente ya que ocasiona diferencias dentro del subgrupo.
Por lo anterior se recomienda tomar productos consecutivos de producción para
formar la muestra (cuyo tamaño puede ser entre 4 y 6), minimizando diferencias
dentro del subgrupo. En algunos procesos como los químicos, es suficiente tomar
una sola unidad de producto como muestra, dado que existe homogeneidad.
ANALISIS DE PATRONES EN CARTAS DE CONTROL
Una carta de control indicará una condición fuera de control cuando uno o más
puntos caigan más allá de los límites de control o cuando los puntos graficados
formen un patrón no aleatorio de comportamiento.
En general una racha o corrida es una secuencia de observaciones del mismo
tipo. Además de las corridas ascendentes o descendentes, se encuentran las que
están por debajo o sobre la media.
Dado que una corrida de 8 o más puntos tiene una probabilidad de ocurrencia muy
baja, se considera que una racha o corrida con una longitud de 8 puntos indica
una condición fuera de control.
Fig. 2.8 Proceso fuera de control por tendencias o corridas
Página 47
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Otro patrón de inestabilidad se presenta cuando el comportamiento del proceso
muestra patrones cíclicos.
Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las
técnicas estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo
del proceso.
En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para
detectar patrones no aleatorios en las cartas de control:
1. Un punto fuera de los límites de control de 3-sigma.
2. Dos de tres puntos consecutivos sobre los límites preventivos a 2-sigma.
3. Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1sigma o más allá a partir de la línea central.
4. Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la línea central.
Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son:
5. Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente.
6. Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea
central (adhesión a la media).
7. Catorce puntos en un renglón alternándose arriba y abajo.
8. Siete puntos que se encuentren más allá de 1-sigma de la línea central.
9. Un patrón no usual o no aleatorio de datos.
10. Uno o más puntos cerca de los límites preventivos.
Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se
pueden tener muchas falsas alarmas quitándole efectividad al programa del CEP.
Página 48
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4 EL RESTO DE LAS 7 HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS
1. HOJA DE VERIFICACIÓN
2. DIAGRAMA DE PARETO
3. LLUVIA DE IDEAS
4. DIAGRAMA DE ISHIKAWA
5. CARTA DE TENDENCIAS
6. DIAGRAMA DE FLUJO
7. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
Página 49
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.1 HOJA DE VERIFICACIÓN
Se utiliza para reunir datos basados en la observación del comportamiento de un
proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de la captura, análisis y
control de información relativa al proceso. Básicamente es un formato que facilita
que una persona pueda tomar datos en una forma ordenada y de acuerdo al
estándar requerido en el análisis que se esté realizando. Las hojas de verificación
también conocidas como de comprobación o de chequeo organizan los datos de
manera que puedan usarse con facilidad más adelante.
Pasos para la elaboración de una hoja de verificación:
1. Determinar claramente el proceso sujeto a observación. Los integrantes deben
enfocar su atención hacia el análisis de las características del proceso.
2. Definir el período de tiempo durante el cuál serán recolectados los datos. Esto
puede variar de horas a semanas.
3. Diseñar una forma que sea clara y fácil de usar. Asegúrese de que todas las
columnas estén claramente descritas y de que haya suficiente espacio para
registrar los datos.
4. Obtener los datos de una manera consistente y honesta. Asegúrese de que se
dedique el tiempo necesario para esta actividad.
Ejemplo 2.9 Hoja de verificación
DIA
DEFECTO
Tamaño erróneo
Forma errónea
Depto. Equivocado
Peso erróneo
Mal Acabado
TOTAL
1
IIIII I
I
IIIII
IIIII IIIII I
II
25
2
IIIII
III
I
IIIII III
III
3
IIIII III
III
I
IIIII III
I
IIIII II
II
I
IIIII IIIII
I
21
21
20
Página 50
4
TOTAL
26
9
8
37
7
87
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Consejos para la elaboración e interpretación de las hojas de verificación
1. Asegúrese de que las observaciones sean representativas.
2. Asegúrese de que el proceso de observación es eficiente de manera que las
personas tengan tiempo suficiente para hacerlo.
3. La población (universo) muestreada debe ser homogénea, en caso contrario, el
primer paso es utilizar la estratificación (agrupación) para el análisis de las
muestras/observaciones las cuales se llevarán a cabo en forma individual.
EJERCICIO
2.10:
Colectar
el
intervalo
ingresan personas a un establecimiento.
Página 51
de
tiempo
en
que
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.2 DIAGRAMA DE PARETO
Herramienta utilizada para el mejoramiento de la calidad para identificar y separar
en forma crítica los pocos proyectos que provocan la mayor parte de los
problemas de calidad.
El principio enuncia que aproximadamente el 80% de los efectos de un problema
se debe a solamente 20% de las causas involucradas.
El diagrama de Pareto es una gráfica de dos dimensiones que se construye
listando las causas de un problema en el eje horizontal, empezando por la
izquierda para colocar a aquellas que tienen un mayor efecto sobre el problema,
de manera que vayan disminuyendo en orden de magnitud. El eje vertical se
dibuja en ambos lados del diagrama: el lado izquierdo representa la magnitud del
efecto provocado por las causas, mientras que el lado derecho refleja el
porcentaje acumulado de efecto de las causas, empezando por la de mayor
magnitud.
Pasos para desarrollar el diagrama de Pareto:
1. Seleccione qué clase de problemas se van a analizar.
2. Decida qué datos va a necesitar y cómo clasificarlos. Ejemplo: Por tipo de
defecto, localización, proceso, máquina, trabajador, método.
3. Defina el método de recolección de los datos y el período de duración de la
recolección.
4. Diseñe una tabla para el conteo de datos con espacio suficiente para
registrarlos.
5. Elabore una tabla de datos para el diagrama de Pareto con la lista de
categorías , los totales individuales, los totales acumulados, la composición
porcentual y los porcentajes acumulados
Página 52
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
6. Organice las categorías por orden de magnitud decreciente, de izquierda a
derecha en un eje horizontal construyendo un diagrama de barras. El concepto
de “otros” debe ubicarse en el último lugar independientemente de su
magnitud.
7. Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.
Ejes verticales:
-
Eje izquierdo: Marque este eje con una escala desde 0 hasta el total
general
-
Eje derecho: Marque este eje con una escala desde 0 hasta 100%
Eje horizontal:
-
Divida este eje en un número de intervalos igual al número de
categorías clasificadas.
8. Dibuje la curva acumulada (curva de Pareto), Marque los valores acumulados
(porcentaje acumulado) en la parte superior, al lado derecho de los intervalos
de cada categoría, y conecte los puntos con una línea continua.
9. Escriba en el diagrama cualquier información que considere necesaria para el
mejor entendimiento del diagrama de Pareto.
Ejemplo 2.11 Diagrama de Pareto:
El departamento de ventas de un fabricante de materiales de
empaque tiene registrada una lista de las quejas que se han
recibido durante el último mes.
Página 53
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Tipo de queja
No.
Total
Composición Porcentaje
de
Acumulado Porcentual
Acumulado
quejas
A) Entregas fuera de tiempo
25
25
35.71
35.71
B) Calibre fuera de especificaciones
(B) Calibre fuera de
especificaciones
C)
Material sucio y maltratado
23
48
32.85
68.56
7
55
10
78.56
D) Material mal embalado
E) Dimensiones fuera de
especificaciones
6
61
8.57
87.13
3
64
4.28
91.41
F) Inexactitud en cantidades
2
66
2..85
94.26
G) Mala atención del personal
1
67
1.42
95.68
H) Maltrato del material por
transportistas
I) Fallas en documentación
1
68
1.42
97.7
1
69
1.42
98.52
J) Producto con códigos
equivocados
1
70
1.4
99.94
Página 54
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DIAGRAMA PARETO
99.94
98.52
50
97.7
95.68
94.26
91.41
87.13
N
O
78.56
D
E
Q
U
E
J
A
S
68.56
35.71
25
23
7
6
3
2
1
A
B
C
D
E
F
G
Figura 2.12 Diagrama de Pareto
Página 55
H
I
J
%
A
C
U
M
U
L
A
D
O
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Las quejas A,B y C representan el 78.56%, siendo en estas en las que debemos
de enfocarnos primero a resolver.
Ejemplo 2.9 Diagrama de Pareto en Minitab
Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2
(frecuencias)
Seleccione: Stat>Quality Tools>Pareto Chart
Escoja la opción Chart defects table , en el campo labels in seleccione: C1
y en Frecuncies in seleccione: C2. Combine defects alter the first 80%.
Clic en OK
El sistema despliega la gráfica de Pareto:
Fig. 2.10 Diagrama de Pareto en Minitab
PARETO CHART
70
100
60
80
Percent
Count
50
40
30
60
40
20
20
10
0
0
Defect
A
B
C
D
E
F
G
Count
Percent
Cum %
25
35.7
35.7
23
32.9
68.6
7
10.0
78.6
6
8.6
87.1
3
4.3
91.4
2
2.9
94.3
1
1.4
95.7
rs
he
Ot
3
4.3
100.0
En la gráfica observamos que aproximadamente el 80% de los efectos es debido
a los defectos A,B y C (causas)
EJERCICIO 2.13: Realizar un diagrama de Pareto con los
defectos de una l´nea productiva o una estación de servicio
Página 56
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.3 LLUVIA DE IDEAS DE IDEAS (BRAINSTORMING)
En las sesiones de lluvia de ideas se generan nuevas ideas mediante la
participación de todo el equipo.
Para comenzar con el proceso de tormenta de ideas, en el cual se genera
información la gente se reúne en una sala en la cual se recomienda la disposición
de las mesas en forma de “U” para facilitar el debate. La gente que participa en la
sesión deberá de pertenecer a diferentes áreas o tener puntos de vista diferentes,
esto con el objeto de enriquecer la sesión.
El facilitador debe de contar con experiencia en la conducción de sesiones de
tormentas de ideas, o al menos haber tenido experiencias previas.
Para conducir un grupo se lleva a cabo la siguiente metodología:
1. Seleccionar el problema a tratar.
2. Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solución del
problema, las cuales se anotan en el pizarrón sin importar que tan buenas o
malas sean estas.
3. Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los
pensamientos concernientes al problema.
4. Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir cosas muy
interesantes, que motivan a los participantes a generar más ideas.
5. Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el
objetivo es tener mayor cantidad de ideas así existirán mayores posibilidades
de conseguir mejores ideas.
6. Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las
sugerencias de otros.
Página 57
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
7. Una vez que se tengan un gran número de ideas el facilitador procede a
agrupar y seleccionar las mejores ideas por medio del consenso del grupo de
trabajo.
8. Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una
solución.
La técnica tormenta de ideas puede ser aplicada con gran frecuencia al llevar a
cabo otras herramientas, como por ejemplo, diagramas causa-efecto (Ishikawa),
Diseño de experimentos, pruebas de confiabilidad, etc.
EJERCICIO 2.14: Realizar una lluvia de ideas para solucionar
el problema de llegar a tiempo a algún lugar.
Página 58
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.4 DIAGRAMA CAUSA-EFECTO (ISHIKAWA)
El diagrama causa-efecto, también llamado “espina de pescado” por la semejanza
de su forma, también es conocido por diagrama de Ishikawa.
Es utilizado para explorar, e identificar todas las causas posibles y relaciones de
un problema (efecto) o de una condición específica en las características de un
proceso.
Una vez elaborado, el diagrama causa-efecto representa de forma clara, ordenada
y completa todas las causas que pueden determinar cierto problema.
Constituye una buena base de trabajo para poner en marcha la búsqueda de las
verdaderas causas de un problema.
Los pasos para elaborar el diagrama de causa- efecto son los siguientes:
1. Seleccione el efecto (problema) a analizar. Se puede seleccionar a través de
un consenso, un diagrama de Pareto, otro diagrama o técnica.
2. Realice una lluvia de ideas para identificar las causas posibles que originan el
problema.
3. Dibuje el diagrama:
-
Coloque en un cuadro a la derecha la frase que identifique el efecto
(característica de calidad)
-
Trace una línea horizontal hacia la izquierda del cuadro que contiene la
frase. A esta línea se le conoce como columna vertebral.
-
Coloque líneas inclinadas que incidan en la columna vertebral
(causas
principales).
-
Dibuje líneas horizontales con flechas que incidan en las líneas inclinadas
conforme a la clasificación de las causas (causas secundarias)
Página 59
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
-
Dibuje líneas inclinadas que incidan en las líneas de las causas
secundarias (causas terciarias)
4. Clasifique las causas derivadas de la lluvia de ideas, de la siguiente manera:
-
Causas principales.
-
Causas secundarias.
-
Causas terciarias.
5. Jerarquice las causas por grado de importancia y defina aquellas que tengan
un efecto relevante sobre la característica específica.
6. Elabore y ejecute un programa de corrección de las causas relevantes.
Ejemplo 2.1526
En
una
fábrica
de
componentes
electrónicos
se
detectaron
fallas en la línea de ensamble al realizar la prueba de un
circuito,
por
lo
cual
se
procedió
a
realizar
una
investigación utilizando el diagrama causa-efecto.
El problema es soldadura defectuosa, siendo el efecto que se va a analizar.
Primero se determinan las causas principales M’s:
26
Máquinas
Mano de obra
Métodos
Materiales
Mediciones
Medio ambiente
Tomado de: Alberto Galgano, Los siete instrumentos de la Calidad Total, ediciones Díaz de Santos,1995
Página 60
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Estas constituyen las causas primarias del problema y es necesario desafiarlas
para encontrar causas más específicas secundarias y terciarias.
Se construye el diagrama espina de pescado con las causas primarias (M´s), a
partir de estas causas se agrupan las causas secundarias y terciarias derivadas
de la lluvia de ideas.
MEDICIONES
MAQUINAS
MANO DE OBRA
DIMENSIONES
INADECUADAS
FUERA DE
DIMENSIONES
ESPECIFICADS
VELOCIDAD DE
AVANCE
TEMPERATURA
ANGULO
INCORRECTO DE
LA FLAMA
FORMACION
HABILIDAD
PUNTA OXIDADA
FORMA
PUNTA
LIMITES
ERGONOMICOS
SOLDADURA DEFECTUOSA
UNION
SOLDADURA
SUPERFICIE
S CON
POLVO E
IMPUREZAS
LACA DE
PROTECCION
SECUENCIA
SOLDADURA
TIEMPOS DE
ESPERA
TERMINALES
DESOXIDANTE
CORTOS OXIDADOS
ias
ec
un
da
ria
MATERIALES
ca
us
as
ter
cia
r
sp
usa
a
C
les
pa
i
c
rin
s
MÉTODOS
Ca
us
as
s
MEDIO AMBIENTE
Figura 2.11 Diagrama de causa efecto
El equipo analiza cada causa y por medio de eliminación y consenso determina
cuales son las verdaderas causas que están ocasionando el problema. Una vez
determinada las causas se realiza un análisis Why-Why Why? El cual consiste en
preguntarnos tres veces por qué?, para encontrar la causa raíz del problema.
En el ejemplo anterior las causas primarias fueron agrupadas en
(M’s):
mediciones, máquinas, mano de obra,medio ambiente, métodos y materiales. Es
posible realizar este diagrama con causas primarias diferentes a las M´s, ej:
Página 61
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Problema: Por que la versión del sistema “Abacab”, no satisface los
requerimientos del cliente.
Las causas primarias en las que se organiza este problema son las siguientes:
Políticas y procedimientos del sistema
Funcionalidad.
Diseño
Accesibilidad
Tiempo de respuesta
Confiabilidad
Ejemplo 2.16 Diagrama de Causa Efecto en Minitab
Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2
(frecuencias)
Seleccione: Stat>Quality Tools>Cause and Effect Diagram
Llenar las columnas C1 a C5 con las diferentes causas correspondientes a
los conceptos de Personal, Máquinas, Materiales, Métodos, Mediciones y
Medio ambiente.
Introducir los datos en la pantalla de entrada, indicando el problema en
Effect y aceptar con OK.
EJERCICIO
2.17:
Realizar
un
diagrama
de
Ishikawa
para
solucionar el problema de llegar a tiempo a la universidad
Página 62
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.5 CARTA DE TENDENCIAS
Definición:
• Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los procesos
administrativos y de manufactura.
Usos:
• Saber el comportamiento de un sistema o proceso durante el tiempo.
• Tomar las acciones correctivas a tiempo si la tendencia afectará en forma
negativa.
Ejemplo 2.18:
Se tienen los datos siguientes de errores de planeación de la
producción durante 15 semanas: Se puede hacer en Minitab con Stat,
Quality Tools, Run Chart, Subgroup size
=1
Semana
% errores Semana % errores
1
0.15
9
0.04
2
0.04
10
0.05
3
0.08
11
0.07
4
0.07
12
0.04
5
0.04
13
0.02
6
0.05
14
0.03
7
0.01
15
0.01
8
0.03
Permite observar el comportamiento de los datos durante un periodo de tiempo
determinado. Ejercicio 2.19: hacer una carta de tendencias con
datos reales de alguna situación particular.
Fig. 2.12 carta de tendencias
% errores
Carta de tendencia
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sem ana
Página 63
10 11 12 13 14 15
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.6 MAPA DE PROCESOS / DIAGRAMA DE FLUJO
Dentro de los sistemas de calidad
resulta de gran utilidad representar la
estructura y relaciones de los sistemas mediante diagramas de flujo.
Ventajas de los diagramas de flujo
Proveen una secuencia gráfica de cada uno de los pasos que componen
una operación desde el inicio hasta el final. Permitiendo una mejor
visualización y comprensión del proceso.
Los diagramas de flujo pueden minimizar grandes volúmenes de
documentación, incluyendo la documentación ISO 9000.
Facilitan el desarrollo de Procedimientos Estándar de Operación.
Al tener un procedimiento de operación estándar se reduce en gran medida
la variación y el tiempo de ciclo.
Los diagramas de flujo permiten detectar áreas de mejora en los procesos.
Descripción de símbolos
En la construcción de diagramas de flujo de procesos se utilizan los símbolos
descritos a continuación:
Operación de transformación: de la cual resulta un cambio
físico o químico del producto.
Inspección: Verificación de alguna característica mediante un
estandar de calidad prestablecido.
Página 64
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Transporte: Movimiento físico del producto o un componente.
Demora: Indica la necesidad de un periodo de inactividad en
espera de operación inspección o transporte.
Almacenamiento: Mantener un producto en almacenamiento
hasta
que continúe su procesamiento o sea vendido.
Figura 2.13 Símbolos empleados en diagramas de flujo
Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo
1. Describir el proceso a evaluar: Es importante comenzar con los procesos
que se consideran de mayor impacto en la organización.
2. Definir todos los pasos que componen un producto o servicio: Existen
diferentes maneras de hacerlo. Una de ellas consiste en que el equipo de
trabajo anote en tarjetas los diferentes pasos que conforman el proceso,
con este método el equipo puede arreglar y ordenar los pasos del proceso.
Otra manera de hacerlo es mediante el uso de programas de diagramas de
flujo en computadoras, de esta manera se tiene mayor flexibilidad que en el
método anterior y se ahorra bastante tiempo.
Cada paso deberá de ser discutido y analizado a detalle utilizando la
pregunta “¿por qué se hace de esta manera?”
3. Conectar las actividades: Cuando los pasos que componen el proceso
han sido descritos se construye el diagrama de flujo, conectando las
Página 65
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
actividades mediante flechas, cada símbolo debe describir la actividad que
se realiza con pocas palabras.
4. Comparar el proceso actual con el proceso considerado como “ideal”
las siguientes preguntas pueden servir de guía:
¿Existen pasos demasiado complejos?
¿Existe duplicidad o redundancia?
¿Existen puntos de control para prevenir errores? ¿deberían de existir?
¿El proceso funciona en la manera en la cual debería de hacerse?
¿Se puede realizar el proceso de diferente manera?
5. Mejoras del proceso: Una vez que se contestan las preguntas mediante
tormenta de ideas se realizan mejoras. Definiendo los pasos que agregan
valor y los que no agregan se puede llevar a cabo una simplificación
sustancial del proceso.
Las mejoras son priorizadas y se llevan a cabo planes de acción.
6. Implementar el nuevo procedimiento: Una vez realizadas las mejoras se
dan a conocer a las personas involucradas en el proceso y se verifica su
efectividad.
Página 66
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Diagrama de flujo: Una visita a la farmacia27
Ejemplo 2.20 Operación: despacho de una fórmula.
EVENTO
SÍMBOL TIEMP DISTANC
O
O
IA (pies)
(min.)
Abrir la puerta, caminar hacia el área de la
0.8
50
farmacia del almacén.
Esperar para ser atendido.
1
Sacar la fórmula de la billetera o del bolsillo
0.4
y entregarla al dependiente.
Esperar
hasta
cuando
el
dependiente
10
despache la fórmula y calcule el valor.
Sacar la tarjeta de crédito de la billetera y
0.4
entregarla al dependiente.
Esperar que el dependiente diligencie el
1
desprendible de la tarjeta de crédito.
Verificar el desprendible
0.2
Firmar el desprendible
0.1
Esperar el desprendible y el medicamento
0.3
Colocar la tarjeta y el desprendible dentro de
0.2
la billetera
Recoger el medicamento y caminar de
0.8
50
regreso hasta la puerta
27
Adaptado de Hamid Noori/Russell Radford, Administración de Operaciones y producción, Ed. Mc.Graw
Hill Pp.282
Página 67
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Diagrama de flujo de tiempo sin valor.
Es utilizado para detectar cuales son las actividades que agregan valor al proceso
y las que no agregan valor.
Pasos para realizarlo:
• Dibujar una línea horizontal para representar el tiempo total que se ocupa en el
proceso.
• Relacione todos los pasos del proceso detalladamente, después decida si el
paso tiene valor para el cliente.
• Dibujar una línea vertical fina que represente el tiempo que se requiere para
completar el paso.
• Dibújela arriba de la línea, si representa valor agregado, o debajo si no lo
representa.
• En cada línea vertical señale el paso del proceso.
• Puede dibujar una barra con el tiempo de valor agregado como porcentaje de
tiempo total del proceso.
Ventajas:
• Delinea gráficamente la cantidad de tiempo sin valor que se usa en el proceso.
• Ayuda a reducir el tiempo sin valor y eliminar pasos innecesarios.
Ejemplo 2.21
Visita al consultorio médico
ny n
me
ó
Exa cripci
s
Pre
so nea
Pe gu í
n
Sa
ón
esi
Pr
Espera
Espera
r io
lto
su
on
lc
de
lir
Sa gar
Pa inar
m
Ca
se
ar
nt ar
Se min
Ca inar
m
Ca a de a
er
ad
am er m
Ll enf
la
se e
ar
nt ars
Se istr
g
Re
Página 68
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Diagrama de Flujo Físico
Pasos para realizarlo:
•Dibuje el esquema físico de su área de trabajo, incluyendo estaciones de trabajo,
áreas de espera, áreas de máquinas, etc.
•Use flechas para delinear el flujo de la parte dentro del área. Cada flecha debe
delinear un paso del proceso.
Ventajas
• Muestra el número de movimientos para completar el proceso.
• Muestra la complejidad del flujo y las curvas.
• Puede añadir tiempo a cada paso, para mostrar cuellos de botella y tiempo sin
valor agregado Vs tiempo con
valor agregado.
Edificio A
Edificio B
Figura 2.14 Ejemplo de diagrama de flujo físico
EJERCICIO 2.22: Realizar un diagrama de flujo de un proceso
Página 69
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
2.4.7 DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
El diagrama de dispersión es una técnica estadística utilizada para estudiar la
relación entre dos variables. Por ejemplo, entre una característica de calidad y un
factor que le afecta.
La ventaja de utilizar este tipo de diagramas es que al hacerlo se tiene una
comprensión más profunda del problema planteado.
La relación entre dos variables se representa mediante una gráfica de dos
dimensiones en la que cada relación está dada por un par de puntos (uno para
cada variable).
La variable del eje horizontal x normalmente es la variable causa, y la variable del
eje vertical y es la variable efecto.
La relación entre dos variables puede ser: positiva o negativa. Si es positiva,
significa que un aumento en la variable causa x provocará una aumento en la
variable efecto y y si es negativa significa que una disminución en la variable x
provocará una disminución en la variable y.
Por otro lado se puede observar que los puntos en un diagrama de dispersión
pueden estar muy cerca de la línea recta que los atraviesa, o muy dispersos o
alejados con respecto a la misma. El índice que se utiliza para medir ese grado de
cercanía de los puntos con respecto a la línea recta es la correlación. En total
existen cinco grados de correlación: positiva evidente, positiva, negativa evidente,
negativa y nula.
Página 70
Accidentes laborales
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Numero de órdenes urgentes
Figura 2.22 Diagrama de dispersión
Página 71
Correlación
positiva,
posible
HERRAMIENTAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Figura 2.23 Diferentes tipos de correlación
Tipos de correlación
Correlación Negativa
Evidente
25
20
20
15
15
10
Y
Y
Correlación Positiva
Evidente
25
5
0
5
10
15
20
5
Sin Correlación
0
25
X
10
0
0
5
10
25
15
20
25
X
20
15
25
Y
Correlación
Positiva
10
0
0
20
5
10
15
20
25
25
X
20
15
15
10
Y
Y
Correlación
Negativa
5
5
10
5
0
0
5
10
15
20
0
25
0
X
Página 72
5
10
15
X
20
25
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal
sería y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de
tal forma que se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos
son:
y x x xy
a
n x x
2
2
2
b
n xy x y
n x 2 x
2
El índice de correlación (r) se puede calcular estadísticamente mediante las
ecuaciones que a continuación se presentan
r
SCxy
SCx SCy
SCxy xy
x y
n
x
SCx x
n
2
2
y
SCy y
n
2
2
Donde:
r = Coeficiente de correlación lineal
SCxy = Suma de cuadrados de xy
SCx = Suma de cuadrados de x
Página 73
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
SCy = Suma de cuadrados de y
x Sumatoria de los valores de la variable x al cuadrado
y Sumatoria de los valores de la variable y al cuadrado
xy Sumatoria del producto de xy
x Cuadrado de la sumatoria de la variable x
2
2
2
y
2
Cuadrado de la sumatoria de la variable y
n
= número de pares ordenados (pares de datos x, y)
El factor de correlación es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1
(correlación positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula.
La correlación se utiliza para cuantificar el grado en que una variable provoca el
comportamiento de otra. Por ejemplo si se encuentra que la variable temperatura
tiene una correlación positiva con el porcentaje de artículos defectuosos, se deben
buscar soluciones al problema de los artículos defectuosos mediante acciones
asociadas con la variable temperatura; de lo contrario, sería necesario buscar la
solución por otro lado.
Ejemplo 2.23:
Un ingeniero que trabaja con botellas de refresco investiga
la distribución del producto y las operaciones del servicio
de ruta para máquinas vendedoras. El sospecha que el tiempo
requerido para cargar y servir una máquina se relaciona con
el número de latas entregadas del producto. Se selecciona una
muestra
aleatoria
de
25
expendios
al
menudeo
que
tienen
máquinas vendedoras y se observa para cada expendio el tiempo
de solicitud- entrega (en minutos) y el volumen del producto
entregado (en latas). Calcular el coeficiente de correlación
y graficar.
Los datos se muestran a continuación:
Página 74
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Observación No. Latas, x
1
2.00
2
8.00
3
11.00
4
10.00
5
8.00
6
4.00
7
2.00
8
2.00
9
9.00
10
8.00
11
4.00
12
11.00
13
12.00
14
2.00
15
4.00
16
4.00
17
20.00
18
1.00
19
10.00
20
15.00
21
15.00
22
16.00
23
17.00
24
6.00
25
5.00
TOTALES
206.00
Dr. P. Reyes / Enero 2006
tiempo, y
x^2
y^2
xy
9.95
4.00
99.00
19.90
24.45
64.00
597.80
195.60
31.75
121.00
1,008.06
349.25
35.00
100.00
1,225.00
350.00
25.02
64.00
626.00
200.16
16.86
16.00
284.26
67.44
14.38
4.00
206.78
28.76
9.60
4.00
92.16
19.20
24.35
81.00
592.92
219.15
27.50
64.00
756.25
220.00
17.08
16.00
291.73
68.32
37.00
121.00
1,369.00
407.00
41.95
144.00
1,759.80
503.40
11.66
4.00
135.96
23.32
21.65
16.00
468.72
86.60
17.89
16.00
320.05
71.56
69.00
400.00
4,761.00
1,380.00
10.30
1.00
106.09
10.30
34.93
100.00
1,220.10
349.30
46.59
225.00
2,170.63
698.85
44.88
225.00
2,014.21
673.20
54.12
256.00
2,928.97
865.92
56.63
289.00
3,206.96
962.71
22.13
36.00
489.74
132.78
21.15
25.00
447.32
105.75
725.82
2,396.00
27,178.53
8,008.47
Utilizando las ecuaciones para obtener el coeficiente de correlación tenemos:
SCxy = 2027.71
SCx
= 698.56
SCy
= 6105.94
r = 0.98
El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia
estadística para afirmar que el tiempo de entrega esta relacionado con el número
de latas.
Página 75
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Diagrama de dispersion
tiempo de entrega ( y )
80.00
70.00
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
-
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
Numero de latas (x)
Figura 2.24 Diagrama de dispersión con tendencia
En la gráfica observamos que al aumentar el número de latas el tiempo de
entrega aumenta.
Para realizar el gráfico de dispersión en Excel realice el siguiente
procedimiento:
1. Seleccione el icono asistente para gráficos.
2. Seleccione el tipo de gráfico xy(dispersión), y subtipo de gráfico: dispersión,
compara pares de valores.(siguiente)
3. En la pestaña rango de datos seleccione los valores de x y y de la tabla de
datos. En la pestaña serie agregue el titulo, el rango de valores x, y se da
por de fault al haber seleccionado el rango de datos .(siguiente)
4. Ponga el titulo del gráfico y eje de valores x y y de la tabla de datos. En esta
pantalla puede agregar líneas de división al gráfico y otras opciones
(siguiente) (finalizar)
Página 76
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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5. Para realizar algún cambio, por ejemplo en la escala haga clic en la escala
de valores y aparecerá un menú que le permitirá realizarlos.
Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los
pasos siguientes (después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las
columnas C1 y C2):
Minitab > Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de
predictores X y aceptar con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y
de determinación.
Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en
Minitab:
Minitab > Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de
predictores X, seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una
función cuadrática o cúbica y aceptar con OK. Observar el mayor valor del
coeficiente de correlación que indica el mejor ajuste.
EJERCICIO 2.24: Realizar un diagrama de dispersión.
Página 77
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP
El CEP proporciona un retorno sobre la inversión apreciable cuando se implanta
exitosamente, ya que permite la mejora continua a través de la reducción de la
variabilidad. Las cartas de control son una herramienta importante para esta
mejora.
El CEP no sirve si se implanta y después no se mantiene, ya que la mejora
continua debe ser parte de la cultura de la organización.
Para su implantación es necesario el liderazgo gerencia y el trabajo en equipo, así
como evaluar los avances y comunicarlos a la organización, lo cual puede motivar
a mejorar otros procesos.
Los elementos recomendados para un programa de CEP exitoso son:
1. Liderazgo gerencial
2. Un enfoque de grupo de trabajo
3. Educación y entrenamiento de empleados en todos los niveles
4. Énfasis en la mejora continua
5. Un mecanismo para reconocer el éxito y comunicación hacia la organización.
Página 78
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
3.1 INTRODUCCIÓN
Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable.
Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Las cartas de
control de X R son ampliamente utilizadas para monitorear la media y la
variabilidad de las variables, con objeto de evitar o minimizar que se tengan
productos fuera de especificaciones y estabilizar los procesos.
LIE
MEDIA
LSE
LIE
MEDIA Y DESV. ESTANDAR
MEDIA
MEDIA CORRIDA
EN NIVELES NORMALES
LSE
LIE
MEDIA
LSE
DESVIACION ESTANDAR
MAYOR A LA REQUERIDA
Fig. 3.1 Estados posibles de un proceso en control
3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS
Asumiendo que una característica de calidad está distribuida normalmente con
media y desviación estándar ambas conocidas. Si x1, x2, .... xn forman una
muestra de tamaño n entonces se puede calcular la media de la muestra X .
Ahora como las medias de las muestras están normalmente distribuidas con
media X i = /
n , y siendo que la probabilidad 1- de que cualquier media
muestral caerá entre los límites:
Página 79
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Z / 2 X Z / 2
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(3.1)
n
y
Z / 2 X Z / 2
n
Lo anterior será válido aún si la distribución de la población no es normal pero si
estable.
En la práctica los límites de control se estiman a partir de 20 o 25 muestras
preliminares o subgrupos, el tamaño de subgrupo es de 4, 5 o 6 normalmente. Si
se tienen m subgrupos, la gran media se calcula como sigue:
m
X
X
i 1
i
(3.2)
m
Representa la línea central de la carta de medias.
Para estimar la del proceso, se pueden utilizar los rangos de los subgrupos, para
cada uno de los subgrupos el rango es calculado como:
R = xmax – xmin
(3.3)
Si R1, R2, ....., Rm , son los rangos de los diferentes subgrupos, el rango promedio
es:
m
R
R
i 1
i
(3.4)
m
Página 80
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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DESARROLLO DE LA FORMULA PARA LOS LÍMITES DE CONTROL
La variable W de rango relativo relaciona al rango con la desviación estándar
como sigue:
W=R/
(3.5)
Los parámetros de la distribución de W son función de n. La media de W es d2.
Por tanto un estimador de es R / d2 , donde d2 está tabulado para diferentes
valores de n, de esta forma si R es el rango promedio de las primeras muestras,
usando:
R
d2
(3.6)
Los límites de control de la carta de medias son:
LSC X
LIC X
3R
Límite superior de control (LSC)
d2 n
3R
Límite inferior de control (LIC)
d2 n
Línea central (LC)
X
Si de define a
(3.7)
A2
3R
d2 n
se tienen las ecuaciones siguientes:
LSC = X + A2 R
(3.8)
LIC = X - A2 R
Página 81
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.
Para el caso de los rangos, la línea central es R . El estimador para R puede
hallarse de la distribución del rango relativo W = R / , si la desviación estándar de
W es d3 en función de n, se tiene:
R=W
(3.9)
La desviación estándar de R es:
R = d3
Como es desconocida, se puede estimar de = R / d2, resultando:
R d3
R
d2
(3.10)
De esta forma los límites de control para el rango son:
LSC = R + 3 R = R + 3 d 3
LIC = R - 3 R = R - 3 d 3
d
R
= R [ 1+ 3 3 ] = D4 R
d2
d2
(3.11)
d
R
= R [ 1- 3 3 ] = D3 R
d2
d2
Donde las constantes A2 , d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n
para facilitar el cálculo de los límites de control como sigue:
Tabla 3.1 Constantes para límites de control en cartas X-R
n
A2
D3
D4
d2
2
1.880
0.000
3.267
1.128
3
1.023
0.000
2.574
1.693
4
0.729
0.000
2.282
2.059
5
0.577
0.000
2.115
2.326
6
0.483
0.000
2.004
2.534
7
0.419
0.076
1.924
2.704
8
0.373
0.136
1.864
2.847
9
0.337
0.184
1.816
2.970
10
0.308
0.223
1.777
3.078
Página 82
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Para valores pequeños de n, el rango es un buen estimador de la varianza tal
como lo hace la varianza de la muestra S2. La eficiencia relativa del método del
rango a la S2 se muestra abajo:
n
2
Eficiencia
Relativa
1.000
3
0.992
4
0.975
5
0.955
6
0.930
10
0.850
Para n >= 10 el rango pierde eficiencia rápidamente ya que ignora los valores
intermedios entre xmax y xmin sin embargo para valores pequeños de n (4,5 o 6)
empleados en las cartas de control, es adecuado. Para cuando n>10 se utiliza la
desviación estándar en vez del rango.
EQUIPO DE MEDICIÓN
La resolución del equipo debe ser de al menos 1/10 de la tolerancia y debe tener
habilidad
para
realizar
la
medición
con
un
error
por
Repetibilidad
y
Reproducibilidad (R&R) menor al 10% (ver procedimiento de estudios R&R).
LIMITES PRELIMINARES
Siempre que un proceso este siendo analizado a través de una carta de control, es
muy importante llevar una bitácora registrando todos los cambios (tiempo y
descripción) conforme ocurran, por ejemplo: cambio de turno, cambio de
materiales, ajuste de máquina, interrupción de energía, arranque de máquina, etc.
Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse para la
toma de acciones correctivas.
Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y
grafican los límites de control preliminares para determinar si el proceso estuvo en
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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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control (ver procedimiento de Gráficas de Control). Para probar esta hipótesis, se
analizan todos los puntos graficados y se hace un análisis para identificar si hay
puntos fuera de los límites de control o patrones anormales de comportamiento, si
así fuera, los límites de control preliminares se pueden utilizar para el control
futuro del proceso.
Si no se prueba la hipótesis de que el proceso está en control, por algún patrón de
anormalidad presente, se determina la causa especial de la anormalidad, se
toman acciones correctiva para que no vuelva a presentar, se eliminan los puntos
correspondientes al patrón de anormalidad y se re-calculan o revisan los límites de
control. Se analiza la carta de control para observar un comportamiento aleatorio,
si aun no se tiene, se repite el proceso anterior hasta lograrlo. Una vez teniendo
todos los puntos en control, los nuevos límites de control más cerrados que los
originales se utilizan para el control futuro del proceso.
Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de
anormalidad o puntos fuera de control, no se eliminan y se consideran para la
determinación de los límites de control revisados para el control futuro del proceso.
INTERPRETACIÓN DE CARTAS DE CONTROL X R
Se debe iniciar con la interpretación de la carta R, identificando causas especiales
y después analizar la carta X . Además de la situación de un punto fuera de
control, se tienen otros patrones de anormalidad como los siguientes:
Patrones cíclicos: Puede ser ocasionado por cambios ambientales, fatiga del
operador, o fluctuaciones en las presiones u otras variables del proceso.
Página 84
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LSC
LC
LIC
Fig. 3.2 Patrón de anormalidad cíclico
Mezclas de lotes: Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o
fuera de los límites de control, con muy pocos puntos cerca de la línea central,
puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o
cuando se toman productos de varias fuentes con diferente media.
LSC
LC
LIC
Fig. 3.3 Patrón de anormalidad con mezcla de lotes
Corrimiento en la media del proceso. Esto puede ser generado por un cambio en
métodos, operadores, materias primas, métodos de inspección, etc.
LSC
LC
LIC
Fig. 3.4 Patrón de anormalidad con corrimiento en media
Página 85
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Una tendencia ascendente o descendente: Son causadas por deterioración
gradual de herramientas u otro componente crítico del proceso, en los procesos
químicos puede deberse a la separación de algún componente.
LSC
LC
LIC
Fig. 3.5 Patrón de anormalidad de tendencia ascendente
Estratificación: Se muestra como una adhesión a la media, puede ser causado por
límites mal calculados, tomar piezas de procesos diferentes o falta de resolución
del equipo de medición.
LSC
LC
LIC
Fig. 3.7 Patrón de anormalidad de “estratificación”
Por lo general la carta R es más sensible a cambios en la normalidad de los
procesos, por ejemplo cuando n = 4 el error tipo I no es 0.00027 sino 0.00461.
Página 86
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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En resumen los patrones de anormalidad más comunes son:
-
Un punto fuera de los límites de control
-
Siete puntos formando una tendencia ascendente o descendente
-
Dos de tres puntos a más de dos sigma de la línea central en el mismo lado
-
Cuatro de cinco puntos a más de una sigma de la línea central del mismo lado.
-
Siete puntos en secuencia sobre o bajo la línea central
-
Catorce puntos alternándose arriba y debajo de la media
-
Quince puntos dentro de una sigma de la línea central en ambos lados
-
Cualquier otro patrón de anormalidad
Ejemplo 3.1 Para el caso de anillos de pistones de automóvil,
se desea establecer un control estadístico para el diámetro
interno de los anillos, a través de una carta de mediasrangos. Se toman 25 subgrupos de 5 piezas cada uno.
El análisis se inicia con la carta R ya que los límites para
la carta
X
dependen de la variabilidad del proceso, y a
menos que esta variabilidad se encuentre en control, esos
límites tendrán poco significado.
De las cartas de control se calcula un rango promedio R
de
0.023mm (ver tabla de constantes para D3 y D4 con n=5):
LICR = R D3 = 0.023 (0) = 0
LSCR = R D4 = 0.023 (2.115) = 0.049
Si
la
carta
de
estadístico, se
carta
X
control
para
R
se
encuentra
en
control
puede ahora calcular los límites para la
donde la línea central
X es 74.001 (ver tabla de
constantes para obtener el valor de A2 con n=5).
Página 87
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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LSC = X + A2 R = 74.001 + (0.577) (0.0023) = 74.014
LIC = X - A2 R = 74.001 - (0.577) (0.0023) = 73.988
Si no se observan condiciones fuera de control en la carta
X . Si ambas cartas están en control, se puede concluir
que
el
proceso
está
en
control
y
se
pueden
adoptar
los
límites actuales para el control futuro del proceso.
Ejemplo 3.2: Se toman datos de la dimensión crítica de una
parte, con el proceso corriendo normalmente, en 25 subgrupos
de tamaño n=5, uno cada hora:
X11
X12
X13
X14
X15
Mediasa
Rangosa Desv. Est.
138.1
110.8
138.7
137.4
125.4
130.08
27.9
12.1019
149.3
142.1
105.0
134.0
92.3
124.54
57.0
24.6583
115.9
135.6
124.2
155.0
117.4
129.62
39.1
16.1775
118.5
116.5
130.2
122.6
100.2
117.60
30.0
11.0515
108.2
123.8
117.1
142.4
150.9
128.48
42.7
17.7420
102.8
112.0
135.0
135.0
145.8
126.12
43.0
17.9458
120.4
84.3
112.8
118.5
119.3
111.06
36.1
15.2448
132.7
151.1
124.0
123.9
105.1
127.36
46.0
16.6649
136.4
126.2
154.7
127.1
173.2
143.52
47.0
20.1630
135.0
115.4
149.1
138.3
130.4
133.64
33.7
12.3062
139.6
127.9
151.1
143.7
110.5
134.56
40.6
15.8568
125.3
160.2
130.4
152.4
165.1
146.68
39.8
17.8672
145.7
101.8
149.5
113.3
151.8
132.42
50.0
23.1669
138.6
139.0
131.9
140.2
141.1
138.16
9.2
3.6363
110.1
114.6
165.1
113.8
139.6
128.64
55.0
23.5081
145.2
101.0
154.6
120.2
117.3
127.66
53.6
21.8355
125.9
135.3
121.5
147.9
105.0
127.12
42.9
15.9772
129.7
97.3
130.5
109.0
150.5
123.40
53.2
20.6947
123.4
150.0
161.6
148.4
154.2
147.52
38.2
14.4185
144.8
138.3
119.6
151.8
142.7
139.44
32.2
12.1146
.
Página 88
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Los cálculos y gráficas se hicieron utilizando
el paquete MINITAB y se muestran a continuación.
Las cartas de control quedan como sigue:
El
proceso
límites
de
se
observa
control
en
control
calculados,
se
estadístico,
continúa
con
estos
corriendo
el
proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente:
X11
X12
X13
X14
X15
Mediasa
Rangosa Desv. Est.
131.0
184.8
182.2
143.3
212.8
170.82
81.8
33.2801
181.3
193.2
180.7
169.1
174.3
179.72
24.1
9.0461
154.8
170.2
168.4
202.7
174.4
174.10
47.9
17.5943
157.5
154.2
169.1
142.2
161.9
156.98
26.9
9.9693
216.3
174.3
166.2
155.5
184.3
179.32
60.8
23.2220
186.9
180.2
149.2
175.2
185.0
175.30
37.7
15.2797
167.8
143.9
157.5
171.8
194.9
167.18
51.0
18.8798
178.2
186.7
142.4
159.4
167.6
166.86
44.3
17.1516
162.6
143.6
132.8
168.9
177.2
157.02
44.4
18.3454
172.1
191.7
203.4
150.4
196.3
182.78
53.0
21.5062
tas de control quedan como sigue:
El
proceso
límites
de
se
observa
control
en
control
calculados,
se
estadístico,
continúa
con
estos
corriendo
el
proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente:
X11
X12
X13
X14
X15
Mediasa
Rangosa Desv. Est.
131.0
184.8
182.2
143.3
212.8
170.82
81.8
33.2801
181.3
193.2
180.7
169.1
174.3
179.72
24.1
9.0461
154.8
170.2
168.4
202.7
174.4
174.10
47.9
17.5943
157.5
154.2
169.1
142.2
161.9
156.98
26.9
9.9693
216.3
174.3
166.2
155.5
184.3
179.32
60.8
23.2220
186.9
180.2
149.2
175.2
185.0
175.30
37.7
15.2797
167.8
143.9
157.5
171.8
194.9
167.18
51.0
18.8798
178.2
186.7
142.4
159.4
167.6
166.86
44.3
17.1516
162.6
143.6
132.8
168.9
177.2
157.02
44.4
18.3454
172.1
191.7
203.4
150.4
196.3
182.78
53.0
21.5062
Página 89
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Test Results for Xbar Chart
TEST 1. One point more than 3.00 sigmas from center line.
Test Failed at points: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
TEST 2. 9 points in a row on same side of center line.
Test Failed at points: 27 28 29 30
TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 sigmas from center line
(on one side of CL).
Test Failed at points: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line
(on one side of CL).
Test Failed at points: 22 23 24 25 26 27 28 29 30
TEST 8. 8 points in a row more than 1 sigma from center line
(above and below CL).
Test Failed at points: 26 27 28 29 30
Test Results for R Chart
Suponiendo
que
se
identificaron
las
causas
asignables
responsables de los puntos fuera de control identificados en
la carta de medias y que se hicieron ajustes al proceso para
corregirlo, se tomaron otros diez datos con los resultados
siguientes:
Página 90
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
X11
X12
X13
X14
X15
Mediasa
Rangosa
131.5
143.1
118.5
103.2
121.6
123.58
39.9
111.0
127.3
110.4
91.0
143.9
116.72
52.9
129.8
98.3
134.0
105.1
133.1
120.06
35.7
145.2
132.8
106.1
131.0
99.2
122.86
46.0
114.6
111.0
108.8
177.5
121.6
126.70
68.7
125.2
86.4
64.4
137.1
117.5
106.12
72.7
145.9
109.5
84.9
129.8
110.6
116.14
61.0
123.6
114.0
135.4
83.2
107.6
112.76
52.2
85.8
156.3
119.7
96.2
153.0
122.20
70.5
107.4
148.7
127.4
125.0
127.2
127.14
41.3
Las cartas
de control
quedan como sigue:
Se identifican las siguientes situaciones anormales:
Test Results for Xbar Chart
TEST 1. One point more than 3.00 sigmas from center line.
Test Failed at points: 26
TEST 2. 9 points in a row on same side of center line.
Test Failed at points: 29 30
TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 sigmas from center line
(on one side of CL).
Test Failed at points: 28
TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line
(on one side of CL).
Test Failed at points: 26 27 28 29
Test Results for R Chart
Identificando las causas y tomando acciones preventivas, se
eliminan los últimos cinco puntos que ocasionan que la carta
de control de medias salga de control, ahora las cartas
quedan en control estadístico como sigue:
Página 91
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Página 92
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Ejemplo
3.3
Se
Dr. P. Reyes / Enero 2006
considera
otro
ejemplo
con
los
datos
individuales siguientes, procesados con el paquete Minitab:
X1
X2
X3
X4
X5
HORA
Medias
Rangos
-30
50
-20
10
30
1
8
80
0
50
-60
-20
30
2
0
110
-50
10
20
30
20
3
6
80
-10
-10
30
-20
50
4
8
70
20
-40
50
20
10
5
12
90
0
0
40
-40
20
6
4
80
0
0
20
-20
-10
7
-2
40
70
-30
30
-10
0
8
12
100
0
0
20
-20
10
9
2
40
10
20
30
10
50
10
24
40
40
0
20
0
20
11
16
40
30
20
30
10
40
12
26
30
30
-30
0
10
10
13
4
60
30
-10
50
-10
-30
14
6
80
10
-10
50
40
0
15
18
60
0
0
30
-10
0
16
4
40
20
20
30
30
-20
17
16
50
10
-20
50
30
10
18
16
70
50
-10
40
20
0
19
20
60
50
0
0
30
10
20
18
50
La gráficas quedan como sigue:
Página 93
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
La carta de prueba de rachas queda como sigue, indicando un proceso normal:
.
Página 94
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Por las pruebas de normalidad de rangos y medias, se deduce que el proceso está
en Control Estadístico.
.
Página 95
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
CAPACIDAD O HABILIDAD DEL PROCESO
Una vez que se tiene un proceso en control estadístico, se puede estimar su
capacidad o habilidad, tomando como referencia la desviación estándar del
proceso estimada .
Ejemplo 3.3 (continuación..)
=
0.023
R
=
= 0.0099
2.326
d2
Donde el valor de d2 se encuentra en las tablas de constantes
para una n=5. Si la especificación de los anillos de pistones
es de 74.000 0.05 mm, se tienen como límites inferior y
superior de especificaciones los siguientes:
LIE = 73.950
LSE = 74.0500
Los límites de tolerancia naturales del proceso inferior y
superior (LTNI y LTNS) se encuentran a 3-sigma del proceso
por abajo y por arriba de la media del proceso, o sea en:
LTNS = X + 3 = 74.001 + 3 (0.0099) = 74.0307
LTNI = X - 3 = 74.001 - 3 (0.0099) = 73.9713
LIE LTNI
Fig.
3.8
Localización
MEDIA
de
Límites
naturales
Página 96
LTNS
de
LSE
especificaciones
y
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Se observa que los límites de tolerancia naturales del proceso se encuentran
dentro de los límites de especificación, por tanto en principio no se observa que
haya partes fuera de especificaciones.
Otra forma de expresar lo anterior es con el índice de habilidad potencial Cp (o
PCR) siendo:
Cp =
LSE LIE
6
Cp =
74.05 73.95
0.10
1.68
6(0.0099)
0.05984
(3.12)
Se pueden presentar tres casos:
Caso 1. Si Cp es menor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia
naturales es mayor que la banda permitida por los límites de especificación.
LTNI LIE
LSE
LTNS
Caso 2. Si Cp es igual a 1, implica que las bandas para los límites de tolerancia
natural y de especificaciones coinciden (aunque para el caos de 3-sigma aun
hayan 2700 ppm fuera de especificaciones).
LIE
LSE
Página 97
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
LNTI
LNTS
Caso 3. Si Cp es mayor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia
natural del proceso, es menor que la banda permitida por las especificaciones.
LIE LTNI
LTNS LSE
La fracción de la banda de las especificaciones utilizada por el proceso se estima
como sigue:
P = (1 / Cp) 100%
(3.13)
P = (1 / 1.68) 100% = 59.2%
Es decir que el proceso utiliza aproximadamente el 60% de la banda especificada.
Se
puede
estimar
la
fracción
de
anillos
no
conformes
producidos, con ayuda de la distribución normal, como sigue:
p = P { x < 73.950 } + P { x > 74.001 }
73.950 74.001
74.050 74.001
=
0.0099
0.0099
= (-5.15) + 1 - (4.04)
0 + 1 – 0.99998
0.00002
Por lo anterior alrededor de 0.002% o 20 partes por millón
(ppm)
de
los
anillos
producidos
especificaciones.
Página 98
estarán
fuera
de
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Ejemplo 3.2 (continuación...). Para la carta de control de
las medias, después de haber eliminado las causas especiales
y tomado acciones para prevenir su recurrencia, se tiene el
cálculo de habilidad como sigue:
Página 99
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Ejemplo 3.3. Para las cartas X-R se tiene el cálculo de la
capacidad o habilidad del proceso, una vez estable:
Página 100
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Para el cálculo de otros índices que toman en cuenta la posición de la media,
revisar el capítulo de capacidad del proceso o el procedimiento de cartas X –R.
REVISIÓN O RE-CÁLCULO DE LA LÍNEA CENTRAL Y LÍMITES DE CONTROL
Los límites de control calculados como límites preliminares, deben ser revisados
en forma periódica que puede ser por semana, mes o cada 25, 50 o 100 puntos
dependiendo del proceso en particular.
Lo recomendable en cada revisión es tomar las acciones necesarias para que la
media del proceso
X
se acerque cada vez más a la media de las
especificaciones (en caso de ser bilaterales) o se aleje lo más posible de la
especificación (en caso de ser unilateral).
En cada carta de control X o R es necesario identificar las causas especiales que
originen condiciones fuera de control, tomar acciones correctivas para prevenir su
reincidencia, eliminar esos puntos tanto en la carta X como en la carta R y
recalcular los límites de control, para usarse en el control futuro del proceso.
LÍMITES DE CONTROL, DE ESPECIFICACIÓN Y DE TOLERANCIA NATURAL
Es importante hacer notar que no existe ninguna relación matemática entre los
límites de especificación y los de control o los de tolerancia natural.
Los límites de especificación son establecidos externamente al proceso por
ingenieros de manufactura, el cliente o por los diseñadores del producto.
SUBGRUPOS RACIONALES
Para el caso de la carta de medias-rangos, los subgrupos se seleccionan de tal
forma de minimizar la variabilidad entre muestras individuales, observando sólo su
Página 101
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
variabilidad aleatoria y maximizando la posibilidad de detectar corridas en la media
del proceso en función del tiempo.
De esta forma la carta X monitorea la variabilidad entre subgrupos respecto al
tiempo y la carta R monitorea la variabilidad interna entre muestras en un tiempo
dado.
CAMBIO DE TAMAÑO DE MUESTRA
Cuando el proceso ya mostró estabilidad durante un periodo largo de tiempo, es
posible reducir el esfuerzo y costo de control a través de reducir el tamaño de
muestra. Los límites de control se pueden recalcular sin tomar muestras
adicionales como sigue:
R ant rango promedio para el tamaño de subgrupo anterior
R nuevo rango promedio para el tamaño de subgrupo nuevo
nant = tamaño de subgrupo anterior
nnuevo = tamaño de subgrupo nuevo
d2 ant = factor d2 para el tamaño de subgrupo anterior
d2 nuevo = factor d2 para el tamaño de subgrupo nuevo
Los nuevos límites de control para la carta X son (seleccionando A2 en base al
nuevo tamaño de subgrupo nnueva , la línea central no se cambia):
LSCX = X + A2 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant
(3.14)
LICX = X - A2 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant
Para el caso de la carta R los nuevos límites de control son (seleccionando D 3 y
D4 para el nuevo tamaño de muestra nnueva):
LSCR = D4 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant
(3.15)
LCR = R nuevo [d2 nuevo / d2 ant ] R ant
LICR = max { 0, D3 [d2 nuevo / d2 ant ] R ant }
Página 102
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Si en Ejemplo 3.1 de trabajo se quisiera cambiar de n=5 a
n=3, se tendría:
De la tabla de constantes se tiene: d2
1.693, A2
nueva
ant.
= 2.326, d2
nueva
= 1.023, por tanto los límites nuevos son:
LSCX = 74.001 + (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023)
= 74.018
LICX = 74.001 - (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023)
= 73.984
Para la carta R, de la tabla de constantes para n=3
se tiene
D3 = 0, D4 = 2.578, por tanto:
LSCR = (2.578) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023)
LICR = (0) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023)
LCR = [ 1.693 / 2.326 ] (0.023)
= 0.043
= 0.0
= 0.017
LIM.SUP.NVO
LIMITES
CARTA X
ANTERIORES
=
LIM.INF.NVO.
LIMITE SUP. ANT.
LIMITE SUP.NVO.
CARTA R
0
Fig. 3.9 Revisión de límites de control cambiando de n=5 a 3
Página 103
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Como se puede observar el efecto de reducir el tamaño de muestra hace que se
incremente el ancho de los límites de control en la carta X (porque
n
es más
pequeño con n=5 que con n=3) y se reduzca la media de R y su límite superior en
la carta R.
LA CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
La habilidad de las cartas de control X R para detectar corrimientos en la media
del proceso es indicada por su curva característica de operación (OC). Su
determinación se muestra a continuación.
Si en la carta para X se conoce la desviación estándar del proceso y es
constante, cuando la media del proceso 0 cambia a otro valor 1
=
0 + k , la
probabilidad de no detectar el cambio en la primera muestra subsecuente es el
riesgo , donde:
= P { LIC <= X <= LSC 1 = 0 + k }
(3.16)
dado que X N (, 2/n) y que los límites de control son:
LSC = 0 + L / n
(3.17)
LIC = 0 - L / n
La probabilidad de que un punto de X i caiga dentro de límites de control sabiendo
que la media del proceso ya es 1, es igual a la probabilidad de que el punto se
encuentre abajo del límite superior (LSC) menos la probabilidad de que se
encuentre abajo del límite inferior de control (LIC). Considerando la desviación
Estándar de las medias, o sea:
Página 104
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
+
( ZLSC, x)
LSC
Xi
LC
( ZLIC, x)
LIC
-
Fig. 3.10 Cálculo del error Beta o tipo II
LSC ( 0 k ) LIC ( 0 k )
Entonces =
-
/ n
/ n
L / n ( 0 k )
0 L / n ( 0 k )
= 0
-
/ n
/ n
(3.18)
Donde es la distribución normal acumulativa. La expresión anterior se reduce a:
=(L–k
n )-(-L–k
n )
(3.19)
Ejemplo 3.4 Para una carta X R con L=3 (límites a 3-sigma de
medias), tamaño de muestra n=5, y se desea determinar el
corrimiento a
1
=
0 + 2 en la primera muestra subsecuente
al corrimiento de la media del proceso, se tiene:
= ( 3 – 2
5 ) - ( - 3 – 2
= (-1.47) - (-7.37)
= 0.0708
Página 105
5 )
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Este es el riesgo o la probabilidad de no detectar tal
corrimiento. La probabilidad de sí detectarlo es 1- =
= 1 – 0.0708 = 0.9292.
Con
las
fórmulas
anteriores
se
construyen
las
curvas
características de operación para diferentes valores de n
en función de k.
Si n=5 y el corrimiento es de +1, de las curvas OC se tiene
que = 0.75 y la probabilidad de detectar el corrimiento en
(1- ) = 0.19, y así
la segunda muestra se calcula como
sucesivamente. La longitud de la corrida media es el número
esperado
de
muestras
antes
de
que
el
corrimiento
sea
detectado, se denomina ARL o :
ARL =
1
1
En este caso
requieren
(3.20)
ARL
tomar
=
1
cuatro
/
0.25
=
muestras
4.
Es
antes
decir
de
que
el
detectar
se
un
corrimiento de 1.0 con n = 5.
Para construir la curva OC para la carta de rangos, se utiliza la distribución del
rango relativo W=R/. Si el valor de la desviación estándar cuando el proceso está
en control es 0, entonces la curva OC muestra la probabilidad de no detectar un
corrimiento a un nuevo valor 1, donde 1>0 , en la primera muestra después del
corrimiento. Se grafica contra = 1/0.
Por ejemplo si = 2 con n=5, sólo se tienen una probabilidad del 40% de detectar
este corrimiento en cada muestra subsecuente. Por tanto la carta R tiene poca
Página 106
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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sensibilidad de detectar pequeños corrimientos en sigma, para cual se debe usar
la carta S con n>10.
LONGITUD DE CORRIDA MEDIA
La longitud de corrida media para la carta de Shewhart cuando el proceso está en
control es:
ARL = 1 / P ( un punto fuera de control) = ARL0 = 1 /
(3.21)
Cuando el proceso está fuera de control es:
ARL1 = 1 / ( 1 - )
(3.22)
De las gráficas de ARL anexas, se observa que para detectar un corrimiento de
1.5 con n=3, se requiere un ARL1 = 3. Se puede reducir el ARL1 a 1 si se
incrementa la n=16.
3.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S
Estas cartas de control son recomendadas cuando:
1. El tamaño de muestra es moderadamente grande n>10 o 12 (donde el rango
pierde eficiencia por no tomar en cuenta valores intermedios).
2. El tamaño de muestra es variable.
Su construcción es similar a la de la carta de medias-rangos, excepto que en lugar
del rango R en cada subgrupo se calcula la desviación estándar S.
Página 107
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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S2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2 sin embargo S no es
un estimador insesgado de . Si la distribución es normal, entonces S estima a c4
donde c4 es una constante que depende del tamaño de muestra n. Además la
desviación estándar de S es 1 c4 .
1/ 2
2
c4
n 1
(n / 2)
((n 1) / 2)
(3.18)
CASO DE n CONSTANTE
Con esta información se pueden establecer los límites de control para la carta X y
S, cuando se conoce el valor de dado que existe un historial.
Para la carta S se tiene:
Para la carta X se tiene:
LSCs = c4 + 3 1 c4 = B6
LSCX = + A
LCs
= c4
LC =
Página 108
(3.20)
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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LICs = c4 - 3 1 c4 = B5
LICX = - A
Los valores para las constantes se encuentran tabuladas para diferentes valores
de n en la tabla de constantes.
En el caso de que no se conozca la desviación estándar de la población, se puede
estimar utilizando diversas muestras m con datos históricos, donde se obtenga la
desviación estándar en cada una de ellas y se promedien.
S
1 m
Si
m i 1
(3.21)
__
S
c4
(3.22)
Como el estadístico S /c4 es un estimador insesgado de , los parámetros de la
carta serán los siguientes:
LSCs = S 3
S
1 c42 = B4 S
c4
(3.23)
LCs = S
LICs = S 3
S
1 c42 = B3 S
c4
Para el caso de la carta X , cuando S /c4 se una para estimar los límites de
control para esta carta son:
LSCx = X + 3
S
c4 n
= X + A3 S
LCx = X
Página 109
(3.24)
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
LICx = X - 3
S
c4 n
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= X - A3 S
Todas las constantes c4, A’s y B’s se encuentran tabuladas en función de n en la
tabla de constantes, como sigue:
Tabla 3.2 Constantes para límites de control en cartas X-S
n
c4
A
A3
B3
B4
B5
B6
5
0.9400
1.342
1.427
0
2.089
0
1.964
6
0.9515
1.225
1.287
0.030
1.970
0.029
1.874
7
0.9594
1..134 1.182
0.118
1.882
0.113
1.806
8
0.9650
1.061
1.099
0.185
1.815
0.179
1.751
9
0.9693
1.000
1.032
0.239
1.761
0.232
1.707
10
0.9727
0.949
0.975
0.284
1.716
0.276
1.669
11
0.9754
0.905
0.927
0.321
1.679
0.313
1.637
12
0.9776
0.866
0.886
0.354
1.646
0.346
1.610
13
0.9794
0.832
0.850
0.382
1.618
0.374
1.585
14
0.9810
0.802
0.817
0.406
1.594
0.399
1.563
15
0.9823
0.775
0.789
0.428
1.572
0.421
1.544
16
0.9835
0.750
0.763
0.448
1.552
0.440
1.526
17
0.9845
0.728
0.739
0.466
1.534
0.458
1.511
18
0.9854
0.707
0.718
0.482
1.518
0.475
1.496
19
0.9862
0.688
0.698
0.497
1.503
0.490
1.483
20
0.9869
0.671
0.680
0.510
1.490
0.504
1.470
21
0.9876
0.655
0.663
0.523
1.477
0.516
1.459
22
0.9882
0.640
0.647
0.534
1.466
0.528
1.448
23
0.9887
0.626
0.633
0.545
1.455
0.539
1.438
24
0.9892
0.612
0.619
0.555
1.445
0.549
1.429
25
0.9896
0.600
0.606
0.565
1.435
0.559
1.420
.
CASO DE n VARIABLE
En el caso de tamaño de muestra variable, se utiliza el promedio ponderado de las
medias y de las desviaciones estándar como sigue:
Página 110
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m
X
n X
i 1
m
i
n
i 1
i
(3.25)
i
2
(ni 1) S i
S m
ni m
i 1
1/ 2
(3.26)
Ejemplo 3.4 Para una carta X-S con límites variables, se
tomaron los datos siguientes, corriendo en Minitab:
X21
Subíndice
74.030
1
74.002
1
74.019
1
73.992
1
74.008
1
73.995
2
73.992
2
74.001
2
73.998
3
74.024
3
74.021
3
74.005
3
74.002
3
74.002
4
73.996
4
73.993
4
74.015
4
74.009
4
73.992
5
74.007
5
74.015
5
73.998
5
74.014
5
74.009
6
73.994
6
73.997
6
73.985
6
73.995
7
74.006
7
73.994
7
74.000
7
73.985
8
74.003
8
73.993
8
74.015
8
Página 111
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
73.998
74.008
73.995
74.009
74.005
73.998
74.000
73.990
74.007
73.995
73.994
73.998
73.994
73.995
73.990
74.004
74.000
74.007
74.000
73.996
73.983
74.002
73.998
74.006
73.967
73.994
74.000
73.984
74.012
74.014
73.998
74.000
73.984
74.005
73.998
73.996
73.994
74.012
73.986
74.005
74.006
74.010
74.018
74.003
74.000
73.984
74.002
74.003
74.005
73.997
74.000
74.010
74.013
73.998
74.001
74.009
74.005
Dr. P. Reyes / Enero 2006
8
9
9
9
9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
13
13
13
14
14
14
14
14
15
15
15
16
16
16
16
16
17
17
17
17
18
18
18
18
18
19
19
19
19
19
20
20
20
21
21
21
21
Página 112
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
73.996
74.004
73.999
73.990
74.006
74.009
74.010
73.989
73.990
74.009
74.014
74.015
74.008
73.993
74.000
74.010
73.982
73.984
73.995
74.017
74.13
.
Dr. P. Reyes / Enero 2006
21
22
22
22
22
22
23
23
23
23
23
24
24
24
24
24
25
25
25
25
25
Test Results for S Chart
TEST 1. One point more than 3.00 sigmas from center line.
Test Failed at points: 22 Debe identificarse la causa y tomar acción preventiva.
Página 113
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 3.5 Otro ejemplo con n variable, la X = 74.001 y la
S = 0.0098, por tanto los límites de control son:
LSCX = 74.015
LCX = 74.001
LICX = 73.987
Para la carta S
LSCS = 0.020
LCS = 0.0098
LICS = 0
Como método alterno para n variable se puede utilizar la n si no hay mucha
variación entre los diferentes tamaños de muestra (dentro de n 25%).
ESTIMACIÓN DE
El valor de la desviación estándar puede ser estimado del valor de S como
sigue:
S
c4
Para el ejemplo:
S
c4
= 0.0094 / 0.94 = 0.01, tomando el valor de c4 para
n=5.
Existe una variante de las cartas de medias-desviación estándar denominadas
cartas de medias-varianza.
Página 114
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES
Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo:
1. Cuando hay inspección automática de piezas individuales.
2. La tasa de producción es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de
más de una pieza.
3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de
medición de laboratorio) como en procesos químicos.
4. En plantas de proceso como las de papel, el espesor de los acabados tiene
una variabilidad muy baja a través del rollo.
En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los
rangos móviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra como MR i =
X i X i 1 .
Para este caso, los límites de control para la carta X son:
LSCx = X 3
MR
d2
__
LCx
=
X
(3.27)
LICx = X 3
MR
d2
n=2
Ejemplo
3.6
Se
toman
varios
datos
de
viscosidades
y
se
construye una carta de lecturas individuales, donde el rango
se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto
el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m =
número de subgrupos.
Página 115
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
. X-ind.
33.75
33.05
34.00
33.81
33.46
34.02
33.68
33.27
33.49
33.20
33.62
33.00
33.54
33.12
33.84
Dr. P. Reyes / Enero 2006
No.Lote
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
El proceso está en control estadístico.
Página 116
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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3.5 SELECCIÓN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR
ATRIBUTOS
Las cartas por atributos tiene la ventaja que consideran varias características a la
vez clasificando la unidad como conforme o no conforme, si no cumple alguna de
esas características. Por otra parte si esas características se controlan como
variables, debe llevarse una carta de control para cada una de esas
características, lo cual es más laborioso, otra alternativa es el C.E.P. multivariado.
Las cartas por variables proporcionan mayor información del proceso que las de
atributos, tal como la media del proceso y su variabilidad, también proporcionan
información para realizar estudios de capacidad de los procesos.
Las cartas por variables permiten tomar acciones cuando se presentan situaciones
fuera de control, antes de que se produzcan artículos no conformes, lo que no
sucede con las cartas por atributos hasta que el proceso genere más
disconformes.
LIE
1
2
3
Reacción de carta X-R
LSE
Reacción de carta p
Fig. 3.11 Comparación de sensibilidad entre cartas de control
Tal vez la ventaja más importante de la carta X-R es que proporciona un indicador
de inicio de problemas y permite al personal operativo tomar acciones correctivas
antes que se produzcan defectivos realmente, de esta forma las cartas X-R son
indicadores guía de falla, mientras que las cartas p (o c o u) no reaccionan a
menos que el proceso haya cambiado tanto que se produzcan más defectivos.
Página 117
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
En la figura, cuando la media del proceso esta en 1 se producen pocas no
conformidades, si la media del proceso se corre hacia arriba, cuando llegue a 2 la
carta X-R habrá mostrado un patrón anormal o puntos fuera de control para tomar
acciones correctivas, mientras que la carta p no reaccionará hasta que la media
del proceso se haya recorrido hasta 3, o hasta que el número de unidades no
conformes producidas se haya incrementado. Por tanto las cartas X-R son más
poderosas que las cartas p.
Para el mismo nivel de protección contra corrimientos del proceso, la carta p
requiere un tamaño de muestra mayor, la X-R requiere tomar mucho menos
unidades aunque las mediciones toman más tiempo. Esta consideración es
importante para el caso de pruebas destructivas.
Ejemplo 3.8 Si el proceso se controla con una carta X , donde
el valor medio de la característica de calidad es 50 y la
desviación
estándar
especificaciones
es
2,
para
límites
de
3-sigma
y
LIE=44 y LSE=56, cuando el proceso está en
control en el valor nominal de 50, la fracción no conforme es
0.0027.
Suponiendo que la media del proceso del proceso se corre a
52,
la
fracción
defectiva
producida
será
aproximadamente
0.0202, si se desea que la probabilidad de detectar este
corrimiento en la siguiente muestra subsecuente sea del 0.50,
entonces el tamaño de muestra en la carta X debe ser tal que
se cumpla que el LSC sea 52 o sea:
50
3(2)
52
n
donde n=9,
Página 118
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Si se utiliza una carta p entonces el tamaño de muestra
requerido para tener la misma probabilidad de detectar el
corrimiento es:
2
k
n p(1 p)
Con k = 3, que es el ancho de los límites de control, p =
0.0027
y
es
la
magnitud
de
incremento
en
fracción
defectiva o sea = 0.0202 – 0.0027 = 0.0175, de esta forma,
n = 79.23 80
Donde se observa que a menos que el costo de medir 9 muestras
sea mayor que 9 veces el costo de inspección por atributos,
las carta X es más económica de aplicar.
GUÍA PARA IMPLEMENTAR CARTAS DE CONTROL
Se sugiere lo siguiente:
1. Determinar cual es la característica a controlar.
2. Seleccionar un tipo de carta de control.
3. Identificar el proceso donde se implantarán las cartas de control.
4. Tomar acciones para mejorar el proceso, como resultado de la aplicación de la
carta de control.
5. Seleccionar el sistema de colección de datos y software de C.E.P.
SELECCIÓN DE LA CARTA DE CONTROL ADECUADA
A. Se prefiere una carta por variables en las situaciones siguientes:
1. Se inicia un proceso o producto nuevo.
Página 119
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
2. El proceso ha estado mostrando un comportamiento inconsistente en forma
crónica.
3. Se requieren pruebas destructivas.
4. Se desea economizar el control cuando el proceso es estable.
5. Existen tolerancias muy cerradas u otros problemas de manufactura.
6. El operador debe decidir si ajustar el proceso o no, o cuando evaluar el ajuste.
7. Se debe presentar evidencia de estabilidad y de capacidad como en industrias
reguladas.
B. Se prefiere una carta por atributos en las situaciones siguientes:
1. Los operadores controlan las causas asignables y es necesario mejorar el
proceso.
2. El proceso es una operación de ensamble compleja y la calidad se evalúa por
la ocurrencia de no conformidades (computadoras, autos, etc.).
3. Es necesario un control del proceso, pero no se pueden hacer mediciones.
4. Se requiere un historial del desempeño del proceso para revisión ejecutiva.
C. Cartas de control por lecturas individuales
1. Es inconveniente o difícil obtener más de una medición por muestra, o la
repetición de muestras sólo mostrará errores de medición de laboratorio, tal
como ocurre en proceso químicos.
2. Se cuenta con inspección automatizada de cada unidad de producto. Para
estos casos también se deben considerar las cartas de sumas acumuladas o
de media móvil ponderada.
3. Los datos disponibles son muy lentos en el tiempo, por ejemplo datos
contables mensuales.
Página 120
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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3.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
Algunas de las aplicaciones de las cartas de control por variables son:
1. Mejora de procesos de proveedores. Reducir su variabilidad a través de
centrar su proceso y tomar acciones correctivas.
2. Selección de equipo productivo a través de demostración de su capacidad
antes de su embarque.
3. Corridas cortas en talleres de manufactura. Se controla la desviación respecto
a la media especificada, de una característica específica de calidad para
diferentes productos similares.
4. Aplicaciones no manufactureras. En estos casos se tiene que: (1) no hay
especificaciones, (2) se requiere más imaginación para aplicar las cartas de
control. Se usan por ejemplo para reducir el tiempo de proceso de las cuentas
por pagar (pago de cheques).
Página 121
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL
Las constantes para límites de control en las cartas X-R son:
n
A2
D3
D4
d2
2
1.880
0.000
3.267
1.128
5
1.023
0.000
2.574
1.693
6
0.729
0.000
2.282
2.059
5
0.577
0.000
2.115
2.326
6
0.483
0.000
2.004
2.534
7
0.419
0.076
1.924
2.704
8
0.373
0.136
1.864
2.847
9
0.337
0.184
1.816
2.970
10
0.308
0.223
1.777
3.078
Las constantes para límites de control en las cartas X-S son:
n
c4
A
A3
B3
B4
B5
B6
5
0.9400
1.342
1.427
0
2.089
0
1.964
6
0.9515
1.225
1.287
0.030
1.970
0.029
1.874
7
0.9594
1..134 1.182
0.118
1.882
0.113
1.806
8
0.9650
1.061
1.099
0.185
1.815
0.179
1.751
9
0.9693
1.000
1.032
0.239
1.761
0.232
1.707
10
0.9727
0.949
0.975
0.284
1.716
0.276
1.669
11
0.9754
0.905
0.927
0.321
1.679
0.313
1.637
12
0.9776
0.866
0.886
0.354
1.646
0.346
1.610
13
0.9794
0.832
0.850
0.382
1.618
0.374
1.585
14
0.9810
0.802
0.817
0.406
1.594
0.399
1.563
15
0.9823
0.775
0.789
0.428
1.572
0.421
1.544
16
0.9835
0.750
0.763
0.448
1.552
0.440
1.526
17
0.9845
0.728
0.739
0.466
1.534
0.458
1.511
18
0.9854
0.707
0.718
0.482
1.518
0.475
1.496
19
0.9862
0.688
0.698
0.497
1.503
0.490
1.483
20
0.9869
0.671
0.680
0.510
1.490
0.504
1.470
21
0.9876
0.655
0.663
0.523
1.477
0.516
1.459
22
0.9882
0.640
0.647
0.534
1.466
0.528
1.448
23
0.9887
0.626
0.633
0.545
1.455
0.539
1.438
24
0.9892
0.612
0.619
0.555
1.445
0.549
1.429
25
0.9896
0.600
0.606
0.565
1.435
0.559
1.420
Página 122
.
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
4.1 INTRODUCCIÓN
Muchas características de calidad no pueden ser representadas numéricamente,
denominándose atributos. En tales casos cada artículo completo se clasifica
como conforme o no conforme a especificaciones y/o estándares, es decir
como defectivo o no defectivo, no defectuoso o defectuoso, bueno o malo,
discrepante o no discrepante.
Fig. 4.1 Cuando el producto no es funcional es no conforme,
defectivo o defectuoso. Puede ser reparado o desperdicio.
Para controlar productos defectivos o no conformes, se utiliza la carta de control p
de fracción defectiva o la np para el número de defectivos o de no conformes. Se
aplica a productos simples (tornillos, lápices, botellas, etc.)
Cuando más bien se controla el número de defectos o no conformidades que se
observan en un producto, se utiliza la carta de control para no conformidades o
defectos c cuando la muestra es constante o la u cuando es variable o constante.
Se aplica a productos complejos (coches, TV, cámaras de video, escritorios,
refrigeradores, etc.) Un defecto o no conformidad es una discrepancia respecto a
los estándares establecidos o a las especificaciones.
Fig. 4.1 El producto puede ser funcional pero puede tener
defectos o no conformidades, que pueden ser corregidas con
retrabajo o no se pueden corregir y ser desperdicio.
Página 123
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p
La fracción no conforme es la relación entre el número de artículos discrepantes
entre el total de artículos, se expresa como fracción decimal, aunque también se
puede expresar en porcentaje. El artículo puede tener varias características de
calidad que son examinadas por un inspector, si el artículo no está de acuerdo a
los estándares, se le considera como defectuoso o no conforme.
La fracción defectiva o no conforme en la muestra se define como la relación entre
el número de unidades no conformes D al tamaño de muestra n, o sea:
pi
Di
ni
(4.1)
La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto:
__
p
2p
(4.2)
p (1 p )
n
(4.3)
Del modelo general para la carta de control de Shewhart, si w es un estadístico
que mide una característica de calidad, con media w y varianza
w2 , los límites
de control son:
LSC = w + Lw
LC = w
(4.4)
LIC = w - Lw
Página 124
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Donde L es la distancia de la línea central hasta los límites de control, es común
usar L = 3.
Por tanto los límites de control de la carta p considerando L = 3 son:
__
__
p(1 p )
LSCp = p 3
n
__
__
LCp = p
(4.5)
__
__
p(1 p )
LICp = p 3
n
__
Durante la operación, se toman muestras de n unidades, se calcula la fracción
defectiva pi y se grafíca en la carta, mientras no se observe ningún patrón
anormal y pi se localice dentro de límites de control, se puede concluir que el
proceso está en control, de otra forma, se concluirá que la fracción no conforme se
ha desplazado de su valor original y el proceso se encuentra fuera de control.
Cuando la fracción defectiva del proceso es desconocida, se estima de los datos
observados en m muestras iniciales, cada una de tamaño n , por lo general se
toman 20 a 25 de estas. Así si Di son unidades no conformes en la muestra i , la
fracción defectiva de la muestra i - ésima estará dada como:
pi = Di / n
i = 1, 2, 3,....., m
(4.6)
y el promedio de las fracciones individuales no conformes cuando p es
desconocida es:
Página 125
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
m
p
Di
i 1
mn
Dr. P. Reyes / Enero 2006
m
p
i 1
i
(4.7)
m
El estadístico p estima la fracción desconocida p, y los límites preliminares de
control son:
LSC p p 3
p(1 p)
n
(4.5) anterior
LC p p
LIC p p 3
p(1 p)
n
Una vez hecha la gráfica trazando los límites anteriores, cualquier punto que se
encuentre fuera de control debe ser investigado, si se encuentra una causa
asignable o especial, deben tomarse medidas correctivas para prevenir su
recurrencia, los puntos correspondientes a la situación fuera de control se eliminan
y se calculan de nuevo los límites de control preliminares.
Ejemplo 4.1 Para el llenado de cajas de concentrado de jugo
de
naranja
de
6
oz.,
se
inspecciona
cada
caja
y
se
inspecciona el sello para evitar fugas, se lleva una carta de
control para tomar acciones y mejorar el desempeño de la
maquina selladora.
Para establecer la carta de control, se toman 30 muestras de
50 piezas cada una en intervalos de una hora.
Hora No-conformidades
1
12
2
15
Hora
16
17
Página 126
No-conformidades
8
10
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8
10
4
7
16
9
14
10
5
6
17
12
22
Como
en
Dr. P. Reyes / Enero 2006
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
total
se
5
13
11
20
18
24
15
9
12
7
13
9
6
encontraron
347
cajas
no
conformes,
se
estima p como sigue:
m
p
D
i
i 1
mn
m
p
i 1
m
i
=
347
= 0.2313
(30)(50)
Los límites de control usando Minitab son:
LSCp = 0.4102
LCp
= 0.2313
LICp
= 0.0524
De la carta de control se observa que las muestras 15 y 23
están fuera de los límites de control, de tal forma que el
proceso esta fuera de control.
Del análisis de los datos de la bitácora se encontró que la
muestra 15 corresponde a el cambio de un nuevo lote de cajas
el cual fue diferente y que la muestra 23 corresponde a un
operador sin experiencia asignado temporalmente a la máquina.
Tomando acciones correctivas para evitar la recurrencia de
las
causas
anteriores
y
calculando
Página 127
nuevos
límites
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
preliminares con los puntos 15 y 23 eliminados, se tiene con
Minitab:
LSCp = 0.3893
LCp
= 0.2150
LICp
= 0.0407
En la gráfica de límites revisados, se observa que la muestra
21 excede el limite superior de control, sin embargo no se
encontró una causa asignable, por tanto se retiene este punto
para
el
cálculo
de
los
límites
preliminares.
Tampoco
se
observan patrones de anormalidad, la mayor racha o corrida
tiene 5 puntos sobre la línea central, lo cual no representa
una situación fuera de control.
De esta forma se concluye que el proceso está en control a
una
p
=
0.2150
adoptando
los
control futuro.
Página 128
límites
preliminares
para
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Se observa que a pesar de que el proceso está en control, no se tienen presentes
problemas controlables por el operador, por tanto las causas de variabilidad son
comunes y su reducción depende sólo del control de la administración, una vez
que interviene e Ingeniería realiza una serie de ajustes a la máquina, se monitorea
la mejora.
Continuando con el ejemplo, se toman 24 muestras adicionales
durante
los
siguientes
3
turnos,
la
gráfica
se
Se observa que la p media del proceso
ha
mejorado
con
hizo
utilizando Minitab:
ajustes y una mejor atención de los operadores.
Página 129
los
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Se puede probar la hipótesis que la fracción no conforme en los últimos 3 turnos,
difiere de la fracción no conforme preliminar, con el procedimiento de prueba de
hipótesis:
H0:
p1 = p 2
H1:
p1 > p 2
Donde p1 es la fracción no conforme de los datos preliminares
(p1 = p1 = 0.2182) y p2 es la fracción no conforme del periodo actual. Para estimar
p2 se toman las últimas 24 muestras o sea:
m
p2
Di
i 31
mn
m
p
i 31
m
i
=
133
133
0.1108
(50)(24) 1200
El estadístico de prueba aproximado para probar la hipótesis anterior es:
Z0
p1 p 2
n1 n2
p(1 p)
n1n2
con p
n1 p1 n2 p2
n1 n2
por tanto:
p
(1400 )( 0.2150 ) (1200 )( 0.118 )
0.1669
1400 1200
Z0
0.2150 0.1108
1
1
(0.1669)(0.8331)
1400 1200
7.10
Para un nivel de significancia del 0.05 en la distribución normal, se encuentra que:
Z0 = 7.10 > Z.05 = 1.645
Página 130
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Por tanto se rechaza la hipótesis Ho concluyendo que hubo una reducción en la
fracción defectiva promedio del proceso.
Usando sólo los últimos 24 puntos para calcular nuevos límites se tiene:
LSCp = 0.2440
LCp = 0.1108
LICp = -0.0224 = 0
Continuando con
control,
para
el ejemplo, usando los nuevos
las
siguientes
40
muestras
mejora del proceso, dentro de control.
Página 131
se
límites de
observa
una
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Es muy importante que para identificar fácilmente las causas asignables, se lleve
una bitácora de cambios, donde se anote cada
cambio que ocurra,
independientemente que afecte o no al proceso.
DISEÑO DE LA CARTA DE CONTROL
Determinación del tamaño de muestra:
Método 1.
El tamaño de muestra n se escoge de tal forma que la probabilidad de encontrar al
menos una unidad no conforme por muestra sea al menos .
Ejemplo 4.2, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de
hallar al menos una unidad no conforme sea al menos 0.95, si
D es el número de artículos no conformes, entonces:
P{ D >= 1 }>= 0.95
Con la distribución de Poisson se encuentra que = np debe
ser mayor a 3.00, por tanto si p = 0.01, implica que el
tamaño de muestra debe ser al menos de 300.
Método 2.
Duncan sugiere que el tamaño de muestra debe ser tal que se tenga
aproximadamente un 50% de probabilidad de detectar el corrimiento de la media
de un proceso en una cierta cantidad.
Asumiendo que la distribución normal es una buena aproximación a la binomial, se
selecciona n de tal forma que el límite superior de control coincida con la fracción
defectiva en el estado fuera de control.
Página 132
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Entonces n debe satisfacer:
L
p(1 p)
n
(4.8)
Donde L es la distancia de la línea central a los límites de control en desviaciones
estándar, por tanto,
2
L
n p(1 p)
(4.9)
Ejemplo 4.3, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de
detectar un corrimiento a p = 0.05 sea de 0.50, entonces =
0.05 – 0.01 = 0.04 y si L = 3-sigma, se tiene:
2
3
n=
(0.01)(0.99) 56
0.04
Método 3.
Otro método a usar si la fracción p en control es pequeña, consiste en seleccionar
n tan grande de tal forma que el límite inferior tenga un valor positivo, para poder
investigar la causa de generación de muy bajas cantidades de artículos
defectuosos con objeto de identificar errores de inspección o de los equipos de
medición. Se tiene:
LIC p p L
p(1 p)
0
n
(4.10)
Implica que,
Página 133
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
n
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(1 p) 2
L
p
(4.11)
Ejemplo 4.4, si p = 0.05 y se tienen límites de control a 3sigma, el tamaño de muestra será:
n
Si
0.95 2
(3) 171
0.05
n>171
unidades,
la
carta
de
control
tendrá
un
límite
inferior de control positivo.
Es importante notar que la carta de control p se basa en la distribución normal, es
decir que la probabilidad de ocurrencia de artículos defectivos es constante y que
las unidades producidas son independientes. Si no es el caso, se debe desarrollar
una carta de control basada en el modelo de probabilidad adecuado.
Página 134
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
4.3 CARTA DE CONTROL np
En lugar de tener fracciones no conformes, si el tamaño de muestra es constante,
se pueden utilizar directamente el número de artículos defectivos o no conformes
np, para evitarle operaciones aritméticas al operador, los parámetros de esta carta
son:
LSCnp np 3 np(1 p)
LCnp np
(4.12)
LICnp np 3 np(1 p)
Si no se conoce el valor de p, se puede estimar con la p .
El número de defectivos o no conformes es un entero, por tanto es más fácil de
graficar e interpretar por los operadores que llevan el C.E.P.
Ejemplo
4.5,
con
los
últimos
39
datos
concentrado de jugo de naranja, se tiene:
Página 135
de
las
cajas
de
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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4.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE
En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección
100% de los lotes producidos en un periodo de tiempo, por tanto la muestra será
variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control:
Método 1. Límites variables
Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva
promedio p y su tamaño de muestra con p 3 p(1 p) / ni . La amplitud de los
límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra.
Ejemplo 4.6, Se tomaron datos del resultado de la inspección
diaria, registrando la producción total y los defectivos del
día.
n-var nodef Fra-def
LSC
LIC
Des-est
100
80
80
100
110
110
100
100
90
90
110
120
120
120
110
80
80
80
90
100
100
100
100
90
0.183686
0.194093
0.194093
0.183686
0.179582
0.179582
0.183686
0.183686
0.188455
0.188455
0.179582
0.176003
0.176003
0.176003
0.179582
0.194093
0.194093
0.194093
0.188455
0.183686
0.183686
0.183686
0.183686
0.188455
0.0073347
-0.0030730
-0.0030730
0.0073347
0.0114382
0.0114382
0.0073347
0.0073347
0.0025651
0.0025651
0.0114382
0.0150173
0.0150173
0.0150173
0.0114382
-0.0030730
-0.0030730
-0.0030730
0.0025651
0.0073347
0.0073347
0.0073347
0.0073347
0.0025651
0.0293918
0.0328611
0.0328611
0.0293918
0.0280240
0.0280240
0.0293918
0.0293918
0.0309817
0.0309817
0.0280240
0.0268310
0.0268310
0.0268310
0.0280240
0.0328611
0.0328611
0.0328611
0.0309817
0.0293918
0.0293918
0.0293918
0.0293918
0.0309817
12
8
6
9
10
12
11
16
10
6
20
15
9
8
6
8
10
7
5
8
5
8
10
6
0.120000
0.100000
0.075000
0.090000
0.090909
0.109091
0.110000
0.160000
0.111111
0.066667
0.181818
0.125000
0.075000
0.066667
0.054545
0.100000
0.125000
0.087500
0.055556
0.080000
0.050000
0.080000
0.100000
0.066667
Página 136
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
La fracción defectiva media se calcula como sigue:
25
p
D
i 1
25
n
i 1
i
234
0.096
2450
i
Y los límites de control se calculan como sigue:
LSCp= p 3 p 0.096 3
(0.096)(0.904)
ni
LC = 0.096
LICp= p 3 p 0.096 3
(0.096)(0.904)
ni
Se observa que la muestra 11 está fuera de control.
Página 137
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Cuando se toman límites de control variables, el análisis de patrones de
anormalidad no tiene sentido ya que la desviación estándar en cada muestra esta
variando y no es posible visualizar corridas o rachas.
Método 2. Tamaño de muestra promedio
En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los
límites de control aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán
en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control son constantes.
Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este
método no es adecuado.
m
n
n
i 1
m
i
2450
98
25
Con límites de control basados en n 98 :
LSCp= p 3 p 0.096 3
(0.096)(0.904)
0.185
98
LC = 0.096
LICp= p 3 p 0.096 3
(0.096)(0.904)
0.007
98
Otra vez de la gráfica se observa que el punto 11 está fuera de control.
Método 3. Carta de control estandarizada.
En este método, los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. En la
carta de control estandarizada, la línea central es cero y los límites de control
están a +3 y –3 respectivamente, la variable a graficar en la carta es:
Página 138
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Zi
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pi p
(4.13)
p(1 p)
ni
donde p (o p si no hay estándar) es la fracción defectiva media del proceso en su
condición de control estadístico; pi , ni son datos de la muestra.
Ejemplo 4.7 Con los 25 datos anteriores se obtiene una carta
estandarizada, por medio de Minitab.
n-var
100
80
80
100
110
110
100
100
90
90
110
120
120
120
110
80
80
80
90
100
100
100
100
90
nodef
12
8
6
9
10
12
11
16
10
6
20
15
9
8
6
8
10
7
5
8
5
8
10
6
Frac.-def
0.120000
0.100000
0.075000
0.090000
0.090909
0.109091
0.110000
0.160000
0.111111
0.066667
0.181818
0.125000
0.075000
0.066667
0.054545
0.100000
0.125000
0.087500
0.055556
0.080000
0.050000
0.080000
0.100000
0.066667
LSC
0.183686
0.194093
0.194093
0.183686
0.179582
0.179582
0.183686
0.183686
0.188455
0.188455
0.179582
0.176003
0.176003
0.176003
0.179582
0.194093
0.194093
0.194093
0.188455
0.183686
0.183686
0.183686
0.183686
0.188455
LIC
0.0073347
-0.0030730
-0.0030730
0.0073347
0.0114382
0.0114382
0.0073347
0.0073347
0.0025651
0.0025651
0.0114382
0.0150173
0.0150173
0.0150173
0.0114382
-0.0030730
-0.0030730
-0.0030730
0.0025651
0.0073347
0.0073347
0.0073347
0.0073347
0.0025651
Página 139
Desv-est.
0.0293918
0.0328611
0.0328611
0.0293918
0.0280240
0.0280240
0.0293918
0.0293918
0.0309817
0.0309817
0.0280240
0.0268310
0.0268310
0.0268310
0.0280240
0.0328611
0.0328611
0.0328611
0.0309817
0.0293918
0.0293918
0.0293918
0.0293918
0.0309817
Z-Estand
0.81655
0.12172
-0.63905
-0.20414
-0.18166
0.46713
0.47632
2.17748
0.48774
-0.94679
3.06231
1.08084
-0.78268
-1.09326
-1.47925
0.12172
0.88250
-0.25866
-1.30543
-0.54437
-1.56506
-0.54437
0.13609
-0.94679
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
90
9
0.100000
0.188455
Dr. P. Reyes / Enero 2006
0.0025651
0.0309817
0.12911
Esta carta tiene la ventaja de poder identificar patrones de anormalidad e
identificar curva característica de operación, lo que no puede hacerse con la carta
de límites de control variables. Una aplicación diferente de la manufactura sería el
control de órdenes de compra erróneas para cada semana.
Página 140
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
4.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL
La curva OC muestra en forma gráfica la probabilidad de aceptar incorrectamente
la hipótesis de control estadístico (i.e. cometer un error tipo II o ). Esta curva
proporciona una evaluación de la sensibilidad de la carta de control, o sea la
habilidad de detectar un corrimiento en la fracción no conforme del proceso,
desde su valor nominal p a algún otro valor p .
La probabilidad de error tipo II para la carta de control de fracción defectiva o no
conforme es:
P{ p LSC p} P{ p LIC p} = P{D nLSC p} P{D nLIC p}
(4.14)
Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error puede
ser obtenido de la función de distribución acumulativa (la distribución de Poisson
se puede utilizar como una aproximación).
Ejemplo 4.8 Si n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697, el error
tipo II se calcula como sigue:
P{D (50)(0.3697) p} P{D (50)(0.030) p} P{D 18.49 p} P{D 1.52 p}
Sin embargo como D debe ser un entero, se toma,
P{D 18 p} P{D 1 p}
La curva OC se construyó utilizando Excel y Minitab.
NOTA: Se debe usar la distribución de Poisson para np <=5 y
distribución Normal en caso contrario.
Página 141
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
A continuación se muestran curvas OC con 3 distribuciones.
CURVA OC POR BINOMIAL
LIC = 1, LSC =18, n = 50
p
P(d<=18|p)
0.01
0.03
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
p
0.01
0.03
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
1
1
1
0.99999986
0.999940418
0.997488797
0.97126684
0.859440124
0.621587051
0.335613264
0.127345115
0.032454324
0.005296752
CURVA OC POR POISSON
LIC = 1, LSC =18, n =50
P(d<=1|p)
Beta=dif
0.910564687 0.089435313
0.555279873 0.444720127
0.279431752 0.720568248
0.03378586 0.966214001
0.002905453 0.997034965
0.000192678 0.997296118
1.0005E-05 0.971256835
4.0337E-07
0.85943972
1.2349E-08 0.621587038
2.7751E-10 0.335613263
4.36961E-12 0.127345115
4.52971E-14 0.032454324
2.84312E-16 0.005296752
CURVA OC POR NORMAL
LIC = 0.0303, LSC = 0.3697, n = 50
Sigma
LSC Z-Value LIC Z Value
0.014071247 25.56276589 1.442658181
0.024124676 14.08101803
0.0124354
0.03082207 10.37243767 -0.639152399
0.042426407 6.356889963 -1.642844755
0.050497525 4.350708304 -2.370413218
0.056568542 2.999900519 -2.999900519
0.061237244 1.954692815 -3.587685977
0.064807407 1.075494349 -4.161561348
0.067453688 0.292052231 -4.739548131
0.069282032 -0.437342829 -5.336159863
0.070356236 -1.141334502 -5.965356044
0.070710678 -1.842720272 -6.642561102
0.070356236 -2.562672611 -7.386694153
np
0.5
1.5
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
27.5
PZLSC
1
1
1
1
0.999993
0.99865
0.97469
0.858923
0.614877
0.330931
0.126865
0.032685
0.005194
PZLIC
0.925442
0.504961
0.261362
0.050208
0.008884
0.00135
0.000167
1.58E-05
1.07E-06
4.76E-08
1.22E-09
1.55E-11
7.58E-14
Página 142
P(d<=18|p)
1
1
1
0.999998598
0.999697003
0.992813495
0.948148253
0.819471712
0.608934016
0.381421949
0.202192955
0.092040859
0.036606283
Beta
0.074558435
0.495039094
0.738638167
0.949792486
0.991109116
0.997299184
0.97452355
0.858907423
0.614875519
0.33093135
0.126865425
0.032684871
0.005193524
P(d<=1|p)
0.90979599
0.5578254
0.2872975
0.04042768
0.00470122
0.0004994
5.031E-05
4.8944E-06
4.6453E-07
4.3284E-08
3.976E-09
3.6109E-10
3.249E-11
np
0.5
1.5
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
27.5
Beta=dif
0.090204
0.442175
0.712703
0.959571
0.994996
0.992314
0.948098
0.819467
0.608934
0.381422
0.202193
0.092041
0.036606
COMPARACION DE LAS
BETAS CON 3 DECIMALES
BINOM POISSON NORMAL
0.089
0.090
0.075
0.445
0.442
0.495
0.721
0.713
0.739
0.966
0.960
0.950
0.997
0.995
0.991
0.997
0.992
0.997
0.971
0.948
0.975
0.859
0.819
0.859
0.622
0.609
0.615
0.336
0.381
0.331
0.127
0.202
0.127
0.032
0.092
0.033
0.005
0.037
0.005
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
La curva OC calculada con las diferentes distribuciones de
probabilidad se muestra a continuación:
Para esta carta de control, también se puede calcular la
longitud de corrida media ARL.
Cuando es proceso está en control:
ARL0 = 1 /
Cuando el proceso está fuera de control:
ARL1 = 1 / (1 - )
Estas probabilidades de errores tipo I y II se pueden obtener
o por calculo de probabilidades o usando las curvas OC.
Ejemplo 4.9, suponiendo que el proceso se corre a p1 = 0.3,
siendo su valor nominal p0 = 0.2. De la curva OC se observa
que en este caso es 0.9973 estando en control, en este caso
= 1 - = 0.0027 y el valor de ARL0 es:
ARL0 = 1 / = 1 / 0.0027 = 370
Indicando
que
cada
370
puntos
alarma.
Página 143
se
puede
tener
una
falsa
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
4.6
Dr. P. Reyes / Enero 2006
CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES
(DEFECTOS) – c y u
Una no conformidad o defecto es una característica específica que no cumple con
la especificación del producto. Las no conformidades pueden tener una gravedad
diferente desde menores hasta críticas. Se pueden desarrollar cartas de control
para el número total de no conformidades en una unidad o el número promedio de
no conformidades por unidad.
Estas cartas asumen que la ocurrencia de no conformidades en muestras de
tamaño constante son modeladas bien por la distribución de Poisson, es decir
implica que las oportunidades o localizaciones potenciales para las no
conformidades sea muy infinitamente grande y que la probabilidad de ocurrencia
de una no conformidad en cualquier localización sea pequeña y constante.
Además cada unidad de inspección debe representar una “área de oportunidad”
idéntica para la ocurrencia de no conformidades. Si estas condiciones no se
cumplen, el modelo de Poisson no es apropiado.
TAMAÑO DE MUESTRA CONSTANTE - CARTA c
Una unidad de inspección es simplemente una entidad para la cual es conveniente
registrar el número de defectos, puede formarse con 5 unidades de producto, 10
unidades de producto, etc. Suponiendo que los defectos o no conformidades
ocurren en la unidad de inspección de acuerdo a la distribución de Poisson, o sea:
p( x )
e c c x
x!
(4.15)
Donde la media y la desviación estándar tienen valor c; para x = 0, 1, 2, .......
Por tanto considerando L = 3-sigma, los límites de control para la carta de no
conformidades son:
Página 144
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
LSCc = c + 3
Dr. P. Reyes / Enero 2006
c
LCc = c
(4.16)
LICc = c - 3
c
en el caso que sea negativo toma el valor cero.
Si no hay estándar definido c se estima con el promedio de no conformidades
observadas en una muestra preliminar inspeccionada, o sea con c , en este caso
los parámetros de la carta son:
LSCc = c + 3
c
LCc = c
LICc = c - 3
(4.17)
c
en el caso que sea negativo toma el valor cero
Cuando no hay datos históricos, se calculan límites de control preliminares.
Ejemplo 4.18 Para el número de no conformidades observadas en
26
unidades
de
inspección
sucesivas
de
100
muestras
circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes:
No Conformidades
21
19
24
10
16
17
12
13
15
22
5
18
28
39
20
30
31
24
25
16
20
19
24
17
16
15
Donde,
LSC = 33.22
Página 145
de
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
LC =
Dr. P. Reyes / Enero 2006
516 / 26 = 19.85 = c
LIC = 6.48
De la carta de control preliminar, se observa que hay 2
puntos fuera de control, el 6 y el 20.
Una investigación reveló que el punto 6 fue debido a que un
inspector nuevo calificó los circuitos impresos pero no tenía
la suficiente experiencia, fue entrenado. El punto 20 fue
causado por una falla en el control de temperatura de la
soldadora de ola, lo cual fue reparado. Por lo anterior se
toman acciones
para evitar recurrencia,
recalculan los límites de control.
Página 146
se eliminan
y se
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Como el proceso ya se encuentra en control estadístico, estos
límites se tomarán como base para el siguiente periodo, donde
se tomaron 20 unidades de inspección adicionales.
No Conformidades 1
16
18
18
21
12
16
15
22
24
19
21
12
28
14
20
9
25
16
19
21
Página 147
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Se observa en la gráfica que no se tienen puntos fuera de
control,
sin
embargo
el
promedio
de
defectos
es
alto,
requiere la acción de la administración.
Haciendo un análisis de Pareto de los principales defectos se observó que el
principal defecto de soldadura insuficiente y soldadura fría, acumulan el 69% del
total, por lo que se deben enfocar los esfuerzos a resolver estos problemas.
Página 148
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Puede ser necesario estratificar el problema identificando en que modelo de
circuito impreso se presentan los defectos principalmente.
Otra forma de análisis es el diagrama de causa efecto para identificar las
diferentes fuentes de no conformidades.
SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA
Aumentando el tamaño de muestra se tiene más oportunidad de encontrar no
conformidades o defectos, sin embargo esto también depende de consideraciones
económicas y del proceso, si en lugar de tomar 1 unidad de inspección, se toman
n unidades de inspección, entonces los nuevos límites de control se pueden
calcular por los siguientes métodos:
Método 1. Con nc
En este caso tanto la línea central como los límites de control se modifican por el
factor n, quedando como sigue ( c es la media de las no conformidades observada
en la unidad de inspección anterior):
Página 149
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
LSCnc nc 3 nc
LCnc nc
(4.18)
LICnc nc 3 nc
Por ejemplo si se deciden utilizar 2.5 unidades de inspección para el caso de los
circuitos impresos (es decir inspeccionar 250 tarjetas) con n=2.5, se tiene:
LSCnc nc 3 nc = (2.5)(19.67) + 3
(2.5)(19.67) 70.22
LCnc nc = (2.5)(19.67) = 49.18
LICnc nc 3 nc = (2.5)(19.67) - 3
(2.5)(19.67) 28.14
Método 2. Carta u
Si se encuentra un total de c no conformidades en la muestra de n unidades de
inspección, entonces el promedio de no conformidades por unidad de inspección u
es:
u
c
n
(4.19)
Como c es una variable aleatoria que sigue la distribución de Poisson, los
parámetros de la carta u de número de no conformidades o defectos por unidad
son:
LSCu u 3
u
n
LCu u
LSCu u 3
(4.20)
u
n
Página 150
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un
conjunto de datos preliminar. Los límites anteriores se consideran límites
preliminares.
Ejemplo 4.10
Para un fabricante de computadoras registrando
los defectos en su línea de ensamble final. La unidad de
inspección
es
una
computadora
y
se
inspección a un tiempo.
No conformindades
en cada 5 unidades – carta u
10
9
12
5
8
7
14
11
10
12
16
6
11
8
7
10
10
7
15
5
Se calculan los límites de control con:
__
u
Sum a.de.no.conform idades
Sum a.de.unidades.inspeccionadas
u =38.60 / 20 = 1.93
LSC = 3.79
LIC = 0.07
La carta de control queda como sigue:
Página 151
toman
5
unidades
de
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
En
la
carta
de
control
Dr. P. Reyes / Enero 2006
no
se
observa
falta
de
control
estadístico, por tanto los límites preliminares se pueden
utilizar en corridas futuras.
MUESTRA VARIABLE – CARTA u
En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la
inspección 100% de la producción o lotes de producto, por tanto las unidades de
inspección no son constantes. En esta carta se tiene una línea central constante y
los límites de control varían inversamente con la raíz cuadrada del tamaño de
muestra n.
La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue:
LSCui u 3
u
ni
LCu u
LSCui u 3
(4.21)
u
ni
Página 152
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Ejemplo 4.11 En una planta textil, se inspeccionan defectos
por cada 50m2 los datos se muestran a continuación.
Unid.Insp.
10.0
8.0
13.0
10.0
9.5
10.0
12.0
10.5
12.0
12.5
No Conf.
14
12
20
11
7
10
21
16
19
23
La línea central es u
Donde
153
1.42
107 .5
u = Total de defectos observados /
Total de unidades
de inspección
De la gráfica no se observan puntos fuera de control.
Página 153
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Existen otras dos alternativas para el manejo de la carta u con n variable:
1. Usando un promedio de tamaños de muestra.
m
n
i 1
ni
m
(4.22)
2. Usando una de control estandarizada (opción preferida). Se grafica Zi con
límites de control en +3 y –3, línea central cero.
Zi
ui u
(4.23)
u
ni
Ejemplo 4.11 (Cont...) Estandarizando la carta se tiene:
UIvar
10.0
8.0
13.0
10.0
9.5
10.0
12.0
10.5
12.0
12.5
NoConUv
14
12
20
11
7
10
21
16
19
23
Sigmau
0.374166
0.433013
0.344010
0.331662
0.278500
0.316228
0.381881
0.380952
0.363242
0.383667
Z
-0.05345
0.18475
0.34435
-0.96484
-2.45299
-1.32816
0.86414
0.27250
0.44965
1.09470
DUvar
1.40000
1.50000
1.53846
1.10000
0.73684
1.00000
1.75000
1.52381
1.58333
1.84000
La carta de control estandarizada para U, se encuentra en
control estadístico como se muestra abajo.
Página 154
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
SISTEMA DE DEMERITOS
Con productos complejos, se identifican diversos tipos de defectos, desde los que
se consideran menores hasta los que ponen en riesgo la salud del usuario. Por lo
cual es necesario dar una ponderación a esos diversos tipos de defectos de
acuerdo a su gravedad, un esquema posible es el siguiente:
Defectos tipo A – Muy serios: La unidad no puede funcionar o fallará en el
campo, o puede causar daño al usuario.
Defectos tipo B – Serios: La unidad tendrá menos vida útil, o puede causar una
falla de funcionamiento mayor.
Defectos tipo C – Poco serios: La unidad puede tener fallas pero continuar
funcionando, o puede incrementar los costos de mantenimiento, o tener una mala
apariencia como usada.
Defectos tipo D – Menores: La unidad no fallará en servicio pero tiene defectos
de apariencia, terminados o calidad de trabajo.
Página 155
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Supóngase que para los defectos anteriores se tengan los números ciA, ciB, ciC, ciD
respectivamente en la i-ésima unidad inspeccionada. Se asume que cada clase de
defectos es independiente y que la ocurrencia de defectos de cada clase es
modelada bien con la distribución de Poisson. Entonces se puede definir el
número de deméritos en la unidad de inspección por ejemplo como:
di = 100ciA + 50ciB + 10ciC + ciD
(4.24)
Suponiendo que se toma una muestra de n unidades de inspección, entonces el
n
número de Deméritos por unidad es (con
d
i 1
i
número total de deméritos en todas
las unidades de inspección):
n
d
ui = D / n =
i 1
i
(4.25)
n
Como u es una combinación lineal de variables aleatorias independientes de
Poisson, el estadístico ui puede ser graficado en una carta de control con los
parámetros siguientes:
LSC = u + 3 u
LC = u
(4.26)
LIC = u + 3 u,
Donde,
u 100u A 50u B 10u C 1u D
y
(4.27)
(100) 2 u A (50) 2 u B (10) 2 u C (1) 2 u D
u
n
1/ 2
(4.28)
Los números u A, u B, u C , u D, representan el número promedio de defectos de la
clase A, clase B, clase C y clase D respectivamente. Se determina a partir de
datos preliminares tomados cuando el proceso está en control estadístico.
Página 156
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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LA CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
La curva característica de operación (OC) puede ser obtenida tanto para la carta c
como para la carta u a partir de la distribución de Poisson.
Para la carta c, la curva OC muestra la probabilidad del error tipo II contra la
media real del numero de defectos c, se expresa como sigue:
P{x LSC c} P{x LIC c}
(4.29)
Donde x es una variable aleatoria de Poisson con parámetro c.
Ejemplo 4.12, para el caso de la carta c anterior con LSC =
33.22, LIC = 6.48, se tiene:
P{x 33.22c} P{x 6.48c}
cómo las cantidades deben ser enteras, esto es equivalente a:
P{x 33c} P{x 7 c}
La curva OC se obtiene con la distribución de Poisson como
sigue:
c
1
3
5
7
10
15
20
30
33
35
40
45
.
P(x<=33|c)
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
0.999
0.997
0.709
0.367
0.367
0.131
0.037
P(x<=6|c)
Beta
0.999
0.967
0.762
0.450
0.130
0.007
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.001
0.033
0.238
0.550
0.870
0.992
0.950
0.709
0.131
0.367
0.131
0.037
Página 157
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Para el caso de la carta u, la curva OC puede generarse con:
P{x LSC u} P{x LIC u}
P{c nLSCu} P{c nLICu}
P{nLICu c nLSCu}
Página 158
(4.30)
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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4.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm
Las cartas por atributos c y u no son convenientes en estos casos ya que tendrían
ceros la mayor parte del tiempo, una alternativa es graficar los intervalos de
tiempo entre ocurrencias de los defectos o “eventos”.
Asumiendo que los defectos ocurren de acuerdo a la distribución de Poisson,
entonces la distribución de tiempo transcurrido entre eventos sigue la distribución
exponencial, sin embargo daría una carta de control muy asimétrica.
Nelson, sugiere una alternativa transformando la variable aleatoria exponencial a
una variable aleatoria de Weibull de tal forma que sea una buena aproximación a
la normal. Si y representa la variable aleatoria exponencial original, la
transformación adecuada es:
x = y1/3.6 = y0.277
(4.31)
Por tanto se construye una carta de control para x, asumiendo que x sigue una
distribución normal.
Por ejemplo para el monitoreo de fallas de una válvula importante, se usará el
número de horas entre fallas como la variable a monitorear. En la página siguiente
se muestra este ejemplo.
Página 159
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES
5.1. CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE
PRODUCCIÓN
5.1.1 CARTAS DE CONTROL DNOM
Se pueden utilizar cartas de medias-rangos en situaciones las corridas de
producción sean cortas, tomando las desviaciones respecto a la media de
especificaciones en lugar del valor como tal.
Ejemplo 5.1 Si se tienen 2 piezas la A y la B, donde la
dimensión nominal de la pieza A TA = 50mm, y la dimensión
nominal de la pieza B es TB = 25mm, cuando se produce las
piezas A o B se toman muestras y se evalúa la desviación
respecto a su media.
Muestra
Pieza M1
M2
M3
D1
D2
D3
Media
Rango
1
A
50
51
52
0
1
2
1.00
2
2
A
49
50
51
-1
0
1
0.00
2
3
A
48
49
52
-2
-1
2
-0.33
4
4
A
9
53
51
-1
3
1
1.00
4
5
B
24
27
26
-1
2
1
0.67
2
6
B
25
27
24
0
2
-1
0.33
2
7
B
27
26
23
2
1
-2
0.33
4
8
B
25
24
23
0
-1
-2
-1.00
2
9
B
24
25
25
-1
0
0
-0.33
1
10
B
26
24
25
1
-1
0
0.00
2
Ver carta en la página siguiente.
Página 160
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Se deben cumplir 3 premisas para estas cartas:
1. La desviación estándar debe ser la misma para todas las partes, sin esto no se
cumple usar la carta de medias estandarizada.
2. El procedimiento trabaja mejor cuando el tamaño de muestra es constante para
todas las diferentes partes.
3. La media utilizada debe ser la media de las especificaciones, a excepción de
cuando se tiene sólo un límite de especificación.
5.1.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS RANGOS ESTANDARIZADA
Si la desviación estándar para las diferentes partes es diferente, se usan estas
cartas. Sean R i .....Ti el rango medio y el valor nominal de x para un número de
parte específico. Para todas las muestras de este número de parte, graficar,
RS
R
Ri
(5.1)
Página 161
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Se toman de datos históricos o de especificaciones para el rango, o se puede
Sd
estimar de con R i 2 c
sus límites de control son D3 y D4. Para la media
4
graficar,
x
S
x Ti
Ri
(5.2)
La línea central para la carta x estandarizada es cero, y sus límites de control son
LSC = A2 y LIC = -A2 .
5.1.3 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
Se utilizan cartas de control estandarizadas con límites de control LSC=+3 y LIC=3. Los estadísticos a graficar son:
Carta p
Zi
Carta np
Zi
pi p
p(1 p) / n
npi n p
n p(1 p)
(5.3)
Carta c
Carta u
Zi
Zi
ci c
c
ui u
u/n
5.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN
5.2.1 Cartas de control modificadas
Las cartas de control modificadas se utilizan cuando la variabilidad es pequeña
respecto a los límites de especificaciones, es decir el Cp es mucho mayor que 1.
En este caso la media del proceso puede variar sobre un rango permitido sin
afectar el desempeño del proceso.
Página 162
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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La carta de control modificada X esta diseñada para detectar sólo si la media
verdadera del proceso , está localizada de tal forma que el proceso genere una
fracción de productos no conformes mayor de algún valor especificado .
Se permite que varíe entre I y S de tal forma que no se exceda la fracción
defectiva . Se asume que el proceso está normalmente distribuido y que sea
conocida y esté en control.
LIEsp.
|---
6 ---|
LSEsp.
Fig. 5.1 Proceso con habilidad alta, Cp>>1
I
LIE
S
Z
LSE
Z
/ n
Z
n
LIC
LSC
Fig. 5.2 Localización de los límites de control
Página 163
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Donde:
I LIE Z
(5.4)
S LSE Z
Donde Z es el punto superior 100(1-) de la distribución normal, si se especifica
un error , los límites de control superior e inferior son:
LSC S
Z
Z
LSE Z
n
n
LIC I
Z
Z
LIE Z
n
n
(5.5)
Lo común es que Z =3.
En las cartas modificadas, es una fracción no conforme que se acepta con una
probabilidad (1-). Si la variabilidad del proceso cambia, éstas cartas no son
apropiadas, de tal forma que se recomienda siempre usar en forma adicional una
carta R o S, de donde incluso se estime la inicial.
5.2.2 CARTAS DE CONTROL DE ACEPTACIÓN
En este caso se toma en cuenta ambos errores tipo I y tipo II, ya sea de rechazar
un proceso que opera en forma satisfactoria o de aceptarlo si opera en forma
insatisfactoria.
Los límites de control para este caso se basan en una n especificada y una
fracción no conforme del proceso que nos gustaría rechazar con una
probabilidad (1-), por tanto:
Página 164
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
LSC S
LIC I
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Z
Z
LSE Z
n
n
(5.5)
Z
Z
LIE Z
n
n
Es posible también seleccionar un tamaño de muestra de tal forma que se
obtengan los requerimientos para , , y . Igualando los límites de control
superiores:
Z
Z
LSC LSE Z = LSE Z
n
n
Se obtiene
Z Z
n
Z Z
2
(5.6)
Ejemplo 5.2 Si delta = 0.01, alfa = 0.00135, gama = 0.05 y
beta = 0.20, haciendo los cálculos se obtiene una n = 31.43
32.
3.00 0.84
n
2.33 1.645
2
Página 165
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Ejemplo 5.3 De Duncan se tiene:28
LSE
=0.025
LSE-1.96
Amplitud de variación
0.10
__
Aceptable para X
0.10
LIE+1.96
LIE
=0.025
En la figura si suponemos que =0.025 y = 0.10, asumiendo
un proceso normal, los límites para la carta de control de
aceptación estarán en:
LSC = LSE – 1.96 - 1.282/ n
LIC = LIE + 1.96 + 1.282/ n
28
Duncan A., Control de Calidad y Estadística Industrial, Alfaomega, México, 1989, pp. 527-530
Página 166
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
5.3
CARTA
DE
Dr. P. Reyes / Enero 2006
CONTROL
PARA
DESGASTE
DE
HERRAMIENTA o MATERIAL
Cuando un desgaste natural ocurre, se presenta una tendencia natural en la carta
de control, la distancia entre los límites de especificación debe ser mucho mayor
que 6X, por lo que se puede usar el concepto de la carta de control modificada
(X = R/d2).
El ajuste inicial de la herramienta se inicia a 3x arriba del límite inferior de
especificación, y el máximo que se le permite variar es hasta 3x abajo del límite
superior de especificación. Esto minimiza los ajustes a realizar durante las corridas
de producción. Se puede utilizar un valor diferente de Z = 3 si se requiere una
mayor protección en la fracción defectuosa. Para este problema también se puede
utilizar la carta de regresión.
LSE
_
X
LSE-3x
Amplitud dentro de la cual
se espera encontrar las
6
_
X
medias de las piezas
Distribución de x
_
X
LIE+3x
LIE
Fig. 5.3
Carta de control para desgaste de herramienta o material
Como se puede observar, sólo se puede emplear ésta carta si la amplitud de los
límites de especificación es suficiente mayor a 6x para alojar la carta de control.
Página 167
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
La pendiente b de la línea central y límites de control se pueden calcular por los
métodos siguientes:
1. Dibujando una línea central que pase por los puntos graficados y estimando en
forma gráfica la pendiente.
2. Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, donde si se tienen un total de m
muestras con el número de muestra i = 1,2,3…..m la pendiente b es (los datos
se pueden codificar para facilidad):
b [12 iX i /(m(m 2 1))] [6 X i /(m(m 1))]
(5.7)
3. Utilizando un paquete de computadora que incluye el cálculo de mínimos
cuadrados.
Los valores sugeridos de inicio y paro del proceso son 1, , 2 donde:
1 LIE 3 x LIE 3R / d 2
(5.8)
2 LSE 3 x LSE 3R / d 2
El número de puntos que tienen que pasar para llegar de 1, , 2 es:
M* = ( 1, - 2 ) / b
(5.9)
Es importante considerar que antes de llevar una carta de medias para desgaste
es indispensable asegurarse que la carta de rangos está en control estadístico. En
caso de que la media en lugar de crecer, decrezca, las 1, , 2 se invierten:
_
Los límites de control se encuentran a una distancia vertical A2 R de la línea
central.
Página 168
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 5.4 El diámetro exterior de una válvula tiene una
especificación de 1.1555 0.0005”. Se han tomado 13 muestras
de 5 piezas cada una sin ajustar la herramienta de corte, en
intervalos de media hora. Los resultados son:
Muestra i 1
8
2
3
4
5
6
7
_
Xi
1.15530,
1.15570,
0.00020,
Ri
1.15540,1.15544,
0.00020,
0.00020,
11
12
1.15546,
0.00020,
1.15550,
0.00020,
1.15556,
1.15568,
0.00020,
0.00010,
0.00020
Muestra 9
10
13
_
X i 1.15576, 1.15578, 1.15580, 1.15586, 1.15590
Ri 0.00010, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020
Los resultados obtenidos son:
R-medio=0.0001769;
LSCR=0.000374,
= 0.000076053;
b = 0.0000492
1, , 2 son respectivamente 1.155228 y 1.155772
m* = 11.056,
los límites
0.5768(0.0001769)=0.000102.
de
control
están
a
_
A2 R
=
Es decir que tienen que pasar 11 puntos o 5.5 horas para
reajustar el proceso
LSE
2
Pendiente b
LSC
1,
LIC
LIE
Fig. 5.4 Tiempo “t” o número de muestras antes de ajuste
Página 169
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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5.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS
Es una técnica usada para detectar irregularidades en el proceso, que pueden
resultar en la producción de unidades fuera de especificaciones. Pre-control,
principalmente se presta para el uso de aparatos de medición hechos previamente
sobre los límites de las especificaciones. El uso de éstos aparatos de medición
permite seleccionar fácilmente las unidades que proceden de las que no. Precontrol es usado con frecuencia para determinar los valores de las variables del
proceso durante el período de arranque de la producción.
También se denomina carta de objetivo, utiliza los límites de especificación para
su establecimiento, situados a 3 es fácil de construir y usar, sin embargo, no
permite mejorar el proceso. La carta tiene tres áreas:
ZONA ROJA
Límite superior de especificaciones
ZONA AMARILLA
Esta zona comprende 1.5 o 7%
ZONA VERDE
Esta zona comprende 1.5 o 86%
ZONA AMARILLA
Esta zona comprende 1.5 o 7%
ZONA ROJA
Límite inferior de especificaciones
Fig. 5.5 Carta de Pre – Control y sus zonas
En la carta de pre – control hay un 1/14 de probabilidad de que una parte caiga en
la zona amarilla y de 1/196 de que caigan dos consecutivas en ésta zona, en este
caso se considera que el proceso se salió de control.
Pre-control se basa en la hipótesis de que si el proceso está operando
correctamente, la probabilidad de encontrar dos unidades fuera de los límites de
control consecutivamente es demasiado pequeña. Por lo tanto si dos unidades son
Página 170
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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encontradas consecutivamente fuera de los límites de control, es razón suficiente
como para indicar una falla en el proceso.
Ventajas:
Pre-control es una técnica simple que a diferencia con el control estadístico del
proceso (CEP) no requiere de gráficas de control, ni de cómputos.
Desventajas:
No existen gráficas de control, por lo tanto, las reglas y procedimientos para
reconocer patrones de fallas no pueden ser usados. Dado que se requiere una
cantidad muy pequeña de muestras, es riesgoso inferir sobre la totalidad del
proceso. Finalmente, Pre-control no proporciona información suficiente para
someter el proceso bajo control o para reducir la variabilidad. Asume que el
proceso es hábil y que es normal.
Recomendaciones:
Pre-control sólo debe ser usado cuando la capacidad del proceso (Cp) 29 es mayor
que uno (algunos textos recomiendan como mínimo Cp=2)30, y cuando se han
alcanzado cero defectos en el proceso.
Definición de los límites de Pre-control.
Existen dos límites de Pre-control (PC): Upper Pre-control limit (UPCL) y Lower
Pre-control limit(LPCL). Cada uno representa ¼ de la distancia entre el límite de
especificaciones inferior (LSL) y el límite de especificaciones superior (USL). La
siguiente figura considera un proceso distribuido de acuerdo a la distribución
normal.
29
30
C p USL LSL
6
, donde USL = Upper Specification Limit y LSL = Lower Specification Limit.
Montogomery, Douglas C. “Statistical Quality Control”, John Wiley & Sons, Inc., 1991, pp. 332-334.
Página 171
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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LSL
LPCL
0
1
4
1
2
UPCL
3
4
USL
1
Figura 5.6 Distribución de áreas de probabilidad para la
carta de pre-control
Pasos a seguir para aplicar Pre-control.
A continuación se muestran las reglas de uso de la carta:
1. Iniciar el proceso. Si el primer artículo sale de especificaciones, parar, corregir
e iniciar de nuevo. Deberán caer en la zona verde.
2. Si un artículo cae en la zona amarilla, tomar un siguiente artículo. Si cae
nuevamente en la zona amarilla parar y corregir el proceso, de otra forma
continuar.
3. Si 25 artículos consecutivos caen en la zona verde, reducir frecuencia de
chequeo.
Página 172
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Dentro de
Especificaciones
Fuera de límites
De Pre-control
Fuera de
Especificaciones
A
Inicie el
proceso
Verifique
1a. Unidad
Dentro de
Especificaciones
Fuera de límites
De Pre-control
Verifique
2a. Unidad
Dentro de
de límites
De Pre-control
Continuar el proceso.
Detener sólo si DOS
Unidades consecutivas
Estan fuera de los
Límites de
Pre-control
Dentro de
Especificaciones
Fuera de EL OTRO
límite de Pre-control
¡!
Variabilidad del
Proceso fuera de
Control.
Figura 5.7 Pasos a seguir para el Pre-Control
Notas:
1. Si cinco unidades están dentro de los límites de Pre-control, cambie a
verificación intermitente.
2. Cuando se encuentre en verificación intermitente, no ajuste el proceso hasta
que una unidad exceda algún límite de Pre-control. Examine la siguiente
unidad, y proceda en A.
3. Si se reinicia el proceso, al menos cinco unidades consecutivas deben caer
dentro de los límites de pre-control para cambiar a verificación intermitente.
4. Si el operador toma más de 25 muestras sin reiniciar el proceso, reduzca la
frecuencia de las verificaciones.
Página 173
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
5.5
Dr. P. Reyes / Enero 2006
CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA
MÚLTIPLE
Se utiliza para procesos con muchas fuentes de producción, por ejemplo diversos
husillos que en principio producen piezas similares. El usar una carta de control
para cada husillo por separado sería prohibitivo, sin embargo se tiene la
alternativa de ésta carta de control siempre que la producción entre husillos no
esté correlacionada.
Para establecer una carta de este tipo, se toman n partes de cada salida, hasta
completar 20 o 25 subgrupos, por ejemplo si se toman muestras de n = 4 de 6
husillos repetido en 20 subgrupos, se habrán tomado 20 x 6 = 120 medias y
rangos de n = 4 observaciones. De éstos se calculan la media de medias X y el
_
R , los límites de control se calculan como en una carta de medias-rangos
convencional con n = 4, en este caso A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 2.282:
_
_
LICX = X - A2 R
LICR = D3 R
_
_
LSCX = X + A2 R
LSCR = D4 R
(5.10)
Con los límites de control trazados, se grafica después sólo la mayor y la menor
de las 6 lecturas promedio considerando todas las salidas o en este caso husillos
de la máquina, si se encuentran en control, se asume que las demás están en
control. Para el rango se grafica sólo el mayor de todos los rangos. Cada punto es
identificado por el número de husillo o salida que lo produjo. El proceso se
encuentra fuera de control si se algún punto excede los límites de 3-sigma. No se
pueden aplicar pruebas de rachas a estas cartas.
Es útil observar que si una salida da el mayor o el menor valor varias en una fila,
puede ser evidencia de que es diferente a los otros. Si el proceso tiene s salidas y
Página 174
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
si r es el número de veces consecutivas que se repite como el mayor o el menor,
el ARL para este evento es:
ARL0
s r 1
s 1
(5.11)
Para el caso de que s = 6 y r = 4, el ARL será de 259, es decir que si el proceso
está en control, se esperará que una salida repita un valor extremo 4 veces en la
carta una vez de cada 259 muestras. Si esto sucede con más frecuencia se debe
sospechar que la salida es diferente a las demás. Algunos de los pares adecuados
de (s,r) son (3,7), (4,6), (5-6,5), 7-10,4), todas las combinaciones dan ARLo
adecuados.
5.6 CARTAS DE CONTROL Cusum
Las cartas de control de Shewart utilizan sólo información acerca del proceso con
los últimos datos del subgrupo, e ignoran la información de la secuencia completa
de puntos, esto hace que estas cartas de control sean insensibles a pequeños
corrimientos de la media del proceso, de 1.5 o menos. Los límites preventivos y
criterios múltiples de prueba de corridas o tendencias toman en cuenta otros
puntos de la carta, sin embargo esto reduce la simplicidad de interpretación de la
carta así como reducir el ARL en control lo cual es indeseable.
Cuando se trata de identificar pequeñas variaciones o corridas en la media, se
pueden utilizar como alternativa, las cartas de sumas acumuladas (cusum), y
promedio móvil exponencialmente ponderado (EWMA).
CUSUM NORMAL
Para pequeños corrimientos menores a 1.5, la carta de Shewart es ineficiente, en
esos casos la carta de sumas acumuladas de Page, que funciona con n >=1 es
mejor, ya que incorpora toda la información anterior en el valor de la muestra al
Página 175
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
graficar la suma acumulada de las desviaciones con referencia a un valor objetivo
0. Si se colectan muestras de tamaño n >= 1 siendo x j el valor promedio de la
muestra j-ésima. La carta de sumas acumuladas se forma graficando para cada
muestra i la cantidad siguiente que representa la suma acumulada hasta la
muestra i,
i
Ci ( x j 0 )
(5.12)
j 1
Como esta carta es eficiente para n=1, es una buena alternativa para el control de
procesos químicos y el C.E.P. automatizado. Si la media tiene un corrimiento
hacia arriba, la carta mostrará una tendencia ascendente y viceversa.
La carta Cusum no tiene límites de control, sin embargo tiene un mecanismo
similar ya sea en forma tabular o por medio de una mascara en V, como la
mostrada en el ejemplo de las páginas siguientes.
CUSUM EN FORMA TABULAR
La carta tabular Cusum trabaja con derivaciones acumuladas de 0 sobre el
objetivo con un estadístico C+ o debajo de este con un estadistico C-, también
llamados Cusums de lado superior o inferior respectivamente. Se calculan como
sigue:
max0, (
Ci max0, xi (0 K ) Ci1
Ci
0
K ) xi Ci1
donde los valores iniciales para C+ y C- son cero.
Página 176
(5.13)
(5.14)
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
En las ecuaciones anteriores K es el valor de referencia y se selecciona como un
valor intermedio entre la 0 objetivo y la 1 fuera de control en la que estamos
interesados en detectar.
Así, si el corrimiento se expresa en unidades de desviación estándar 1 = 0 + ,
entonces K es la mitad de la magnitud del corrimiento:
K = / 2 = Valor absoluto de (1 - 0) / 2
Cuando cualquier estadístico C+ y C-
(5.15)
excede el intervalo de decisión H, se
considera al proceso fuera de control. Un valor razonable para H es cinco veces el
valor de .
Ejemplo 5.5: si 0 = 10, n=1, = 1, y asumiendo que se
quiere detectar un corrimiento de 1 = 1, se tiene:
1 = 10 + 1 = 11
K = ½ = 1/2
H = 5 = 5
max0,9.5 x C
Ci max0, xi 10.5 Ci1
Ci
i
i 1
Para el caso de i=1, con xi = 9.5 se tiene:
C1 max0,9.45 10.5 0 0
C1 max0,9.5 9.45 0 0.05
Para el caso de i=2, con xi = 7.99 se tiene:
C1 max0,7.99 10.5 0 0
C1 max0,9.5 7.99 0.05 1.56
Página 177
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Si N+ y N- indican los periodos en que las sumas no han sido cero, se
obtiene la tabla de la página siguiente:
De la tabla de Cusum Tabular se observa que en el periodo 29 su C29+ fue de
5.28, lo que sugiere una situación fuera de control, usando el contador N + cuyo
valor es 7, indica que el último punto en control fue el 29 – 7 = 22, de tal forma que
el corrimiento ocurrió entre el periodo 22 y 23.
También se puede obtener una presentación gráfica de esta carta, denominada
Carta de Estatus de Cusum, graficando Ci+ y Ci- contra el número de muestra. Esto
da una idea gráfica al operador del desempeño del proceso.
En forma similar a las cartas Cusum, se debe detener el proceso, identificar la
causa asignable o especial, tomar acción correctiva e iniciar de nuevo la Cusum
Tabular.
Cuando el proceso se corre, la nueva media puede estimarse de:
C i
0 K
N
0 K
, si Ci H
C i
, si Ci H
N
(5.16)
(5.17)
En el ejemplo, en el periodo 29 con C 29 = 5.28, la nueva media del proceso
es,
10 0.5
5.28
11.25
7
Esto es importante saberlo, por si el proceso tiene alguna forma de ajuste.
Página 178
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Cuando se utiliza un tamaño de subgrupo mayor a 1, en las fórmulas anteriores se
debe remplazar a xi por xi y por la x =
n
, aunque se recomienda usar un
tamaño de muestra 1 con frecuencia de muestreo mayor que para el equivalente
de Shewart.
La carta Cusum tabular también se puede utilizar para un solo lado con C + o C-.
EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V
Un procedimiento alterno al uso del método tabular Cusum, es la mascarilla en V
propuesta por Barnard (1959), esta mascarilla es aplicada a valores sucesivos del
estadístico,
i
Ci y j yi Ci 1
(5.18)
j 1
donde yi = (xi - 0) / observación estandarizada. Una mascarilla en V se muestra
a continuación:
Ci
O
d
P
2A
1A
1 2 3 4 5 ............................................. i
Figura 5.8 Carta de control Cusum con mascarilla en V
Página 179
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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El procedimiento consiste en colocar la mascarilla en V sobre la carta Cusum, con
el punto O sobre el último valor de Ci y la línea OP paralela al eje horizontal. Si
todos los puntos anteriores C1, C2,....,Cj se encuentran dentro de los dos brazos de
la mascarilla, el proceso está en control, sin embargo si cualquier punto de las
sumas acumuladas se encuentra fuera de los brazos de la mascarilla, se
considera al proceso fuera de control.
En la práctica, la mascarilla en V se debe colocar a cada punto tan pronto como es
graficado, los brazos de la mascarilla se asumen extendidos hasta el origen.
La operación de la mascarilla en V está determinada por la distancia
al vértice d y el ángulo .
La Cusum Tabular es equivalente a la mascarilla en V si,
k = A tan ()
(5.19)
h = A d tan () = d.k
(5.20)
y
Donde A es la distancia horizontal en la mascarilla en V, entre puntos sucesivos
en términos de unidades de distancia de la escala vertical.
Ejemplo 5.6 Para la forma tabular con k = ½
seleccionando A =1 se tiene
k = A tan ()
o
½ = (1) tan ()
= 26.57
de h = d.k
o
=>
=>
5 = d (1/2)
d =10
Estos son los parámetros de la mascarilla en V.
Página 180
y h = 5,
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Vmask Chart of AtoBDist
25
Cumulative Sum
20
15
10
5
0
Target=0
2
4
6
8
10
12
14
Sample
16
18
20
22
24
Figura 5.9 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla
en V
Johnson y Leone han sugerido un método para diseñar una mascarilla en V, con
las fórmulas siguientes:
2A
tan1
(5.21)
y
2 1
d 2 ln
(5.22)
Donde 2 es la máxima probabilidad de una falsa alarma cuando el proceso está
en control y es la probabilidad de no detectar un corrimiento de magnitud .
d
ln( )
cuando es muy pequeño.
Página 181
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 5.7 si = 0.05 y
= 0.05 y = 1, se obtiene la
mascara en V siguiente:
2 1 0.05
d 2 ln
= 5.888
1 0.05
1
2
tan1 26.56
No se recomienda el uso de la mascarilla en V ya que tiene algunas desventajas
como son:
1. Es un esquema de doble lado, no apta para control de un solo lado.
2. Es difícil determinar que tanto extender los brazos de la mascarilla en V,
dificultando la interpretación del proceso.
3. Existe ambigüedad asociada con alfa y beta.
5.7
CARTA
DE
CONTROL
DE
MEDIAS
MOVILES
EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA)
El desempeño de esta carta, es equivalente al de sumas acumuladas, con n=1.
Su estadístico se define como sigue:
zi xi (1 ) zi 1
(5.23)
donde 0<<=1 es una constante y su valor inicial es el valor objetivo del proceso,
de tal forma que:
z0 0 a veces igual a x
Página 182
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Si las observaciones xi son variables aleatorias independientes con varianza 2 ,
entonces la varianza de zi es:
2i
1 (1 )
2
zi2
(5.24)
Por tanto los límites de control de zi versus el número de muestra o tiempo i, son:
2i
LSC 0 L
1 (1 )
2
(5.25)
LC 0
(5.26)
2i
LIC 0 L
1 (1 )
2
(5.27)
Note que el término [1 – (1-)2i] se aproxima a la unidad conforme i se incrementa,
esto significa que cuando la carta EWMA ha corrido durante varios periodos de
tiempo, los límites de control se estabilizan en:
LSC 0 L
(5.28)
2
LC 0
LSC 0 L
(5.29)
(5.30)
2
Ejemplo 5.8 Utilizando los datos de la carta Cusum con =
0.10, L = 2.7, 0 y =1, se tiene la carta EWMA mostrada en
la página siguiente.
Para x1= 9.45, calculando z1 = 9.945; LSC = 10.27 y LIC = 9.73
con la fórmulas anteriores.
Página 183
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Para x2= 7.99, calculando z2 = 9.7495; LSC = 10.36 y LIC =
9.64, conforme se incrementa i los límites se estabilizan en
LSC = 10.62 LIC = 9.38.
La
carta
EWMA
tiene
un
ARL0
500
y
una
ARL1
14.3
equivalente a la Cusum con h=5 y k=1/2.
Esta carta no reacciona a cambios grandes de la media tan rápido como la hace la
carta de Shewart, este mismo comportamiento lo tienen tiene la carta Cususm.
EWMA Chart of AtoBDist
2.0
UCL=1.861
1.5
EWMA
1.0
_
_
X=0.442
0.5
0.0
-0.5
LCL=-0.978
-1.0
2
4
6
8
10
12 14
Sample
16
18
20
22
24
Figura 5.10 Ejemplo de carta de control EWMA
5.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL
Utilizada como un intermedio entre la carta de Shewart y la EWMA para detectar
pequeñas corridas de la media. Asumiendo que se define un rango de
observaciones w en el tiempo i, su media móvil es:
Página 184
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Mi
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xi xi 1 ..... xi w1
w
(5.31)
Los límites de control son:
3
w
LSC 0
(5.32)
LC 0
(5.33)
LIC 0
3
w
(5.34)
Por ejemplo usando los datos anteriores con w = 5. Graficando el
estadístico Mi para periodos i 5.
Mi
xi xi 1 ....xi 4
5
(5.35)
Para periodos i<5 se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1,
2, 3, ...i.
Ejemplo 5.9 Los límites de control son con 0 =10 y =1, se
tiene:
LSC = 10 + 3
(1.0) / 51/2 = 11.34
LSC = 10 - 3
(1.0) / 51/2 = 8.66
Moving Average Chart of AtoBDist
5
4
Moving Average
3
UCL=2.900
2
1
_
_
X=0.442
0
-1
-2
LCL=-2.017
-3
-4
2
4
6
8
10
12 14
Sample
16
18
20
22
24
Figura 5.11 Ejemplo de carta de control de Media movil
Página 185
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO
6.1 INTRODUCCIÓN
Las técnicas estadísticas ayudan durante el ciclo del producto a reducir la
variabilidad y a mejorar la capacidad de los procesos.
Definiciones básicas.
Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas,
herramientas, métodos, materiales
y personas involucradas en la
producción.
Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada
en el desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir.
Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos
dentro de los límites de especificaciones de calidad.
Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del
proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la
medición del trabajo realizado por el proceso.
Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta
de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir,
en ausencia de causas especiales o atribuibles de variación.
Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que
presentan cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo
actúan las causas comunes de variación en las características de calidad.
Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo
que es el que desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero
que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido a la
existencia de la variabilidad natural.
La aplicación del análisis de capacidad de los procesos tiene los objetivos
siguientes:
Página 186
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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1. Predecir que tanto cumplirá las tolerancias especificadas el proceso.
2. Apoyar a los diseñadores en la selección o modificación de un proceso.
3. Soportar la determinación de intervalos de muestreo para monitoreo del
proceso.
4. Determinar el desempeño de un equipo nuevo.
5. Planear la secuencia de procesos productivos cuando hay un efecto interactivo
de procesos o tolerancias.
6. Seleccionar de entre diversos proveedores.
7. Reducir la variabilidad de un proceso de manufactura.
La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la
uniformidad de los procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos
formas de pensar en esta variabilidad:
1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea).
2. La variabilidad en el tiempo.
Es usual tomar 6-sigma de la población como la dispersión en la distribución de
la característica de calidad del producto como medida de la capacidad del
proceso.
Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se
encuentran en 3 , o sea:
LTNS = + 3
(6.1)
LTNI = - 3
Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la
variable, sólo el 0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de
estos limites de tolerancia naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el
porcentaje puede diferir grandemente. Esto se esquematiza en la figura siguiente:
Página 187
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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.00135 LTNI
LTNS .00135
Fig. 6.1 Localización de los límites de tolerancia natural
Existen diversas técnicas para evaluar la capacidad del proceso, entre las que se
encuentran: Histogramas o papel de probabilidad, cartas de control y
experimentos diseñados.
LSE
LIE
Z
s
p
xi
_
X
Fig. 6.2 Fracción defectiva fuera de especificaciones
p = porcentaje de medidas bajo la curva de probabilidad fuera de
especificaciones.
En el área sombrada observamos medidas fuera de los límites de especificación.
Página 188
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Para solucionar este problema, podemos reducir la desviación estándar.
También podríamos cambiar la media.
Lo ideal sería, por supuesto cambiar ambas.
Fig. 6.3 Algunas alternativas para mejorar la capacidad
Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso
Para realizar un estudio de capacidad es necesario que se cumplan los siguientes
supuestos31:
El proceso se encuentre bajo control estadístico, es decir sin la influencia de
fuerzas externas o cambios repentinos. Si el proceso está fuera de control la
media y/o la desviación estándar del proceso no son estables y, en
consecuencia, su variabilidad será mayor que la natural y la capacidad
potencial estará infravalorada, en este caso no es conveniente hacer un
estudio de capacidad.
Se recolectan suficientes datos durante el estudio de habilidad para minimizar
el error de muestreo para los índices de habilidad. Si los datos se componen
de menos de 100 valores, entonces deben calcularse los límites de confianza
inferiores.
31
J.M. Juran, Análisis y planeación de la Calidad, Tercera Edición Mc. Graw Hill, Pp.404
Página 189
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Los datos se recolectan durante un periodo suficientemente largo para
asegurar que las condiciones del proceso presentes durante el estudio sean
representativos de las condiciones actuales y futuras.
El parámetro analizado en el estudio sigue una distribución de probabilidad
normal, de otra manera, los porcentajes de los productos asociados con los
índices de capacidad son incorrectos.
También es importante al realizar un estudio de capacidad, asegurarnos que la
variación en el sistema de medición no sea mayor al 10%.
Variación a corto plazo y a largo plazo
Existen dos maneras de expresar la variabilidad:
Variación a corto plazo (Zst) – Los datos son recogidos durante un periodo de
tiempo suficientemente corto para que sea improbable que haya cambios y otras
causas especiales.
Las familias de variación han sido restringidas
de tal manera que los datos
considerados, sólo son los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a
determinar subgrupos racionales importantes.
Fig. 6.4 Variabilidad a corto plazo
Variación a Largo Plazo(Zlt) – Los datos son recogidos durante un periodo de
tiempo suficientemente largo y en condiciones suficientemente diversas para que
sea probable que contenga algunos cambios de proceso y otras causas
especiales. Aquí todas las familias de variación exhiben su contribución en la
variación del proceso general.
Página 190
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Fig. 6.5 Variabilidad a largo plazo
Para el cálculo de Z utilizamos las siguientes formulas:
Z st
lím iteespecif. nom.
Z LT
desv.std ST
(6.1)
lím ite especif . m edia
desv.std LT
dónde:
Zst = variación a corto plazo.
nom = Valor nominal u objetivo
Zlt = variación a largo plazo.
Z shift.- A largo plazo los procesos tienen un desplazamiento natural de 1.5
desviaciones estándar.
Zlt = Zst-1.5shift
Página 191
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD
6.2.1 INDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL Cp
El índice de capacidad potencial Cp = PCR compara la amplitud de variación
permitida por las especificaciones entre la amplitud de variación entre los límites
de tolerancia naturales del proceso.
Cp PCR
LSE LIE
6
(6.2)
Ejemplo 6.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE
=
74.05mm
y
R
0.0099
d2
el
LIE=
73.95mm
y
de
la
carta
R
se
estimó
por tanto se tiene:
Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6
= (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099)
= 1.68
La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de
especificaciones usada por el proceso.
1
100
P
Cp
(6.3)
Para el caso del ejemplo se tiene:
P = [(1/1.68)] 100 = 59.5%
Página 192
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial
Cp o PCR se define como:
Cps PCR S
LSE
3
para el límite superior
Cpi PCR I
LIE
3
para el límite inferior
Ejemplo 6.2
(6.4)
Para el caso de la resistencia de las botellas
de vidrio, si el LIE = 200psi,
Cp PCRI
264 200 64
0.67
3(32)
96
Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del
límite inferior es:
ZI
LIE
200 264
2
32
P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de
especificaciones
Algunos de los índices de capacidad potencial Cp y las piezas defectivas en partes
por millón (ppm) que están fuera de especificaciones se muestran a continuación:
Cp
1-lado
2-lados
0.25
226,628
453,255
0.50
66,807
133,614
0.60
35,931
71,861
0.70
17,865
35,729
0.80
8,198
16,395
1.00
1,350
2,700
Página 193
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
1.10
484
967
1.20
159
318
1.30
48
96
1.40
14
27
1.50
4
7
1.60
1
2
1.70
0.17
0.34
2.00
0.0009
0.0018
Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67
para procesos críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de
Motorola en su programa 6-sigma.
Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso
respecto a los límites de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice
adicional.
6.2.2 INDICE DE CAPACIDAD REAL Cpk
Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las
especificaciones, en este caso se denomina Cpk o PCRk, y se evalúa tomando el
mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue,
Cpk PCRk min( PCRS , PCRI ) debe ser mayor a 1
(6.5)
donde,
Cps PCR S
LSE
3
para el límite superior
Página 194
(6.6)
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Cpi PCR I
Ejemplo
6.3
LIE
3
Para
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para el límite inferior
un
proceso
donde
los
límites
de
especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea
=53 y su desviación estándar =2, se tiene:
Cps PCR S
62 53
1.5 para el límite superior
32
Cpi PCR I
53 38
2.5 para el límite inferior
32
Por tanto, el índice de capacidad real es:
Cpk PCRk min( PCRS , PCRI ) min(1.5,2.5) 1.5
Note que el PCR a considerar corresponde al límite de especificación más cercano
a la media del proceso. Siempre se cumple que,
Cpk <= Cp
Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centrado
6.2.3 NORMALIDAD Y CAPACIDAD DEL PROCESO
Las consideraciones anteriores se basan en la suposición que el proceso tiene un
comportamiento normal, si no es así, puede ser necesario transformar los datos
con alguna función matemática para dar la apariencia de normalidad, por ejemplo
la distribución siguiente de acabado superficial en una parte maquinada no es
normal:
Página 195
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Frec.
a)
Microdureza
Se puede transformar cada valor x con su inverso o sea con y=1/x de esta forma la
distribución transformada es la siguiente (ver método de Box Cox con Lamda
óptima en Minitab):
Frec.
b)
Y=1/x
Fig. 6.6 Transformación de datos para normalizarlos
Lo cual representa una distribución normal.
Página 196
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6.2.4 INDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL Cpkm ó PCRkm
Dos procesos pueden tener un Cpk igual a uno, pero sin embargo no necesariamente están
centrados respecto a la media de las especificaciones como se muestra a continuación:
LIE
LSE
PROCESO A: Cpk = 1
LIE
LSE
PROCESO B: Cpk =1
Fig. 6.7 Procesos con Cpk = 1 pero con centrado diferente
Un nuevo índice que toma en cuenta el centrado es el siguiente:
Si T
1
( LSE LIE )
2
(6.7)
2 ( T ) 2
(6.8)
T
(6.9)
Se tiene,
Cpkm PCRkm
LSE LIE
LSE LIE
LSE LIE
6
6 2 ( T ) 2
1 2
(6.10)
Una condición necesaria para que Cpkm sea mayor de uno es:
1
6
T ( LSE LIE )
Ejemplo 6.4 Para los procesos A y B ilustrados anteriormente
se tiene:
Límites de especificación:
LIE = 38, LSE = 62,
Página 197
T = 50
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Proceso A:
Proceso B:
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Media = 50, desv. estándar = 5
Media = 57.7, desv. estándar = 2.5
Entonces Cpkm (A) =
Cpkm (B) =
1
1.0
1 0
2
1 (3) 2
0.63
Por tanto es mejor el proceso A, centrado en la media.
En base a lo anterior se ha propuesto otro índice de capacidad por Pearn (1992),
que toma en cuenta el descentrado de la media del proceso respecto del de
especificaciones, o sea:
Cp pmk PCRpmk
Cpk
(6.11)
1 2
6.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE
PROBABILIDAD NORMAL
6.2.1 HISTOGRAMA
Para el estudio se requieren alrededor de 100 o más observaciones para permitir
que el proceso se estabilice, deben seguirse los pasos previos siguientes:
Procedimiento:
1. Seleccionar un proceso específico para realizar el estudio
2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso
3. Seleccionar un operador entrenado
4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)
5. Cuidadosamente recolectar la información
Página 198
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6. Construir un histograma de frecuencia con los datos
7. Calcular la media y desviación estándar del proceso
8. Calcular la capacidad del proceso
El histograma junto con la media y la desviación estándar de la muestra S,
proporciona información acerca de la capacidad del proceso.
Ejemplo 6.4 Se tiene la resistencia de botellas de vidrio de
1-litro
en
psi.
Los
datos
se
continuación.
HIST
265
346
265
221
261
205
317
254
176
248
263
242
281
248
260
307
258
294
263
274
220
276
223
231
337
268
300
260
334
250
260
208
308
280
278
234
187
235
265
254
299
264
283
272
274
215
271
277
283
275
197
280
200
265
278
286
242
235
262
250
274
260
246
271
265
243
321
328
245
270
231
228
296
301
298
267
250
276
280
257
281
299
264
274
210
265
258
269
253
280
214
267
235
287
269
318
293
290
258
251
Página 199
muestran
se
muestran
a
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Fig. 6.8 Determinación de la capacidad del proceso
X 264 .06
S = 32.02
Consecuentemente la capacidad el proceso se estima en
X 3S
264 96 psi.
Esta primera estimación de la capacidad es independiente de las especificaciones.
6.3.2 PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL
Es una herramienta que permite evaluar la capacidad aproximada del proceso con
resultados parecidos a los del histograma pero con un número menor de muestras
y sin las operaciones del histograma, a continuación se muestra un ejemplo de
esta herramienta.
Página 200
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ventajas
1. Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como
en el histograma, 10 son suficientes
2. El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en
intervalos de clase como en el histograma.
3. Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la
línea de ajuste
4. Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso.
Así como la fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el
Cpk.
Procedimiento
1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en forma ascendente,
asignándoles una posición ( j ) entre 1 y n.
2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la fórmula siguiente:
Pj = (j - 0.5) / n
3. En el papel especial normal se grafica cada punto (Xj, Pj)
4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos
5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el
proceso y se procede a hacer las identificaciones:
La media corresponde al percentil 50 y la desviación estándar es estimada por la
diferencia del percentil 84 menos el percentil 50,
La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5
La desviación estándar es la diferencia en Xj corresp. a Pj = 0.5 y Pj = 0.84
Página 201
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 6.5 .-Se tomaron los datos siguientes (Xj) ordenamos
los datos y, calculamos la probabilidad de su posición (Pj)
Pos. J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor Xj
197
200
215
221
231
242
245
258
265
265
Pj
0.025
0.075
0.125
0.175
0.225
0.325
0.325
0.375
0.425
0.475
Pos. J
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Xj
271
275
277
278
280
283
290
301
318
346
Pj
0.525
0.575
0.625
0.675
0.725
0.775
0.825
0.875
0.925
0.975
Con ayuda del gráfico podemos obtener la media, la desviación
estándar y el porcentaje de valores que se encuentran fuera
de especificaciones.
Pj
0.84
0.5
Desv. Estándar
Fracción
Defectiva
LIE
X Media
Xj
Fig. 6.9 Capacidad del proceso con pape normal
El trazo normal es el siguiente:
El eje Y es un rango no lineal de probabilidades normales.
El eje X es un rango lineal de la variable que se está analizando.
Si los datos son normales, la frecuencia de ocurrencias en varios valores Xi,
puede predecirse usando una línea sólida como modelo. Por ejemplo, sólo más
del 20% de los datos del proceso serían valores de 225 o inferiores.
Página 202
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 6.6 Cálculo de capacidad con papel normal en Minitab
pn2
PAPNOR
271
197
275
200
277
215
278
221
280
231
283
242
290
245
301
258
318
265
346
265
De este diagrama se obtiene:
260
298 260 38 psi
Note que los valores no difieren mucho de los del histograma
con media 264.06 y desviación estándar S = 32.02.
Página 203
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Con esta gráfica se pueden estimar también los porcentajes de
partes fuera de las especificaciones, por ejemplo si se traza
el
Límite
observa
Inferior
que
se
de
tiene
Especificación
un
5%
LIE
en
200
aproximadamente
psi,
fuera
se
de
especificaciones.
Nota: Es muy importante que el proceso sea normal, de lo contrario se obtendrán
resultados inexactos. Cuando los procesos son ligeramente anormales se pueden
utilizar los métodos de Pearson, transformar los datos por Box Cox o usar Weibull.
6.4 CAPACIDAD DEL PROCESO CON CARTAS DE CONTROL
La carta de control es un mejor instrumento para evaluar la capacidad del proceso
porque se puede observar que el proceso esté en control ya sea en forma
instantánea o durante el tiempo antes de evaluar la capacidad.
Se puede observar que cuando el proceso está en control, no existen causas
asignables que puedan ser corregidas, y la única alternativa para reducir la
variabilidad es con la intervención de la administración.
En casos especiales como estos donde las variaciones presentes son totalmente
inesperadas tenemos un proceso inestable ó impredecible.
?
?
?
?
?
?
?
Fig. 6.10 Comportamiento de un proceso fuera de control
Página 204
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Si las variaciones presentes son iguales, se dice que se tiene un proceso
“estable”. La distribución será “predecible” en el tiempo.
Predicción
Tiempo
Fig. 6.11 Comportamiento de un proceso dentro de control
Cálculo de la desviación estándar del proceso
S
R
ó
(Para cartas de control X-R y X-S respectivamente)
C4
d2
Donde,
S = Desviación estándar de la población
d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R
C4 = Ídem al anterior para una carta X - S
En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio = Suma
rangos / (n -1)
Ejemplo 6.7 (carta X - R)
De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo
lo
siguiente,
después
de
que
quedando sólo con causas comunes:
el
x
Página 205
proceso
se
estabilizó
= 64.06 , R = 77.3
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
x mediade medias
R
77.3
33.23
d 2 2.326
Si el límite de especificación es: LIE = 200.
El C pk
200 264 .06
3 33.23
=
0.64 por tanto el proceso no cumple con las
especificaciones.
Ejemplo 6.8 (carta X - S)
De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo
lo
siguiente,
después
de
que
quedando sólo con causas comunes:
el
proceso
x 100, s 1.05
Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:
x 100
1.05
s
1.117
=
.094
C4
C4 para n = 5 tiene el valor 0.94
Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105.
El C pk
105 100 1.492
3 1.117
Página 206
se
estabilizó
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El C p
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105 85 2.984
6 1.117
Por lo tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones.
6.5 CAPACIDAD DE PROCESOS CON MINITAB
NORMALES Y NO NORMALES
Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar
S = 32.02 con
1. Calc > Random data > Normal
2. Generate 100 Store in columns C1
Mean 264.06 Estándar deviation
32.02 OK
Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330
Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Ryan
como sigue:
3. Stat > Basic statistics > Normalita Test
4. Variable C1
Seleccionar Ryan Joiner test OK
El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente
Página 207
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Probability Plot of Datos
Normal
99.9
Mean
StDev
N
RJ
P-Value
99
95
Percent
90
269.3
30.72
100
0.994
>0.100
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
150
200
250
Datos
300
350
Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:
5. Graph > Probability plot > Normal
6. Graph Variable C1
7. Distribution Normal OK
Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es
normal la distribución.
Probability Plot of Datos
Normal - 95% CI
99.9
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99
95
Percent
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
150
200
250
300
350
400
Datos
Página 208
269.3
30.72
100
0.317
0.533
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Determinación de la capacidad del proceso
Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con:
1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal
2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330
3. Estimate R-bar OK
Los resultados se muestran a continuación:
Process Capability of Datos
LSL
USL
P rocess Data
LS L
200.00000
Target
*
USL
330.00000
S ample M ean
269.25354
S ample N
100
S tDev (Within)
30.83472
S tDev (O v erall)
30.80011
Within
Ov erall
P otential (Within) C apability
Cp
0.70
C PL
0.75
C PU
0.66
C pk
0.66
C C pk 0.70
O v erall C apability
Pp
PPL
PPU
P pk
C pm
210
O bserv ed P erformance
P P M < LS L
10000.00
P P M > U S L 30000.00
P P M Total
40000.00
240
E xp. Within P erformance
P P M < LS L 12353.30
P P M > U S L 24415.36
P P M Total
36768.66
270
300
330
0.70
0.75
0.66
0.66
*
360
E xp. O v erall P erformance
P P M < LS L
12272.69
P P M > U S L 24288.79
P P M Total
36561.48
Interpretación:
La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2
(1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial
Cp y real Cpk, lo cual es adecuado para un proceso en control o normal.
Página 209
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de
todos los datos de la muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta
desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk así
como el desempeño Overall, no importando si el proceso está en control o no, en
este último caso los valores no tienen significado práctico.
Opción Six Pack
Para mostrar toda la información relevante:
Determinar la capacidad con:
4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal
5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330
6. Estimate R-bar OK
Los resultados se muestran a continuación:
Process Capability Sixpack of Datos
Individual Value
I C har t
C apability H istogr am
UCL=361.8
320
_
X=269.3
240
160
LCL=176.7
1
10
20
30
40
50
60
70
80
M oving Range C har t
100
210
100
50
270
300
330
360
Nor mal P r ob P lot
A D: 0.317, P : 0.533
UCL=113.6
__
MR=34.8
0
LCL=0
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Last 2 5 O bser vations
200
300
250
200
Within
Overall
Specs
80
85
90
Observation
400
C apability P lot
Within
S tDev 30.83472
Cp
0.70
C pk
0.66
C C pk
0.70
300
Values
240
1
1
Moving Range
90
95
100
Página 210
O v erall
S tD ev 30.80011
Pp
0.70
P pk
0.66
C pm
*
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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En este caso de la gráfica de probabilidad normal, los datos siguen una
distribución normal.
Capacidad de procesos no normales.
Cuando los datos provienen de poblaciones no normales una opción para realizar
el estudio de capacidad de procesos es mediante la distribución Weibull.
Ejemplo en Minitab
En una compañía se manufacturan losetas para piso, el problema que se tiene es
referente a la deformación en las mismas. Se toman 100 mediciones durante 10
días. El límite superior de especificación (USL) = 3.5 mm Realice un estudio de
capacidad con la ayuda de Minitab e interprete los resultados.
Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala
= 1 con
8. Calc > Random data > Weibull
9. Generate 100 Store in columns C1
Shape parameter 1.2 Scale
parameter 1 Threshold parameter 0 OK
Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5
Determinar la capacidad con:
7. Stat > Quality tools > Capability análisis > NoNormal
8. Single column C1 Dsitribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5
9. Estimate R-bar OK
Los resultados se muestran a continuación:
Página 211
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Process Capability of Datos1
Calculations Based on Weibull Distribution Model
USL
O v erall C apability
*
Pp
*
PPL
0.85
PPU
0.85
P pk
P rocess D ata
LS L
Target
USL
S ample M ean
S ample N
S hape
S cale
*
*
3.50000
0.82279
100
1.24929
0.88470
E xp. O v erall P erformance
*
P P M < LS L
P P M > U S L 3795.26
P P M Total 3795.26
O bserv ed P erformance
*
P P M < LS L
P P M > U S L 10000
10000
P P M Total
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
El histograma no muestra evidencia de alguna discrepancia seria entre el modelo
y los datos, ya que la curva muestra buen ajuste. Sin embargo observamos que
algunos datos caen fuera del límite superior de especificación. Lo cual quiere decir
que en algunos casos la deformación será mayor a 3.5 mm.
El índice Ppk y Ppu32 = 0.85 lo cual nos dice que el desempeño del proceso no es
capaz ya que 0.85<.1.33
También
observamos
que
PPM
>
USL
3,795
lo
cual
significa
que
aproximadamente 3,795 PPM estarán fuera de los límites de especificaciones.
También se cuenta con la opción Six Pack para esta opción.
32
Los índices Pp y Ppk son similares a los índices Cp y Cpk , se refieren a la capacidad del proceso a largo
plazo.
Página 212
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6.6 ANÁLISIS DE CAPACIDAD CON EXPERIMENTOS DISEÑADOS
El diseño de experimentos es un método sistemático para variar el nivel de los
parámetros controlables del proceso y analizar sus efectos en los resultados
finales o productos. De esta forma se puede determinar el nivel de los parámetros
que optimizan el proceso.
6.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN
6.6.1 ERROR DEL EQUIPO DE MEDICIÓN
En cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la
variabilidad observada es debida al producto mismo y parte es debida a la
variación del equipo de medición, o sea:
2
2
total
2producto equipo
.medición
(6.13)
Ejemplo 6.8 Tomando 20 partes y evaluándolas 2 veces por un
mismo
operador
con
el
mismo
instrumento
de
medición,
obtienen los resultados mostrados a continuación:
PARTS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
OP1IN1
21
24
20
27
19
23
22
19
24
25
21
18
23
24
29
26
OP1IN2
20
23
21
27
18
21
21
17
23
23
20
19
25
24
30
26
X-media
20.5
23.5
20.5
27.0
18.5
22.0
21.5
18.0
23.5
24.0
20.5
18.5
24.0
24.0
29.5
26.0
Página 213
Rango
1
1
1
0
1
2
1
2
1
2
1
1
2
0
1
0
se
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
17
18
19
20
20
19
25
19
Dr. P. Reyes / Enero 2006
20
21
26
19
20.0
20.0
25.5
19.0
0
2
1
0
Xbar/R for OP1IN1-OP1IN2
Test
TEST
Test
Test
Results for Xbar Chart
1. One point more than 3.00 sigmas from center line.
Failed at points: 4 5 8 12 15 16 17 18 19 20
Results for R Chart
Notar que la carta X indica muchos puntos fuera de control,
lo
cual
es
normal
ya
que
se
espera
que
el
distinga las diferentes unidades de producto.
representa
las
diferencias
entre
instrumento
La
mediciones
de
carta
la
R
misma
unidad con el mismo instrumento. En este caso la carta R está
en control, indicando que el operador no tiene dificultad
para realizar las mediciones en forma consistente. Si hubiera
puntos
fuera
de
control,
indica
que
dificultad para utilizar el instrumento.
Página 214
el
operador
tiene
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
La desviación estándar del error de medición, instrumento puede
estimarse como:
instrument o
R
1.0
0.887
d 2 1.128
Como la distribución del error de medición es aproximadamente
normal,
entonces
6instrumento
es
un
buen
estimador
de
la
capacidad del instrumento de medición.
En este caso, 6instrumento = 6 (0.887) = 5.32, de tal forma que
2.66 de error de medición se puede asignar al error del
instrumento de medición.
Es usual comparar la capacidad del instrumento de medición contra el rango de
las especificaciones (LSE – LIE), denominado P/T, como sigue:
P 6 instrument o
T LSE LIE
(6.14)
Para el caso del ejemplo se tiene:
P 6(0.887 ) 5.32
0.097
T
60 5
55
Los valores de P/T menores a 0.1 implican una capacidad adecuada del
instrumento de medición. Basado en su precisión debe ser al menos de 0.1 de la
tolerancia de la característica evaluada.
La variabilidad total de los datos de las mediciones incluyen la variabilidad del
producto y las del instrumento de medición. Por tanto,
Página 215
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
2
total
S2
2
2
2producto total
instrument
o
De los datos del ejemplo se tiene:
Variable
OP1IN1
N
40
Mean
22.300
Median
21.500
TrMean
22.167
StDev
3.172
SE Mean
0.502
2
total
S 2 = 3.17 x 3.17 = 10.05
2
2
2producto total
instrument
o = 10.05 – 0.79 = 9.26
Por tanto la desviación estándar de la característica del producto es:
= 3.04
La variabilidad del instrumento de medición también puede expresarse como un
porcentaje de la variabilidad de la característica del producto como sigue:
instrument o
x100
producto
(6.15)
Para el ejemplo se tiene:
instrument o
0.887
x100 29.2%
x100 =
3.04
producto
6.6.2 REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD (R&R)
Se pueden determinar los componentes del error debidos a diferentes operadores
(repetibilidad) y debidos al instrumento de medición en sí (reproducibilidad).
Página 216
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
2
2
2
error
.medición repetibilidad reproducibilidad
(6.16)
Ejemplo 6.9 Se tienen los datos de mediciones de 20 partes
por 3 operadores, haciendo 2 intentos cada uno como sigue.
PARTS OP1IN1 OP1IN2 RANGO1 OP2IN1 OP2IN2 RANGO2 OP3IN1 OP3IN2 RANGO3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
24
20
27
19
23
22
19
24
25
21
18
23
24
29
26
20
19
25
19
20
23
21
27
18
21
21
17
23
23
20
19
25
24
30
26
20
21
26
19
1
1
1
0
1
2
1
2
1
2
1
1
2
0
1
0
0
2
1
0
20
24
19
28
19
24
22
18
25
26
20
17
25
23
30
25
19
19
25
18
20
24
21
26
18
21
24
20
23
25
20
19
25
25
28
26
20
19
24
17
0
0
2
2
1
3
2
2
2
1
0
2
0
2
2
1
1
0
1
1
19
23
20
27
18
23
22
19
24
24
21
18
25
24
31
25
20
21
25
19
21
24
22
28
21
22
20
18
24
25
20
19
25
25
30
27
20
23
25
17
2
1
2
1
3
1
2
1
0
1
1
1
0
1
1
2
0
2
0
2
La media de los rangos medios para cada operador es:
1
1
R ( R1 R 2 R 3 ) (1.0 1.25 1.20) 1.15
3
3
por tanto la desviación estándar de la repetibilidad es:
repetibilidad
R
1.15
1.02
d 2 1.128
tomando d2 para n=2 lecturas
Página 217
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
La reproducibilidad es causada por diferencias entre los 3
operadores, es decir,
x max max( x1 , x 2 , x 3 )
x min min( x1 , x 2 , x 3 )
R x x max x min
reproducibilidad
Rx
considerando el número de operadores.
d2
Del ejemplo, se tiene que para 3 operadores, d2 =1.693, por
tanto:
xmax = 22.60, xmin =22.28 y Rx=0.32, y
reproducibilidad = 0.32/1.693 = 0.19
Por tanto la variabilidad total del error de medición es:
2
2
2
2 + 0.192 = 1.08
instrument
.medición repetibilidad reproducibilidad = 1.02
instrumento.medición = 1.04
La relación P/T = 6 (1.04)
/ (60-5) = 0.11
Por otra parte utilizando el paquete Minitab se obtuvieron
las respuestas siguientes (tomando 5.15 sigmas):
Gage R&R Study - XBar/R Method
Gage R&R for OP1IN1
Gage name:
Date of study:
Reported by:
DISPOSITIVO DE PRUEBA
20 JULIO 2000
P. REYES
Página 218
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Tolerance:
Misc:
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5
Source
Variance
%Contribution
(of Variance)
Total Gage R&R
Repeatability
Reproducibility
Part-to-Part
Total Variation
1.0424
1.0394
0.0030
9.4801
10.5225
9.91
9.88
0.03
90.09
100.00
Source
StdDev
(SD)
Study Var
(5.15*SD)
%Study Var
(%SV)
%Tolerance
(SV/Toler)
Total Gage R&R
Repeatability
Reproducibility
Part-to-Part
Total Variation
1.02096
1.01950
0.05449
3.07898
3.24384
5.2579
5.2504
0.2806
15.8568
16.7058
31.47
31.43
1.68
94.92
100.00
9.56
9.55
0.51
28.83
30.37
Number of distinct categories = 4
De esta forma cuando se toman en cuenta ambas la repetibilidad y la
reproducibilidad, la capacidad del sistema de medición se reduce. Es necesario
entrenar al operador en el uso del instrumento de medición y en todo caso a
encontrar otro equipo de medición.
Página 219
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6.6.3 R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAG
En muchas ocasiones las organizaciones no consideran el impacto de no tener
sistemas de medición de calidad, el hecho de que las mediciones no sean exactas
puede llevar a cometer errores en el cálculo, y en los análisis y conclusiones de
los estudios de capacidad de los procesos.
Cuando los operadores no miden una pieza de manera consistente, se puede
caer en el riesgo de rechazar artículos que están en buen estado o aceptar
artículos que están en mal estado. Por otro lado si los instrumentos de medición
no están calibrados correctamente también se pueden cometer errores. Cuando
sucede lo mencionado anteriormente tenemos un sistema de medición deficiente
que puede hacer que un estudio de capacidad parezca insatisfactorio cuando en
realidad es satisfactorio. Lo anterior puede tener como consecuencia gastos
innecesarios de reproceso al reparar un proceso de manufactura o de servicios,
cuando la principal fuente de variación se deriva del sistema de medición.
Posibles Fuentes de la Variación del Proceso
Variación del proceso
Variación
proceso,
real
Variación
deldel
proceso,
real
Variación dentro de la
muestra
Repetibilidad
Variación de la medición
Variación
originada
Equipo
de
mediciòn
por el calibrador
Estabilidad
Reproducibilidad
Linealidad
Calibración
Página 220
Sesgo
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Definiciones
Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas
por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición
cuando miden las mismas características en una misma parte.
Operador-B
Operador-C
Operador-A
Reproducibilidad
Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento
de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo
tiempo que mide las mismas características en una misma parte.
REPETIBILIDAD
Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST33
33
·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se tiene
el CENEAM o el Centro Nacional de Metrología
Página 221
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una
misma zona
Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor
verdadero.
Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión.
Preciso pero no exacto
Exacto pero no preciso
Exacto y preciso
(resolución)
- Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de
medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se
mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado.
Tiempo 2
Tiempo 1
Página 222
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de
operación esperado del instrumento de medición.
Valor
verdadero
Valor
verdadero
Sesgo
Menor
Sesgo
mayor
(rango inferior)
(rango superior)
Rango de Operación del equipo
Sesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor
verdadero. Error sistemático o desviación.
Valor
Verdadero
Sesgo
Calibración: Es la comparación de un estándar de medición
con exactitud
conocida con otro instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del
ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento.
Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación
adecuada en la evaluación de las partes, su
1/10 de la variabilidad del proceso.
Página 223
resolución debe ser al menos
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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<10% Aceptable
10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas.
>30%. ¡Inaceptable!
En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25%
como máximo.
En cualquier problema que involucre mediciones, algunas de las variaciones
observadas son debidas al proceso y otras son debidas al error o variación en los
sistemas de medición. La variación total es expresada de la siguiente manera:
2total 2 proceso 2 error mediciòn
Página 224
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Estudios R&R - Método Corto del Rango
Es un método que proporciona un valor aproximado del error R&R sin que muestre
las diferencias entre errores por el equipo y por los operadores.
Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada evaluador mide cada parte una
sola vez.
Se calcula el rango de la medición de cada parte y al final el rango promedio.
La desviación estándar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre
d2*
El % de R&R se calcula comparando la desv. Estándar de R&R con la del proceso
Partes
1
2
3
4
5
Evaluador A Evaluador B Rango A,B
0.85
0.80
0.05
0.75
0.70
0.05
1.00
0.95
0.05
0.45
0.55
0.10
0.50
0.60
0.10
Rango medio = 0.35/5 = 0.07
GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588
Desv. Estándar del proceso = 0.0722
%GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4%
Por tanto el sistema de medición requiere mejora
Página 225
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Estudio de R&R Método largo
• Generalmente intervienen de dos a tres operadores
• Generalmente se toman 10 unidades
• Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.
La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango
de tolerancia o del rango de variación del proceso.
Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso.
Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80%
de la variación)
10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida
sobre el equipo de medición a menos que se cumpla el punto anterior.
Procedimiento para realizar un estudio de R&R
1. Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado.
2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la
persona que realiza la medición.
3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo
un orden al azar.
4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez,
siguiendo un orden al azar.
5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola
vez (Este es el ensayo 1).
Página 226
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos
7. Determine las estadísticas del estudio R&R
Repetibilidad
Reproducibilidad
% R&R
Desviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionados
Análisis del porcentaje de tolerancia
8. Analice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay.
Métodos de estudio del error R&R:
I. Método de Promedios- Rango
Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y
a la
Repetibilidad.
Los cálculos son más fáciles de realizar.
II. Método ANOVA
Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y
a la Repetibilidad.
También proporciona información acerca de las interacciones de un operador
y otro en cuanto a la parte.
Calcula las varianzas en forma más precisa.
Los cálculos numéricos requieren de una computadora.
El Método ANOVA es más preciso
Ejemplo 134: Cálculo de la Repetibilidad únicamente
Un equipo de mejora de la calidad involucrado en el diseño de CEP (Control
Estadístico del Proceso), desea realizar un cálculo de la capacidad del sistema de
Página 227
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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medición. Se tienen veinte unidades de producto,
el operador que toma las
mediciones para el diagrama de control usa un instrumento para medir cada
unidad dos veces. Los datos son mostrados en la tabla siguiente:
Parte
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Medición 1
21
24
20
27
19
23
22
19
24
25
21
18
23
24
29
26
20
19
25
19
Medición 2
20
23
21
27
18
21
21
17
23
23
20
19
25
24
30
26
20
21
26
19
Promedio
Media
20,5
23,5
20,5
27,0
18,5
22,0
21,5
18,0
23,5
24,0
20,5
18,5
24,0
24,0
29,5
26,0
20,0
20,0
25,5
19,0
22,3
Rango
1
1
1
0
1
2
1
2
1
2
1
1
2
0
1
0
0
2
1
0
1
x 22.3
R 1 .0
La desviación estándar del error de medición, mediciòn , es calculada mediante la
siguiente fórmula:
mediciòn =
R
1
0.887
d 2 1.128
donde:
34
Ejemplo adaptado de: Statistical Quality Control. Douglas C. Montgomery. Willey. Second Edition
Página 228
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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R = Rango promedio
d2 = Valor de tablas.
Para obtener una buena estimación de la capacidad del error de medición
utilizamos:
6 mediciòn 6(0.887) 5.32
La proporción 6 mediciòn de la banda de tolerancia (rango total de especificación) es
llamada precisión de tolerancia:
6 mediciòn
P
T USL LSL
En este ejemplo USL = 60, LSL = 5
P 5.32
0.097 .
T
55
Como se mencionó anteriormente los valores P/T de 0.1 o menores generalmente
implican una capacidad de error de medición adecuada.
Calculamos la varianza total mediante:
2Total S 2 (3.07) 2 9.4249
La desviación estándar es calculada a partir de los datos de la tabla.
Ya que tenemos un estimado de 2 medición .8872 .79 , podemos obtener un
estimado para 2 proceso
2 proceso= 2 total 2 medición=9.4249 - .79 = 8.63
Página 229
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Por lo tanto la desviación estándar del proceso = 2.93
El error de medición es expresado como un porcentaje de la variabilidad del
proceso:
medicion .79
100 25.73%
total
3.07
Al ser el error de medición mayor al 10%, concluimos que no tenemos un sistema
de medición confiable, por lo cual tenemos que realizar las acciones correctivas
correspondientes.
Cálculos con Excel o manual: Introducir los datos en la hoja de colección de
datos siguiente por cada operador y hacer los cálculos indicados en la zona gris:
RECOLECCIÓN DE DATOS
OPERADOR
A.columna 1
Muestra
1er Intento
columna 2
2do Intento
columna 3
columna 4
Rango
3er Intento
Promedio
X
1
0.0045
0.0045
0.0045
2
0.0045
0.0055
0.0045
3
0.0045
0.0045
0.0045
4
0.0050
0.0050
0.0045
5
0.0045
0.0045
0.0045
6
0.0050
0.0055
0.0045
0.0010
0.0050
7
0.0050
0.0045
0.0045
0.0005
0.0047
8
0.0050
0.0050
0.0050
9
0.0050
0.0045
0.0050
10
0.0040
0.0040
0.0040
Totales
0.0470
0.0475
0.0455
Suma
0.1400
XA :
RA
:
0.0010
0.0005
-
0.0005
0.0035
0.00035
0.004666667
RA :
0.00035
# Intentos
D4
RB :
0.0004
3
2.58
RC :
0.0005
SUM:
0.00125
LSCR =
0.000416667
LSCR =
R:
Página 230
R x D4
0.001075
0.0045
0.0048
0.0045
0.0048
0.0045
0.0050
0.0048
0.0040
0.0467
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
columna 11
columna 12
Rango
3er Intento
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Promedio
Prom. Parte
X
Xp=
0.0045
0.0005
0.0047
0.004556
0.0045
0.0010
0.0048
0.004889
0.0040
0.0005
0.0043
0.004444
0.0050
0.004944
0.0043
0.004333
0.0050
0.005111
0.0050
-
0.0040
0.0005
0.0050
-
0.0050
0.0005
0.0048
0.004833
0.0050
0.0010
0.0053
0.005111
0.0045
0.0010
0.0048
0.004778
0.0045
0.004167
0.0050
0.0477 Xp=
0.004717
0.0005
Rp=
0.000944
0.0045
-
0.0460
RC
:
A2
=
LSCX = X + A2 R
LSCX =
1.023
0.005142917
LICX = X - A2 R
LICX =
0.0043
RANGOS
LSCR =
0.001075
R=
0.00042
LICR =
0
Una vez colectados los datos proceder a realizar la carta de rango R y observar
que esté en control, de otra forma repetir las mediciones para ese operador y parte
específica errónea.
Página 231
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Ahora revisar la carta X media, debe tener al menos el 50% de puntos fuera de
control indicando que identifica las variaciones en las diferentes partes
presentadas:
LSCX =
0.005143
X=
0.004717
LICX =
0.004290417
LS
CX
X
LICX
Se procede posteriormente a determinar los errores o variabilidad del sistema de
medición con la hoja de trabajo siguiente, calculando los campos con sombra gris:
Página 232
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )
MÉTODO LARGO
Aseguramiento de Calidad
No. de Parte y
4600066 PARTE A
Nombre:
Tolerancia
Especificada:
0.0060
No. y Nombre de
Calibrador
GAGE: 8881-H
Digital
Fecha:
01/07/2003
Elaborado por:
0
Característica: Diametro
RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008
R= 0.00041667
X Diff = 0.0001000000
Rp = 0.000944444
Análisis Unitario de Medición
% Total de Variación ( TV )
Repetibilidad - Variación del Equipo (EV)
EV=
R x K1 =
EV=
0.00127083
% EV = 100 [ EV/TV ]
INTENTOS
K1
2
4.56
3
3.05
Reproducibilidad - Variación del Operador (AV)
2
2
AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)]
% EV = 63.74%
% EV vs Tol. = 21.18%
% AV = 100 [AV/TV]
1/2
% AV = 6.93%
AV = 0.00027
% AV vs Tol = 2.30%
AV = 7.29E-08
n=partes = 10
AV = 5.3834E-08
r = intentos = 3
AV = 1.9066E-08
OPERADOR
2
3
AV = 0.00013808
K2
3.65
2.7
PARTES
K3
5
2.08
6
1.93
7
1.82
8
1.74
% PV = 100 [ PV/TV ]
9
1.67
% PV = 76.7403%
10
1.62
Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R )
R&R
2
2 1/2
= [EV + AV ]
2
R&R
=
1.6341E-06
R&R
=
0.00127831
Variación de la Parte ( PV )
PV = RP x K3
PV =
0.00153
VARIACIÓN TOTAL ( TV )
2
2 1/2
TV = ( R & R + PV )
TV = 3.97E-06
TV = 0.001994
Página 233
% de R & R = 100 [ R & R /TV ]
% de R & R = 64.1164%
% de R & R vs Tol
= 21.31%
PV / R&R x d2= d2 = 1.693
Categoria de
2.0
Datos
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Interpretación de los resultados
1. El porcentaje de error R&R no debe exceder del 10%, si el equipo se usa
para liberar producto terminado la referencia es la tolerancia del cliente; si
el equipo se usa para control del proceso, la referencia es la variación total
del proceso.
2. El número de categorías debe ser de al menos 4 indicando que el equipo
distingue las partes que son diferentes.
Página 234
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 2 (MINITAB)
Método X Barra - R
Se seleccionan 10 muestras de un proceso de manufactura, cada parte es medida
dos veces por tres operadores. Realice un estudio R&R mediante el método
ANOVA.
OPERADOR A.-
B.-
C.-
columna columna columna columna columna columna columna columna columna
1
Muestra
2
3
5
6
7
9
10
11
1er
2do
3er
1er
2do
3er
1er
2do
3er
Intento
Intento
Intento
Intento
Intento
Intento
Intento
Intento
Intento
1
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0050
0.0045
0.0045
2
0.0045
0.0055
0.0045
0.0055
0.0050
0.0045
0.0055
0.0045
0.0045
3
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0045
0.0040
4
0.0050
0.0050
0.0045
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
5
0.0045
0.0045
0.0045
0.0040
0.0045
0.0040
0.0045
0.0045
0.0040
6
0.0050
0.0055
0.0045
0.0060
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
7
0.0050
0.0045
0.0045
0.0055
0.0045
0.0050
0.0045
0.0050
0.0050
8
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0050
0.0060
0.0050
0.0050
9
0.0050
0.0045
0.0050
0.0045
0.0045
0.0050
0.0055
0.0045
0.0045
10
0.0040
0.0040
0.0040
0.0040
0.0040
0.0040
0.0045
0.0045
0.0045
Totales
0.0470
0.0475
0.0455
0.0485
0.0465
0.0465
0.0500
0.0470
0.0460
Capture los datos en la hoja de trabajo de Minitab en tres columnas C1, C2, C3
Partes
Operadores Medición
Partes
Operadores Medición
Partes
Operadores
Medición
1
1
0.0045
1
2
0.0045
1
3
0.005
2
1
0.0045
2
2
0.0055
2
3
0.0055
3
1
0.0045
3
2
0.0045
3
3
0.0045
4
1
0.005
4
2
0.005
4
3
0.005
5
1
0.0045
5
2
0.004
5
3
0.0045
6
1
0.005
6
2
0.006
6
3
0.005
7
1
0.005
7
2
0.0055
7
3
0.0045
Página 235
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
8
1
0.005
8
2
0.005
8
3
0.006
9
1
0.005
9
2
0.0045
9
3
0.0055
10
1
0.004
10
2
0.004
10
3
0.0045
1
1
0.0045
1
2
0.0045
1
3
0.0045
2
1
0.0055
2
2
0.005
2
3
0.0045
3
1
0.0045
3
2
0.0045
3
3
0.0045
4
1
0.005
4
2
0.005
4
3
0.005
5
1
0.0045
5
2
0.0045
5
3
0.0045
6
1
0.0055
6
2
0.005
6
3
0.005
7
1
0.0045
7
2
0.0045
7
3
0.005
8
1
0.005
8
2
0.005
8
3
0.005
9
1
0.0045
9
2
0.0045
9
3
0.0045
10
1
0.004
10
2
0.004
10
3
0.0045
1
1
0.0045
1
2
0.0045
1
3
0.0045
2
1
0.0045
2
2
0.0045
2
3
0.0045
3
1
0.0045
3
2
0.0045
3
3
0.004
4
1
0.0045
4
2
0.005
4
3
0.005
5
1
0.0045
5
2
0.004
5
3
0.004
6
1
0.0045
6
2
0.005
6
3
0.005
7
1
0.0045
7
2
0.005
7
3
0.005
8
1
0.005
8
2
0.005
8
3
0.005
9
1
0.005
9
2
0.005
9
3
0.0045
10
1
0.004
10
2
0.004
10
3
0.0045
Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY
TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)
Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)
Método de Análisis X Bar and R
En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerante 0.006
Los resultados se muestran a continuación:
Página 236
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Gage R&R Study - XBar/R Method
%Contribution
Source
VarComp
(of VarComp)
0.0000001
41.00
Repeatability
0.0000001
40.52
Reproducibility
0.0000000
0.48
Part-To-Part
0.0000001
59.00
Total Variation
0.0000001
100.00
Total Gage R&R
Study Var
%Study Var
%Tolerance
StdDev (SD)
(5.15 * SD)
(%SV)
(SV/Toler)
0.0002476
0.0012750
64.03
21.25
Repeatability
0.0002461
0.0012675
63.65
21.12
Reproducibility
0.0000269
0.0001384
6.95
2.31
Part-To-Part
0.0002970
0.0015295
76.81
25.49
Total Variation
0.0003867
0.0019913
100.00
33.19
Source
Total Gage R&R
Number of Distinct Categories = 1
Gage R&R for Datos
Análisis de los resultados:
El error de R&R vs tolerancia es 64.03% y vs variación total del proceso es
21.25% lo que hace que el equipo de medición no sea adecuado para la medición.
Por otro lado el número de categorías es sólo de 1 cuando debe ser al menos 4
indicando que el instrumento discrimina las diversas partes diferentes.
Página 237
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Gage R&R (Xbar/R) for Datos
Reported by :
Tolerance:
M isc:
G age name:
Date of study :
Components of Variation
80
Datos by Partes
% Contribution
0.006
Percent
% Study Var
% Tolerance
40
0
0.005
0.004
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
2
3
R Chart by Operadores
Sample Range
1
2
3
0.006
0.0005
_
R=0.000417
0.005
0.0000
LCL=0
1
0.0050
8
9
10
2
Operadores
3
Operadores * Partes Interaction
3
Operadores
UCL=0.005143
_
_
X=0.004717
0.0045
Average
Sample Mean
2
7
0.004
Xbar Chart by Operadores
1
5
6
Partes
Datos by Operadores
UCL=0.001073
0.0010
4
LCL=0.004290
1
0.0050
2
3
0.0045
0.0040
0.0040
1
2
3
4
5
6
Partes
7
8
9
10
La gráfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en
forma adecuada.
La gráfica X barra sólo presenta 5 de 30 puntos fuera de control, lo cual debería
ser al menos el 50%, indicando que el equipo no discrimina las diferentes partes.
Ejemplo 3: por el Método de ANOVA se tiene:
Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY
TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed)
Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)
Método de Análisis ANOVA
En Options Seleccionar: Staudy variation 5.15 Process tolerante 0.006 Alfa to
remove interaction 0.25
Página 238
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Los resultados se muestran a continuación:
Gage R&R Study - ANOVA Method
Two-Way ANOVA Table With Interaction
Source
DF
SS
MS
F
P
Partes
9
0.0000086
0.0000010
12.2885
0.000
Operadores
2
0.0000002
0.0000001
0.9605
0.401
Partes * Operadores
18
0.0000014
0.0000001
0.7398
0.757
Repeatability
60
0.0000063
0.0000001
Total
89
0.0000165
Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes
Two-Way ANOVA Table Without Interaction
Source
DF
SS
MS
F
P
Partes
9
0.0000086
0.0000010
9.67145
0.000
Operadores
2
0.0000002
0.0000001
0.75592
0.473
Repeatability
78
0.0000077
0.0000001
Total
89
0.0000165
Gage R&R
%Contribution
Source
VarComp
(of VarComp)
0.0000001
50.93
Repeatability
0.0000001
50.93
Reproducibility
0.0000000
0.00
0.0000000
0.00
Part-To-Part
0.0000001
49.07
Total Variation
0.0000002
100.00
Total Gage R&R
Operadores
Study Var
Página 239
%Study Var
%Tolerance
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Source
Dr. P. Reyes / Enero 2006
StdDev (SD)
(5.15 * SD)
(%SV)
(SV/Toler)
0.0003150
0.0016222
71.36
27.04
Repeatability
0.0003150
0.0016222
71.36
27.04
Reproducibility
0.0000000
0.0000000
0.00
0.00
0.0000000
0.0000000
0.00
0.00
Part-To-Part
0.0003092
0.0015923
70.05
26.54
Total Variation
0.0004414
0.0022731
100.00
37.88
Total Gage R&R
Operadores
Number of Distinct Categories = 1
La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de
medición no es adecuado, ni el número de categorías.
Gage R&R (ANOVA) for Datos
Reported by :
Tolerance:
M isc:
G age name:
Date of study :
Components of Variation
80
Datos by Partes
% Contribution
0.006
Percent
% Study Var
% Tolerance
40
0
0.005
0.004
Gage R&R
Repeat
Reprod
1
Part-to-Part
2
3
R Chart by Operadores
Sample Range
1
2
3
0.006
0.0005
_
R=0.000417
0.005
0.0000
LCL=0
1
8
9
10
2
Operadores
3
Operadores * Partes Interaction
3
Operadores
UCL=0.005143
_
_
X=0.004717
0.0045
Average
Sample Mean
0.0050
2
7
0.004
Xbar Chart by Operadores
1
5
6
Partes
Datos by Operadores
UCL=0.001073
0.0010
4
LCL=0.004290
0.0040
1
0.0050
2
3
0.0045
0.0040
1
2
3
4
5
6
Partes
7
8
Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.
Página 240
9
10
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Estudios de R&R por atributos
Una empresa está entrenando a cinco evaluadores para la porción escrita de un
examen estándar de doceavo grado. Se requiere determinar la habilidad de los
evaluadores para calificar el examen de forma que sea consistente con los
estándares. Cada uno de los evaluadores califica 15 exámenes en una escala de
cinco puntos (-2, -1, 0, 1, 2):
1
Abrir el archive ESSAY.MTW.
2
Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis.
3
En Attribute column, poner Rating.
4
En Samples, poner Sample.
5
En Appraisers, poner Appraiser.
6
En Known standard/attribute, poner Attribute.
7
Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK
El contenido del archivo es como sigue:
Appraiser
Sample Rating Attribute
Simpson
1
2
2
Montgomery
1
2
2
Holmes
1
2
2
Duncan
1
1
2
Hayes
1
2
2
Simpson
2
-1
-1
Montgomery
2
-1
-1
Holmes
2
-1
-1
Duncan
2
-2
-1
Hayes
2
-1
-1
Página 241
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Simpson
3
1
0
Montgomery
3
0
0
Holmes
3
0
0
Duncan
3
0
0
Hayes
3
0
0
Simpson
4
-2
-2
Montgomery
4
-2
-2
Holmes
4
-2
-2
Duncan
4
-2
-2
Hayes
4
-2
-2
Simpson
5
0
0
Montgomery
5
0
0
Holmes
5
0
0
Duncan
5
-1
0
Hayes
5
0
0
Simpson
6
1
1
Montgomery
6
1
1
Holmes
6
1
1
Duncan
6
1
1
Hayes
6
1
1
Simpson
7
2
2
Montgomery
7
2
2
Holmes
7
2
2
Duncan
7
1
2
Hayes
7
2
2
Simpson
8
0
0
Montgomery
8
0
0
Holmes
8
0
0
Duncan
8
0
0
Hayes
8
0
0
Página 242
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Simpson
9
-1
-1
Montgomery
9
-1
-1
Holmes
9
-1
-1
Duncan
9
-2
-1
Hayes
9
-1
-1
Simpson
10
1
1
Montgomery
10
1
1
Holmes
10
1
1
Duncan
10
0
1
Hayes
10
2
1
Simpson
11
-2
-2
Montgomery
11
-2
-2
Holmes
11
-2
-2
Duncan
11
-2
-2
Hayes
11
-1
-2
Simpson
12
0
0
Montgomery
12
0
0
Holmes
12
0
0
Duncan
12
-1
0
Hayes
12
0
0
Simpson
13
2
2
Montgomery
13
2
2
Holmes
13
2
2
Duncan
13
2
2
Hayes
13
2
2
Simpson
14
-1
-1
Montgomery
14
-1
-1
Holmes
14
-1
-1
Duncan
14
-1
-1
Hayes
14
-1
-1
Página 243
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Simpson
15
1
1
Montgomery
15
1
1
Holmes
15
1
1
Duncan
15
1
1
Hayes
15
1
1
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Gage R&R for Datos
Assessment Agreement
Appraiser
# Inspected
# Matched
Percent
95 % CI
Duncan
15
8
53.33
(26.59,
78.73)
Hayes
15
13
86.67
(59.54,
98.34)
Holmes
15
15
100.00
(81.90, 100.00)
Montgomery
15
15
100.00
(81.90, 100.00)
Simpson
15
14
93.33
(68.05,
99.83)
# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with
the known standard.
Kendall's Correlation Coefficient
Appraiser
Coef
SE Coef
Z
P
Duncan
0.89779
0.192450
4.61554
0.0000
Hayes
0.96014
0.192450
4.93955
0.0000
Holmes
1.00000
0.192450
5.14667
0.0000
Montgomery
1.00000
0.192450
5.14667
0.0000
Simpson
0.93258
0.192450
4.79636
0.0000
Between Appraisers
Assessment Agreement
Página 244
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
# Inspected
# Matched
Percent
15
6
40.00
95 % CI
(16.34, 67.71)
# Matched: All appraisers' assessments agree with each other.
Fleiss' Kappa Statistics
Response
Kappa
SE Kappa
Z
P(vs > 0)
-2
0.680398
0.0816497
8.3331
0.0000
-1
0.602754
0.0816497
7.3822
0.0000
0
0.707602
0.0816497
8.6663
0.0000
1
0.642479
0.0816497
7.8687
0.0000
2
0.736534
0.0816497
9.0207
0.0000
Overall
0.672965
0.0412331
16.3210
0.0000
Kendall's Coefficient of Concordance
Coef
Chi - Sq
DF
P
0.966317
67.6422
14
0.0000
All Appraisers vs Standard
Assessment Agreement
# Inspected
# Matched
Percent
15
6
40.00
95 % CI
(16.34, 67.71)
# Matched: All appraisers' assessments agree with the known
standard.
Fleiss' Kappa Statistics
Página 245
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Response
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Kappa
SE Kappa
Z
P(vs > 0)
-2
0.842593
0.115470
7.2971
0.0000
-1
0.796066
0.115470
6.8941
0.0000
0
0.850932
0.115470
7.3693
0.0000
1
0.802932
0.115470
6.9536
0.0000
2
0.847348
0.115470
7.3383
0.0000
Overall
0.831455
0.058911
14.1136
0.0000
Kendall's Correlation Coefficient
Coef
SE Coef
Z
P
0.958102
0.0860663
11.1100
0.0000
* NOTE * Single trial within each appraiser. No percentage of
assessment agreement within appraiser is plotted.
Date of study :
Reported by :
Name of product:
Misc:
Assessment Agreement
Appraiser vs Standard
100
95.0% C I
P ercent
Percent
80
60
40
20
0
Duncan
Hayes
Holmes
Appraiser
Montgomery
Página 246
Simpson
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Dr. P. Reyes / Enero 2006
Interpretación de resultados
Minitab muestra tres tablas como sigue: Cada evaluador vs el estándar, Entre
evaluadores y Todos los evaluadores vs estándar. Los estadísticos de Kappa y
Kendall también se incluyen en cada una de las tablas. En general estos
estadísticos sugieren buen acuerdo.
El coeficiente de Kendall entre evaluadores es 0.966317 (p = 0.0); para todos los
evaluadores vs estándar es 0.958192 (p = 0.0). Sin embargo la observación del
desempeño de Duncan y Haues indica que no se apegan al estándar.
La gráfica de Evaluadores vs. Estándar proporciona una vista gráfica de cada uno
de los evaluadores vs el estándar, pudiendo comparar fácilmente la determinación
de acuerdos para los cinco evaluadores.
Se puede concluir que Duncan, Hayes y Simpson requieren entrenamiento
adicional.
Método sencillo
Tomar 50 piezas, 40 de las cuales dentro de especificaciones y 10 fuera de
especificaciones
Probarlas con dispositivos “pasa” y “no pasa” por medio de 3 operadores
Si no coinciden todos los operadores en al menos el 90%, los dispositivos o gages
“pasa, no pasa” no son confiables
Página 247
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7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS
7.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO
Se ha estado utilizando para calificar los lotes de proveedores, sin embargo ha
estado siendo desplazado por métodos preventivos como el CEP y el diseño de
experimentos.
Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una muestra y se evalúan algunas
de las características del producto, en base a los resultados se toma una decisión
sobre la disposición del lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o
rechazados para que el proveedor tome acciones.
Hay 3 aspectos importantes del muestreo:
1. Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote.
2. No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o
rechazan lotes.
3. Sirven como herramienta de auditoría para segurar que la calidad de un lote
esté de acuerdo a especificaciones.
Existen 3 alternativas para calificar un lote:
1. Aceptar sin inspección.Con proveedores confiables.
2. Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos.
3. Realizar un muestreo de aceptación.
La aceptación por muestreo es más util en las situaciones siguientes:
1. Cuando las pruebas son destructivas.
2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto.
3. Cuando la inspección 100% es muy tardada.
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4. Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de
defectos baja, que haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar
productos defectuosos.
5. Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es
baja.
6. Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos.
7.1.1 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO
Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes:
1. Es más barato, requiriendo menos inspección.
2. Existe un menor manejo de producto o menor daño.
3. Se aplica a pruebas destructivas.
4. El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al
proveedor a mejorar su calidad.
El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas:
1. Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos.
2. La información que se genera respecto al producto o proceso es poca.
3. El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la
inspección 100%.
7.1.2 TIPOS DE PLANES DE MUESTREO
Existen diversas clasificaciones de estos planes, una de ellas es la de variables y
atributos. Una característica se expresa en variables si se puede medir, o en
atributos si se califica como “pasa no pasa”.
Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde se
toma una muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada
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dependiendo de los resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta
c productos defectivos.
Un plan de muestreo doble implica que después de tomar una muestra e
inspeccionar, se toma una decisión de (1) rechazar, (2) aceptar o (3) tomar una
segunda muestra, si esto sucede, se combina la información de la primera y de la
segunda para tomar una decisión.
Un plan de muestreo múltiple es una extensión del doble, en el cual más de dos
muestras pueden ser necesarias antes de tomar una decisión. Los tamaños de
estas muestras son más pequeños que en el muestreo doble.
El muestreo secuencial implica la selección de unidades del lote, una por una,
tomando decisiones de aceptar o rechazar el lote después de un cierto número de
unidades.
Se pueden desarrollar planes de muestreo que produzcan resultados similares con
cualquiera de las modalidades anteriores.
7.1.3 FORMACIÓN DE LOTES
Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes:
1. Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas
corridas de producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones
correctivas para lotes mezclados.
2. Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es
más eficiente.
3. Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el cliente,
las partes deben estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos de daño
y permitir la selección de muestra en forma sencilla.
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MUESTREO ALEATORIO
Las muestras deben ser representativas del lote, no deben tomarse sólo partes de
las capas superiores, sino de preferencia numerar las partes con un número y
seleccionar con tablas de números aleatorios o también se puede estratificar el
lote.
7.1.4 GUIA DE APLICACIÓN DE PLANES DE MUESTREO
Un plan de aceptación es el establecimiento del tamaño de muestra a ser usado y
el criterio de aceptación o rechazo para calificar lotes individuales.
Un esquema de aceptación es un conjunto de procedimientos de planes de
aceptación en los cuales se relacionan los tamaños de lote, tamaño de muestra,
criterio de aceptación o rechazo, la cantidad de inspección 100% y de muestreo.
Un sistema de muestreo es un conjunto de esquemas de muestreo. Los
procedimientos de muestreo de aceptación son:
Objetivos
Procedimiento
por atributos
Procedimiento
por Variables
1. Asegurar niveles de calidad Plan específico
Para el consumidor y productor en base a curva OC
Plan específico
en base a curva OC
2. Mantener la calidad en el
objetivo
Sistema de AQL
MIL-STD-105E
Sistema de AQL
MIL-STD-414
3. Asegurar el nivel de
calidad de salida
Sistema de AOQL
de Dodge-Romig
Sistema de AOQL
6. Asegura la calidad no
menor que el objetivo
Planes LTPD de
de Dodge-Romig
Planes LTPD con
prueba de hipótesis.
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Los clientes están enfocados a mejorar la calidad de sus proveedores,
seleccionando a los mejores y trabajando en forma cercana para reducir su
variabilidad, con técnicas de control estadístico del proceso. El muestreo de
aceptación se utiliza mientras se mejora la calidad con el proveedor.
7.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS
Un plan de muestreo simple se define por su tamaño de muestra n y el número de
aceptación c. El tamaño del lote se especifica como N.
Por ejemplo si se tiene el plan:
N=10,000
n=89
c=2
Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para
inspección, si el número de productos defectivos observados en la muestra d es
menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en caso contrario se rechaza.
7.2.1 LA CURVA OC
La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el
lote (Pa o en el eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje
X), mostrando la potencia de discriminación del plan de muestreo.
La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la probabilidad
binomial de encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea:
c
n!
p d (1 p) nd
d 0 d!(n d )!
Pa P{d c)
Página 252
(7.1)
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Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos
prácticos.
Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución
binomial acumulada (opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación:
7.2.2 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN OC
p
Pa =
0.005
0.98968755
0.01
0.939689918
0.02
0.736577576
0.03
0.498482838
0.04
0.304158359
0.05
0.172076864
0.06
0.091869347
0.07
0.046819851
0.08
0.022955079
0.09
0.010886432
Pa
Curva OC
p
Fig. 7.1 Curva característica de operación (OC)
En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación
es de 0.74. Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se
rechazarán 26.
A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de
operación variando tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n
constante y después manteniendo c como constante y variando n.
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Fig. 7.2 Curvas características de operación diversas
Manteniendo n constante y variando c se tiene:
p n = 89, c=0
n = 89 c=1
n = 89, c =2
0.005
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.640109373
0.408820174
0.165623034
0.06647898
0.026432591
0.010408805
0.004058625
0.001566688
0.000598572
0.0002263
0.926389444
0.776345382
0.466448545
0.249467514
0.124453451
0.059165839
0.027115072
0.01206181
0.005231002
0.002218234
0.98968755
0.939689918
0.736577576
0.498482838
0.304158359
0.172076864
0.091869347
0.046819851
0.022955079
0.010886432
c=0, 1, 2
Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene:
p
n = 50, c=2
n = 100, c = 2
n = 200, c = 2
0.005
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.997944456
0.986182729
0.921572252
0.810798075
0.676714004
0.540533123
0.416246472
0.310788561
0.225974275
0.160540491
0.985897083
0.920626798
0.676685622
0.419775083
0.232142624
0.118262981
0.056612777
0.025788541
0.011272803
0.004756131
0.920160568
0.676678695
0.235148136
0.059290946
0.012489138
0.002336294
0.000400477
6.40456E-05
9.66278E-06
1.38543E-06
n=50, 100,200
2
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PUNTOS ESPECIFICOS EN LA CURVA OC
Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel
de calidad aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el
consumidor considera aceptable como promedio, normalmente es la fracción
defectiva que tiene un 95% de ser aceptada ( = 0.95).
Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos
cuando tengan una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo tolerable
en el lote (LTPD), normalmente esta fracción defectiva corresponde a una
probabilidad de aceptación del 10% o rechazo del 90% de las veces. También se
el denomina Nivel de Calidad Rechazable.
CURVAS OC TIPO A y B.
La curva OC tipo A utilizando la distribución hipergeométrica se construye cuando
se tiene un lote aislado de tamaño finito, se utiliza cuando n/N >=0.10.
La curva OC tipo B utiliza la distribución binomial o de Poisson cuando n/N < 0.1,
sin embargo en los niveles donde n/N=0.1 ambas curvas A o B son muy
parecidas.
7.2.3 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO EN BASE A CURVA OC
En este método se especifican 2 puntos por los que debe pasar la curva OC, uno
de ellos tiene coordenadas (p1, 1-) y el otro (p2 , ), con p1 > p2 . Se utiliza el
nomograma Binomial para encontrar los valores de n y c para el plan.
En el nomograma se hacen coincidir con una línea recta el valor de p 1 en el eje
vertical izquierdo con 1- en el eje vertical derecho, y con otra línea recta se hace
coincidir p2 en el eje vertical izquierdo con en el eje vertical derecho. En el punto
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de cruce se encuentra el valor de n y de c del plan de muestreo simple. Ver
nomograma y ejemplo en la página siguiente.
Cuando p1 es igual al AQL y p2 es el LTPD, los puntos correspondientes en la
curva OC se denominan riesgo del productor (1-) y riego del consumidor .
7.2.4 INSPECCIÓN RECTIFICADORA
Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción
correctiva cuando los lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los
selecciona al 100% remplazando los artículos defectivos por buenos. Esta
actividad se denomina inspección rectificadora por su impacto en la calidad de
salida final hacia la planta.
Lotes recibidos
Lotes
Selección 100%
Rechazados
Fracción defectiva 0
Inspección
Fracción defectiva
Lotes de salida
Fracción defectiva
p0
p1<p0
Lotes
Curva OC
Aceptados
Fig. 7.3 Inspección rectificadora (piezas malas reemplazadas)
Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p0 , después de
la actividad de inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán
aceptados y otros serán rechazados. Los lotes rechazados serán seleccionados al
100% por el proveedor remplazando los artículos defectuosos por buenos después
se integran a los lotes que ingresan a la planta obteniéndose una fracción
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defectiva p1 menor a la original, denominada calidad promedio de salida AOQ, en
lotes de tamaño N se tiene:
1. n artículos de la muestra no contienen defectivos.
2. N-n artículos los cuales si el lote se rechazó no contenían defectivos.
3. N-n artículos los cuales si el lote se acepta contienen p(N-n) defectivos.
Así los lotes después del proceso rectificador, contienen un núemro esperado de
defectivos igual a Pap(N-n) con la cual se puede expresar una fracción defectiva
media AOQ como sigue,
AOQ
Pa p( N n)
N
(7.2)
Ejemplo 7.1 Suponiendo que N=10,000, c=2 y que la calidad de
entrada p=0.01.
Como en la curva característica de operación (para n=89, c=2)
cuando p=0.01, Pa = 0.9397, entonces el AOQ es:
AOQ
Pa p( N n) (0.9397)(0.01)(10000 89)
0.0093
N
10000
AOQ 0.93%
en lugar del 1% entrante.
Cuando N es grande respecto al tamaño de muestra n, se tiene,
AOQ Pa p
(7.3)
La curva de AOQ versus p se muestra a continuación:
Página 257
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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CURVA AOQ
Fracción defectiva
p
0.005
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Pa
0.98968755
0.939689918
0.736577576
0.498482838
0.304158359
0.172076864
0.091869347
0.046819851
0.022955079
0.010886432
Pa . P
0.004948438
0.009396899
0.014731552
0.014954485
0.012166334
0.008603843
0.005512161
0.00327739
0.001836406
0.000979779
n=89, c=2
CURVA AOQ
Fracción defectiva
p
Pa
Pa . P
0.005 0.98968755
0.004948438
0.01 0.939689918
0.009396899
0.02 0.736577576
0.014731552
0.03 0.498482838
0.014954485
0.04 0.304158359
0.012166334
0.05 0.172076864
0.008603843
0.06 0.091869347
0.005512161
0.07 0.046819851
0.00327739
0.08 0.022955079
0.001836406
0.09 0.010886432
0.000979779
AOQ
AOQL = 1.55%
0.03
p
p
Fig. 7.4 Curva de calidad de salida promedio (AOQ)
De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ tiene un valor máximo o la
peor fracción defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se denomina límite
Página 258
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de calidad de salida promedio AOQL el cual es aproximadamente 0.0155 o 1.55%
defectivo.
El número promedio de inspección total por lote es ATI, igual a:
ATI n (1 Pa)(N n)
(7.4)
Ejemplo 7.2 Con N=10000, n=89, c=2 y p=0.01. Como Pa = 0.9397
se tiene:
ATI = 89 + (1-0-9397)(10000 – 89) = 687
Siendo
este
el
total
de
piezas
que
en
promedio
se
inspeccionarán por lote, algunas por el cliente (n) y otras
por el proveedor (N-n) en base al plan de muestreo.
Las curvas ATI para diferentes tamaños de lote se muestra a
continuación, para n = 89 y c = 2:
p
Pa
ATI-N=1000
ATI-N=5000
ATI-N=10000
0.005
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.98968755
0.939689918
0.736577576
0.498482838
0.304158359
0.172076864
0.091869347
0.046819851
0.022955079
0.010886432
98.39464177
143.9424844
328.9778285
545.8821346
722.9117347
843.2379767
916.3070247
957.3471157
979.0879231
990.0824602
139.644441
385.1828112
1382.667526
2551.950783
3506.278297
4154.93052
4548.829636
4770.067712
4887.267607
4946.536731
191.20669
686.7332196
2699.779647
5059.536593
6985.486501
8294.546199
9089.4829
9535.968456
9772.492212
9892.104569
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ATI
N=10000
N=5000
N=1000
p
Fig. 7.5 Curvas de número de muestras inspeccionadas promedio
por el cliente y por el proveedor
Los planes de Dodge-Romig minimizan el ATI para un AOQL dado, haciendo más
eficiente la inspección por muestreo.
7.3 MUESTREO DOBLE, MÚLTIPLE Y SECUENCIAL
Estos tipos de muestreo son extensiones del muestreo simple, se pueden diseñar
curvas CO equivalentes.
7.3.1 PLANES DE MUESTREO DOBLE
Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el cual, bajo ciertas
circunstancias, se requiere una segunda muestra para calificar el lote. El plan se
define por los parámetros siguientes:
n1 = tamaño de muestra en la primera muestra.
c1 = criterio de aceptación en la primera muestra.
n2 = tamaño de muestra en la segunda muestra.
c2 = criterio de aceptación en la segunda muestra.
Página 260
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Al aplicar el plan el número de defectivos observados en la primera muestra es d 1
y los defectivos observados en la segunda muestra es d2.
Suponiendo que:
n1 = 50
c1 = 1
n2 = 100
c2 = 3
En la primera muestra de n=50 artículos, se acepta el lote si el total de defectivos
d1 <= c1=1, rechazándose si d1 >c2=3.
Si d1 es igual a 2 o a 3, se toma una segunda muestra de 100 artículos, se
inspecciona y se determina el número de defectivos d2 .
Se acepta el lote si [d1+d2 <= c2=3] y se rechaza en caso contrario.
En ambas muestras la primera y segunda, la inspección se continua hasta
inspeccionar todos los artículos, por eso se denomina inspección completa, el
número promedio de artículos inspeccionados por muestra ASN es,
ASN n1 n2 (1 P1 )
(7.5)
donde P1 es la probabilidad de tomar una decisión en la primera muestra o sea:
P1=P{el lote se acepta en la primera muestra} + P{el lote es rechazado en la
primera muestra}
Si por el contrario la inspección de los artículos se suspende cuando se encuentra
un número de defectivos mayor al criterio de aceptación c 2 y no se inspeccionan
todos los artículos, el método se denomina inspección recortada,
comportamiento de ambos esquemas se muestra a continuación,
Página 261
el
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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ASN
Insp. completa
n = cte.
Insp. recortada
p
Fig.
7.6
Diferencias
en
muestras
inspeccionadas
por
el
cliente promedio con inspección completa y recortada
Por tanto el muestreo doble es más económico que el simple sólo para ciertos
valores de p, ya que si p tiene valores intermedios el ASN es mayor implicando
mayores costos de inspección.
La inspección recortada si es más económica sin embargo proporciona menos
información acerca del lote.
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
Del ejemplo anterior, si Pa es la probabilidad de aceptación, esta se forma con la
probabilidad de aceptación en la primera muestra más la probabilidad de
aceptación en la segunda muestra ya sea usando la distribución binomial o la de
Poisson. O sea:
Pa PaI PaII
(7.6)
PaI P(d1 1 n1 )
(7.7)
PaII P(d1 2 n1 ) xP(d 2 1n2 ) P(d1 3 n1 ) xP(d 2 0 n2 )
(7.8)
Página 262
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Fig.
7.7
Curva
Dr. P. Reyes / Enero 2006
característica
de
operación
bajo
muestreo
doble
Prob.de decidir
p
0.005
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Pa (1º muestra)
Pa (2º muestra)
Pa total
en 1º muestra
0.973868476
0.910564687
0.735771394
0.555279873
0.400481197
0.279431752
0.190003258
0.126493499
0.082712023
0.053238461
Pa
0.023086044
0.060110197
0.082974214
0.055742128
0.027184125
0.01098373
0.003907151
0.001264661
0.00037995
0.000107325
0.99695452
0.970674884
0.818745608
0.611022002
0.427665321
0.290415482
0.193910409
0.12775816
0.083091973
0.053345786
0.975541743
0.928938723
0.876809831
0.908030663
0.971005627
1.021593093
1.04698017
1.052081017
1.046006124
1.035937851
Pa total
Pa
1ª muestra
Pa 2ª muestra
p
DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO DOBLE
Como en el caso del muestreo simple, es frecuentemente necesario diseñar un
plan de muestreo doble tomando como referencia las coordenadas de la curva OC
(p1, 1-) y (p2, ) ya sea con n1=n2 o con n2 = 2n1. Para lo que se emplean las
tablas de Grubbs (ver páginas siguientes).
INSPECCIÓN RECTIFICADORA
Cuando se usa el esquema de inspección rectificadora, la curva AOQ está dada
por,
Página 263
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AOQ
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{PaI ( N n1 ) PaII ( N n1 n2 )}p
N
(7.9)
Asumiendo que todos los defectivos son remplazados por artículos buenos en los
lotes rechazados, la curva de inspección total promedio es,
ATI nPaI (n1 n2 )PaII N (1 Pa )
(7.10)
donde Pa PaI PaII
7.3.2 PLANES DE MUESTREO MÚLTIPLE
Un muestreo múltiple es una extensión del doble, donde pueden requerirse más
de dos muestras para calificar el lote, por ejemplo un plan de 5 etapas es el
siguiente:
Muestra acumulada Número de aceptación
No. Rechazo
20
0
3
40
1
4
60
3
5
80
5
7
100
8
9
Al terminar cada etapa de muestreo, si el número de defectivos es menor o igual al
número de aceptación, se acepta el lote. Si en cualquier etapa el número de
defectivos acumulado excede el número de rechazo, se rechaza el lote, de otra
forma se sigue tomando una siguiente muestra.
Una ventaja que tiene es que el tamaño de muestra es más pequeño que en el
caso del simple o del doble, con una mejor eficiencia de inspección. Sin embargo
es más complejo de administrar.
Página 264
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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7.3.3 MUESTREO SECUENCIAL
Es una extensión de los planes anteriores, aquí se toma una secuencia de
muestras del lote, cuya magnitud será determinada por los resultados del proceso
de muestreo. Si el tamaño del subgrupo inspeccionado en cada etapa es mayor
que uno, se denomina muetreo secuencial de grupo, si es uno, como es nuestro
caso, se denomina muestreo secuencial artículo por artículo, basado en Wald
(1947).
En este caso se tienen 2 líneas, una de aceptación y otra de rechazo, teniendo
como dato las coordenadas de la curva OC (p1, 1-) y (p2, ), las ecuaciones de
las líneas son:
X ACEPTACION h1 sn
(7.11)
X RECHAZO h2 sn
1
k
h1 log
1
h2 log
k
k log
(7.12)
p2 (1 p1 )
p1 (1 p2 )
1 p1
s log
1 p2
k
Ejemplo 7.3 Si p1=0.01, p2=0.06, =0.05, =0.10, se tiene al
substituir valores en las ecuaciones anteriores:
k = 0.80066
h1=1.22
Página 265
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h2=1.57
s=0.028
Por
tanto
las
ecuaciones
de
las
líneas
de
aceptación
y
rechazo son:
XA= -1.22 + 0.028n
Línea de aceptación
XB= 1.57 + 0.028n
Línea de rechazo
Haciendo una tabla de valores donde el número de aceptación
es el entero más próximo menor que o igual a XA y el número
de rechazo es el entero más próximo superior que o igual a XR.
MUESTREO SECUENCIAL
n
Xa
Xr
Xa
Xr
1
-1.192
1.598
-1
2
2
-1.164
1.626
-1
2
3
-1.136
1.654
-1
2
4
-1.108
1.682
-1
2
5
-1.08
1.71
-1
2
6
-1.052
1.738
-1
2
7
-1.024
1.766
-1
2
8
-0.996
1.794
-1
2
9
-0.968
1.822
-1
2
10
-0.94
1.85
-1
2
11
-0.912
1.878
-1
2
12
-0.884
1.906
-1
2
13
-0.856
1.934
-1
2
14
-0.828
1.962
-1
2
15
-0.8
1.99
-1
2
16
-0.772
2.018
-1
3
Página 266
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17
-0.744
2.046
-1
3
18
-0.716
2.074
-1
3
19
-0.688
2.102
-1
3
20
-0.66
2.13
-1
3
21
-0.632
2.158
-1
3
22
-0.604
2.186
-1
3
23
-0.576
2.214
-1
3
24
-0.548
2.242
-1
3
25
-0.52
2.27
-1
3
26
-0.492
2.298
-1
3
27
-0.464
2.326
-1
3
28
-0.436
2.354
-1
3
29
-0.408
2.382
-1
3
30
-0.38
2.41
-1
3
31
-0.352
2.438
-1
3
32
-0.324
2.466
-1
3
33
-0.296
2.494
-1
3
34
-0.268
2.522
-1
3
35
-0.24
2.55
-1
3
36
-0.212
2.578
-1
3
37
-0.184
2.606
-1
3
38
-0.156
2.634
-1
3
39
-0.128
2.662
-1
3
40
-0.1
2.69
-1
3
41
-0.072
2.718
-1
3
42
-0.044
2.746
-1
3
43
-0.016
2.774
-1
3
44
0.012
2.802
0
3
45
0.04
2.83
0
3
46
0.068
2.858
0
3
Página 267
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En este caso no se puede tomar una decisión de aceptación
hasta que hayan
transcurrido las suficientes muestras, que
hagan que la línea de aceptación tenga valores positivos en
Xa, 44 en este caso, y no se puede rechazar hasta en la 2ª.
Muestra.
No. de
defectos
acumulados
Línea de
aceptación
3
Línea de
Rechazo
2
1
0
20
40
60
Número de
muestras
-1
Fig. 7.8 Comportamiento del muestreo secuencial
CURVA OC y ASN
Para esta curva se incluyen 3 puntos, (p1, 1-), (p2, ) y el punto medio de la curva
en p=s y Pa = h2 /(h1+h2).
Las muestras inspeccionadas promedio son:
B
A
ASN Pa (1 Pa )
C
C
Donde,
A log
B log
(7.13)
1
1
Página 268
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p
1 p2
C p log 2 (1 p) log
p1
1 p1
INSPECCIÓN RECTIFICADORA
La calidad media de salida AOQ Pap y el número promedio de muestras
inspeccionadas total es:
A
ATI Pa (1 Pa ) N
C
(7.14)
Página 269
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7.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859)
DESCRIPCIÓN DE LA NORMA
Esta norma se desarrolló durante la segunda guerra mundial emitiéndose en 1950
con la versión A. La versión D se publicó en 1963 y en 1971 fue adoptada por la
ANSI con pequeños cambios como la Z1.4 y en 1973 fue adoptada por la ISO
como la norma ISO 2859. En 1989 se liberó la versión E.
La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes):
-
Muestreo simple.
-
Muestreo doble.
-
Muestreo múltiple
En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones:
-
Inspección normal.
-
Inspección estricta.
-
Inspección reducida.
Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa
mala calidad del proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del
proveedor es buena, reduciendo los tamaños de muestra.
El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1%
y 10%), negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL
para defectos mayores es de 1%, 2.5% para defectos menores y 0% para
defectos críticos. Cuando se utiliza para planes de defectos por unidad se
tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000 defectos por
cada 100 unidades, los noveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto
para controlar fracción defectiva como defectos por unidad.
Página 270
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del
lote y por la selección del nivel de inspección. Se proporcionan tres niveles
de inspección, donde el nivel II se considera normal; el nivel I requiere
alrededor de la mitad de la inspección del nivel II y se usa cuando se
requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del doble de
inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más discriminación. Hay
también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos
usan tamaños de muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los
riesgos grandes del muestreo sean aceptables.
Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el
estándar MIL-STD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se
utilizará conforme el proveedor produzca productos con calidad AQL o
mejor. También proporciona un mecanismo de cambio de cambio
a
inspección estricta o reducida como se ilustra en la figura y se describe a
continuación.
1.
Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta
se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido
rechazados.
2.
Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal
se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados.
3.
Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección
reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes:
a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal.
b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes
precedentes es menor o igual a el número límite aplicable del estándar.
Página 271
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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c. La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores.
d.
La inspección reducida se considera adecuada por la función
responsable de la inspección por muestreo.
4.
Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección
normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones
siguientes:
a. Un lote es rechazado.
b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación
o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el
próximo lote.
c. La producción es irregular o se retarda en entregas.
d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal.
5.
La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección
estricta y el proveedor tome acciones para mejorar su calidad.
PROCEDIMIENTO
Los pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente:
1. Negociación del AQL (cliente – proveedor).
2. Decisión del nivel de inspección.
3. Determinación del tamaño del lote.
4. Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente
al tamaño del lote y el nivel de inspección.
5. Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble,
múltiple).
6. Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se
encuentran en el apéndice).
Página 272
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7. Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran
hacer cambios.
Ejemplo 7.4
Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de
inspección:
1. La tabla I indica la letra código K.
2. La tabla II-A para inspección normal indica el plan de
muestreo n=125 y c=2.
3. La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de
muestreo n= 125, c=1.
La flecha descendente cambia la c, la letra de código y el
tamaño
de
muestra,
lo
mismo
para
la
ascendente.
Por
ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será cambiado a letra G
con tamaño de muestra 32 en lugar de 20.
Para el caso de muestreo doble con los datos anteriores, la
letra código es K y de las III-A, III-B y III-C se obtienen
los
planes
de
inspección
normal
(n1=
n2=80,
c1a=0,
cir=3,
c2a=3), estricta (mismas que n1 y n2, c1a=0, cir=2, , c2a=1,
c2r=2) y reducida (n1= n2=32, c1a= c2a=0, c2r=3, c2r=4).
DISCUSIÓN
Todas las curvas OC son tipo B, también se proporcionan curvas para el ASN y
datos del AOQL.
El estándar MIL-STD-105E está orientado al AQL, se enfoca al lado de riesgo del
productor de la curva OC, la parte restante de la curva depende de la selección
Página 273
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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del nivel de inspección. Los tamaños de muestra seleccionados son 2, 3, 5, 8, 13,
20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 800, 1250 y 2000.
Si se grafica el tamaño medio del rango de lotes contra el logaritmo del tamaño de
muestra se obtiene una recta hasta n=80 y después una recta con una pequeña
pendiente. Como la razón de N a n es decreciente conforme aumenta N se
economiza en la inspección.
El estándar civil ANSI/ASQC Z1.4 o ISO 2859 es la contraparte del estándar MILSTD-105E, difiriendo en que:
1. Se usa el término “No conforme” o “no conformancia” o “porcentaje no
conforme”.
2. Cambian ligeramente las reglas de cambio agregándose una opción para
inspección reducida sin el uso de números límite.
3. Se agregan varias tablas que muestran el desempeño de los planes, como el
AOQL, fracciones defectivas para Pa = 0.1 y Pa = 0.95, curvas de ASN y OC.
4. Hay una descripción detallada de los planes de muestreo simples.
5. Se proporciona un esquema ilustrando las reglas de cambio en inspección.
7. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920)
Desarrollaron dos tipos de planes usando inspección rectificadora:
1. Planes para el porcentaje defectuoso tolerable en el lote LTPD y
2. Los que proporcionan un límite de la calidad máxima promedio de salida
AOQL especificado.
Los planes anteriores basados en AQL no son adecuados para el caso del
ensamble de productos complejos. La tabla siguiente muestra la fracción defectiva
en ppm dependiendo del AQL “aceptable”.
Página 274
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
AQL
ppm
10%
100,000
1%
10,000
0.1%
1,000
0.01%
100
0.001%
10
0.0001%
1
Ejemplo 7.5
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Un equipo que tiene 100 componentes y que sus
componentes tienen en promedio un AQL = 0.5% , por tanto la
probabilidad de que el equipo trabaje es de:
P( función_ adecuada) (0.995)100 0.6058
Por tanto es obvio que se requieran planes de protección del LTPD, aun cuando
el AQL sea muy bajo. Para esto se utilizan los planes de Dodge-Romig
principalmente para inspección de sub-ensambles.
Los planes de Dodge-Romig de AOQL y LTPD están diseñados para minimizar la
inspección total promedio (ATI).
Para ambos se tiene una tabla de muestreo doble y simple. Son útiles cuando el
rechazo medio del proceso es bajo (alrededor de 100 ppm).
7.5.1 PLANES DE AOQL
Las tablas de Dodge-Romig (1959) tienen planes para valores de AOQL de 0.1%,
0.25%, 0.75%, 1%, 1.5%, 2.5%, 3%, 4%, 5%, 7% y 10% en cada una se
especifican seis valores para medias de proceso. Se tienen planes para muestreo
simple y doble.
Página 275
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
Ejemplo 7.5
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De la tabla para AQOL=3%;
para N= 5,000, AOQL=
3% y la fracción disconforme del proveedor del 1%.
De la tabla 13.21 se obtiene n=65, c=3, LTPD=10.3%. Da una
seguridad del 90% de que serán rechazados los lotes que
tengan desde un 10.3% defectuoso.
Suponiendo que los lotes recibidos tengan un promedio de 1%
de defectivo y la probabilidad de aceptación sea Pa=0.9957,
se tiene:
ASN= n + (1-Pa)(N-n)= 65 +(1-0.9957)(5000-65)=86.22.
De
esta
forma
se
inspeccionarán
86
partes
del
lote
en
promedio.
7.5.2 PLANES DE LTPD
Se diseñaron de tal forma que la probabilidad de aceptación del LTPD sea 0.1. Se
proporcionan tablas para valores de LTPD de 0.5%, 1%, 2%, 3%, 4%, 5% 7% y
10%.
Ejemplo 7.6
Suponiendo N=5,000
defectivos del
con fracción promedio de
proveedor de 0.25% de productos no conformes
y el LTPD=1%.
De la tabla 13.23, el plan obtenido es n=770 y c=4, si los
lotes rechazados son seleccionados al 100% y los artículos
defectuosos
se
reemplazan
por
AOQL=0.28%.
Página 276
artículos
buenos,
el
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Cuando el promedio del proceso es mayor que la mitad del LTPD, la inspección
100% es mejor económicamente.
ESTIMACIÓN DEL PROMEDIO DEL PROCESO
La utilización de los planes de Dodge-Romig depende del conocimiento de la
fracción promedio no conforme del proveedor.
Se puede estimar la fracción
defectiva promedio del proceso por medio de carta de control p para los primeros
25 lotes del proveedor, con las causas especiales eliminadas y el proveedor haya
tomado acciones para prevenir su reincidencia.
Página 277
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
La principal ventaja del muestreo por variables es que se puede obtener la misma
curva característica de operación con tamaño de muestra menor que el que
requeriría un plan por atributos. Otra ventaja es que los datos por variables
proporcionan más información del proceso que los atributos. Cuando los AQLs
son muy pequeños (del orden de ppm), el tamaño de muestra requerido en el caso
de muestreo por atributos es muy grande y por variables muy pequeño. Cuando la
inspección es del tipo destructivo, los planes por variables si se aplican son más
económicos.
Como desventajas se tienen el probable alto costo de las mediciones versus
juzgar por atributos, a pesar de que el tamaño de muestra sea menor y que es
necesario un plan de muestreo para cada característica importante del producto.
Se debe conocer la distribución de la característica de calidad, la cual debe ser
normal ya que de otra forma se pueden cometer errores en la aplicación del plan
de muestreo por variables. Esto es más crítico cuando las fracciones defectivas
son muy pequeñas.
En la figura de la página siguiente se muestran las diferencia para varias
distribuciones. Si la distribución no es normal se puede diseñar un plan si se
puede determinar la fracción defectiva a partir de la media y la desviación estándar
de esa distribución.
Los planes especifican el número de artículos a muestrear en los cuales se hacen
mediciones en la característica de calidad seleccionada, y el criterio de aceptación
de esos lotes.
Página 278
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Una comparación entre los diferentes tipos de muestreo se da a continuación,
considerando una p1 = 0.01, p2 = 0.08, = 0.05 y = 0.10:
Tipo de muestreo
n ó ASN
1. Muestreo simple por atributos
n = 67.
2. Muestreo doble por atributos
ASN en p1 = 45
3. Muestreo múltiple por atributos
ASN en p1 = 41
6. Muestreo simple por variables,
n=27
sigma desconocida, método de s
7. Muestreo simple por variables
n=10
Sigma conocida
Como se observa, si la distribución es normal y la desviación estándar es
conocida, el costo de muestreo por variables es menor.
TIPOS DE PLANES DE MUESTREO
Existen dos tipos de planes de muestreo por variables, los que controlan la
fracción defectuosa del lote y los que controlan un parámetro del proceso tal como
la media.
8.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA
Como la característica de calidad es una variable, siempre existirá ya sea un límite
de especificación inferior LIE, límite de especificación superior o ambos, que
definan los valores aceptables de esa característica.
Página 279
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Considerando una característica de calidad x normalmente distribuida y un límite
inferior de especificaciones LIE, la fracción defectiva p es función de la media del
lote y su desviación estándar .
Asumiendo que la desviación estándar del proceso es conocida, se desea tomar
una muestra del lote para determinar si o no el valor de la media es tal que la
fracción defectiva p es aceptable. Para esto se tienen dos métodos.
p
__
LIE
X
x
Fig. 8.1 Bases del muestreo por variables
Procedimiento 1.
Tomando una muestra aleatoria de n artículos del lote y calculando el estadístico
Z LIE
X LIE
(8.1)
ZLIE expresa justamente la distancia entre la media X de la muestra y el límite
inferior de especificación LIE, entre mayor sea su valor, la media X de la muestra
estará más alejada del LIE y en consecuencia menor será la fracción defectiva p.
Si hay un valor crítico p que no deba ser excedido con una probabilidad
establecida, se puede traducir el valor de p en una distancia crítica por decir k para
ZLIE. De esta forma si ZLIE <= k, se aceptará el lote ya que automáticamente la
Página 280
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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fracción defectiva p es satisfactoria, en caso contrario la fracción defectiva p es
mayor que la aceptable y se rechazará el lote.
Ejemplo 8.1
Z LIE
Si =100, =10 y LIE= 82:
X LIE
82 100
1.8
10
Donde (-1.8) = 0.0359 o sea el 3.59% defectuoso.
Se sigue el mismo procedimiento para el caso de tener un límite superior de
especificación unilateral LSE.
Z LSE
LSE X
(8.2)
Cuando se tiene un solo límite de especificación, la relación entre Z y la fracción
defectiva (p) es:
p
Zs ó Zi
0.25
0.6745
0.20
0.8416
0.15
1.0364
0.10
1.2816
0.05
1.6449
0.02
2.0537
0.01
2.3263
Página 281
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Procedimiento 2.
A partir de una muestra sencilla de tamaño n del lote, se calcula Z LIE o
QLIE Z LIE n /(n 1) (más exacto) y se estima la fracción defectiva p como
el área bajo la curva normal debajo de ZLIE, si esta fracción estimada p,
excede un valor máximo M, se rechaza el lote, de otra forma se acepta.
Para el caso de límites bilaterales se calculan ambos QLIE y QLSE.
QLIE
X LIE
n /(n 1)
(8.3)
QLSE
LSE X
n /(n 1)
Se estiman las fracciones defectivas P(QLIE) y P(QLSE) de la tabla mostrada
en el apéndice para estimar las fracciones defectivas pI y pS, si la suma de
ambas fracciones defectivas no excede al valor máximo permitido M se
acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote.
Cuando la desviación estándar es desconocida, se puede estimar de la
desviación estándar de la muestra s, remplazando en las fórmulas
anteriores a por s.
8.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES CON
UNA CURVA CO ESPECÍFICA
Para diseñar un plan de muestreo por variables usando el procedimiento 1, el
método de k, que tiene una curva OC especificada por dos puntos (p 1, 1-), (p2, )
Página 282
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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donde p1 y p2 son las fracciones defectivas que corresponden a niveles de calidad
aceptables y rechazables respectivamente se utiliza un nomograma.
L. J. Jacobson propuso un nomograma mostrando dos escalas diferentes (ver
página siguiente), para estimar n y k con sigma conocida y sigma desconocida.
Utilizando este nomograma podemos obtener la curva característica de operación
CO, cambiando los valores de las fracciones defectivas p y hallando sus
probabilidades de aceptación si se mantiene fijo n y k.
Ejemplo
8.2
Un
embotellador
ha
establecido
que
la
resistencia mínima para una botella de plástico sea de LIE=
225 psi, si a lo más el 1% no pasa el límite, se aceptará el
lote con una probabilidad del 95% (p1=0.10 y 1-= 0.95),
mientras que
si el 6% o más están abajo del límite, el
embotellador rechazará el lote con una probabilidad de 90%
(p2=0.06, = 0.10).
Para hallar el plan de muestreo por variables n, k, se traza
una línea que une a el punto 0.01 en la escala de fracción
defectivas con el punto 0.95 en la escala de probabilidad de
aceptación. Después se traza una línea similar que conecta
los puntos p2 = 0.06 y Pa=0.10, en la intersección de esas
k=1.9 y n=40 para desconocida (siguiendo la
líneas se lee,
línea curveada) o n=15 (bajando una línea perpendicular) para
conocida.
a) Procedimiento 1
Si se desconoce la desviación estándar, se toma una muestra
aleatoria
de
n
=
40
piezas
calculando
desviación estándar s, se calcula ahora:
Página 283
la
media
y
la
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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X LIE
Z LIE
Si ZI k = 1.9 se acepta el lote, de otra forma se rechaza.
Si se conoce la desviación estándar, la n pasa de 40 a 15 con
menos costos, al bajar en forma perpendicular en el punto de
intersección hacia la escala de n.
b) Procedimiento 2.
Una vez obtenidas n
40 y k = 1.9, se obtiene el valor de M
del nomograma de la fig. 14.3,
La abscisa se calcula como sigue (con n = 40 y k = 1.9):
1
k n
1 1.9 40
0.35
2 2(n 1) 2 2(39)
Esto indica que M = 0.30.
Por ejemplo si
se toma una muestra de n=40 partes y se
observa que la media de la muestra X 255 y s = 15, el valor
de ZLIE es:
Z LIE
de
las
X LIE 225 225
2
s
15
tablas
para
fracción
defectiva
al
final
de
este
capítulo se obtiene una p = 0.020, y siendo que es menor que
M = 0.030, se acepta el lote.
Página 284
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Para límites bilaterales se obtienen ambas p i y ps en base a Zi y Zs, si pi + ps M
se acepta el lote, si no se cumple lo anterior, el lote se rechaza.
8.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993
Originalmente se emitieron las tablas MIL-STD-414 sin embargo posteriormente
fueron homologadas con las tablas MIL-STD-105E (incluyendo inspección normal,
reducida y estricta y concordancia en las letras código de los planes para cada
AQL) para su uso en la industria dando lugar a las tablas Z1.9 de la ASQC.
Se enfoca al AQL (entre 0.1% a 10%) con cinco niveles generales de inspección
(el normal es el II), el nivel III tiene una curva más abrupta que el nivel II. Se
pueden usar niveles más bajos (S3 S4) para reducir costos muestrales si se
toleran riesgos mayores.
Tiene la siguiente organización:
Variabilidad
Desconocida
Método de S
Variabilidad
Conocida
Especificación
Unilateral
Especificaciones
Bilaterales
Procedimiento 1
(Método de k)
Procedimiento 2
(Método de M)
Procedimiento 2
(Método de M)
Fig. 8.2 Organización del muestreo por variables
Tienen 4 secciones:
Página 285
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A. Descripción general, con definición de términos, código de letras de tamaño de
muestra, y curvas OC de los planes.
B.
Planes basados en la desviación estándar de la muestra con sigma del
proceso desconocida.
C. Planes basados en la amplitud de la muestra con sigma desconocida (ya
descontinuado).
D.
Planes basados en la media de la muestra cuando se conoce la sigma del
proceso.
USO DE LAS TABLAS
Las tablas se encuentran en el apéndice y su uso se ilustra con un ejemplo:
Ejemplo 8.4
Para el caso del embotellador: Si el límite
inferior LIE = 225 psi, suponiendo que el nivel de calidad
aceptable en este límite es AQL = 1% y que las botellas se
embarcan en lotes de N = 100,000, con sigma desconocida se
tiene:
Procedimiento 1.
1. En la tabla A-2 se identifica el código de letra, en este
caso, la N:
2. En la tabla B-1 se determina la n y k en este caso con la
letra N y AQL= 1.00 negociado entre proveedor y cliente,
se obtiene k = 2.03. Para el caso de inspección severa
(escala inferior) k = 2.18. Para el caso de inspección
reducida k = 1.8 de la tabla B-2.
3. En la tabla B-3 se determina M en el renglón de N y
columna de AQL= 1% obteniéndose M= 2.05%. Para inspección
severa M = 1.42%. Para inspección reducida, de la tabla B4 se obtiene k = 3.44%.
Página 286
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
4.
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La inspección estricta se usa cuando 2 de 5 lotes han
sido rechazados
5.
La
inspección
reducida
se
usa
cuando
los
10
lotes
anteriores se han aceptado y su fracción defectiva estimada
es menor que un límite inferior especificado y la producción
es estable.
6.La tabla B-6 se usa para obtener la desviación estándar
máxima que
se debe obtener en
la muestra con
base a la
tolerancia. Si el valor de s excede este valor, se rechaza el
lote.
Nota:
Es posible pasar de planes de muestreo con sigma desconocida a planes con
sigma conocida con menor n si se demuestra estabilidad en una gráfica X -s para
los lotes (al menos para 30). Los planes específicos para este tipo de planes se
deben consultar en el estándar.
EJEMPLOS TOMADOS DEL ESTANDAR Z1.9-1993
8.3.1 VARIABILIDAD DESCONOCIDA – MÉTODO DE LA
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
B1. Plan de muestreo para límite especificación unilateral. Forma 1
a) De la tabla A2 seleccionar la letra código de función del tamaño del lote y el
nivel de inspección.
b) Usar tablas B1 (normal y estricta) y B2 (reducida) para obtener el plan.
n
- tamaño de muestra.
K
- constante de aceptabilidad
c) Obtener mediciones de muestras , calcularX y s.
d) Criterio de aceptación.
LSE
- Límite superior de especificación.
Página 287
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LIE
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- Límite inferior de especificación.
Comparar (LSE – X) / s ó (X– LIE) / s con k.
Si es mayor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.
Ejemplo 8.5
La máxima temperatura de operación es de 209ºF.
Un lote de 40 artículos se inspecciona, tomando AQL = 1%,
nivel II.
Solución.
a) De tabla A2, se selecciona la letra D.
b) De la tabla B1, n = 5, k= 1.52
c) Suponiendo lecturas 197º, 188º, 184º, 205º y 201º.
X= 195 , s = 8.8
d) ( LSE - X ) / s = (209 – 195) / 8.8 = 1.59
e) 1.59 > k por tanto se acepta el lote.
B5- Usando la forma 2
a) Usar tablas B3 ( normal y estricta) y B4 (reducida) y obtener el plan de
inspección, n y M Porcentaje máximo de no conformes.
b) Obtener mediciones de muestras, calculandoX y s.
c) Criterio de aceptación.
Calcular el índice de calidad QS= (LSE - X ) / s
QI= (X – LIE ) / s
En tabla B5 entrar con QU o QL para encontrar porcentaje estimado no conforme
PS o PI.
Comparar PS o PI con M , si es igual o menor se acepta el lote, se rechaza en
caso contrario.
Página 288
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Ejemplo 8.6 De lo anterior; X = 195 ; s = 8.8
a) De la tabla B3 se obtiene M = 3.33% para letra D, n = 5 y
AQL = 1%.
b) De la taba B5 con QS= 1.59 se obtiene PS = 2.19%
c) Como PS M se acepta el lote.
B8. Plan de muestreo para doble límite de especificación.
a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.
b) Obtener el plan n y M de tabla B3 y B4. Si se especifican diferentes AQL´s
para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme
para cada límite MI y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites,
designar el nivel máximo de porcentaje no conforme por M.
c) Obtener mediciones del muestreo.
d) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) / s y QL =( X – LIE ) /s
e) De tabla B5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n.
Pestimada= PI + PS
f)
Comparar Pest. Con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario
se rechaza.
Nota: Cuando hay diferente AQL para cada límite:
Aceptar si PI MI y PS MS y P = PI + PS mayor (MS, MI)
Ejemplo 8.7 Se inspecciona un lote de 40 muestras con nivel
de inspección II, inspección normal y en base a temperaturas
_
de
los
ejemplos
anteriores,
n
=
5,
X=
195;
s=
8.8;
considerando LIE= 180F; LSE= 209F; AQL= 1% donde de tabla
B-3 M = 3.32%
QS=
209 180
1.59 ; PS = 2.19% (de tabla B-5)
8 .8
Página 289
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QI=
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195 180
1.704; PI = 0.66% (de tabla B-5)
8 .8
por tanto
la fracción defectiva total es de
p = 2.85%
Como P < M se acepta el lote.
Ejemplo 8.8
Si el AQLS= 1% y AQLI= 2.55% de tabla B3,
MS= 3.32% , MI=9.8%
a) PS= 2.19% ; PI= 0.66% P = 2.85%
b) Comparando PS MS ;
PI MI y P
MI
Se acepta el lote.
8.3.2 VARIABILIDAD CONOCIDA
D.1 Sólo un límite de especificación. Forma 1.
Usar tabla D1 y D2 para obtener n y k
Ejemplo 8.9
inspección.
inspección
Se toma un lote de 500 artículos para
LIE=
58,000
Normal.
AQL=
psi.
1.5%.
N=
La
500,
nivel
variabilidad
II,
es
conocida con valor 3,000 psi
a) de tabla A2, se identifica la letra I y de tabla D1
obtenemos n = 10
Valores de muestra
62,500;
60,500;
68,000;
59,000;
65,500
62,000; 61,000; 96,000; 58,000; 64,500.
a) Cálculo de X= 63,000 ; ( X – LIE) / = 1.67
b) De tabla D1 ; k = 1.7
c) Comparando (
X – LIE)/ < k y el lote se rechaza.
Página 290
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D.5 Usando la forma 2.
a) Usar tablas D3 y D4 obteniendo n, M y V
b) Calcular QS= (LSE - X) V / y QL=( X – LIE) V /
c) Usando tabla D5 estimar PS y PI
d) Comparar D= PS + PI M para aceptabilidad
Ejemplo 8.10
Sea LIE= 58,000 psi; tamaño del lote 500
artículos;AQL = 1.5%; Inspección nivel II, normal. De
_
los datos anteriores se obtuvo
X = 63,000; n = 10 ; =
3,000. De tabla A-2 se obtiene la letra I.
a) Obtención en tabla D3 de n, M y V como 10, 3.63%, 1.054
respectivamente.
b) Cálculo de QL =(63,000 - 58,000) * 1.054 / 3,000 = 1.756
c) Determinar
PL de tabla D5 con QL= 1.756 es 3.92%
Como PL > M se rechaza el lote.
D9. Plan de muestreo para doble límite de especificación
a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.
b) Obtener el plan n, el factor v y el porcentaje máximo aceptable M de tabla D3 y
D4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación,
obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite M I y MS. Si se
asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje
no conforme por M.
c) Obtener mediciones del muestreo en n partes.
d) Calcular la media de los datos.
e) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) v / y QL =( X – LIE ) v /
f) De tabla D-5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n.
Pestimada= PI + PS
Página 291
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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Ejemplo 8.11 La especificación para una colada de acero es de
67,000 y 58,000 psi respectivamente. Un lote de 500 artículos
se somete a inspección. El nivel de inspección es II,
inspección normal con AQL = 1.5%. La variabilidad conocida
con valor 3,000 psi.
a) De tabla D-3 se obtuvo n = 10, v = 1.054, M = 3.63%
_
b) De las mediciones de las 10 muestras se obtuvo X 63,000
c) Los índices QS con QL son respectivamente 2.459 y 3.162 con
fracciones estimadas defectuosas 0.697% y 0.078% de la
tabla D-5.
d)
Como la fracción defectiva total no excede el valor de M =
3.63%, se acepta el lote.
NOTA: Comparar Pestimada con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso
contrario se rechaza.
8.3.3 DISCUSIÓN DE LA NORMA ASQC Z1.9 e ISO 3951 (1981)
Una consideración muy importante en el uso de las normas es que la
población de donde se obtienen las muestras debe ser normal. Es más crítico
para pequeños valores de AQL.
Es muy importante realizar pruebas de normalidad en los extremos de la
distribución para asegurar que la norma Z1.9 es aplicable sin modificaciones.
Los ajustes que se hicieron en la norma ASQC Z1.9 (1980) e ISO 3951 (1981)
son:
1. Los rangos de tamaño de lotes se ajustaron para corresponder con la MILSTD-105E por atributos.
Página 292
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2. Se ordenaron las letras código para tener la misma protección que con la MILSTD-105E.
3. Los niveles de inspección originales I, II, III, IV y V se denominaron S3, S4, I, II
y III.
4. En la ISO 3951 se eliminaron los planes que consideran a los rangos en vez
de las desviaciones estándar.
5. En la ISO 3951 y en la Z1.9 se eliminaron los AQLS de 0.04, 0.065 y 15%.
6. Cambios en las reglas de transferencia.
Se adoptan las mismas reglas que en la 105E para el paso de inspección
normal a severa y viceversa con ligeras modificaciones.
La norma Z1.9 permite el paso de inspección normal a reducida si:
10 lotes en inspección normal fueron aceptados.
La producción es continua.
La inspección reducida es aprobada.
La ISO 3951 permite el paso a inspección reducida si 10 lotes sucesivos han
sido aceptados y:
El AQL es un paso menor.
El proceso está bajo control estadístico.
La inspección reducida es aprobada.
7. La ISO 3951 permite el paso de un método de sigma desconocida a sigma
conocida, utilizando como sigma el valor promedio estimado en la carta de
control estable con al menos 30 subgrupos. Requiriendo la continuación de la
carta s o R.
Su ventaja principal es que se puede iniciar con un esquema de muestreo por
atributos con la MIL-STD-105E, obtener información suficiente y después cambiar
a un esquema por variables manteniendo la misma combinación de letra para el
AQL.
Es muy importante una prueba de normalidad a partir de los datos variables de
cada lote.
Página 293
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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8.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES
8.4.1 ASEGURAMIENTO DE LA MEDIA DEL PROCESO
Los planes de muestreo por variables también pueden utilizarse para asegurar la
calidad media de un material en lugar de su fracción defectiva. El método general
que aquí se emplea es el de prueba de hipótesis, lo cual se ilustra con un
ejemplo.
Ejemplo 8.12
Se considera aceptable un lote si tiene menos
de 0.3 ppm de emisiones de formaldeído en maderas. Se diseña
un plan de muestreo con una probabilidad de aceptación del
95% si las emisiones son en promedio de 0.3 ppm, y los lotes
con un 0.4 ppm tengan una probabilidad de aceptación del
10%. Si por experiencia se sabe que la desviación estándar
es 0.10 ppm, se tiene:
Si X
A
es la media muestral debajo de la cual se aceptará el
lote, está normalmente distribuida y tiene una probabilidad
de 0.95 de aceptación, entonces,
X A 0.3
n
X A 0.3
1.645
0.1
n
(8.4)
En forma similar si los lotes que tienen un nivel de emisión
de 0.40 ppm tienen una probabilidad de 0.10 de aceptación,
entonces,
Página 294
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
X A 0.4
n
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X A 0.4
1.282
0.1
n
resolviendo para X
X
A
A
= 0.355
(8.5)
y n se obtiene:
n= 9
MUESTREO SECUENCIAL POR VARIABLES
Similar al de atributos graficando la suma acumulada de las mediciones de la
característica de calidad. Las líneas para aceptación del lote, rechazo del lote y
continuación del muestreo se construyen en forma similar a las de atributos (ver
Duncan 1986).
Página 295
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APÉNDICES
Página 296
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FORMULAS DE CARTAS DE CONTROL
CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES
CARTAS Xbarra-R
Límites de control para medias n =5
LSC = X + A2 R
LIC = X - A2 R
Límites de control para rangos n=5
LSC = D4 R
LIC =
D3 R
CARTAS Xbarra-S
Límites de control para medias
LSCx = X + A3 S
LCx = X
LICx = X - A3 S
Límites de control para desviaciones estándar
LSCs = B4 S
LCs = S
LICs = B3 S
CARTAS I-MR de valores individuales
Para los valores individuales n=2
LSCx = X 3
MR
d2
Página 297
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__
LCx
X
=
LICx = X 3
MR
d2
Para el caso del rango se usan las mismas de la carta Xbarra-R con n=2
CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
CARTA p
pi
Di
ni
m
p
Di
i 1
mn
m
p
i 1
i
m
__
__
p(1 p )
LSCp = p 3
n
__
__
LCp = p
__
__
p(1 p )
LICp = p 3
n
__
CARTAS np
LSCnp np 3 np(1 p)
LCnp np
LICnp np 3 np(1 p)
CARTAS c
LSCc = c + 3
c
Página 298
CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO
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LCc = c
LICc = c - 3
c
CARTAS u
u
c
n
Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un
conjunto de datos preliminar
LSCu u 3
u
n
LCu u
LSCu u 3
u
n
.
Página 299
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TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL
Las constantes para límites de control en las cartas X-R son:
n
A2
D3
D4
d2
2
1.880
0.000
3.267
1.128
7
1.023
0.000
2.574
1.693
8
0.729
0.000
2.282
2.059
5
0.577
0.000
2.115
2.326
6
0.483
0.000
2.004
2.534
7
0.419
0.076
1.924
2.704
8
0.373
0.136
1.864
2.847
9
0.337
0.184
1.816
2.970
10
0.308
0.223
1.777
3.078
Las constantes para límites de control en las cartas X-S son:
n
c4
A
A3
B3
B4
B5
B6
5
0.9400
1.342
1.427
0
2.089
0
1.964
6
0.9515
1.225
1.287
0.030
1.970
0.029
1.874
7
0.9594
1..134 1.182
0.118
1.882
0.113
1.806
8
0.9650
1.061
1.099
0.185
1.815
0.179
1.751
9
0.9693
1.000
1.032
0.239
1.761
0.232
1.707
10
0.9727
0.949
0.975
0.284
1.716
0.276
1.669
11
0.9754
0.905
0.927
0.321
1.679
0.313
1.637
12
0.9776
0.866
0.886
0.354
1.646
0.346
1.610
13
0.9794
0.832
0.850
0.382
1.618
0.374
1.585
14
0.9810
0.802
0.817
0.406
1.594
0.399
1.563
15
0.9823
0.775
0.789
0.428
1.572
0.421
1.544
16
0.9835
0.750
0.763
0.448
1.552
0.440
1.526
17
0.9845
0.728
0.739
0.466
1.534
0.458
1.511
18
0.9854
0.707
0.718
0.482
1.518
0.475
1.496
19
0.9862
0.688
0.698
0.497
1.503
0.490
1.483
20
0.9869
0.671
0.680
0.510
1.490
0.504
1.470
21
0.9876
0.655
0.663
0.523
1.477
0.516
1.459
22
0.9882
0.640
0.647
0.534
1.466
0.528
1.448
23
0.9887
0.626
0.633
0.545
1.455
0.539
1.438
24
0.9892
0.612
0.619
0.555
1.445
0.549
1.429
25
0.9896
0.600
0.606
0.565
1.435
0.559
1.420
Página 300
.
