Amortiguación Sólida

Elementos amortiguadores
En muchos sistemas prácticos, la energía de vibración es gradualmente convertida en calor o
sonido. Debido a la reducción de la energía, el desplazamiento del sistema, ve decreciendo
gradualmente. El mecanismo por el cual la energía de vibración es convertida en calor o sonido es
conocido como amortiguamiento. En muchos sistemas la energía convertida en calor o sonido es
relativamente muy pequeña, la consideración del amortiguamiento se vuelve importante para una
predicción precisa de la respuesta vibratoria del sistema. Un amortiguador se considera sin masa y
sin elasticidad y la fuerza de amortiguamiento solo existe si hay una velocidad relativa entre los dos
extremos del amortiguador.
Es difícil determinar las causas del amortiguamiento en los sistemas prácticos. En consecuencia el
amortiguamiento es modelado de las siguientes maneras.
AMORTIGUAMIENTO VISCOSO.
El amortiguamiento viscoso es el mecanismo mas usado en el análisis de vibración. Cuando el
sistema mecánico vibra dentro de un fluido como aire, gas, agua, aceite, la resistencia ofrecida por
el fluido al movimiento del cuerpo, causa que la energía se disipe. En este caso la energía disipada
depende de varios factores, como el tamaño y forma del cuerpo, la viscosidad del fluido, la
frecuencia de vibración, y la velocidad del cuerpo. Ejemplos típicos de amortiguamiento viscoso
son
1.- Una película de fluido entre superficies deslizantes.
2.-Un flujo de fluido alrededor de un pistón y un cilindro.
3.- Flujo de fluido a través de un orificio.
4.- Una película de fluido en un cojinete.
AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB O DE FRICCIÓN SECA.
En este caso la fuerza de amortiguamiento es constante en magnitud pero opuesta al movimiento del
cuerpo en vibración. El amortiguamiento es causado por la fricción entre las superficies rugosas que
están secas o no tienen suficiente lubricación
AMORTIGUAMIENTO SOLIDÓ, MATERIAL O DE HISTÉRESIS
Cuando un material es deformado, la energía es absorbida y disipada por el material, el efecto es
causado por la fricción entre los planos internos, los cuales se deslizan entre si, conforme la
deformación tome lugar.
Cuando un cuerpo con amortiguamiento solidó es sometido a vibración, el diagrama de esfuerzodeformación muestra un lazo de histéresis como el indicado el la figura 1, el área de este lazo
muestra la energía perdida por unidad de volumen por cada ciclo debido al amortiguamiento.
Figura 1
VIBRACION LIBRE CON AMORTIGUACION VISCOSA
.
La amortiguación viscosa de la fuerza F es proporcional a la velocidad de x o v y puede ser
expresada como:
.
F  c x ……. Ecuación 2.58
Donde c es la constante de amortiguación o coeficiente de amortiguación viscosa y el signo
negativo que la fuerza de amortiguación es opuesta a la dirección de la velocidad. Un signo del
estado libre del sistema con una amortiguación viscosa se muestra en la figura 2.21. Si x es medida
desde la posición de equilibrio de la masa m, la aplicación de la ley de Newton produciendo la
ecuación de movimiento.
..
.
m x  c x  kx
Ó
..
.
m x  c x  kx  0 ….. Ecuación 2.59
Al resolver la ecuación 2.59, nosotros asumimos una solución en la forma:
xt   Ce st
….. Ecuación 2.60
Donde C y s son constantes indeterminadas. Insertando esta función dentro de la ecuación 2.59
lleva a las características de la ecuación.
ms2  cs  k  0
…… 2.61
Las raíces de la ecuación anterior son.
 c  c 2  4mk
c
 c  k


 
  
2m
2m
 2m   m 
2
s1, 2
…… Ecuación 2.62
Estas raíces tienen 2 soluciones a la ecuación 2.59:
x1 t   C1es1t
y
x2 t   C2e s2t
Ecuación 2.63
De este modo la solución de la ecuación 2.59 esta dada en combinación de las 2 soluciones x 1(t) y
x2(t):
x(t )  C1e s1t  C2 e s2t
 C1e


2
 c
 c   k 








1
 2m  2m   m  


t
 C2e
2
 c


 c   k 
 
    t

2
m
2
m

  m 



..
Ecuación 2.64
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias que se determinaran de la condición inicial del sistema.
AMORTIGUAMIENTO CRITICO CONSTANTE Y RAZÓN DE AMORTIGUAMIENTO.
El amortiguamiento critico Cc esta definido con el valor de la constante de amortiguamiento C, por
el radical de la ecuación 2.62, empezando de cero:
2
k
 Cc 

  0
m
 2m 
O
C c  2m
k
 2 km  2mn …. Ecuación 2.65
m
Para algún sistema viscoso la razón de amortiguamiento ζ es definida por la razón de
amortiguamiento constante a la razón constante crítica:
  clcc
….. Ecuación 2.66
Usando al ecuación 2.66 y 2.65, podemos escribir:
c
c c
  c   n
2 m c c 2m
Y de la ecuación anterior.


S1, 2      2  1  n
VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO DE HISTÉRESIS.
Considerando el arreglo elasticidad amortiguamiento mostrado en la figura 2. En este sistema, la
fuerza necesaria (F) para causar desplazamiento x(t) esta dada por
.
F  Kx  c x …..1
Para un movimiento armonico de frecuencia ω y amplitud X,
x(t )  X sin t …..2
Las ecuaciones 1 y 2 nos producen
F (t )  KX sin t  cX cost
 Kx  c X 2   X sin t 
2
 Kx  c X 2  x2 ………3
Figura 2
Cuando F contra x son graficadas (ecuación 3), representan un lazo cerrado, como se muestra en la
figura 2b. El área del lazo denota la energía disipada por el amortiguador en un ciclo de movimiento
y esta dada por
2
W   Fdx 

 KX sin t  cX  cos t X cos t dt  cX
2
…….4
0
El amortiguamiento causado por la fricción entre los planos internos que se deslizan entre si
cuando el material es deformado es llamado amortiguamiento de histéresis (solidó o estructural).
Este causa un lazo de histéresis en el diagrama esfuerzo-deformación (figura 3a) o en el diagrama
de fuerza- desplazamiento. La energía perdida en un ciclo (carga y descarga) es igual al área del
lazo. La similitud entre el diagrama 2 b y 3 a puede ser usada para definir una constante de
amortiguamiento de histéresis.
Figura 3
Experimentalmente se encontró que la energía perdida durante cada ciclo debido ala la fricción
interna es independiente de la frecuencia, pero es aproximadamente proporcional al cuadrado de la
amplitud. Para tomar en cuenta el comportamiento observado en la ecuación 3, el coeficiente de
amortiguamiento c se asume que es inversamente proporcional a la frecuencia.
c
h
…….5

Donde h es la constante de amortiguamiento de histéresis. Las ecuaciones 4 y 5 nos dan.
W  hX 2
RIGIDEZ COMPLEJA.
En la figura 1 el resorte y el amortiguamiento están conectados en paralelo, y para el movimiento
armónico x  Xeit , la fuerza esta dada por
F  KXeit  ciXeit  ( K  ic) x ……..6
De manera similar, si un resorte y un amortiguamiento de histéresis están conectados en paralelo,
como se muestra en la figura 2 b, la relación de fuerza desplazamiento puede ser expresada
F  ( K  ih) x ……..7
Donde
h

K  ih  K 1  i   K 1  i  …….8
K

K  ih
Es llamada rigidez compleja del sistema y  
h
es una constante indicadora de las
K
medidas dimensionales del amortiguamiento.
Respuesta del sistema.
En términos de  , la energía perdida por ciclo puede ser expresada como
W  KX 2 ………….9
Bajo un amortiguamiento solidó, el movimiento puede ser considerado de manera aproximada
armonico (mientras W sea pequeña), y el decremento en amplitud por cada ciclo puede ser
determinado por medio de un balance de energía. Por ejemplo, las energías en el punto P y Q
(separadas por la mitad de un ciclo) en la figura 3 están relacionadas por
KX 2j
2

KX 2j
4

KX 2j 0.5
4

KX 2j 0.5
2
O
Xj
X j 0.5

2  
……………10
2  
Figura 3
De manera similar, las energías en los puntos Q y R dan
X j 0.5
2  
……… 11

X j 1
2  
La multiplicación de las ecuaciones 10 y 11 nos da
Xj
2   2    2


 1    constante……..12
X j 1 2  
2  
El decremento logarítmico puede ser definido como
 Xj 
  ln1      ……..13
  ln

X
 j 1 
Como se asume que el movimiento es aproximadamente armónico, la frecuencia correspondiente
esta definida por
K

………..14
m
La relación equivalente de amortiguamiento viscoso  eq puede ser encontrada igualando las
relaciones para el decremento logarítmico  .
  2 eq   


2K
h
………15
2 2K
La constante equivalente de amortiguamiento ceq esta dada por
 eq 

ceq  cc *  eq  2 mK *

  mK 
K h
 ………16


2
Nota.
El método de encontrar un equivalente viscoso del coeficiente de amortiguamiento para un sistema
de amortiguamiento estructural es valido solo para movimiento armónico. El análisis anterior asume
que el sistema responde de manera aproximadamente armónica a la frecuencia  .