ESTATICA DE FLUIDOS - Biblioteca de la UNS

ESTATICA DE FLUIDOS
1.
DEFINICION
Estudia a los fluidos en reposo, ideales o reales, líquidos o gases, esto es sean
incomprensibles o comprensibles.
Si no hay movimiento, entonces no se manifiestan las fuerzas viscosas por lo que la
estática de los fluidos ideales a la estática de los fluidos reales y por consiguiente
solo se manifiestan las fuerzas normales; en otras palabras el estudio se limitara a la
variación de las presiones en el interior de una masa fluida en reposo.
2.
ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA DE FLUIDOS
La ecuación general de la dinámica aplicada a una partícula en reposo
( V  0  a  0 ) se escribe:
0
FUERZA
En esta suma de fuerzas debemos considerar las fuerzas que enumeramos en el
primer capitulo, específicamente las superficiales y las de volumen o másicas.
Dentro de las fuerzas másicas consideremos un campo general de fuerzas o sea las
fuerzas inerciales en general, dentro de las que se encuentra el peso.
Definamos pues en cada punto del campo, el vector F (de componentes X, Y, Z en
un sistema cartesiano), que será la fuerza activa aplicada a la unidad de masa de
fluido y que es función de la coordenada x, y, z del punto considerado.
Tenemos un paralelepípedo elemental en el interior de una masa fluida en repaso y
estudiemos su equilibrio en este campo general de fuerzas.
z
F
B
A
EJE Y
C
D
o
F
En los diferentes ejes las ecuaciones de
equilibrio son:
EJE X
p 

pdydz   p  dx dydz  ρXdxdydz  0
x 

E

p 
pdxdz   p  dy dxdz  ρYdxdydz  0
y 

y
G
EJE Z
x
p 

pdydx   p  dz dydx  ρZdxdydz  0
z 

De donde se obtiene:
pX -
p
0
x
pY -
p
0
y
pZ -
p
0
z
Estas ecuaciones son las ecuaciones fundamentales de la estática de fluidos que en
forma vectorial se escribe:
F  gradp  0 ……………………..(55)
Si las ecuaciones (54) las multiplicamos respectivamente por dx, dy, dz y las
sumamos se obtiene sucesivamente.
  Xdx  Ydy  Zdz 
p
p
p
dx  dy  dz ………(56)
x
y
z
  Xdx  Ydy  Zdz  dp ………………………..(57)
F  ds  dp ……………………………….(58)
Luego “la diferencia de presión entre dos puntos infinitamente próximos es igual al
trabajo que efectuaría la fuerza de volumen, relativa a la unidad de volumen, si se
le hiciera seguir a su punto de aplicación un camino cualquiera que una estas dos
puntos”.
3.
ALGUNAS APLICACIONES DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTAKES
DE LA ESTATICA DE FLUIDOS
a) Presión alrededor de un punto de una masa fluida en reposo
En este caso dx, dy, dz, son tan pequeños que ds tiende a cero,
Luego: F  ds  dp se convierte en:
F  0  0
Entonces: “ La presión alrededor de un punto es la misma”
b) Variación de la presión en el interior de una masa fluida en reposo
En la ecuación (57) por unidad de mas se tendrá en este caso:
X = 0 ; Y = 0 ; z = -g
Luego :
dp  gdz ………………………….. (59)
Aplicando esta ecuación aun fluido incompresible e integrando entre dos puntos
se tiene:
p o  p  z  z o  ……………………..(60)
Como z  z o  representa el paso de un
cilindro de liquido de sección unidad y de altura
z  z o 
z
se puede enunciara: “la diferencia de
presión entre dos puntos de una masa fluida en
z
reposo es igual al peso de una columna fluida de
área unitaria y de altura igual a la diferencia de cotas entre dichos puntos”.
La ecuación (60) se puede también escribir:
po
p
 z o   z  cte


ó
……………………(61)
p o  gz 0  p  gz  cte
En la ecuación (60) si z  z o (superficie horizontal) entonces las presiones en
dichas superficies son iguales , a también que la superficie libre de los líquidos,
si la curvatura terrestre no es importante, es horizontal.
c) Principio de PASCAL
Tenemos la ecuación: p o  p  z  z o 
Si por procedimientos aumentamos la presión en una cualquiera de los puntos en
una cantidad Δ po por ejemplo; entonces deberá producirse un aumento de
presión Δ p en el otro punto, luego:
po  po   p  p  z  z o 
Para que esta ecuación siga siendo valida se deberá cumplir que p  p o .
Luego: “Todo aumento de presión producido en un punto, se transmite
íntegramente a toda la masa fluida ”. Este es el principio PASCAL y tiene
aplicaciones muy importantes tales como en las prensa hidráulicas, sistemas
hidráulicas de control, etc.
d) Influencia de la Comprensibilidad y de la aceleración de la gravedad
Integremos la ecuación que da la diferencia de presiones entre dos puntos de una
masa fluida comprensible en reposo:
z

po  p 
 gdz ………………………..(62)
zo
En el caso general la integral solo puede calcularse si se conocen las leyes
ρ z , gz 
La ley gz  puede calcularse de acuerdo a la ley de Newton por la expresión:
g  go
R2
R  z 2
go = aceleración de la gravedad a la altitud cero
R = radio de la Tierra
z = altitud del punto considerado
La variación z  depende del fluido. En el caso de líquidos se tendrá en cuenta
el coeficiente de comprensibilidad X (aplicaciones en Oceanografía) y ene el
caso de gases, por ejemplo en le calcuelo de la variación de la temperatura en las
diversas capas de la atmósfera aplicando las correspondientes leyes de cambio
de estado del aire atmosférico
Si retrata de una atmósfera constante, la ley de MARIOTTE permite obtener:
z
p  poe
o g
pp
………………………….(63)
Si la temperatura es variable en la atmósfera entonces:

   1  o g   1

p  p o 1 
z
…………(64)

p o 

   1 o g 
 ……………(65)
T  To 1 
z

p
o


En el estudio de la atmósfera y considerado que realmente esta muy complicada
para conocerla entonces se define una atmósfera convencional correspondiente a
condiciones medios que permite la comparación de ensayos de aviación. Esta es
la
atmósfera
Standard
cuyas
condiciones
a
la
p o  760m.m. de mercurio 0 101325 Pa, To= 288°k,
 o  1.225 kg / m 3 y el aire es asimilado a un gas perfecto.
altitud
cero
son:
En la atmósfera Standard se distinguen dos zonas:

Para 0 < z < 11000 metros (Troposfera) en donde se admite una disminución
de temperatura de 0.65 grados para cada 100 metros.

Para 11,000 < z < 25000 metros (Estratosfera ) se admite una temperatura
constante igual a la que se obtiene para 11000m. en la Troposfera, ósea T =
216.5 °k. la presión se calcuela según la ley isotérmica.
e) Fuerzas de presión sobre una pared plana

h
F
z
df
G
x
d
x
Consideremos una placa de Superficie S sumergida en un líquido cuyo peso
volumétrico vale  .Esta placa esta inclinada un ángulo “” respecto a la
superficie libre horizontal y su centro de gravedad “G” se encuentra a una
distancia “h” del plano de carga (sup. libre). Con fines de aplicación práctica es
necesario conocer el valor de la fuerza “F”, resultante de las acciones del fluido
sobre la placa, así como su punto de aplicación. En general este punto de
aplicación se encuentra debajo de “G” y a una distancia “d” de dicho punto.
Sobre un elemento de área ds actuara una fuerza “dF” la que dad por:
dF  p.dS  zdS
La resultante buscada “F” será la suma de todas las fuerzas elementales df:
F    zdS
s
Pero por definición del centro de gravedad de la superficie “S”:
 zdS  S.h
s
Luego, podemos escribir:
F  .S.h ……………………..(66)
El producto h tiene el significado de una “parte media” sobre la placa puesto
que “h” es la cota del centro de gravedad de la misma.
Para calcular el punto de aplicación de “F” llamado también “centro de empuje”
hagamos pasar por “G” el eje Gx y consideremos que dF s encuentra a una
distancia “X” del origen G y “F” a una distancia “d” del mismo punto.
dF  p.dS  zdS  h  XsendS
Tomemos momentos respecto al eje G y, perpendicular a Gx:
dF  X  h  XsenXdS
Se deberá cumplir que:
F.d   h  xsen XdS
s
F.d  h  X.dS  sen  x 2 dS
s
Pero por definición del centro de gravedad:
s
 XdS  0
además
s
X
2 dS I
y ó
s
momentos de inercia del área “S” respecto al eje Gy; luego:
F.d  sen.I y
d
d
sen.I y
Sh
Iy
S.h
.sen ……………………(67)
Esta ecuación puede analizarse para distintos valores del ángulo “”.
f) Fuerzas de presión una superficie albeada
El principio es el mismo, pues sobre cada elemento de superficie se ejerce una
fuerza elemental “dF” normal a este elemento. Se descompone esta fuerza
elemental en 3 componentes según las tres ejes coordenadas.
Se obtiene así los componentes de la resultante por integración de los
componentes elementales. En consecuencia se calcularán las componentes Fx,
Fy e Fz.
En resumen se obtiene:
a) “La componente Fx (ó Fy) sobre una pared S es idéntica (en resultante y
línea de aplicación) al empuje que se ejerce sobre la proyección Sx de esta
pared sobre un plano vertical yz, perpendicular a la dirección considerada”.
b) La componente vertical “Fz” sobre una pared S, en la dirección vertical es
igual al peso de la columna fluida limitada hacia abajo por la pared s y hacia
arriba por la superficie libre. Esta componente pasa por el centro de
gravedad de dicha columna fluida.
Este resultado puede usarse para demostrar el principio de Arquímedes, que
lo haremos a continuación.
g) Principio de Arquímedes
Lo demostraremos a partir del cálculo de las fuerzas hidrostáticas sobre una
superficie alabeada. Consideremos una esfera.
Fv 2
Fv = Fv2 - Fv1
Fv1


B
B
C
A
C
A
C
D
D
a)
A
b)
c)
d)
En la figura a) solo se han considerado 2 fuerzas al mismo nivel y cutas
componentes horizontales se anulan, no así las verticales que s sumas, actuando
hacia abajo en el hemisferio ABC (fig. b), esta resultante es Fv1.
Para l hemisferio inferior ADC sucederá que la resultante también será vertical
pero dirigida hacia arriba (fig. c) Fv2 y de mayor magnitud que Fv1.
La resultante general será vertical e igual a la suma algebraica de estas dos
fuerzas; ósea Fv = Fv2 – Fv1
Pero esta diferencia es igual al peso del volumen liquido desalojado por la
esfera; con lo que hemos demostrado al principio de Arquímedes.
Si consideramos que la esfera tiene un peso W, entonces puede ocurrir:
Si Fv  W el equilibrio de la esfera es estable
Si Fv  W la esfera tiende a ir hacia el fondo
Si Fv  W la esfera tiende a ir hacia la superficie.
h) Equilibrio de cuerpos totalmente sumergidos
El equilibrio de estos cuerpos se estudia según la posición relativa del centro de
gravedad “G” del cuerpo y del centro de gravedad “M” del fluido desplazado.
Fv
G
M
G
Fv
Fv
G
M
M
w
a)
W
b)
W
c)
- Si M esta encima de G el equilibrio es estable fig. a.
- Si M esta debajo de G el equilibrio es inestable fig. b.
- Si M y G coinciden el equilibrio es indiferente fig. c.
i) Equilibrio de cuerpos flotantes
Definiciones
- Cuerpo flotante: es un cuerpo sólido que permanece en equilibrio mientras
parcialmente sumergida en un líquido, tal es el caso de un barco, una boya,
etc.
- Plano de flotación: es el plano de la superficie libre del liquido sobre el cual
flota el cuerpo.
- Línea de flotación: Es la línea según la cual el plano de flotación corta la
superficie lateral del cuerpo flotante o flotador.
- Flotación: Es el área limitada, en el plano de flotación, por la línea de
flotación.
- Centro de flotación: Es el baricentro de la flotación.
- Eje de flotación: Es el eje vertical que pasa por el centro de gravedad del
barco y es normal al plano de flotación.
- Carena: Es la parte sumergida del flotador. A menudo la palabra carena se
usa para designar el volumen de la parte sumergida.
- Desplazamiento: Es el volumen de la carena multiplicado por le peso
volumétrico  del liquido.
- Centro de carena o centro de empuje: Es el centro de gravedad del volumen
de liquido desplazado.
- Empuje: Es la resultante de las fuerzas de presión sobre el flotador; es
vertical hacia arriba, pasas por le centro de carena y tiene una modulo igual
al desplazamiento.
Determinación de la posición del Metacentro
M
o
G
c

G
c

c'
Consideremos un cuerpo flotante de equilibrio e inclinémoslo un pequeño
ángulo curre que la formula de la carena ha variado no así su volumen, por
consiguiente el centro de empuje inicial C, cambio de posición, siendo C’ esta
ultima. En consecuencia por C’ pasara la línea de acción del empuje que tendrá a
restablecer el equilibrio, alrededor del eje longitudinal que pasa por 0. si
prolongamos la línea de acción del empuje que pasa por C’ hasta cortar al eje de
flotación inicial el equilibrio del campo.
Para ángulos  pequeños se demuestra que la distancia MC se puede calcular
por la expresión:
MC 
I
……………………….(68)
v
MC
= radio metacéntrico
I
= momento inercial de la flotación con respecto al eje de inclinación
longitudinal que pasa por el punto O.
V
= volumen de la carena.
La estabilidad del equilibrio se traduce por la condición:
MC  GC  0 ………………..(69)
y esta estabilidad será mayor mientras las distancia metacéntrica MC  GC sea
mayor, ósea que GC sea la mas pequeña posible y que el radio metacéntrico
MC sea el mas grande posible.
A la distancia CM  GC se le denomina distancia metacéntrica.
j) Masa fluida sometida a una aceleración lineal
Sea un deposito contenido un liquido en reposo, posición (a);
z
z
a
-a
x
x
a)
F -g
b)
Sometamos al deposito a una horizontal constante “a” según el eje escogido “x”,
posición (b). en este caso instantáneamente la superficie libre, en principio
horizontal, adopta una inclinación como la mostrada. Nos proponemos encontrar
la inclinación de esta superficie por efecto de la aceleración.
Las componentes d la fuerza activa por unidad de mas será:
X  a
Y  0
Z  g
dp   adx  gdz   0 ; debido a que sobre la superficie libre actúa la misma
presión, la atmosférica en este caso.
a
dz   dx
g
a
z   x  cte ………………………(70)
g
las superficies de igual presión son perpendiculares al vector F .
k) Masa fluida a una rotación uniforme
Consideremos un vaso vertical de radio “R” que contiene un liquido en reposo
hasta una altura h fig. (a). Si hacemos girar la vaso alrededor de su eje oz con
una velocidad angula una velocidad angular 
, una partícula situada a una
distancia “x” de dicho eje estará sometida; por unidad de masa, a la acción de la
fuerza  2 xya  g ; por consiguiente:
z
z
2
h
 
z
o
x
o
x
-g
R
M
x
a)
X  2 x
Y0
Z  g
Entonces:
dp  Xdx  Ydy  Zdz
dp    2 xdx  gdz 


b)
dx
En la superficie libre se tendrá dp  0 ; luego:
 2 xdx  gd  0
la traza de la superficie libre en el plano xoz tendrá por ecuación:
2 x 2
 gz  cte
2
Ecuación podrá escribirse:
z
2 x 2  c
………………………… (71)
2g
Para hallar la constante C escribamos que:
R
 2x.dx.z  R
2h
0
 2x 2  c 
2
 2x.dx  2g   R h


0
R
R

2x.dx   2 x 2  cx dx  R 2 h



g
0
   2 R 4 cR 2 

  R 2 h

g 4
2 


c 
2R 2
 2gh ………………………………(72)
4
Reemplazando (72) n (71) tendremos:
z
2x 2
2R 2
h
…………………………(73)
2g
4g
Analizando esta ecuación tendremos:
2R 2
a) Para x  0  z  h 
4g
b) Para x  R  z  h 
2R 2
4g
Con esto se ve que el descenso del vértice e igual al ascenso sobre los
costados. En otras palabras la maldición de esta variación, permitirá
determinar la velocidad de rotación  .
z
R
2
c) Para z  h  x 
2 2
R
4g
2 2
R
4g
La intersección del plano de la
superficie con la nueva superficie
de
h
es
un
circunferencia
diámetro R 2
o
x
R 2
2
de
que como se ve
es independiente de la velocidad
de rotación  .
Estos resultados obtenidos solo son validos hasta el instante en el que el
vértice del paraboloide formado toca exactamente el punto “O”; si el fondo
del recipiente se descubre lo anterior no es valido.
La superficie libre y todas las superficies de igual presión son paraboloides
de revolución de eje oz.