José Antonio Quiñones Solis MATRICES – APLICACIONES Con el

JJoosséé A
Annttoonniioo Q
Quuiiññoonneess SSoolliiss
MATRICES – APLICACIONES
Con el propósito de comprender mejor la multiplicación de dos matrices veamos el
siguiente ejemplo.
Un fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios, que llevan tiradores de
metal y chapas especificadas por la siguiente tabla.
Modelos
Partes
Nº de tiradores
Nº de chapas
A
B
C
8
3
6
2
4
1
Llamaremos a este arreglo, matriz partes x modelos.
Si el fabricante recibe pedidos en el mes de Agosto 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17
del modelo C; y en el mes de septiembre:25 del modelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C.
Los datos quedan descritos en el siguiente cuadro:
Mes
Modelos
A
B
C
Agosto
Septiembre
15
24
17
25
32
27
Llamaremos a este arreglo, matriz de modelo x mes
Si el fabricante desea saber de cuántos tiradores y chapas debe disponer cada mes para
poder atender los pedidos, debe encarar el problema del siguiente modo:
Para determinar el número de tiradores requeridos en el mes de Agosto se sumarían el
producto de cada elemento de la primera fila de la matriz modelo x mes, esto es:
8(15)+6(24)+4(17)=332
Para establecer el número de chapas requeridos en el mes de Agosto se sumarian el
producto de cada elemento de la segunda fila de la matriz partes x modelos por el correspondiente
elemento de la primera columna de la matriz modelo x mes, esto es:
3(15)+2(24)+1(17)=110
M
Miiccrroossoofftt W
Woorrdd
11
JJoosséé A
Annttoonniioo Q
Quuiiññoonneess SSoolliiss
En el mes Septiembre el número de tiradores se obtendría sumando e producto de cada
elemento de la primera fila de la matriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la
segunda columna de la matriz modelo x mes, esto es:
8(25)+6(32)+4(27)=500
Y para el número de chapas se sumarían el producto de cada elemento de la segunda fila de la
matriz partes x modelos por el correspondiente elemento de la segunda columna de la matriz
modelo x mes, esto es:
3(25)+2(32)+1(27)=166
Con los resultados obtenidos podemos hacer el siguiente arreglo:
Mes
Agosto
Septiembre
Modelos
Nº de tiradores
332
500
Nº de chapas
110
166
Haciendo uso de la notación matricial, los datos y resultado obtenido nos expresará la
multiplicación de matrices del siguiente modo:
15 25
8 5 6 
 332 500
3 2 1  x 24 32  110 166

 17 27 



Observamos de inmediato que el numero de columnas de la primera matriz es igual al número de
filas de la segunda, cuando esto ocurre se dice que las matrices son conformables para la
multiplicación.
Mediante rectángulos que satisfagan la condición de que el largo del primero sea igual al ancho del
segundo podemos representar el producto efectuado en la forma siguiente:
m
A
A
B
B
pp
p
C
C
m
nn
nn
Para facilitar la comprensión del producto realizado delineamos el siguiente diagrama.
ºº jj –– ééssiim
maa
C
Coolluum
mnnaa
ddee B
B
En consecuencia,
de matrices se presenta en el
ºº una forma práctica para efectuar la multiplicación
ºº C
Ciiijjj eelleem
meennttoo
esquema siguiente:
ii –– ééssiim
ddee A
maa ffiillaa ddee A
A
A xx B
B
M
Miiccrroossoofftt W
Woorrdd
22
JJoosséé A
Annttoonniioo Q
Quuiiññoonneess SSoolliiss
15
24

17
8
3

4
1
6
2
332
110

25
32
27
500
166
DEFINICIÖN: Si A = aij  mxp y B = bij pxn , el producto A x B, en este orden, es la matriz C =
cij  mxn cuyos elementos se obtienen de los elementos de A y B siguiendo el siguiente desarrollo:
cij = ai1b1j + ai2b2j+……………..+ aipbpj
Por esta definición cada elemento ij de C es la suma de los productos formados al multiplicar cada
elemento de la i – ésima fila de A por los elementos correspondientes de R esto es:
j – ésima columna de B
i – ésima fila de A
bij 
. 


. 
ai1..aip  x .  = ccij
. 


. 
bpj 


oo bbiieenn::
n
ccij ==

aipbpj, i = 1,2,3………….., m ; j = 1,2,3,………………,n
p 1
Observaciones:
(1) Si A  Kmxp B  Kpxn, las columnas de a y las filas de B son vectores de Rp; entonces el
elemento cij de la matriz C es el producto escalar de la i – ésima fila de A por la j – ésima
columna de B
(2) El producto AB está definido si el número de columnas de A es igual número de filas de B.
Si el producto AB está definido se dice que A es conformable con B para la multiplicación.
M
Miiccrroossoofftt W
Woorrdd
33
JJoosséé A
Annttoonniioo Q
Quuiiññoonneess SSoolliiss
No significa esto que B sea necesariamente conformable con A respecto de la
multiplicación, toda vez que BA puede o no estar definido.
2 3
1 2 3 
Ejemplo 1. Si A= 
yB 

 , hallar: a) AB, b) BA
1 2 
 4 1 2
Solución: Dado que A tiene dos columnas y B dos filas, entonces A es conformable con B y el
producto AB estás definido. Empleándole el método del producto escalar se tiene:
a)

1
2,3   
 4
AB= 

1 
 1,2  4
 

2,3  
- 2

1
2
1,2   
1
3 

 2 
3 
1,2    
 2 
2,3  
 21  34 2 2  31 23  32 14  1 12
AB= 
=

1(1)  2(4) 1(2)  2(1) 1(3)  2(2)  9 0 7 
b) En este caso B tiene tres columnas y A dos filas, luego B no es conformable con A respecto de la
multiplicación y por tanto BA no está definido.
M
Miiccrroossoofftt W
Woorrdd
44