MATEMATICA PARA INGENIERIA TRAMO II (PARTE J)

J-1
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
¿Cómo optimizar una función
Cuando sus variables están
Sujetas a una restricción?
El método que nos permitirá responder a ésta pregunta se encuentra en un
artículo sobre mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años!
Lagrange fue el primer analista pues escribió con rigor y precisión sus ideas
matemáticas. Fue el primero en usar la notación
y
para las derivadas.
¿CUAL ES LA UTILIDAD?
Con este método podemos saber:
¿Cómo distribuir una cantidad fija de dinero?
en
• desarrollo y en promoción
• mano de obra y equipos
• recursos físicos
de modo de optimizar el beneficio, la producción, el ingreso, etc.
Al escalar
(lambda) se le conoce como un Multiplicador de Lagrange.
TEOREMA DE LAGRANGE
Sean f y g funciones con primeras parciales continuas, y tales que f tiene un
extremo en un punto (xo,yo) sobre la curva suave de restricción o ligadura
g(x,y) = C. Si
.
El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema señalado
anteriormente para encontrar los valores extremos de una función f sujeta a
una restricción o ligadura.
J-2
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Sean f y g funciones que satisfacen las hipótesis del teorema de Lagrange,
Y sea f una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción
o ligadura g(x,y) = C. Para hallar el mínimo o máximo de f, seguir los pasos
a continuación.
1.- Resolver simultáneamente las ecuaciones
y g(x,y) = C
resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.
fx(x,y) = gx(x,y)
fy(x,y) = gy(x,y)
g(x,y) = C
2.- Evaluar f en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor
Mayor da el máximo de f sujeto a la restricción o ligadura g(x,y) = C.
Ejemplo 1
Hallar el valor máximo de f(x,y) = 4xy donde x
0
y y
restricción o ligadura
Solución
Sea g(x,y) =
fx(x,y)i + fy(x,y)j = [gx(x,y)i + gy(x,y)j]
=
Sistema de ecuaciones:
fx(x,y) = gx(x,y)
4y =
……….(I)
fy(x,y) = gy(x,y)
4x =
……….(II)
g(x,y) = c
…(III)
0, sujeto a la
J-3
=
De la ecuación (I)
18 y
, sustituyendo en (II), nos queda:
x
16x2 = 9y2
y2 = 8
sustituyéndolo en (III)
y=
se elige el valor positivo y = 2
=
, como se requiere que y
0,
si
, como se requiere x
0
x=
Por tanto, el valor máximo de f es:
= 4xy = 4
Ejemplo 1
La función de producción de Cobb – Douglas para un fabricante de software
está dada por f(x,y) = 100x3/4.y1/4, donde x representa las unidades de trabajo
( a $ 150 por unidad) y y representa las unidades de capital ( a $ 250 por
unidad). El costo total de trabajo y capital está limitado a $ 50.000. Hallar el
nivel máximo de producción de este fabricante.
Solución
El límite para el costo del trabajo y capital está dado por la restricción o
ligadura:
g(x,y) = 150x + 250y = 50.000
j
150i + 250j
Haciendo:
j = 150 i + 250 j
=
Ecuaciones:
….…(I)
…….(II)
150x + 250y = 50.000 ……(III)
J-4
, sustituyendo en (II), nos queda:
De (I)
=
x = 5y,,
Sustituyendo en (III), nos queda: 150(5y) + 250y = 50.000
y = 50 unidades de capital, por ser, x = 5y = 5(50) = 250
1.000y = 50.000
x = 250 unidades
de trabajo
Por tanto, el nivel máximo de producción es:
f(250,50)=100x3/4.y1/4 = 100(250)3/4.(50)1/4 =16.718,51 16.719 unid del producto
Ejemplo 3
Hallar el valor mínimo de f(x,y,z) = 2x2 + y2 + 3z2 sujeta a la restricción o
ligadura 2x – 3y – 4z = 49.
Solución
Sea g(x,y,z) = 2x – 3y – 4z = 49
= 4xi + 2yj + 6zk
= 2i – 3j – 4k
Haciendo:
4xi + 2yj + 6zk =
i–
j–
k
Ecuaciones:
4x = 2
…………. (I)
2y = -3
…………. (II)
6z = -4
…………. (III)
2x – 3y – 4z = 49 …(IV)
De (I)
= 2x, sustituyendo en la Ec. (II) y (III), nos queda: 2y = -3(2x) = -6x
y = -3x
6z = -4(2x) = -8x
z=
Sustituyendo: y = -3x y z =
2x – 3(-3x) – 4(
= 49 = 2x + 9x +
Si y = - 3x = - 3(3)
De igual forma si
en la ecuación (IV), nos queda:
=
y=-9
z=
z=-4
x=3
J-5
Por tanto, el valor óptimo de f es:
f(3,-9,-4) = 2x2 + y2 + 3z2 = 2(3)2 + (-9)2 + 3(-4)2 = 18 + 81 + 48 = 147, por no
tener f(x,y,z) máximo, entonces: 147 es un mínimo.
Ejemplo 4
Se dispone de 320 mts. de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo
debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea lo mas
grande posible?.
Solución
Sea
y
x, y
0, luego
x
f(x,y) = xy (área) y
g(x,y) = 2x +2y = 320 (perímetro)
yi + xj
2 i +2 j
Haciendo:
=
yi + xj = 2
Ecuaciones:
y=2
………..,(I)
x=2
………..(II)
2x + 2y = 320 ..(III)
De la ecuación (I)
, sustituyendo en la ecuación (II)
Que sustituyéndola en (III), nos queda: 2x + 2x = 320 = 4x
x=y
x=
,
como x = y = 80
Luego: f(80,80) = x.y = (80)(80) = 6.400
Comprobando con el otro punto (100,60)
entonces
f(100,60) = x.y = (100)(60) = 6.000,
se comprueba que es MAXIMO.
J-6
Concluimos que, la mayor área que puede encerrarse con 320 mts de cerca
son 6.400 m2 y corresponde a un cuadrado, cuyo lado mide 80 mts.
EL METODO DE MULTIPLICADORES
RESTRICCIONES O LIGADURAS
DE
LAGRANGE
CON
DOS
En el problema de optimización que involucran dos funciones de restricción o
ligadura g y h, se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange,
, y resolver la ecuación:
Donde los vectores gradientes no son paralelos
Ejemplo 5
Sea T(x,y,z) = 20 + 2x +2y + z2 la temperatura en cada punto en la esfera
x2 + y2 + z2 = 11. Hallar las temperaturas extremas en la curva formada por la
intersección del plano x + y + z = 3 y la esfera.
Solución
= 2i + 2j + 2zk
Haciendo: g(x,y,z) = x2 + y2 + z2 = 11
=2
Haciendo: h(x,y,z) = x + y + z =3
=
Aplicando :
2i
= (2
+
2j
+
2zk
=
2
=
J-7
Ecuaciones:
2=2 x+
…….(I)
2=2
……(II)
2z = 2
….. (III)
x2 + y2 + z2 = 11 ...(IV)
x + y + z =3 ……..(V)
Restando la ecuación (I) de la ecuación (II), nos queda:
0
=
2
.
La
ecuación
2z -
2
=
2z(1-
) -
(III)
quedaría:
= 0, lo que da cabida a otro sistema de
ecuaciones:
0 = 2 (x-y) …………….(a)
)–
0 = 2Z(1 -
………(b)
x2 + y2 + z2 = 11 ………..(c)
x + y + z =3 ……………..(d)
De la ecuación (a)
= 0 , entonces de (I): 2 = 2 x +
Sustituyendo
y
= 2(0)x +
2 en la ecuación (b), entonces: 0 = 2z(1 – 0) – 2
z = 1 . Sustituyendo z = 1 en la ecuación (V),
x + y + z = x +y + 1 =3
x2
+
y2
+
z2
=
x2
x+y=2
+ (2 –
x)2 +
Con x = - 1
x2 + 4 – 4x + x2 – 10 = 0
1 = 11
y=2–x=2–3
y = 2 – x = 2 – (- 1)
entonces:
y=2-x
x2 – 2x – 3 = 0
Con x = 1
2 .
(x – 3)(x + 1) = 0
x=3 y x=-1
y = -1
y=3
Luego (3,-1,1) y (-1,3,1) son puntos críticos
Si
x + x + z =3
de la ecuación (a) x = y, sustituyendo en la ecuación (d):
2x + z = 3
z = 3 – 2x, sustituyendo en la ecuación (c)
x = y y z = 3 – 2x, nos queda: x2 + x2 + (3 – 2x)2 = 11
2x2 + 9 – 12x + 4x2 = 11
6x2 – 12x – 2 = 0
3x2 – 6x – 1 = 0
J-8
Empleando:
z = 3 – 2x = 3 - 2
Si
=
,
entonces los nuevos puntos críticos son:
y
Total puntos críticos: (3,-1,1), (-1,3,1),
Para encontrar las soluciones optimas, se deben se deben comparar las
temperaturas en los cuatro puntos críticos.
T(x,y,z) = 20 + 2x +2y + z2
T(3,-1,1) = 20 + 2(3) + 2(-1) + (1)2 = 20 + 6 – 2 + 1 = 25
T(-1,3,1) = 20 +2(-1) + 2(3) + (1)2 = 20 – 2 + 6 + 1 = 25
T
= 20 + 2
T
Así T = 25 es la temperatura MINIMA y T = 30.33 es la temperatura MAXIMA
en la curva.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Hallar el valor máximo de f(x,y) = e xy donde
, sujeto a la
restricción o ligadura x2 + y2 = 8, utilizando multiplicadores de Lagrange.
Solución
Haciendo: g(x,y) = x2 + y2 = 8
Aplicando:
J-9
Ecuaciones:
…. (I)
…. (II)
x2 + y2 = 8 …… (III)
De la ecuación (I)
, sustituyendo en la ecuación (II), nos queda:
, sustituyendo en la
ecuación (III), nos queda:
x
, entonces
+
x=
x = 2 , por ser
, como
y=2
Por tanto, el valor máximo de f es f(2,2) = exy = e(2)(2) = e4
2.- Hallar el valor mínimo de f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 donde x
,y
y z
,
sujeto a la restricción o ligadura x + y + z – 6 = 0, utilizando multiplicadores de
Lagrange.
Solución
Haciendo: g(x,y,z) = x + y + z = 6
Aplicando:
Ecuaciones:
2x =
2y =
2x = 2y = 2z
x=y=z
2z =
x+y+z=6
x+x+x=6
3x = 6
x=2
y=2
z=2
J-10
Por tanto, el valor mínimo de f es f(2,2,2) = x2 + y2 + z2 = (2)2 + (2)2 + (2)2 = 12
3.- Utilizar multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos máximos de
f(x,y,z) = xy + yz sujetas a las restricciones o ligaduras x + 2y = 6 y x – 3z = 0,
suponer que x, y y z
.
Solución
Haciendo: g(x,y,z) = x + 2y = 6
y
h(x,y,z) = x – 3z = 0
Aplicando:
Ecuaciones:
y=
…… (I)
…..(II)
x+z=
y=
…. . (III)
x + 2y = 6 ..…(IV)
x – 3z = 0 .… (V)
De la ecuación (III):
, sustituyendo en la ecuación (I) y =
-
sustituyendo en la ecuación (II), nos queda: x + z = 2
3x – 8y + 3z = 0, con esta ecuación y con las ecuaciones
3x + 3z = 8y
(Iv) y (V), formamos un nuevo sistema de ecuaciones:
3x – 8y + 3z = 0
….. (a)
x + 2y = 6
…………..(b)
x – 3z = 0
………… (c)
J-11
De la ecuación (c): x = 3z, Sustituyendo en las ecuaciones (a) y (b) , nos
queda:
3x – 8y + 3z = 0
x + 2y = 6
3(3z) – 8y + 3z = 0
3z + 2y = 6
- 8y + 12z = 0
(4)
2y + 3z = 6
- 8y + 12z = 0
8y +12z = 24
24z = 24
z=
z = 1 , si x = 3z = 3(1)
3 + 2y = 6
2y = 3
x = 3 , de la ecuación (b): x + 2y = 6
y=
Por tanto, el valor máximo de f es:
4.- Se va a construir un conducto para agua que va del punto P al punto S y
que debe atravesar por regiones donde los costos de construcción difieren (ver
figura). El costo por kilometro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R
a S. Para simplificar, sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange para
localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice.
(TRABAJO).
P
2 km
Q
1 km
R
x
y
S
z
10 km