Documento 426130

Ejercicios de Inferencia 2º BACH CCSS
C. Rodríguez
1.-Se considera una población en la que se estudia una característica X que
2
sigue una distribución normal de media   12 y varianza   16 .


SOL.
Calcula la probabilidad de que, elegido un elemento de la población
al azar, tenga la característica superior a 14. Sol (p = 0,3085)
Se considera una muestra aleatoria de tamaño n=9 ¿cuál es la
probabilidad de que la media observada X tenga un valor superior
a 14? Sol (p = 0,0668)
Sabemos que la variable X es: N (   12 ,   4 ) por tanto tenemos que:
14  12 
1


p X  14   1  p X  14   1  p Z 
  1  p Z    1  0,6915  0,3085
4 
2


Sabemos que si la variable X es: N (   12 ,   4 ) por el teorema Central
4

del límite la variable X es: N (   12 ,
) o sea, X es N ( 12 , )
3
n



14  12 
3
  1  p Z    1  0,9332  0,0668
p X  14   1  p X  14   1  p Z 
4 
2




3 

2.- La cantidad de minerales, en toneladas, que produce semanalmente una
mina, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media
  10 Tm. y desviación típica   4 Tm.
Calcula la probabilidad de que la producción semanal de minerales sea
superior a 12 Tm. Sol (p= 0,3085)
 Se eligen 10 semanas al azar. ¿cuál es la probabilidad de que en 3 o
más semanas la producción de dicho mineral sea superior a 12 Tm.?
Sol (p=0,6172)
SOL.
Sabemos que la variable X es: N (   10 ,   4 ) por tanto tenemos que:
12  10 
1


p X  12   1  p X  12   1  p Z 
  1  p Z    1  0,6915  0,3085
4 
2



Sea Y:”número de semanas en las que la producción es superior a 12 Tm”
Al tomar una muestra de tamaño n=10 la variable Y sigue una distribución
Binomial de parámetros n=10 y p=0,3085(del apartado anterior)
Ahora mediante una tabla de la distribución Binomial podemos obtener:
pY  3  1  [ pY  0  pY  1  pY  2]  1  0,3828  0,6172
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C. Rodríguez
3.-Se sabe que el gasto semanal (en €) en ocio para los jóvenes de una cierta
ciudad sigue una distribución normal con desviación típica  conocida.
 Para una muestra aleatoria de 100 jóvenes de esa ciudad, el intervalo
de confianza al 95% para el gasto medio semanal (  ) es: 27,33 .
Calcula la correspondiente media de la muestra  x  y el valor de
Sol ( x  30

SOL.
  15,31 )

¿Qué número de jóvenes tendríamos que seleccionar al azar, como
mínimo, para garantizar con un 95% una estimación de dicho gasto
con un error máximo no superior a 2 € semanales? Sol ( n =226)
Sabemos que la variable X:”gasto semanal en ocio para los jóvenes” es:
N (  ,  ) con  conocida.
Si X :”gasto medio semanal” entonces tenemos que X es : N(  ,

n
).
Con una muestra de 100 jóvenes tenemos, el intervalo de confianza para 


al 95% viene dado por: p X  z

2
100
   X  z
 
2
  0.95
100 
Según el enunciado del problema ese intervalo es: (27,33), y como para una
probabilidad del 0.95 sabemos que z  1.96 tenemos pues:
2




X

z

27
X

1
.
96
 27



 X  30
2 10
10



 X  z   33  X  1.96   33   15.31



2 10
10
Queremos que el error de estimación del gasto medio no sea superior a 2 €.
Es decir: z

2
n
 2  1.96
15.31
 2  n  225.11
n
Para que el error de estimación no sea superior a 2€ semanales, hemos de
tomar muestras de tamaño: 226 jóvenes (como mínimo).
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4.- Para determinar la edad promedio de sus clientes, un fabricante de ropa
de caballero coge una muestra aleatoria de 50 clientes y calcula su edad
media obteniendo: x  36 años.
Se sabe que la variable edad sigue una distribución normal con desviación
típica   12 años. Determina:
 Con un 95% de confianza el intervalo de la media de edad de todos los
clientes.Sol [ intervalo: (32,6738;39,3262) ]
 Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 2 años
con la media de la población, con probabilidad 0,95. ¿Cuántos clientes
como mínimo deberían formar parte de la muestra? Sol ( n=139)
SOL.
Sabemos que la variable X:”edad de un cliente” es: N (  ,  ) con   12
Si X :”edad media de una muestra” entonces tenemos que para una muestra
12
), además según el enunciado x  36 .
50
Queremos calcular un intervalo de confianza al 95% para  .Viene dado:

 

p  X  z
   X  z
  0.95 Calculamos los extremos del
2
2
n
n

intervalo y obtenemos el intervalo:
32.6738;39.3262 
de tamaño 50: X es : N(  ,
La media poblacional  está en dicho intervalo con un nivel de conf. del95%
Si se desea que la media de muestra no difiera en más de 2 años con la de la
población, con una probabilidad del 0.95, tendremos que   36  2;36  2
Con un nivel de confianza del 95%, o sea p34    38  0.95

X  z

2


X  z


2


12

36

1
.
96
 34

n
n


 n  138.2976

12
 38 36  1.96
 38

n
n

 34
Como mínimo deberían formar la muestra 139 clientes.
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C. Rodríguez
5.- El peso de los alumnos de Bachillerato de una cierta ciudad tiene una
media  desconocida y una desviación típica   5,4 Kg. Tomamos una
muestra aleatoria de 100 alumnos de bachillerato de esa ciudad:
 Si la media de la muestra es de 60 kg. Calcula con un nivel de
confianza del 99% el intervalo de confianza para el peso medio  de

todos los alumnos de Bach. de la ciudad. Sol [interv: (58,61;61,39)]
Hacemos la siguiente afirmación: “ el peso medio de los alumnos de
bachillerato de esa ciudad está comprendido entre 59 y 61 kg.” ¿con
qué nivel de confianza se puede hacer esta afirmación? Sol (93,56%)
SOL.
Sabemos que la variable X:”peso de un alumno de bachillerato” es: N (  ,  )
con   5.4 Tomamos una muestra de tamaño n= 100.
Si X :”media del peso de los alumnos de bachillerato” ; X es : N(  ,
5.4
),
100
además según el enunciado x  60 .
Queremos calcular un intervalo de confianza al 99% para  .Viene dado:

 

p  X  z
   X  z
  0.99 Como z  2.575
2
2
2
n
n

Calculamos los extremos del intervalo y obtenemos el intervalo:
58.61;61.39
La media poblacional  está en dicho intervalo con un nivel de conf. del99%
Suponemos ahora que   59;61 buscamos ahora el valor de
p59    61  1  
 tal que:
Tenemos las siguientes ecuaciones:

X  z

2


X  z


2



60  z

2
n



 61 60  z

2
n

 59
5.4
 59
100
 z  1.8519
2
5.4
 61
100
Utilizando la tabla de la Normal tenemos que 1    0.9356
Por tanto podemos hacer esta afirmación con un 93.56% de confianza.
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6.- Una fábrica desea conocer el tiempo que tarda en descomponerse un
producto que tiene almacenado. Para ésto, escoge una muestra de 100
unidades, resultando un tiempo medio de descomposición de 120 horas. Por
experiencias anteriores se conoce la desviación típica de la variable normal
“tiempo de descomposición” que es de 5 horas.
 ¿cómo se distribuye la variable tiempo medio de descomposición para
muestras de 100 productos? Sol ( X : N ;0,5 )

Con un nivel de confianza del 95% ¿entre que valores se asume el
tiempo medio de descomposición para la totalidad del producto
almacenado? Sol [intervalo confianza: (119,02;120,98)]
La variable X:”tiempo de descomposición de un producto en horas” es:
N (  ,  ) con   5 Tomamos una muestra de tamaño n= 100.
Si X :”media del tiempo de descomposición de la muestra en horas” ;
X es : N(  ,
5
),por tanto X es : N(  , 0.5 )
100
Queremos calcular un intervalo de confianza al 95% para  .Viene dado:

 

p  X  z
   X  z
  0.95 Como z  1.96 y x  120
2
2
2
n
n

Calculamos los extremos del intervalo y obtenemos el intervalo:
119.02;120.98
Con un 95% de confianza el tiempo medio de descomposición está
aproximadamente entre 119 y 121 horas.
7.-a) el sueldo en € de los empleados de una fábrica sigue una distribución
normal de media 1500 € y desviación típica 400 € Se elige una muestra de
25 empleados .¿Cuál es la probabilidad de que la media de sus sueldos esté
comprendida entre 1420 y 1600 €? Sol (p = 0,7357)
b)si sólo conocemos la desviación típica:   400 € y desconocemos la
media  de los sueldos de los empleados. ¿Qué tamaño de muestra
deberíamos tomar para estimar la media  con un nivel de confianza del
95% si se admite un error máximo de 100 €? Sol ( n  62 )
SOL
a)X:”sueldo en € de un empleado” X es:N(1500;400) Sabemos que si
X ” media de los sueldos de una muestra de tamaño 25” es N 1500;80
p1420  X  1600  p 1  Z  1.25  0.7357
b) Como   400   0.05 y el error máximo es de 100€ tendremos que:

400
z
 100  1.96
 100  n  61.4656
2
n
n
Debemos pues tomar una muestra de tamaño 62 como mínimo.
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C. Rodríguez
8.- Un fabricante de lámparas de bajo consumo sabe que el tiempo de
duración, en horas, de las lámparas sigue una distribución normal de media
desconocida y desviación típica 180 horas. Con una muestra de estas
lámparas elegidas al azar y un nivel de confianza del 97%, obtuvo para la
media el intervalo de confianza (10072,1 ; 10127,9).
 Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño de
la muestra utilizada. Sol ( x  10100 n  196 )
Si se quiere que el error de su estimación sea como máximo de 24
horas y se utiliza una muestra de tamaño 225. ¿Cuál será el nivel de
confianza? Sol (95,44%)

SOL.
Sabemos que la variable X:”tiempo en horas de duración de una lámpara” es:
N (  ,  ) con   180 .
Si X :”tiempo medio de duración de una lámpara” ; X es : N(  ,
180
), según
n
el enunciado un intervalo de confianza al 97% para la media muestral es:
10072.1;10127.9
Utilizando la tabla de la Normal   0.03 calculamos
z  z0.015  2.17
2
Para determinar el valor de la media y el tamaño de la muestra resolvemos:

X  z

2


X  z


2


180

X

2
.
17
 10072 .1

 X  10100
n
n




180
n  196
 10127 .9  X  2.17
 10127 .9 

n
n

 10072 .1
Supongamos ahora que n=225 y el error máximo admisible es de 24 horas.
z

2
n
 24  z
2
180
 24  z  2
2
225
Consultando en la tabla de la Normal 1 

2
El nivel de confianza es pues de un 95.44%
-6-
 0.9772  1    0.9544