17_de_Diciembre_de_2007

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
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Equation Chapter 1 Section 1SOLUCIONARIO
Tercera Prueba de Cátedra
Electromagnetismo
Licenciatura en Ciencias Exactas
Semestre de Primavera (17 de Diciembre de 2007)
1. Una varilla conductora cuadrada de longitud L , masa m y resistencia R , se desliza sin
fricción bajando por dos rieles conductores paralelos de resistencia insignificante. Los rieles
están conectados entre sí en su parte inferior mediante un riel de resistencia insignificante,
paralelo al alambre, de tal manera que la varilla y los rieles forman una espira rectangular
conductora cerrada. El plano de los rieles hace un ángulo  con la horizontal y un campo
magnético vertical uniforme B existe en toda la región.
a) Calcular la fuerza resultante sobre el alambre,
b) calcular la velocidad constante v con que bajará la varilla por el plano inclinado.
B
B
B

l
Solución:
Apenas la varilla empieza a moverse con una velocidad instantánea v a lo largo del plano

inclinado, aparece una fem inducida  , que produce una corriente inducida I  . La fem  se
R
puede calcular de dos formas distintas: a) usando la relación que involucra la variación del flujo
d
magnético,    B , y b) usando la fuerza de Lorentz Fm  qv  B , sobre una carga dentro de
dt
la varilla.
a) usando la relación   
dB
dt
En primer lugar, vemos que el vector diferencial de superficie dS (que es perpendicular al plano
de la espira) y el campo magnético B hacen un ángulo  entre sí, luego el flujo magnético
queda:
B   B  dS   BdS cos 
(1)
Dado que B y  son constantes, se tiene,
B  BS cos
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Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected]; [email protected]
(2)
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El área instantánea de la espira vale S  lx , donde x es la distancia que separa a la varilla de la
base de la espira.
B
dS
x


Finalmente, el flujo magnético queda
B   Bl cos  x
(3)
Por lo tanto, la fem inducida queda
 
Pero la velocidad instantánea vale v 
dB
dx
  Bl cos  
dt
dt
(4)
dx
, luego
dt
  Blv cos 
(5)
La corriente inducida I está dirigida en sentido contrario al movimiento de los punteros del reloj
de modo que el flujo magnético inducido se opone a la disminución del flujo hacia arriba,
I
Blv cos 
R
(6)
b) usando la fuerza de Lorentz Fm  qv  B , sobre una carga dentro del alambre.
Consideremos una carga q que pertenece a la varilla que se mueve hacia abajo con velocidad
instantánea v , en presencia de un campo magnético B .
B
B
a
b
Fm

v

y
l
Fm
v

x
Eligiendo los ejes coordenados como lo indica la figura, la fuerza magnética sobre la carga viene
dada por
Fm  qv  B  qvB sin  90    kˆ
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(7)
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Pero sin 90     cos , luego,
Fm  qvB cos
(8)
Luego la fem inducida en la varilla móvil por viene dada por el trabajo por unidad de carga sobre
la carga q . Si integramos desde a hasta b , el dl es paralelo a la fuerza magnética,
 
Fm  dl
   vB cos   kˆ   dl  kˆ
q
  Blv cos 
(9)
(10)
Por lo tanto, la fem inducida  apunta desde a hasta b , es decir, en la en la dirección contraria
al movimiento de los punteros del reloj, y la corriente inducida viene dada por
I
Blv cos 
R
(11)
Estos resultados coinciden completamente con los resultados obtenidos en a).
Ahora que ya conocemos la corriente inducida I , vemos que el sistema en estudio consiste en
una varilla con corriente I que se mueve en el campo magnético constante y uniforme B . Por lo
tanto aparece una fuerza magnética dada por la relación Fm  I  dl  B , donde dl  dl kˆ apunta
en la dirección de la corriente I . De acuerdo a la figura, el campo magnético viene dado por
B  B( sin  iˆ  cos ˆj) .
B
y

dl
x

Luego, la fuerza magnética sobre la varilla con corriente vale
Fm  I  dlkˆ  B( sin  iˆ  cos  ˆj )
(12)
Fm  IlB( cos iˆ  sin  ˆj)
(13)
La figura muestra todas las fuerzas que actúan sobre la varilla
y
N
Fm 


x
mg
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
Donde N  Njˆ y mg  mg sin  iˆ  cos  ˆj

Mirando la figura vemos que la fuerza resultante viene dada por:
FR  mg  Fm  N
(14)
Usando componentes,


FR  mg sin  iˆ  cos  ˆj  IlB( cos  iˆ  sin  ˆj )  Njˆ
(15)
Reordenando, se tiene la fuerza resultante sobre la varilla que se mueve hacia abajo sobre el
plano inclinado,
FR   mg sin   IlB cos  iˆ   mg cos  IlB sin   N  ˆj
(16)
Dado que no hay movimiento en el eje y , por la segunda ley de Newton, se anula la componente
vertical de la fuerza, esto es,
N  mg cos   IlB sin 
(17)
Si queremos calcular la velocidad constante v con la que se moverá la varilla, entonces la fuerza
resultante a lo largo del eje x , también se hace cero, esto es,
mg sin   IlB cos   0
(18)
Si reemplazamos el valor de la corriente inducida dada por la relación (11), se tiene
mg sin  
vB 2l 2 cos 2 
0
R
(19)
Despejando, obtenemos la velocidad,
v
mgR sin 
B 2l 2 cos 2 
(20)
Equation Section (Next)
2. a) Hallar el campo magnético B en el punto P , producido por el alambre que lleva una
corriente constante I . El alambre está formado por dos alambres rectos semi infinitos y una
semi circunferencia de radio R . b) Encuentre el valor del campo magnético B si h  0 .
z
I
I
2
R
I
R
1
3
P
h
y
I
x
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Solución:
Hemos marcado cada trozo de alambre con un número. Calcularemos primero el campo
magnético producido por los alambres semi infinitos 1 y 3. Por simetría, los campos de cada
alambre son los mismos B1  B3 , así que basta calcular uno sólo de ellos.
Campo producido por el alambre 3.
z
3
I
dl
R
P
y
h
x
Considerando el origen del sistema de coordenadas en el medio de la figura, los vectores que
definen al problema vienen dados por,
dl  dxiˆ, r  hj , r   xiˆ
r  r   xiˆ  hjˆ,
r  r  x2  h2
(1)
(2)
El campo magnético B3 , viene dado por la ley de Biot-Savart
B3 (r ) 
0 I dl   r  r  
4  r  r  3
(3)
Reemplazando los valores conocidos en (1) y (2), se tiene,
B3 (r ) 
0 I dxiˆ   xiˆ  hjˆ 
4   x 2  h2 3/ 2
 hI
B3 (r )   0
4


R
x
dx
2
h

2 3/ 2
kˆ
(4)
(5)
Integrando, se tiene

 ˆ
 hI 
x
B3 (r )   0 
 k
2
2
2
4  h x  h  R
(6)
El campo del alambre 3 apunta en dirección negativa del eje z .
B3 (r )  
ˆ
0 I 
R
1 
k
4 h 
R 2  h2 
Por simetría, se tiene que
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(7)
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B1 (r )  B3 (r )  
ˆ
0 I 
R
1 
k
2
2
4 h 
R h 
(8)
Campo producido por el alambre semi circular 2.
z
2
dl
I
r
R

P
y
h
R
Los otros vectores que definen al problema vienen dados por,

dl  dleˆT , r  hj , r   R cos  iˆ  sin  kˆ

(9)
El vector dl  dleˆT es tangente al alambre en la dirección de la corriente I , y se construye a
partir del vector r  , usando la matriz de rotación en 90 0 , R ,
 0 1
R  

1 0 
(10)
El vector unitario eˆr  cos iˆ  sin  kˆ que está dirigido en la dirección del vector r  , se escribe en
forma matricial:
 cos  
eˆr   

 sin  
(11)
Cuando R actúa sobre el vector unitario eˆr en la dirección de r  , lo hace rotar en 90 0 a la
derecha, con lo cual se obtiene un vector perpendicular a r  ,
 cos    0 1 cos     sin  
R 




 sin    1 0  sin    cos  
(12)
Luego el vector unitario tangente al alambre en la dirección de la corriente, viene dado por
eˆT   sin  iˆ  cos kˆ
(13)
De este modo, el vector dl queda

dl  dleˆT  dl  sin  iˆ  cos  kˆ

(14)
Nota: el vector unitario tangente eˆT también se puede obtener a partir de la diferencial del vector
r  , esto es
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eˆT 
dr 
dr 
(15)
Tomando la diferencial de r  , se tiene

dr   Rd  sin  iˆ  cos  kˆ

(16)
Luego, eˆT viene dado por
eˆT   sin  iˆ  cos kˆ
(17)
resultado idéntico al encontrado en (13).
Usando la relación (9), se tiene que
 r  r    R cos iˆ  hj  R sin  kˆ  ,
r  r   R 2  h2
(18)
Reemplazando los vectores conocidos en la expresión del campo magnético, se tiene
I
B2 (r )  0
4

 dl sin  iˆ  dl cos kˆ    R cos iˆ  hj  R sin  kˆ 
R
2
 h2 
3/ 2
(19)
El producto cruz viene dado por
iˆ
kˆ
j
dl sin 
 R cos 


(20)
  hdl cos  iˆ  Rdljˆ  hdl sin  kˆ 
(21)
0 dl cos   hdl cos  iˆ  Rdljˆ  hdl sin  kˆ
h  R sin 
Insertando este resultado en la relación (19), se escribe,
B2 (r ) 
0 I
4  R  h
2

2 3/ 2
Realizando cada una de las integrales, usando la relación dl  Rd , nos queda,
B2 (r ) 
0 I
4  R 2  h2 
3/ 2
B2 (r )  





2
ˆ
ˆ

hR
cos

d

i

R
d

j

hR
sin  d kˆ 




0
0
0


0 I
4  R  h
2

2 3/ 2
 R 2 ˆj  2hRkˆ 


(22)
(23)
En consecuencia, el campo magnético resultante BR , viene dado por:
BR  2B1  B2
(24)
Dado que B1  B3 , como se indicó en la relación (8). Reemplazando los resultados obtenidos en
(7) y (23), se tiene
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BR  
ˆ
0 I 
0 I
R
 R 2 ˆj  2hRkˆ 
1 
k 
3/
2


2
2
2 h 
R h 
4  R 2  h2 
Para obtener el caso límite h  0 , debemos calcular primero el límite del término
(25)
1
R 2  h2
.
Primero reescribamos este término en la forma
1 h
 1   
R 2  h2 R   R 
1
2



1/ 2
(26)
Para h pequeño, en primera aproximación se cumple que,
1  1 h 
 1   
R 2  h 2 R  2  R 



(27)

0 I
 R 2 ˆj  2hRkˆ 
 kˆ 

2
2 3/ 2 

4  R  h 
(28)
1
2
Reemplazando este resultado en la relación (25), se tiene
BR  
0 I 
1 h 
1  1   
2 h 
2 R
2
Simplificando,
BR  
0 Ih ˆ
0 I
 R 2 ˆj  2hRkˆ 
k
3/
2
2


4 R
4  R 2  h 2 
(29)
Si ahora hacemos tender h  0 , se tiene,
B2 ( r )  
0 I ˆ
j
(30)
4R
Equation Section (Next)
3. Un alambre muy largo, de radio R , posee dos agujeros cilíndricos de radios a y b que están
ubicados como se muestra en la figura. El alambre tiene una densidad de corriente constante
J que sale del plano de la página. Hallar el campo magnético B en el punto P .
y
a
J

P
R
d
x
b
Solución:
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Aplicaremos el principio de superposición para resolver el problema. Por lo tanto, el campo
magnético resultante BR es la suma de los campos magnéticos individuales de tres cilindros, el
cilindro grande con densidad de corriente J , y los cilindros de radios a y b con densidades
 J . Entonces, BR se escribe
BR  Bg ( J )  Ba ( J )  Bb ( J )
(1)
Dado que el punto P se encuentra fuera de todos los alambres, basta aplicar la ley de Ampere
para calcular el campo magnético fuera de un alambre con corriente. Consideremos un alambre
con corriente I y radio R0 arbitrario. Usando una amperiana de radio r mayor que R0 , la ley de
Ampere queda,
R0
 B  dl   I
0 neta

 0  J  dS
(2)
0
Dado que J es constante, se tiene para la parte derecha de la relación (2),
 B  dl   I
0 neta
 0 J  R02
(3)

Sabemos que el campo magnético circula alrededor del alambre con corriente, también sabemos
que su magnitud B es constante mientras circula por la amperiana de radio r , y además sabemos
que en cada punto de la curva amperiana  (una circunferencia) el campo magnético es paralelo
al vector dl (vector tangente a la circunferencia), por lo tanto, podemos sacar B fuera de la
integral. Luego, la parte derecha de la relación (3), queda
B  dl  0 J R02
(4)

Pero
 dl es el perímetro de la circunferencia amperiana de radio r , luego  dl  2 r . La


relación (4), queda
B
0 JR02
2r
(5)
Este es el módulo del campo magnético de un alambre con corriente, pero como antes dijimos, su
dirección es tangente a una circunferencia de radio r .
Usando esta expresión general, podemos escribir los módulos de cada uno de los campos
producidos por los tres alambres.
Para el cilindro grande:
Bg 
0 JR 2
2rg
donde rg es la distancia medida desde el centro del cilindro grande hasta el punto P .
Para cilindro de radio a :
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(6)
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Ba 
0 Ja 2
(7)
2ra
donde ra es la distancia medida desde el centro del cilindro chico de radio a , hasta el punto P .
Para el cilindro de radio b :
Bb 
0 Jb2
(8)
2rb
donde rb es la distancia medida desde el centro del cilindro chico de radio b , hasta el punto P .
Los vectores unitarios en dirección del campo de cada cilindro están determinados por sus
densidades de corriente J y  J .
Calculemos ahora las distancias rg , ra y rb , y los correspondientes vectores unitarios eˆg , eˆa y eˆb .
Para el cilindro grande:
Dado que la densidad de corriente J sale de la página, el campo magnético Bg apunta justo en la
dirección del vector unitario ĵ en el punto P .
y
Bg
J
R
d
x
P
La distancia rg vale simplemente, rg  ( R  d ) . Por lo tanto, usando (6), el campo vectorial
queda
0 JR 2 ˆ
Bg 
j
2( R  d )
Para el cilindro chico de radio a :
Dado que la densidad de corriente J entra en la página, el campo magnético recorre la
circunferencia en sentido contrario al campo producido por el cilindro grande.
y
a

ra
R
P

d
x

Ba
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(9)
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Usando el teorema general de Pitágoras, ra viene dada por
 R  a   R  d 
ra 
2
2
 2  R  a  R  d  cos 
(10)
El vector unitario en la dirección del campo magnético Ba , viene dado por

eˆa   sin  iˆ  cos  ˆj

(11)
Donde
sin  
 R  a  sin  ;
cos  
ra
 R  d    R  a  cos
ra
(12)
Usando estos resultados y la relación (7), tenemos
Ba 
eˆa
(13)
  sin iˆ  cos  ˆj 
(14)
   R  a  sin   iˆ   R  d    R  a  cos  ˆj 
(15)
Ba 
Ba 
0 Ja2
2ra2
0 Ja 2
0 Ja 2
2ra
2ra
Para el cilindro chico de radio b :
Dado que la densidad de corriente J entra en la página, el campo magnético recorre la
circunferencia en sentido contrario al campo producido por el cilindro grande.
y
R
b 

P
d
x
rb

Bb
Usando el teorema general de Pitágoras, rb viene dada por
rb 
 R  b   R  d 
2
2
 2  R  b  R  d  cos 180   
(16)
Pero cos 180     cos , luego,
rb 
 R  b   R  d 
2
2
 2  R  b  R  d  cos 
____________________________________________________________________________
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(17)
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El vector unitario en la dirección del campo magnético Bb , viene dado por

eˆb  cos  iˆ  sin  ˆj

(18)
Donde
sin  
 R  b  sin  ;
rb
cos  
 R  d    R  b  cos
rb
(19)
Usando estos resultados y la relación (8), tenemos
Bb 
eˆb
(20)
 cos  iˆ  sin  ˆj 
(21)
  R  b sin   iˆ   R  d    R  b  cos  ˆj 
(22)
Bb 
Bb 
0 Jb2
2rb2
0 Jb2
0 Jb2
2rb
2rb
Usando los resultados (9), (15) y (22), se tiene el campo magnético resultante en el punto P ,
BR  Bg  Ba  Bb
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(23)