Clase Integradora

INTEGRADOR UNIDAD 2
Tópicos de matemática MA112
Temas: Espacio Rn -Transformación lineal
1.
(PC2 2003-2 UPC) Responda si es verdadera o falsa las siguientes proposiciones, justificando su
respuesta en cada caso:
a)
Un conjunto formado por 5 vectores LD de R5 puede ser base de R5.
b) Cuatro vectores de R3 forman un conjunto LI.
c) Si i, j son los vectores canónicos de R2 ¿ es posible generar cualquier vector de R2 con los vectores
del conjunto { i - j ; j - i }
a 
3  5 
3
2. ¿Sean u=  a  y A = 1 1  . ¿ Está el vector u en el plano de  generado por las combinaciones
 


 a 
1 1 
lineales de las columnas de A?.
3. a) Exprese el vector i de R3 de ser posible como combinación lineal de los vectores ( 1; -1; 2), ( 3; -4; 1)
y ( 2; 3; 1).
b) Determine a para que el conjunto formado por los vectores (2; a; 3) ; ( 1; 3; -1) y ( 0; a; -1) sea base de
R3.
4. a) Exprese de ser posible el vector u = 2i-j+ k como combinación lineal de los vectores v = i + j - k,
w = 2j - 3k .
b) Hallar la relación entre a y b para que el conjunto formado por los vectores (2,a,2);(1,1,-1) y ( 0,b,-3) sea
base de R3 y dé un ejemplo de un conjunto base.
c) Determine los valores de n para que el conjunto B = { (1, -1, n), (n, -n, 0 ), (1, 1, n+1) } sea linealmente
dependiente.
5. (PC2 2003-2 UPC ) Una pequeña empresa fabrica dos tipos de computadora personal: PCX3M y
PCGX100. Para armar una PCX3M se necesitan diez horas, otras dos para probar sus componentes y 1,5
horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la PCGX100 es de doce horas para
poder armarla; 2,5 horas para probarla y dos horas para instalarla.
i) ¿Cómo expresaría por medio de una combinación lineal el total de horas y 1, y2 y y3 para armar, probar
e instalar respectivamente que dispone la empresa para poder producir x 1 unidades del tipo PCX3M
y x2 unidades del tipo PCGX100?
ii) Si la empresa dispone de 540 horas de trabajo por mes para armar; 110 horas para probar y 85 horas
para instalar. ¿Cuántas PC de cada tipo se puede producir en un mes?.
6.
Un alimento para animales va a producirse a base de dos compuestos alimenticios básicos a base de
maíz y de soya. Una unidad del compuesto básico de maíz proporciona 10 unidades de fibra, 30 unidades
de grasa y 20 unidades de proteína. Por otro lado una unidad del compuesto básico de soya proporciona
20 unidades de fibra, 20 unidades de grasa y 40 unidades de proteína.
Exprese el vector que representa un suministro de 1100 unidades de fibra, 2500 unidades de grasa y
2200 unidades de proteína como una combinación lineal de los vectores que representan las unidades
alimenticias básicas y determine de ser posible cuantas unidades de cada compuesto alimenticio básico se
necesitarían.
7. a) Si T: R2
R3 es una trasformación lineal tal que T(1; 0) = (1; -2; 3)
y T(1;1)= (0; 1; 1). Halle T (0; 1)
b) Dada la transformación lineal T(x,y,z) = (x-y +z , y-z , x)
i ) Represente matricial la transformación lineal T.
ii) Determine el núcleo o kernel de T.
iii) ¿ pertenece el vector (0,1,-1)) a la imagen de T ?
0 
1 2
8. Dada la matriz A= 0 2  2 . Si la matriz A representa a una transformación lineal T: R3  R3


0  1 1 
i) determine T(x, y, z ) .
ii)halle la imagen de T(x, y, z) e indique que representa geométricamente.
9. (EP 2003-2 UPC) Sea T la aplicación lineal que lleva el rectángulo ABCD en el cuadrilátero A´B´C´D´. Se
conocen las coordenadas de dos de los vértices de la imagen A´(-2 ; -2) y B´(1 ; -2) como se muestra
y
y
-5
2
D
C
-4
-3
-2
-1
x
1
-2
A´
T
-1
B´
1
A
-3
B
1
2
3
4
x
D´
C´
-4
Determinar la regla de correspondencia para T(x,y)
10. La Ferguson Ingeniería S.A fabrica válvulas de aguja y válvulas de globo(PVA,PVG). La empresa tiene sus
limitaciones de tiempo en el departamento de maquinaria , siendo los tiempos requeridos los siguientes:
TIEMPO REQUERIDO EN EL DPTO. DE MAQUINAS
(Minutos por unidad)
Máquina
Válvula de aguja
Torno
Fresadora
10
15
Válvula de globo
15
5
Se pide:
i) Determinar la ley o regla de correspondencia de T(PVA,PVG) que asocia cada vector de producción (
PVA: unidades producidas de válvulas de aguja, PVG: unidades producidas de válvulas de globo) con el
vector de tiempo (TT ,TF) tiempo en el torno y tiempo en la fresadora, que le corresponde para saber el
tiempo total requerido en cada máquina según la producción.
ii) Demuestre si la ley del apartado (i) es una transformación lineal.
iii) Calcule T(12,24) e interprete el resultado.