Aplicaciones del Teorema de Bernoulli

INTRODUCCIÓN
Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se
dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen
estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede
pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se
comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas
condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de
régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades
varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro.
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La dinámica de los líquidos, está regida por el mismo principio de la conservación de la energía, el cual fue
aplicado a ellos por el físico suizo Daniel Bernoulli (1700−1782), obteniendo como resultado una ecuación
muy útil en este estudio, que se conoce con su nombre.
Para ello se puede considerar los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinando la energía mecánica
de una porción de éste, a lo largo del filete de fluido en movimiento que los une.
Si m es la porción de masa considerada,
su rapidez,
la altura sobre el nivel tomado como base,
la presión y
la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir utilizando el teorema trabajo−energía cinética:
Si ahora se divide a todos los términos de los dos miembros, entre la masa considerada, se obtendrá la
ecuación de Bernoulli, que corresponde a la ley de la conservación de la energía por unidad de masa. Si el
fluido es incompresible, como supondremos en lo sucesivo, donde
, la ecuación de Bernoulli adopta la forma:
(6.10)
Así como la estática de una partícula es un caso particular de la dinámica de la partícula, igualmente la
estática de los fluidos es un caso especial de la dinámica de fluidos. Por lo tanto, la ecuación (6.10) debe
contener a la ecuación (6.5) para la ley de la variación de presión con la altura para un fluido en reposo. En
efecto, considerando un fluido en reposo, y reemplazando
en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
que es precisamente la ecuación fundamental de la estática de fluidos.
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Ejemplos:
• La presión del agua que entra a un edificio es 3 atmósfera, siendo el diámetro de la tubería 2[cm] y su
rapidez de
. Si el baño de un departamento del 4º piso está a 6[m] de la entrada y la tubería tiene un diámetro de 4
[cm], calcule:
• La presión y rapidez del agua en el baño,
• La presión en el baño si se corta el agua a la entrada.
Solución.
a. Usando la ecuación de Bernoulli a la entrada (región 1) y en el baño del 4º piso (región):
,
y la ecuación de continuidad,
,
donde
,
,
y
encontramos:
b. Si el agua se corta en la entrada, donde
,
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI JUNTO CON EL TUBO DE VENTURI.−
La utilización de un tubo de Venturí en el carburador de un automóvil , es un ejemplo familiar del teorema de
Bernoulli. La presión del aire, que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un
estrangulamiento. La disminución de presión permite que fluya la gasolina, se vaporice y se mezcle con la
corriente de aire.
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• TUBO DE VENTURI
Un venturi es un dispositivo que clasicamente incorpora una simple convergencia y divergencia a travez de
una sección y usa los principios de Bernoulli para relacionar la velocidad con la presión del fluido. Este
principio se basa en que cuando el gas o liquido en movimiento, baja su presión y aumenta su velocidad.
Un tubo de venturi es usado para medir la velocidad del flujo de un fluido. En la garganta, el area es reducida
de A1 a A2 y su velocidad se incrementa de V1 a V2. En el punto 2, donde la velocidad es máxima, la presión
es mínima. Esto lo sabemos de la ecuación de Bernoulli.
Este dispositivo se utiliza para medir el gasto de una tubería. Al escurrir el fluido de la tubería a la garganta, la
velocidad aumenta notablemente, y en concecuencia, la presión dismiuye; el gasto transportado por la tubería
en el caso de un flujo incompresible esta en función de la lectura del manómetro.
Las presiones en la seccion 1 y en la garganta (sección 2) son presiones reales, en tanto que las velocidades
correspondientes obtenidas en la ecuación de Bernoulli sin un término de pérdidas son velocidades teóricas. Si
se consideran las pérdidas en la ecuación de la energía entonces se trata de velocidades reales. En lo que sigue
se obtendrá primero la velocidad teórica en la garganta al aplicar la ecuación de Bernoulli sin el término de
pérdidas. Multiplicando este valor por el coeficiente Cv, se determinará la velocidad real. Esta última,
multiplicada por el área real de la garganta, permite obtener el gasto que circula por la tubería.
Nota: Para obtener resultados precisos, el tubo de Venturi debe estar precedido por una longitud de al menos
diez veces en diametro de la tubería.
Donde V1, V2, p1 y p2 son las velocidades y presiones en las secciones 1 y 2 respectivamente. Esta ecuación
incorpora la concervación de la energía para fluidos.
Usaremos la ecuación de continuidad para flujo de fluidos. Esta se basa en que con ausencia de pérdida de
masa, el flujo de fluido que entra en una región dada debe ser igual al que sale.
Para flujo incompresible:
Juntando la ecuación de Bernoulli con la de continuidad, se tendrá:
Por otro lado la diferencia manométrica h se puede relacionar con la diferencia de presiones al escribir la
ecuación del manómetro. De este modo se obtiene una expresión para el gasto.
Donde S0 es la gravedad específica del liquido en el manómetro y S1 es la gravedad específica del líquido a
travez de la tubería. Esta expresión que constituye la ecuación del tubo de venturi para flujo incompresible. El
gasto depende de la diferencia manométrica h.
El coeficiente Cv se determina mediante un método de calibración (número de Reynolds).
• Aplicando la ecuación de Bernoulli y continuidad en los puntos 1 y 2, los cuales están a una misma
altura:
(1)
(2)
3
Reemplazando (2) en (1), encontramos:
.
Despejando, por ejemplo,
, se tiene:
(3)
Por otro lado, usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones
, encontramos que como los niveles A y B están a una misma altura:
, es decir:
Por lo tanto,
, que al reemplazar en ecuación (3) resulta:
• CIRCULACIÓN EN PARALELO
Cuando dos ciclistas andan en paralelo, puede ser debido a muchas causas, incluso relajarse y hablar. Pero
ante todo es una medida de seguridad y autodefensa, que todos deberían comprender. Me explico con un
ejemplo. Tu vas en coche por una carretera estrecha, y te encuentras con un tractor y su sirena, que va a 25
km/hora (más despacio que un ciclista). No se te ocurre pitarle, ni nada. Reduces, te pones a su velocidad, te
aseguras de que puedes adelantar con seguridad, y cuando te decides a hacerlo lo haces despacio y
separandote todo lo que puedas. Perfecto. Un 10 en seguridad vial. Fastidia encontrante en esta situación, pero
se da a menudo, y no queda más remedio que actuar de la forma anterior.
Ahora, sustituye el tractor por un ciclista. ¿Que es lo que se suele hacer?. Nada. Pasarle sin más. Reducir algo
si acaso (sobre todo si es subida o bajada con curvas, pero en llano...), separarse algo si acaso, y pasar al
obstaculo ese peligroso lo antes posible, antes de que tenga que perder excesiva velocidad porque viene un
coche de frente. Pero el automovilista no ha tenido en cuenta una cosa. Solo una cosa. El automovilista no ha
oido hablar del Teorema de Bernoulli, no sabe nada de fluidos, no sabe nada de rafagas de viento, no sabe
nada de rebufos, ni siquiera se la pasa por la cabeza que si pasa muy cerca y a gran velocidad, aparte del susto
y la situación de peligro (A Antonio Martín Velasco le mató un camión con su retrovisor. No se separó nada.
Iban dos ciclistas ¿en linea?, nunca se sabra exactamene, e iban dentro del arcen, eso seguro), el ciclista justo
en ese momento es absorbido irremediablemente a la carretera, con una fuerza proporcional a la velocidad y al
tamaño del vehiculo que lo adelanta. Los ciclistas lo sabemos, y por eso cuando oimos venir un coche, nos
aferramos fuertemente al manillar y nos concentramos para compensar la salida de la trazada. Incluso a veces,
un camión grande te hace perder totalmente el equilibrio a tu pesar. Ahora, sustituimos el ciclista por dos
ciclistas, ¿que ocurre?, exactamente lo mismo que con un ciclista, pues si van a rueda, acoplados, el conductor
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no se da cuenta que son dos hasta momentos antes de realizar la maniobra de adelantamiento, y reducir a estas
alturas es peligroso. ¿que ocurre si son tres y van en fila? ¿Y si son más?. Exactamente lo mismo, solo que la
maniobra de adelantamiento (que ha de producirse de todas maneras, vayan los ciclistas como vayan), se
alarga (más de 10 metros sólamente con 5 ciclistas. Imaginate con un pelotón de 20), y se hace cada vez más
peligrosa. ¿Habíais pensado alguna vez en esto?.
De esta manera, y como a veces hay poco respeto por parte de algunos automovilistas (un automovilista puede
encontrarse en su viaje con algún que otro ciclista, dependiendo del dia y de las carreteras, pero un ciclista,
como media es adelantado en cada salida por unos 200 − 500 coches. Con que la probabilidad de conductores
no respetuosos sea de 1/500, ya tenemos el accidente, y todos sabemos quien se lleva los arañazos y quien se
lleva la vida), y no podemos protegernos de otra manera, en algunas ocasiones (subidas, carreteras con curvas,
carreteras estrechas, carreteras sin arcén, que es donde precisamente algunos coches van trazando como
Carlos Sainz) nos tenemos que transformar en tractores. Nos ponemos en doble fila. Y esta es una tendencia
que se da más cuanto más numeroso es el grupo. El conductor es más respetuoso con un "bulto grande" que
con uno pequeño. Siempre que pueda, el ciclista facilita la maniobra de adelantamiento. Aunque no miremos
hacia atras, y vayamos en doble fila, hemos desarrollado un instinto que si no hace demasiado viento frontal,
percibimos el coche que se aproxima, y para cuando éste está cerca nos ponemos en fila de a uno. De todas las
maneras, no esta de más pitar, avisar al ciclista. ¿como se avisa al ciclista?. De nada sirve pitar a menos de 30
metros de distancia. Lo unico que se consigue es asustar. Se usan pitidos cortos, Uno o dos son válidos (el
oido del ciclista es muy fino. Siempre vamos a la defensiva), espaciados unos 2 segundos, y a una distancia de
100 metros. Tiempo este suficiente para prepararse al adelantamiento. Si consigues asustar al ciclista, y no se
cae, este te puede llamar de H. de P. para arriba y ya esta liada como el conductor esté de mas humor.
Otra cosa: El ciclista que no facilite (en cuanto le sea posible. A veces no es inmediatamente posible echarse a
la derecha, sobre todo en subida, si el deportista está cansado, si se le atranca el desarrollo, si es un pelotón
numeroso, y otras circunstancias. Esto suele exasperar al conductor. Por favor, paciencia, dadnos 5 segundos
para organizarnos) la maniobra de su propio rebasamiento, es un cafre y un inconsciente que está creando una
situación peligrosa (esto es el respeto mutuo). La mayoría de las veces que un grupo de ciclistas circule en
paralelo y ni si inmute, es porque el grupo considera que el conductor tiene espacio suficiente para adelantar
sin peligro, a velocidad cómoda, guardando 1,5 metros de distancia lateral, y que no viene ningún coche de
frente. Observar que muchas veces, en los arcenes caben ciclistas en paralelo sin necesidad de invadir la
calzada. ¿para que echar las culpas de nada en esos casos a los ciclistas, si los coches no deben circular por el
arcen?.
• AERODINÁMICA
Daniel Bernoulli (1700 −1782) fue el primero en desarrollar una teoría y una fórmula matemática para
mostrar la relación entre la velocidad y la presión de un fluido: cuando la velocidad del flujo aumenta, la
presión disminuye, y cuando la velocidad disminuye, la presión aumenta. Esto fue un descubrimiento muy
importante. Más personas comenzaron a experimentar con el vuelo, y a estas personas les fue posible utilizar
el teorema de Bernoulli para diseñar los perfiles aerodinámicos. El teorema muestra cómo se crea la
sustentación cuando una corriente aérea pasa sobre una ala. Ésta fue la información vital requerida para hacer
el vuelo posible.
BIBLIOGRAFÍA:
• http://usuraios.arnet.com.ar/marman/Proyecto_Final.htm
• http://wings.ucedavis.edu/libro/flight/advanced/PrincipiosdelVuelo−Aire−Avanzado.htm
• http://google.com/Búsqueda+Teorema+de+Bernoulli
• http://www.geocities.com/CollegePark/Gym/3905/index.html
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