Ejercicios

Ejercicios
1. Asigna una variable escalar n y define un vector N de componentes 1,2,...,n, de modo
que sea fácil obtener N para distintos valores de n. Comprueba que MATLAB puede
distinguir mayúsculas y minúsculas en los nombres de variable.
2. Representa gráficamente unos cuantos elementos de las sucesiones siguientes
an = sen(n/2)
bn = cos(n)
cn = (-1)n
dn = sen(n/36)
en = (1+1/n)n
fn = log n
Elige en cada caso un estilo de trazado que una los puntos o los deje aislados.
3. Dados dos números a < b, obtén un vector x cuyas componentes sean los extremos de los
intervalos obtenidos al dividir [a,b] en n partes iguales. El vector x tiene n + 1
componentes a las que llamamos a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Elegir adecuadamente
a, b y n para obtener representaciones gráficas de los valores en x de las siguientes
funciones:
a) f(x) = sen x
b) f(x) = cos x
c) f(x) = tg x
d) f(x) = sinh x
e) f(x) = cosh x
f) f(x) = tanh x
g) f(x) = log x
h) f(x) = exp x
i) f(x) = 1/x
2
2
j) f(x) = 1/x
k) f(x) = 1/(1+x )
l) f(x) = x/(1+x2)
4. Representa las siguientes funciones en coordenadas polares, considerando un intervalo
adecuado en cada caso
a)  = 5
b)  = 
c)  =sen 
d)  = cos 
e)  = sen(
f)  = cos(2
g)  = cos(2
h)  = cos1/2(2
i)  = cos2(2
j)  = tg(
k)  = exp(0.1
l)  = sec 
Nota : alguna de estas funciones aparecen en los diagramas de radiación de antenas.
5. Dado un número complejo z, generar y representar gráficamente un vector formado por
las sucesivas potencias de z : z, z2, z3, . . . , zn. Experimentar con complejos de módulo
menor, mayor e igual a 1.
6. Definir t = 0:/7:2. Representar gráficamente los complejos z = cos t + i sen t.
Representar (manteniendo el gráfico anterior con hold y cambiando el color o el estilo
de punto) los complejos z2, 1/z y z’ (conjugado de z). Repetir el problema con un
complejo de módulo 2.
7. Considera un polígono en el plano de vértices P0, P1, ..., Pn. Construye una matriz X =
[P0, P1, ..., Pn, P0] de tamaño 2(n+1) cuyas columnas sean las coordenadas de estos
puntos (repite el primero para cerrar el polígono). Representa gráficamente X'. Estudia el
efecto de las transformaciones siguientes representando (AX)' en cada caso:
 2 0
 3 0
 1 1
a) A  
b) A  
c) A  



 0 1
 0 1
 0 2
1 0 
d) A  

 0 1
 1 0
e) A  

 0 1
 1 0 
f) A  

 0 1
 cos
g) A  
 sen 
 sen  
 para  = /6, /4, /3, /2, -/6.
cos 
 cos
h) A  
 sen 
sen  
 para  = /6, /4, /3, /2, -/6.
 cos 
 2 1
i) A  

 1 2
 2 1
j) A  

 2 1
 1 0
k) A  
.
 0 0
Algunas de estas transformaciones tienen nombre propio. Identifica, entre las
transformaciones anteriores, giros, simetrías centrales y respecto a ejes y proyecciones.
La transformación a) se denomina homotecia de razón 2.
8. Representa las funciones siguientes
a) z = x2 + y2
b) z = x2 - y2
d) z = (x + y)2
e) z = x2y3
c) z = xy
f) z = sen x sen y
9. Una población P se divide en tres grupos de edad o generaciones: de 0 a 15 años, de 15 a
30 y de 30 a 45, a los que llamaremos niños, jóvenes y adultos. No se consideran en el
estudio los mayores de 45 años.
Estudiando censos realizados cada 15 años se observa que las tasas de natalidad y
mortalidad en cada grupo de edad son distintas, pero se mantienen constantes en los
distintos censos.
Sean a y b la fracción de niños y jóvenes, respectivamente, que sobreviven entre dos
censos; y c y d las tasas de natalidad en los grupos de jóvenes y adultos, respectivamente,
en el mismo periodo.
a) Sea p0 =(x0 ,y0 ,z0 ) la población inicial y pn =(xn ,yn ,zn ) la población al cabo de n
periodos de 15 años. Expresar matricialmente la relación entre dos censos consecutivos.
Expresar matricialmente la población al cabo de 150 años.
b) ¿Qué‚ relación han de verificar los parámetros de la población a, b, c y d para que cierta
distribución p*=(x*,y*,z*) se mantenga constante de un censo a otro? Hallar esta
distribución si a=b=2/3, c=7/6 y d=1/2 y sabiendo que la población total es de 190.000
individuos.
c) ¿Puede predecirse la evolución de una población con los parámetros a, b, c y d del
apartado anterior, partiendo de una distribución inicial arbitraria? En caso afirmativo
dibujar la pirámide poblacional límite.
d) Si inicialmente hay 233.280 individuos igualmente repartidos por generaciones, hallar la
población al cabo de 75 años.
Indicaciónes:
a) La cantidad de jóvenes de un censo se obtiene multiplicando la cantidad de niños del
censo anterior por la tasa de supervivencia, a. Lo mismo para los adultos. Los niños que
aparecen en un censo determinado proceden de la reproducción de los jóvenes y los
adultos, cada grupo con su tasa de natalidad correspondiente. Expresar estas relaciones
como un sistema de ecuaciones y pasarlo a forma matricial y=Ax.
b) Ax=x lleva a un sistema homogéneo que tendrá solución no trivial si det(A)=0.
c) Estudiar la evolución de An , cuando n aumenta.
d) Calcular A5 x, siendo x el vector que da la distribución inicial de la población.