Flujo de fluido-30-09

Complementario
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R. Lagos
INTRODUCCIÓN A LOS FLUIDOS
El fluido como un medio continuo se puede considerar a partir de un valor límite para la densidad, es
decir si la densidad se determina para valores de volúmenes mayores que 10-9 mm3.
El campo de velocidades es la propiedad más importante del flujo, esta interactua con las propiedades
termodinámicas del fluido.
Para cada posición r = (x, y, z) y tiempo t, es posible definir unívocamente los parámetros
termodinámicos
 = (r,t),
p = p(r,t),
T = T(r,t)
Para describir la velocidad, existen dos formas: Mecánica de Lagrange  Mecánica de la partícula
Método de Euler  Mecánica de Fluidos
v
Línea de Corriente
V=ui+vj+wk
con u = u(r, t) v = v(r, t)
w = w(r, t)
Sea  = (x, y, z, t) una función escalar cualesquiera, entonces es posible hallar el diferencial de ,
(d) es decir:
Φ
Φ
Φ
Φ
dΦ 
dx 
dy 
dz 
dt
x
y
z
t
dividiendo esta expresión por dt resulta,
d Φ dx Φ dy Φ dz Φ




dt
x dt
y dt
z dt
t
dΦ Φ
Φ
Φ
Φ

u
v
w
dt
x
y
z
t
dΦ Φ 

 v  
dt
t
NOTA:
Generalizando la operación, podemos ver que la función  puede representar a
cualesquiera de las variables escalares u, v, w, p, T, etc.
De acuerdo con el resultado anterior, pueden definirse las siguientes derivadas:
d

dt


t
Corresponde a la Derivada Material
Corresponde a la Derivada Local

v    Derivada Convectiva
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Definiciones
Flujo Permanente o Estacionario: Para un punto dado del espacio, en el cual existe un fluido en
movimiento, las propiedades del flujo y del fluido permanecen
constantes en el tiempo, es decir,
 ρ 
 v 
0
0
 
 
 t  r r0
 t  r r0
Si todas las propiedades cumplen con esta condición, se dice que el flujo es absolutamente estacionario.
Flujo Impermanente: Si alguna de las propiedades del flujo o del fluido varían con el tiempo para un
punto dado en el espacio ocupado por el fluido, el flujo se clasifica como no
estacionario.
 ρ 
 v 
0
0
 
 
 t  r r0
 t  r r0
Flujo Uniforme: Si las propiedades del fluido y del movimiento no cambian de un punto a otro para un
instante dado.
 ρ 
 v 
0
0
 
 
 r  t  t0
 r  t  t0
Cuando todas las propiedades cumplen con lo anterior el flujo es absolutamente uniforme.
Flujo Variado: Si alguna de las propiedades del fluido o de movimiento varían en el espacio para un
instante dado, entonces se dice que el flujo es variado.
 v 
0
 
 r  t  t0
La aceleración se puede expresar por:
ax 
du u
u
u
u

u
v
w
dt t
x
y
z
ay 
dv v
v
v
v

u
v
w
dt t
x
y
z
az 
dw w
w
w
w

u
v
w
dt
t
x
y
z
Lo anterior puede escribirse en forma compacta como;

dv

dt

v


t


v v 


 dv v 

a

 v v
dt t
Aceleración Total o Material
Aceleración Local
Aceleración Convectiva
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Ejercicio 1
El flujo a través de una tobera convergente, se puede aproximar por una distribución
unidimensional de velocidades u = f(x). Para la tobera mostrada en la figura, suponga que la velocidad
varía linealmente con la posición desde v0 a 3 v0.
a) Calcular la aceleración en función de x
b) Calcular la aceleración en la entrada y en la salida. Suponga que v0 = 10 m/s y L = 1 m.
x=0
x=L
vo
3 vo
Dado que el movimiento es unidimensional, entonces la velocidad se representa por una sola
componente, a saber, u. (Rapidez en el eje horizontal) Considerando ahora que la rapidez cambia
linealmente con la posición, podemos afirmar que u = v0 cuando x = 0 y que u = 3 v0 cuando x = L,
entonces:
u=Bx+C
considerando las condiciones iniciales, tenemos:
v0 = C y
3 v0 = B L + C = B L + v0

B = 2 v0/L
Reemplazando las constantes, se tiene que la distribución de velocidades en función de x es:
u = v0 [1 + 2 x/L]
La aceleración es:
0
du u
u
u
 2x  2v 0
a

u
u
 v 0 1 
dt t
x
x
L  L

Para x = 0, la aceleración es a = 2 v02/L = 200 m/s2.
Para x = L, la aceleración es a = 6 v02/L = 600 m/s2.
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FLUJO BIDIMENSIONAL O PLANO
La velocidad se puede expresar en término de una función de corriente , para ello consideremos
Si  v = 0 
vx 
Ψ
y
v x v y

 0 . Si consideramos ahora que :
x
y
; vy  
Ψ
x
 2Ψ  2Ψ

0
xy yx

con
2
2

xy yx
Consideremos por otro lado la identidad:
 x [v x ( x v)] = v  ( x v) – ( x v) ( v) + [( x v)] v – (v) ( x v)
 x [v x ( x v)] = [( x v)] v – (v) ( x v)
î

Tomando el rotor de velocidad  x v =
x
vx
î
k̂


=
z
x
0

y
ĵ

y
vy
ĵ

y
 
x
k̂

=  k̂  2 Ψ
z
0
Reemplazando el rotor, tenemos
 x [v x ( x v)] = [- k 2 ] v – (v) [- k 2)
 Ψ  2
Ψ  2 
 x [v x ( x v)] = (v) [ k 2) = k̂ 
 Ψ
 Ψ
x y
 y x

tomando en cuenta que


 



 2
(  v) 
 k̂  2 Ψ   k̂
 Ψ =  x [v x ( x v)], entonces,
t
t
t
 2
Ψ  2
Ψ  2
 
 Ψ
 Ψ0
t
x y
y x
La ecuación diferencial de las líneas de corriente en un flujo bidimensional es:
dx dy

vx vy

v y dx  v x dy  0
La dirección de la tangente a una línea de corriente es la dirección de la velocidad, es decir,
Ψ
Ψ
dx 
dy  0  dΨ  0  Ψ(x, y)  cte
x
y
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DINÁMICA DE FLUIDOS
Existen 3 técnicas básicas del análisis de los fluidos:



Volumen de control o análisis integral (Escala macroscópica)
Diferencial (Escala Microscópica)
Experimental o análisis dimensional
Teorema del Transporte de Reynolds
Sea N una propiedad extensiva del fluido. (Masa, cantidad de movimiento, energía, etc)
Sea η 
dN
una propiedad intensiva (Intrínseca)
dm
Lo anterior puede expresarse en términos de la densidad del fluido con la intensión de determinar N, es
decir,
N   η ρ dV
SC
VC
El teorema de Reynolds establece que:
 

 dN 

η ρ dV   η ρ v  dA

 dt 
 SISTEMA t
S
La variación total de una propiedad del sistema en el tiempo, es igual a la variación de esa propiedad en
tiempo del volumen de control mas el flujo neto de la propiedad a través de la superficie de control.
Flujo Neto en un problema unidimensional con una entrada y una salida:
Flujo 
 
η
ρ
v
 dA  η 2 ρ 2 v 2 A 2  η1 ρ1 v1 A1

n
n
v1
n
v2
Aplicando el teorema de Reynolds a la masa, se obtiene la conservación de la masa; en este caso, N = m,
dN dm
es decir η 

 1 de lo cual
dm dm
 

 dm 

0

dV

ρ
v
 t
  dA
 dt 
 SISTEMA
S
Si el volumen de control tiene cierto número de entradas y salidas, entonces
ρ
 t
dV  ρi Ai vi SALIDA  ρi Ai vi ENTRADA  0
Supongamos que el flujo en el interior del volumen de control es estacionario o permanente es decir,

 0 en este caso,
t
ρi Ai vi SALIDA  ρi Ai vi ENTRADA


 ρ v  dA  0
S
para el caso de una tobera, 1 A1 v1 = 2 A2 v2 y considerando además que el flujo sea incompresible
 = cte, entonces, A1 v1 = A2 v2
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ANÁLISIS DIFERENCIAL
Para el caso anterior,

 T dV  
 
ρ v  dA  0
S
ρ

 T dV     ρv dV  0
V
ρ

   ρv  0 Ecuación de Continuidad
T
pero,

 
  ρv  ρ   v  v  ρ
ρ
ρ

 
   ρv 
 ρ   v  v  ρ
T
T
d ρ
 

 ρ   v  v  ρ
dt T
Para flujo compresible estacionario,

  ρv  0
ρu  ρu  ρu 


 0 sistema cartesiano
x
x
x
flujo incompresible,
dρ

 0  ρ  0    v  0
dt
6