APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 2´5

APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 2´5
1-T2´5
POTENCIA DE UNA FRACCIÓN. EXPONENTE PAR/IMPAR:
Ya sabemos lo que es una potencia. Tienen una base y un exponente y cada nº indica una cosa en
concreto. Pues ahora nos vamos a encontrar potencias cuya base va a ser, generalmente, una fracción
positiva o negativa y un exponente que será un nº entero. Para calcular estas potencias, aunque parezcan
un poco raras, se hace de la misma manera, es decir, multiplicando la base la cantidad de veces que me
indique el exponente. Como sabemos multiplicar fracciones perfectamente, no debemos tener ningún
problema para calcular el resultado. Mirar estos ejemplos:
(-
3 2
3 3 9
) =- ·
=
4
4
4
16
1
1 1 1
1
(+ )3 = · · =
5
5 5 5 125
2 5
32
) = ... = 243
3
(
(+
10 4
10000
) = ... =
7
2401
Ahí te he puesto 4 ejemplos, las 4 posibilidades que tengo de encontrarme una potencia
combinando el tipo de base y el tipo de exponente, es decir, combinando bases positivas y negativas con
exponentes pares e impares. ¿Y qué observamos? ...
Pues lo que quiero que veáis es
el signo del resultado. Si lo miráis bien os daréis cuenta de que hay 3 resultados positivos y uno negativo.
¿Cuál es el que sale negativo? ¿Cómo tiene la base y el exponente? Pues la base es negativa y el
exponente impar.
¿Pasará siempre esto?
Pues obviamente sí, lo cual nos lleva a decir una
propiedad de las potencias que suelo preguntar en los controles y que dice
“El resultado de una potencia va a salir negativo cuando la base sea negativa y el exponente impar”
Cuando quiera hacer una potencia no debo multiplicar los signos las veces que me diga el
exponente. Bastará mirar cómo es la base y cómo el exponente y así saldrá el signo del resultado, es decir,
que si la base es negativa y el exponente impar pondremos directamente el signo “-”. En el resto de los
casos pondremos rápidamente el signo “+”.
Veamos ahora lo que pasa cuando en una potencia el exponente es par. Pongamos un ejemplo:
3 2
9
3
9
) =
y (+ )2 =
¿Qué ocurre? ¿Qué veis? Pues lo que ocurre es que si el exponente se
4
16
4
16
par, aunque cambiemos a la base de signo el resultado es el mismo. Esto nos lleva a la siguiente conclusión
(-
“Cuando el exponente de una potencia es par podemos cambiar a la base de signo y no pasa nada”
(-
3 2
3
) = (+ )2 ,,
4
4
5
5
11
11
(- )4 = (+ )4 ,, (+ )6 = (- )6
8
8
7
7
¿Qué pasa cuando el exponente es impar? Veámoslo en estos ejemplos:
5
5  5  5  125
(- )3 = - ·
·
=
8
8 8
8
512
que
5
5 5 5 125
(+ )3 = · · =
8
8 8 8 512
,,
Los resultados no son iguales, por lo
“Cuando el exponente de una potencia sea impar no se os ocurra cambiarle el signo a la base”
5
5
(- )3  (+ )3
8
8
,,
9
9
(- )7  (+ )7
2
2
,,
(+
15 5
15
)  (- )5
4
4
OPERACIONES CON POTENCIAS:
Las operaciones que se pueden
hacer con este tipo de potencias son las mismas de siempre. Aquí os las presento con sus ejemplos
- Suma y resta:
lo de siempre, se calculan las potencias y se suman o se restan los resultados.
(-
3 2
3
1
9
 27 1 36  27  4
5
) + (- )3 - (- )4 =
+
=
=
4
4
2
16
64 16
64
64
- Multiplicación: cuando tengan la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes.
5
5
5
5
5
(- )3 · (- )4 · (- ) · (- )-2 = (- )6
8
8
8
8
8
- División: cuando tengan la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.
9 7
9
9
15
15
15
11
11
11
) : (- )5 = (- )2 ,, (+ )5 : (+ )9 = (+ )-4 ,, (+ )-6 : (+ )-9 = (+ )3
2
2
2
4
4
4
7
7
7
- Potencia de potencia: se deja la base que hay y se multiplican los exponentes.
(-
2-T2´5
9
9
5
5
5
5
5
[(- )5]9 = (- )45 ,, (- )-2 · [(- )-2]7 = (- )-2 · (- )-14 = (- )-16
2
2
8
8
8
8
8
RESULTADOS CON EXPONENTES NEGATIVOS:
En el tema 1 de este curso
hemos visto que cuando tenemos un resultado con un exponente negativo había que hacer un pasito para
convertirlo en positivo. Aquí y ahora tendremos que hacer lo mismo, pero cambiándolo de forma, tal que
así
15
15
15
15
4
154
44
(+ )-4 = (+ )0 : (+ )4 = 1 : (+ )4 = 1 : 4 = 4 = (+ )4 Observad el principio y el final.
4
4
4
4
15
4
15
5
8
a
b
Podemos sacar la siguiente propiedad importante: (- )-2 = (- )2 ,, (- )-n = (- )n y se resume
8
5
b
a
diciendo que “para pasar una potencia con exponente negativo a exponente positivo, hay que hacerle
la inversa a la base, es decir, se le da la vuelta a la base. Lógicamente, y viceversa”
TRUCOS CON LAS OPERACIONES CON POTENCIAS:
En ocasiones, las potencias
que se nos presentan no tienen la misma base, como nos pasaba en anteriores temas. Ahora nos surgirá la
misma pregunta, ¿no se podrán hacer? Nada de eso. Habrá que estar atentos a las potencias para poder
continuar con ellas y llegar así al resultado. Veamos estos trucos
1- Base + y - : Vemos las potencias con las bases iguales pero de diferente signo. En estos casos,
aprovechamos la propiedad que decía que cuando una potencia tenía exponente par se le podía cambiar el
signo a la base y no pasaba nada, ya que el resultado era el mismo.
8
8
8
8
8
8
8
(- )7 · (+ )2 · (- )-3 = (- )7 · (- )2 · (- )-3 = (- )6
5
5
5
5
5
5
5
2- Bases inversas : Vemos las potencias con los nos de las bases intercambiados. Aquí
aprovechamos la propiedad que hemos visto un poquito más arriba, la de cambiar el exponente de signo.
(-
9 45
2
9
9
9
) : (- )25 = (- )45 : (- )-25 = (- )70
2
9
2
2
2
3- Simplificar la base : Se ven las potencias con las bases diferentes. Debemos mirar cuál de ellas
se puede simplificar, por lo general la que tiene las cifras mayores, y nos dará la base con las cifras
menores. ¿Qué le pasa a la potencia cuando se le simplifica la base? Pues como las fracciones son
equivalentes, al exponente de la potencia no le pasa nada.
(+
15 4
15
45 -3
15
15
15
15
) · (+ )7 · (+
) = (+ )4 · (+ )7 · (+ )-3 = (+ )8
4
4
12
4
4
4
4
4- Potencia de la base : Se ven también las bases diferentes, pero en este caso no se puede
simplificar la base que tiene las cifras mayores. Esto significa que probablemente se pueda convertir en
una potencia cuya base sea la misma que la que tiene las cifras menores. Veámoslo en este ejemplo
8
512
8
8
8
5
(- )2 : () = (- )2 : (- )3 = (- )-1 = (- )
5
125
5
5
5
8
5- Potencia de potencia : Es lo mismo de antes, pero ahora la potencia que tiene las cifras
mayores está elevada a un exponente cualquiera. Aquí está el ejemplo
(-
9 7
729 -8
9
9
9
9
9
2
) · () = (- )7 · [(- )3]-8 = (- )7 · (- )-24 = (- )-17 = (- )17
2
2
2
2
2
2
9
8
6- Exponente “0” : Tenemos potencias de diferente base, no se puede hacer nada de lo anterior,
pero nos damos cuenta de que una de las potencias está elevada a exponente “0”. Como la potencia que
está elevada a “0” es igual a “1”, y al multiplicar por “1” sale el mismo factor, veamos qué pasa
(-
3 2
3
9
3
3
3
3
3
3
4
) · (- )-6 · (- )0 · (- )-5 = (- )2 · (- )-6 · 1 · (- )-5 = (- )-9 · 1 = (- )-9 = (- )9
4
4
2
4
4
4
4
4
4
3
EJERCICIOS
3-T2´5
8
7
3
1
1
9
2
1.- Calcula las siguientes potencias: (- )2 ,, (+ )3 ,, (- )-2 ,, (- )4 ,, (+ )6 ,, (- )2 + ( )3
5
2
4
3
10
2
4
2.- Realiza estas operaciones con potencias:
4 4
4
4
) · (+ ) · (+ )10
3
3
3
1 -23
1
d) (- ) ·
5
625
1
g) (- )8 : (- 3)5
3
4
5
j) (- )19 : (- )-3
5
4
125 -4
5
m) () : (- )5
8
2
7 -5
3 -9
o) (- ) : (- )
3
7
4
20
r) (- )-12 : ( )-10
7
35
a) (-
4 -3
4
9
) · (- ) · (- )-4
9
9
4
3 -17
9 -5
e) (- ) : (+ )
7
49
10
13
h) [(- )-5]2 : (- )17
13
10
2 5
3
k) () : (- )6
20
30
3
3
n) (- )2 + (- )3
4
4
1000 2
10
p) () : (- )4
3
27
7
7
7
s) (+ )3 · (- )6 · (+ )-15
2
2
2
7 4
35
) · (- )-10
2
10
2 7
9 0
2
f) (- ) · (- ) · (- )-5
5
7
5
1
1
i) (- )4 : (+ )8
7
7
1
1
l) (+ )5 : (- )10
4
2
1
1
ñ) (+ )10 : (- )15
2
2
1 24
1
1
q) [( ) ] · (- )-5 · ( )-2
2
8
32
1
1
9
t) (- )4 + (- )3 + (- )0
3
3
7
b) (-
c) (-
RADICALES CUADRÁTICOS:
Se llaman radicales cuadráticos a todas
aquellas raíces que tienen un “2” en el índice, es decir, son las raíces cuadradas.
Las partes de un radical son
ÍNDICE
= RAÍZ (nº)
SIGNO RADICAL
RADICANDO
Existen raíces cuyo índice es “3”, por ejemplo, y se llaman raíces cúbicas. Se hacen igual que las
cuadradas pero en vez de encontrar un nº que cuando lo elevemos al cuadrado salga el radicando, en estos
casos habrá que elevar ese nº al cubo para que nos dé ese radicando. Si fuesen raíces cuartas, pues habría
que elevar el nº a la cuarta potencia,...
Para hacerle una raíz cuadrada que tiene una fracción en el radicando se procede de dos formas
diferentes, según si los nos de la fracción son cuadrados perfectos o no:
a) Si los dos nos son cuadrados perfectos se procedería así
9
=
49
(  3) 2
=
( 7) 2
3
3
( ) 2 = 
7
7
b) Si uno o los dos nos no son cuadrados perfectos, se hace la división de la fracción y al resultado
se le hace la raíz cuadrada sacándole un par de decimales.
9
=
8
9 : 8 = 1´125   1´06
EJERCICIO
1
4
7
1
25
81
,,
,,
,,
,, ,,
625
100
2
16
32
121
PRODUCTO DE RADICALES CUADRÁTICOS:
4-T2´5
Veamos primero una serie de raíces cuadradas (radicales cuadráticos) para luego sacar la propiedad
correspondiente.
¿Qué propiedad sacamos?
9 · 4 = 3 · 2 = 6 ,, Por otro lado hacemos 9 · 4 = 9 · 4 = 36 = 6.
3.- Haz la raíz cuadrada a estas fracciones:
Si
9·
4 es igual a 6 y
9 · 4 también es igual a 6, podremos decir que
9·
4=
9 ·4
En general, podremos decir que “la multiplicación de 2 radicales cuadráticos es igual a un solo radical
cuyo radicando es la multiplicación de los 2 radicandos anteriores”. Por tanto, podríamos poner
7·
8=
7 · 8 y en general diremos que
a· b=
a ·b =
ab
DIVISIÓN DE RADICALES CUADRÁTICOS:
Volvamos a ver otra serie de radicales cuadráticos para luego sacar la propiedad correspondiente.
3
3
3
9
9 3
9
=
=  ,, Por otro lado hacemos 9 : 4 =
=
= ... = ( ) 2 = 
9 : 4=
2
2
2
4
4 2
4
3
9
también es igual a  , podremos decir que
2
4
9
9
9
9
9
9
=
y también, por tanto,
=
= 9 : 4 , y viceversa, es decir, 9 : 4 =
=
4
4
4
4
4
4
En general, podremos decir que “la división de 2 radicales cuadráticos es igual a un solo radical cuyo
radicando es la división (fracción) de los 2 radicandos anteriores”. Por tanto, podríamos poner
¿Qué propiedad sacamos? Si
15
=
61
15
61
9 : 4 es igual a 
,, también
14
75
=
14
75
3
y
2
y en general diremos que
a
=
b
a
b
ó
a
=
b
a
b
POTENCIACIÓN DE RADICALES CUADRÁTICOS:
Aquí también vamos a empezar con un ejemplo para luego sacar la propiedad que corresponda. Fíjate en el
radical del comienzo y en el del final. ¿Serías capaz de sacar tú mismo/a dicha propiedad?
( 7 )5 =
7· 7· 7· 7· 7=
7 ·7 ·7 ·7 ·7 =
75
¿Sacas la propiedad? Pues venga
( 19 )6 = _________ En general, podremos decir que “cuando a una raíz cuadrada está como base de
una potencia, el exponente al que está elevada se introduce en el radical y se le coloca al radicando”.
Por tanto, podríamos poner ( a) n =
an
SACAR LO MÁXIMO DE UN RADICAL CUADRÁTICO:
Si 4 es igual a 2 también puede ser porque 4 = 2 2 , como la raíz cuadrada y elevar al cuadrado son
dos operaciones opuestas, se pueden tachar y nos quedaría sólo el 2, que sería el resultado. Entonces
4=
2 2 = 2 y también
25 =
52 = 5 o también
121 = 112 = 11
Para sacar lo máximo de un radical cuadrático, hay que descomponer en factores primos el radicando y
todo lo que esté elevado al cuadrado se marchará fuera y lo que no se quedará dentro. Veamos los
ejemplos siguientes
18 =
56 =
22 · 2 · 7 =
2 · 32 =
2 · 32 =
22 · 2 · 7 = 2 ·
98
=
9
98
9
=
2 · 72
32
2·3=3·
2· 7=2·
=
7· 2 7
=
3
3
2=3 2
2 · 7 = 2 · 14 = 2 14
2
25
=
28
25
52
=
5
=
=
5· 1
5
·
2
=
1
7
28
22 · 7 2 · 7 2 · 7
METER UN Nº EN UN RADICAL CUADRÁTICO:
5-T2´5
Es el paso contrario a lo que hemos explicado anteriormente. Se supone que un nº que está multiplicando
a un radical es porque antes estaba dentro “elevado al cuadrado”, y por eso salió fuera. Por lo tanto, si
quiero meter un nº cualquiera en un radical, “lo elevaremos al cuadrado multiplicando al radicando que
ya esté en el interior”. Veamos algún ejemplo
6·
6 2 · 2 = 36 · 2 =
2=
3
1
( )2 · =
7
7
1
=
7
3
·
7
,,
72
9 1
· =
49 7
9
343
EJERCICIOS
4.- De los siguientes rad. cuad., señala los que son racionales: 16 ,,
5 ,,
9
,,
16
5.- Calcula con una aproximación hasta la milésima, los siguientes radicales: 15 ,,
4 ,,
8 ,,
125
169
2 ,,
14
9
6.- Realiza los siguientes productos: 7 · 5 ,, 4 · 3 ,, 11 · 12 ,, 10 · 5 ,, t · x
7.- Copia y completa los nos que faltan: 42 = 7 · ¿? ,, 18 = ¿? · 6 ,, 48 = ¿? · ¿?
8.- Escribe, de dos modos distintos, los siguientes radicales como producto de dos radicales:
44 ,, 28 ,, 140 ,, 14 ,, 69 ,, 36 ,, 90 ,, 102
50
121
68
,,
,,
49
12
27
2
1 1
10.- Introduce en el radical: 5 8 ,, 4 12 ,, 3 5 ,, 2 7 ,, 5 6 ,, 10 9 ,,
7 ,, 5
8 5
11.- Copia y completa los nos que faltan: 63 = 3 ¿? ,, 80 = ¿? 5 ,, ¿? 2 = 18 ,, 7 ¿? = 245
9.- Saca lo máximo del radical:
18 ,,
54 ,,
1100 ,,
48 ,,
847 ,,
12.- Saca lo máximo de: 50 : 48 ,, 48 : 9 ,, 144 : 8 ,, 250 : 5
13.- Saca lo máximo de las siguientes potencias: ( 12 )3 ,, ( 18 )5 ,, ( 3 )4 ,, ( 20 )7 ,, ( 2 )5
14.- Señala 10 radicales cuadráticos semejantes a 3 7 .
15.- Comprueba que 48 , 75 y 12 son radicales semejantes. Luego, calcula 48 + 75 - 12 .
16.- Realiza las siguientes operaciones:
a) 12 - 18 + 98
j) 20 - 45 + 6 5 - 5
b) 18 - 75 + 24
k) 162 + 200 - 10 2 - 3 5
c) 24 - 54 + 150
l) 28 - 63 - 700 + 2 7
d)
45 +
48 -
24
m)
9
5
81
+
5
e)
9
+
50
49
2
1
32
n)
45 +
20 -
f)
32 -
48 + 108 -
g)
20 -
245 + 3 5
o) 2
h)
8
+
3
54
2
-4
3
3
p)
i)
27 +
300 - 12
q)
72
ñ) - 5 18 +
15 4
27 5
2
3
49
5
6
8 -
60
12
24
294 +
5
16
4
-2
50
18
8 ·
3 + ( 2 )5
5
1500
3
·
+
21
48
7
2 54
9 25
2500
1 3
+(
)
128
2
-
17.- Invéntate una suma de tres radicales cuadráticos cuyo resultado sea -
15
4
3 , y uno de los sumandos
sea 2 3 .
TRABABO DEL TEMA 2´5
6-T2´5
I.- Realiza estas operaciones con potencias:
2
2
2
6
6
1) (- )6 · (- )10 · (- )-4
13) (+ )-5 · [(- )2]-3
5
5
5
5
5
3
3 -9
3 4
7 10
7 7
2) (- ) · (- ) · (- )
14) (+ ) : (- )
8
8
8
8
8
2 9
2 8
2 -7
3 83
3
3) (- ) · (+ ) · (- )
15) (- ) : (- )14
5
5
5
10
10
1
1
1
2
3
2
4) (+ )10 · (+ )-9 · (+ )-14
16) (- )3 · (- )0 · (- )-8
3
3
3
5
7
5
2
4
7
7
7
5) (- )12 · (+ )-4
17) (+ )-9 · (+ )15 · (+ )-5
9
18
2
2
2
7 -5
7 10
1 -6
1 4
1 37
6) (- ) : (- )
18) (+ ) : (+ ) · [(+ ) ]
4
4
8
8
8
3 2 -3
3 -9
3 7
3 4
7) [(- ) ] : (- )
19) (- ) : (+ )
2
2
5
5
1
1
1
2
2
8) (- )2 · (- ) : (- )12
20) [(- )10]-3 : [(- )7]-2
4
4
4
5
5
2
8 4
2
1
1
1
9) (+ )3 · (+
) · (+ )-2
21) (+ )12 : (+ )4 : (+ )8
3
27
3
5
5
5
5 4
5 32
1 19
1 -7
1 -24
10) (- ) · (- )
22) (- ) · (- ) · (- )
4
4
3
3
3
1 -7
49
7
11) (+ ) · (+ 6)10
23) ()4 : (- )3
6
14
2
4
4
4
3
3
3
12) (- )-10 · (- ) · (- )9
24) (- )4 · [(- )5]-3 : (- )-20
3
3
3
2
2
2
10 -10
10
) : (+ )-11
9
9
2 14
2 -2
2
26) (+ ) · (+ ) · (+ )0
3
3
3
49 12
7 18
27) (+
) : (- )
100
10
2
2
28) (+ )-7 : (+ )10
7
7
8
8
29) (+ )-9 · (+ )-12
5
5
8 -14
3 -10
30) (- ) : (- )
3
8
1 -10
1
1
31) (- ) · [(- )-3 : (- )19]
10
10
10
7
7
7
32) (+ )16 : [(- )2 · (- )-6]
4
4
4
8
3
33) (- )10 : (+ )0
3
5
2 -3
2
2
34) (+ ) · (+ )17 · (+ )-20
15
15
15
1
1 15
35) (+ ) · (+ )
81
3
2
1
36) (- )-7 : (- )-4
5
3
25) (+
II.- Sustituye por los nos correspondientes los espacios donde aparecen los signos “¿?”:
1
1
1
9
9
9
a) (- )-6 · (- )¿? · (- ) = (¿?)-2
g) (+ )-3 · (+ )7 · (+ )¿? = 1
8
8
8
5
5
5
7
7
5
6
6
6
b) (+ )11 · (+ )¿? = +
h) (- )-12 : (- )¿? = (- )3
5
5
7
5
5
5
2
2
2
2
2
2
c) (- )-9 : (- )¿? = (- )-12
i) (- )14 · (- )¿? · (- )-9 = (¿?)-4
5
5
5
3
3
3
4
4
4
4
9
d) (¿?)-4 · (- )¿? = (¿?)24
j) (- )10 · (- )-6 · (- )¿? = (- )10
11
9
9
9
4
3 ¿? 5
3 -2
3 -8
3 ¿?
3 ¿?
3 -8
e) [(- ) ] : (- ) = (- )
k) (+ ) : (+ ) = (+ )
7
7
7
5
5
5
2
2
2
2
2
2
f) (+ )¿? : (+ )12 = (+ )7
l) (- )4 : (- )¿? = (- )-3
3
3
3
9
9
9
III.- Opera con estos radicales:
a) Saca lo máximo de
8 ·
6
d)
b) También saca lo máximo de ( 12 )5
c) Introduce en el radical 42 ·
3
10
8 + 2 50 - 5 98
e) 12 f) - 3
2
27
+
7
5
75 - ( 3 )3
4
9
2
- 2 25 + 7
125
20
5
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 2º de ESO