Ex .

Matemáticas II
2º Bachillerato
CONTROL ÁLGEBRA
a
1.- Sabiendo que
b c
1 1 1 = −2 , aplica las propiedades de los determinantes para calcular,
x y z
sin desarrollar:
a
−1 − x
a) − b
1
y
−c
1
z
1
b)
1
b + 2y c + 2z
a + 2x
1
1
1
x
y
z
c) 2a
1
1
2b
2c
x −1 y −1
z −1
2.- Resuelve la ecuación X ⋅ A = B + C
⎛1 1 0 ⎞
⎛2
⎟
⎜
⎜
siendo A = ⎜ 0 1 1 ⎟ , B = ⎜ 1
⎜
⎟
⎜
⎝ 0 0 1⎠
⎝2
0
1
0
0⎞
⎛1 1 0 ⎞
⎟
⎟
⎜
2 ⎟ y C = ⎜0 1 0⎟
⎟
⎜
⎟
1⎠
⎝0 1 2 ⎠
3.- Discute, según los valores de m, el rango de las matrices:
⎛1 2 m ⎞
⎜
⎟
B = ⎜2 m 8 ⎟
⎜
⎟
⎝ 3 6 12 ⎠
1 ⎞
⎛−1 m 1
⎜
⎟
A = ⎜2 − 1 − 2 − 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ m − 3 − 1 − 3⎠
⎛a
1 ⎞
⎟ siendo a un número real.
4.- Considera la matriz A = ⎜⎜
⎟
⎝0 − a⎠
⎛ 12 − 1 ⎞
⎟
⎟
⎝ 0 20 ⎠
a) Calcula el valor de a para que A2 − A = ⎜⎜
b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y At
5.- Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuélvelo cuando sea compatible:
5x − 11y + 9z = a ⎫
⎪
x − 3y + 5z = 2 ⎬
3x − 7 y + 7z = 3 ⎪⎭
Matemáticas II
2º Bachillerato
SOLUCIONES
a
a
b c
−1 − x
1.- 1 1 1 = −2 → a) − b
x y
z
1
−c
− a −1 − x
y = ( −1) b
1
z
c
a
1
x
1
y = ( −1)( −1) b
1
1
z
1
y = 1 1 1 = −2
z x y z
c
a
b c
t
(teniendo en cuenta que A = A
a + 2x
b + 2y c + 2z
1
x
b)
1
y
1
c) 2a
1
2b
2c
x −1 y −1
b
= 1
1
z
1
a
1
2x 2y 2z
1 1 + 1
y z x
x
1
c
1
1
1 1 = −2 + 0(F1 y F3 proporcionales) = −2
y z
1
1
1
= 2a 2b 2c + 2a 2b 2c = 2 a
x
z −1
y
−1 −1 −1
x
1
b
y
a
c + 0 F2 ↔ F1 2( −1) 1
z
x
b
0
ahora los adjuntos:
A11 =
1
1
0
1
A23 = −
= 1; A12 = −
1
1
0
0
A
1
0
1
= 0; A31 =
t
−1
0
= 0; A13 =
1
0
1
1
0
1
0
0
= 1; A32 = −
= 0; A21 = −
1
0
0
1
⎛1 0 0 ⎞
⎛1 − 1 1 ⎞
⎛3
⎟
⎜
⎟
⎜
1⎜
= ⎜ − 1 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 − 1 ⎟ → X = ⎜1
1⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 1 − 1 1⎠
⎝2
⎝0 0 1 ⎠
1
0
0
1
= −1; A33 =
= −1; A22 =
1
1
0
1
1
0
0
1
0 ⎞⎛ 1 − 1 1 ⎞ ⎛ 3 − 2 2 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟⎜
1 1 ⎟
2 2 ⎟⎜ 0 1 − 1 ⎟ = ⎜ 1
⎟
⎟ ⎜
⎟⎜
1 3 ⎠⎝ 0 0 1 ⎠ ⎝ 2 − 1 4 ⎠
1
1 ⎞
⎛− 1 m 1
⎜
⎟
1 1
3.- A = ⎜ 2 − 1 − 2 − 1 ⎟ →
≠ 0 ⇒ el rango de M puede ser 2 o 3
−2 −1
⎜
⎟
⎝ m − 3 − 1 − 3⎠
orlamos el menor:
m
1
1
=1
=1
⎫
⎪
− 1 − 2 − 1 = 6m + 3 + 1 − 6 − m − 3 = 5m − 5 = 0⎪
⎪
−3 −1 −3
⎪
⎬⇒m=1
1
−1 1
⎪
2 − 2 − 1 = −6 − m − 2 + 2m + 1 + 6 = m − 1 = 0 ⎪
⎪
⎪⎭
m −1 −3
Para m = 1 el rango es 2
Para m ≠ 1 el rango es 3
c
1 1 =4
y z
0 ⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎛ 3 1 0 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
1 2 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜1 2 2 ⎟
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
0 1 ⎠ ⎝ 0 1 2 ⎠ ⎝2 1 3 ⎠
→ X = (B + C )A−1 , hallemos la inversa de la matriz A → A = 1 ,
⎛2
⎜
2.- X ⋅ A = B + C → B + C = ⎜ 1
⎜
⎝2
X ⋅ A ⋅ A−1 = (B + C) ⋅ A−1
z
1
Matemáticas II
2º Bachillerato
⎛1 2 m ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ 2 m 8 ⎟ → en principio no hay ningún menor de orden 2 distinto de cero, luego el
⎜
⎟
⎝ 3 6 12 ⎠
rango podría ser 1, 2 o 3, veamos el determinante (ya que es una matriz cuadrada):
1
2
m
2
m
8 = 12m + 12m + 48 − 3m2 − 48 − 48 = −3m2 + 24m − 48 = 0 ⇒ m2 − 8m + 16 = 0
3
6
12
→m=4
⎛1 2 4 ⎞
⎜
⎟
Para m = 4 → B = ⎜ 2 4 8 ⎟ rango 1, las tres filas son proporcionales
⎜
⎟
⎝ 3 6 12 ⎠
Para m ≠ 4 el rango es 3, ya que el determinante de B es distinto de cero.
2
0 ⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎛ a2 − a − 1 ⎞ ⎛ 12 − 1 ⎞
⎛ a 1 ⎞⎛ a 1 ⎞ ⎛ a 1 ⎞ ⎛⎜ a
⎟−⎜
⎟=⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
4.-a) A − A = ⎜⎜
⎟⎜ 0 − a ⎟ − ⎜ 0 − a ⎟ = ⎜
⎜0 − a⎟ = ⎜
2⎟
2
⎟ ⎜⎝ 0 20 ⎟⎠
0
−
a
0
a
0
a
a
+
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
a2 − a = 12 ⎫⎪
a2 − a − 12 = 0 ⎫⎪ a = 4, a = −3
⇒ a = 4 para que sean iguales
⎬⇒ 2
⎬
a2 + a = 20⎪⎭
a + a − 20 = 0⎪⎭ a = 4, a = −5
2
⎛ 2a 2 ⎞
⎟ ⇒ 2A = −4 a2
⎟
⎝ 0 − 2a ⎠
b) 2A = ⎜⎜
⎛a 0⎞
⎟ ⇒ At = − a 2
At = ⎜⎜
⎟
⎝1 − a ⎠
5x − 11y + 9z = a ⎫
⎛ 5 − 11 9 a ⎞
⎛1 − 3 5 2 ⎞
⎜
⎟ F ↔F ↔F ⎜
⎟ F −3F
⎪
1
2
3
2
1
5.- x − 3y + 5z = 2 ⎬ → ⎜ 1 − 3 5 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→⎜ 3 − 7 7 3 ⎟ ⎯⎯
⎯
⎯
→
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
3x − 7 y + 7z = 3 ⎭
⎝3 − 7 7 3⎠
⎝ 5 − 11 9 a ⎠
2
2 ⎞
⎛1 − 3 5
⎞
⎛1 − 3 5
⎛1 − 3 5 2 ⎞
⎟ F −2F ⎜
⎟
⎜
⎟ F − 5F ⎜
3
1
3
2
→ ⎜ 0 2 − 8 − 3 ⎟ ⎯⎯ ⎯
⎯→⎜ 0 2 − 8 − 3
⎯→⎜ 0 2 − 8 − 3 ⎟
⎟ ⎯⎯ ⎯
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 5 − 11 9 a ⎠
⎝ 0 4 − 16 a − 10 ⎠
⎝0 0 0 a − 4⎠
Para a = 4 → Sistema Compatible Indeterminado
Lo resolvemos:
x − 3y + 5z = 2 ⎫
8z − 3
8z − 3 4 − 10z + 24z − 9 14z − 5
→ x = 2 − 5z + 3
=
=
⎬⇒y=
2y − 8z = −3⎭
2
2
2
2
14t − 5
⎧
⎪x =
2
⎪
8t − 3
⎪
SOL : ⎨y =
2
⎪
⎪z = t
⎪
⎩
Para a ≠ 4 Sistema Incompatible