Examen de geometría analítica del plano. Curso 2011/2012

Examen de Geometría analítica del plano
30/5/2012
Ejercicio 1.
Los vectores u y v forman un ángulo de 60o y, además, u = 5 y u ⋅ v = 15
−
Calcula u ⋅ ( u + v ) y 2v ⋅ ( 3u − v )
−
Halla la longitud del vector u − v
1
Como u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos 60o ⇒ 15 = 5 ⋅ v ⋅ ⇒ v = 6
2
2 2
u ⋅ ( u + v ) = u ⋅ u + u ⋅ v = u + u ⋅ v = 5 + 15 = 40
2
2v ⋅ ( 3u − v ) = 6u ⋅ v − 2v ⋅ v = 6u ⋅ v − 2 v = 6 ⋅ 15 − 2 ⋅ 62 = 18
La longitud de u − v es u − v
u − v = (u − v ) ⋅ (u − v ) = u ⋅ u − u ⋅ v − v ⋅ u + v ⋅ v =
2
2
u − 2u ⋅ v + v = 25 − 2 ⋅ 15 + 36 = 31
Ejercicio 2.
De un rombo conocemos el vértice A ( −3, 2 ) , la ecuación de la recta que contiene a uno de los lados
r1 ≡ 7 x − 4 y = 10 y la ecuación de la recta que contiene a una de las diagonales d1 ≡ 5x − y + 4 = 0 .
Calcula las coordenadas de los demás vértices y el área del rombo.
El punto A no está en las rectas que contienen
a la diagonal y al lado, con lo que lo situamos
fuera de ellas. Esta es una posible situación.
7 x − 4 y = 10
Así B = r1 ∩ d1 ⇒ 
⇒ B = ( −2 , − 6 )
 5 x − y = −4
La otra diagonal d 2 es perpendicular a d1 y pasa por A
 A ( −3, 2 )
x+3 y−2
d2 ≡  ⇒ d2 ≡
=
⇒ d2 ≡ x + 5 y = 7
5
−
1
u
=
5,
−
1
(
)

7 x − 4 y = 10
C = r1 ∩ d 2 ⇒ 
⇒ C = ( 2,1)
x + 5y = 7
También podríamos haber cortado las dos diagonales, obteniendo el centro del rombo que sería
el punto medio de A , C y de B , D ; condición suficiente para sacar ambos vértices.
Aún así vamos a obtener el punto D como corte de la recta r2 , que contiene al lado AD, con d1.
 A ( −3, 2 )
x+3 y−2
r2 es paralela a r1 y pasa por A ⇒ r2 ≡  ⇒ r2 ≡
=
⇒ r2 ≡ 7 x − 4 y = −29
4
7
v = ( 4 ,7 )
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[1]
Matemáticas I
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D = r2 ∩ d1
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7 x − 4 y = −29
⇒ D = (1,9 )

 5 x − y = −4
AC ⋅ BD
Ahora la forma más rápida de calcular el área del rombo es : Área =
2
AC = ( 5, − 1) ⇒ AC = 26 
26 ⋅ 234
2 ⋅ 13 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 13
⇒
=
=
= 39 u 2
Área

2
2
BD = ( 3,15) ⇒ BD = 234 

Ejercicio 3.
Sean los vectores u1 = ( 2 , − 1) y u2 = ( −1, 3) , cuyas coordenadas están expresadas en la base canónica
{e1 , e2 } .
−
−
Encuentra el ángulo que forman u1 y u2 .
Si el vector v tiene coordenadas v = ( 5, − 3) en la base {e1 , e2 } , calcula las coordenadas de v en la
base {u1 , u2 } .
2
u1 = ( 2, − 1) ⇒ u1 = 2 2 + ( −1) = 5
u2 = ( −1,3) ⇒ u2 =
( −1)
2
+ 32 = 10
−5
−1
u1 ⋅ u2 = u1 ⋅ u2 ⋅ cos α ⇒ 2 ⋅ ( −1) + ( −1) ⋅ 3 = 5 ⋅ 10 ⋅ cos α ⇒ cos α =
⇒ cos α =
⇒ α = 135o
50
2
v = ( 5, − 3) en la base {e1 , e2 } ⇒ v = 5e1 − 3e2
v = ( x , y ) en la base {u1 , u2 } ⇒ v = xu1 + yu2 ; además u1 = 2e1 − e2 , u2 = − e1 + 3e2
Entonces 5e1 − 3e2 = xu1 + yu2 ⇒ 5e1 − 3e2 = x ( 2e1 − e2 ) + y ( − e1 + 3e2 ) ⇒
12

x=

5 = 2 x − y

5
⇒ 5e1 − 3e2 = ( 2 x − y ) e1 + ( − x + 3 y ) e2 ⇒ 
⇒ 
 −3 = − x + 3 y
y = −1

5
 12 1 
v =  , −  en la base {u1 , u2 }
5
 5
12 1 ⇒ v = u1 − u2
5
5
Ejercicio 4.
Sea el segmento de extremos A ( 4, − 4 ) y B ( −2 ,11) . Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a
r ≡ 2 x + y − 3 = 0 , que dividen dicho segmento en tres partes iguales.
Debemos calcular los dos puntos que dividen al segmento en tres partes iguales
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AB = ( −6,15)
Las coordenadas del punto C son las mismas que las del vector OC
1 1
OC = OA + AC ⇒ OC = OA + AB ⇒ OC = ( 4 , − 4 ) + ( −6,15) ⇒ OC = ( 2 ,1) ⇒ C = ( 2,1)
3
3
Las coordenadas del punto D son las mismas que las del vector OD
2 2
OD = OA + AD ⇒ OD = OA + AB ⇒ OD = ( 4, − 4 ) + ( −6,15) ⇒ OD = ( 0, 6 ) ⇒ D = ( 0, 6 )
3
3
Ahora vamos a calcular las dos rectas que nos piden.
La recta s es paralela a r y pasa por el punto C
x − 2 y −1
C ( 2 ,1)
s ≡ 
⇒ s≡
=
⇒ s ≡ 2x + y − 5 = 0
−1
2
v = ( −1, 2 )
La recta t es paralela a r y pasa por el punto D
 D ( 0, 6 )
x−0 y −6
t ≡ 
⇒ t≡
=
⇒ t ≡ 2x + y − 6 = 0
−1
2
 v = ( −1, 2 )
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Ejercicio 5.
En el triángulo de vértices A ( −1, 2 ) , B ( 3, − 1) y C (1,5) , se pide:
−
−
Calcular el área del triángulo.
Encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.
 A ( −1, 2 )
Tomamos como base el lado AB. Este lado está sobre la recta r ≡   AB = ( 4, − 3)
x +1 y − 2
r≡
=
⇒ r ≡ 3x + 4 y − 5 = 0
4
−3
3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 5 − 5 18
2
medida de la base = AB = 42 + ( −3) = 5 ; medida de la altura = d ( C , r ) =
=
5
32 + 42
18
AB ⋅ d ( C , r ) 5 ⋅
5 = 9 u2
área del triángulo =
=
2
2
Para calcular la circunferencia circunscrita podemos
seguir dos caminos :
1º ) Calcular el centro y el radio.
El circuncentro O es el corte de las mediatrices
Calculemos dos de ellas :
Q ( 2, 2 ) punto medio de B y C
s ≡ 
u = ( 3,1) vector perpendicular a BC = ( −2,6 )
x−2 y−2
s≡
=
⇒ s ≡ x − 3y + 4 = 0
3
1
1
  1
x −1 y − 2
 P  1, 2  punto medio de A y B

t≡ 
⇒ t≡
=
3
4
 v = ( 3, 4 ) vector perpendicular a AB = ( 4, − 3)

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⇒ t ≡ 8x − 6 y − 5 = 0
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 x − 3 y = −4
 13 37 
O = s∩t : 
⇒ O ,

 6 18 
8 x − 6 y = 5
 19 1 
El radio es la distancia de un vértice al centro, por ejemplo : R = AO ; AO =  , 
 6 18 
2
2
3250
 19   1 
R = AO =   +   =
324
 6   18 
Ecuación de la circunferencia ( x − a ) + ( y − b ) = R 2
2
2
2
2
 x − 13  +  y − 37  = 3250 ⇒ x 2 − 13 x + 169 + y 2 − 37 y + 1369 = 3250 ⇒ x 2 + y 2 − 13 x − 37 y = 10

 

6 
18 
324
3
36
9
324
324
3
9
9

Por tanto la circunferencia es
9 x 2 + 9 y 2 − 39 x − 37 y − 10 = 0
2º ) En este caso, como conocemos tres puntos por los que pasa la circunferencia, podemos
determinarla directamente, ya que son tres condiciones.
La ecuación de una circunferencia tiene la forma : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
como A ( −1, 2 ) está en la circunferencia ⇒ ( −1) + 2 2 + D ⋅ ( −1) + E ⋅ 2 + F = 0
2
B ( 3, − 1) también ⇒ 9 + 1 + 3D − E + F = 0
igual para C (1,5) ⇒ 1 + 25 + D + 5E + F = 0
 D − 2E − F = 5

obtenemos el sistema 3D − E + F = −10
 D + 5E + F = −26

y la ecuación es
IES Pedro de Tolosa
x2 + y2 −
13
37
10

⇒ D = −
; E=−
; F =−
3
9
9

13
37
10
x−
y − = 0 ⇒ 9 x 2 + 9 y 2 − 39 x − 37 y − 10 = 0
3
9
9
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