Examen II de números reales y álgebra. Curso 2010/2011

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Examen de números y álgebra
10/12/2010
Ejercicio 1.
Resuelve:
a) 9 x3 − 9 x 2 − x + 1 ≤ 0
b) 2 2 x − 1 = 6 x − 5 + 2 x − 9
factorizamos el polinomio ⇒ ( x − 1) ( 9 x 2 − 1) ≤ 0 ⇒
a) 9 x 3 − 9 x 2 − x + 1 ≤ 0
⇒ ( x − 1)( 3x + 1)( 3x − 1) ≤ 0
↑
↑
↑
1
1
x =1 , x = − , x =
3
3
( x − 1)
( 3x − 1)
( 3x + 1)
( x − 1)( 3x − 1)( 3x + 1)
son las raíces del polinomio. Veamos el signo de cada factor.
1

 −∞ , − 
3

−
−
 1
− ,
 3
−
−
−
−
0
+
+
+
−
0
+
+
+
+
+
−
0
+
0
−
0
+
−
1
3
1

3
1
(1, ∞ )
−
1 
 , 1
3 
−
0
+
1
3
1 1 

Luego las soluciones de la inecuación son todos los números reales x∈ −∞ , −  ∪  , 1
3  3 

b) 2 2 x − 1 = 6 x − 5 + 2 x − 9
(2
) (
2
2x − 1 =
6x − 5 + 2x − 9
8 x − 4 = 8x − 14 + 2
)
2
⇒ 4 ( 2 x − 1) = ( 6 x − 5) + ( 2 x − 9) + 2 6 x − 5 ⋅ 2 x − 9
( 6 x − 5)( 2 x − 9)
⇒ 10 = 2
( 6 x − 5)( 2 x − 9)
⇒ 5 = 12 x 2 − 64 x + 45
25 = 12 x 2 − 64 x + 45 ⇒ 12 x 2 − 64 x + 20 = 0 ⇒ 3x 2 − 16 x + 5 = 0
x = 5

resolviendo la ecuación obtenemos 
1
 x = 3 , probando vemos que esta solución no es válida.
IES Pedro de Tolosa
[1]
Matemáticas I
Examen de números y álgebra
10/12/2010
Ejercicio 2.
−
(3 − 2 x )
En la expresión
3
+ 12 − 8 x −
(9 x
2
− 6 x + 1) ⋅ ( 3 − 2 x ) , extrae factores de las raíces y
simplifica.
(3 − 2 x )
3
+ 12 − 8 x −
(9 x
2
− 6 x + 1) ⋅ ( 3 − 2 x ) =
(3 − 2 x )
3
+ 4 (3 − 2 x ) −
( 3x − 1) ⋅ ( 3 − 2 x )
2
=
= ( 3 − 2 x ) 3 − 2 x + 2 3 − 2 x − ( 3 x − 1) 3 − 2 x = ( 3 − 2 x + 2 − ( 3x − 1) ) 3 − 2 x = ( 6 − 5 x ) 3 − 2 x
2 1
1
+ 2
a−
a a ⋅
a =
Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:
2
2 1
a + 3+
1− + 2
a
a a
1+
−
2 1
1
a 2 + 2a + 1
a2 − 1
1+ + 2
a−
2
a a ⋅
a
= 2 a
⋅ 2 a
=
2
2 1
a
+
3
a
+
2
a − 2a + 1
a + 3+
1− + 2
a
a a
a
a2
( a + 1) ( a + 1)( a − 1)
( a + 1) ⋅ ( a + 1)( a − 1)
2
a2
a
=
2
( a + 1)( a + 2 ) ⋅ ( a − 1)
a
a2
2
( a + 1) ( a − 1)
( a + 1)
a3
=
=
o desarrollando
2
2
( a + 1)( a + 2 )( a − 1) ( a + 2 )( a − 1)
( a + 1)( a + 2 )( a − 1)
a3
=
3
2
Ejercicio 3.
(
lim n − n
n →∞
= lim
n →∞
2
n →∞
)
(n −
+ 10n ) ( tenemos una indeterminación del tipo ∞ − ∞ ) = lim
n →∞
n 2 − ( n 2 + 10n )
(
(
b) lim n − n 2 + 10n
Calcula los siguientes límites de sucesiones:
n + n + 10n
2
)
= lim
n →∞
(
−10n
n + n + 10n
2
)
= lim
n →∞
(
−10n
n
n + n 2 + 10n
n
−10
= lim
= lim
=
=−5
n →∞
1+ 1+ 0
n 2 10n n→∞ 1 + 1 + 10
1+
+
n
n2 n2
−10
IES Pedro de Tolosa
)
a 2 + 2a + 1
a2 + a − 2
= lim
n →∞
)(
n 2 + 10n ⋅ n + n 2 + 10n
(n +
n 2 + 10n
−10
n
n 2 + 10n
+
n
n
)
)=
=
−10
[2]
Matemáticas I
Examen de números y álgebra
 n 
a ) lim 

n →∞ n + 5


10/12/2010
3n −1
lim ( 3 n −1)
 n 
lim 

n →∞ n + 5


3 n −1
( comprobamos si hay indeterminación ) =
lim ( 3 n −1)
n  n→∞

 lim

 n→∞ n + 5 

 n→∞

1 
=  lim
n →∞
5

1+ 
n

→ 1∞
es un límite del número e.
 n 
lim 

n →∞ n + 5


3 n −1
n


= lim  1 +
− 1
n →∞
 n+5 


1
= lim  1 +
n →∞
n+5

−5






n + 5 −5
⋅
⋅( 3 n −1)
−5 n + 5
 n −n −5
= lim  1 +

n →∞
n+5 





1

= lim  1 +
n+5
 n→∞


−5


−15+
lim
3n −1





n +5
−5
lim
−5
 n→∞ n +5





3n −1
⋅( 3n −1)
−5 

= lim  1 +

n →∞
 n +5




1

= lim  1 +
n+5
 n →∞


−5


3n −1







1
= lim  1 +
n →∞
n+5

−5

n +5
−5
lim
 n→∞










3n −1
=
−15 n +5
n +5
=
5
n
n +5 n →∞

 1+ n5
−5 




1   −15

= lim  1 +
= e −15

n
→∞
n+5


 
 
−
5
 


e
Ejercicio 4.
Resuelve:
a ) log 2 x = log8 ( 3x − 2 )
log 2 x = log8 ( 3x − 2 ) ⇒ log 2 x =
log 2 ( 3x − 2 )
log 2 ( 3x − 2 )
log 2 ( 3x − 2 )
⇒ log 2 x =
⇒ log 2 x =
⇒
3
log 2 8
log 2 2
3
⇒ 3 ⋅ log 2 x = log 2 ( 3x − 2 ) ⇒ log 2 x 3 = log 2 ( 3x − 2 ) ⇒ x 3 = 3x − 2 ⇒ x 3 − 3x + 2 = 0
x = 1
2
factorizando obtenemos ( x − 1) ( x + 2 ) = 0 ⇒ 
 x = −2 este valor no es solución de la ecuación.
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[3]
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Examen de números y álgebra
10/12/2010
2 x + 2 y = 10
b)  x − y
2 = 4
2 x + 2 y = 10
2 x + 2 y = 10
 2 x + 2 y = 10
2 x + 2 y = 10
2x
x
x −2
x
⇒
⇒
⇒
⇒
2
+
2
=
10
⇒
2
+
= 10 ⇒
 x− y
 x− y


2
2
2
−
=
−
=
x
y
2
x
2
y
2 = 4
2 = 2


⇒ 4 ⋅ 2 x + 2 x = 40 ⇒ 5 ⋅ 2 x = 40 ⇒ 2 x = 8 ⇒ x = 3 sustituyendo y = 3 − 2 = 1
solución { x = 3 , y = 1}
Ejercicio 5.
−
Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética y suman 24 m.
¿Cuánto mide cada lado?
Si los lados están en progresión aritmética serán de la forma x , x + d , x + 2d
x + 2d
 x + x + d + x + 2d = 24
Las condiciones son 
2
2
2
( x + 2d ) = x + ( x + d )
x
x+d
d = 8 − x
3x + 3d = 24
x + d = 8
⇒
⇒
⇒
 2
 2
 2
2
2
2
2
2
2
 x − 3 ( 8 − x ) − 2 x (8 − x ) = 0
 x + 4d + 4 xd = x + x + d + 2 xd
 x − 3d − 2 xd = 0
⇒ x 2 − 3 ( 64 + x 2 − 16 x ) − 16 x + 2 x 2 = 0 ⇒ x 2 − 192 − 3 x 2 + 48 x − 16 x + 2 x 2 = 0 ⇒ 32 x − 192 = 0 ⇒
⇒ x = 6 y d = 2 con lo que los lados miden 6 m , 8 m y 10 m
−
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente es 18 y la diferencia entre
los dos primeros es 2. Determina la progresión.
Si podemos sumar infinitos términos de la progresión es que r < 1 y si la suma es 18, la progresión
será decreciente y de términos positivos con lo que a1 > a2
 a
a = 18 (1 − r )
 1 = 18
Así tenemos 1 − r
⇒  1
⇒ 18 (1 − r ) − 18 (1 − r ) r = 2 ⇒ 18r 2 − 36r + 16 = 0
a1 − a1r = 2
a1 − a2 = 2
IES Pedro de Tolosa
[4]
Matemáticas I
Examen de números y álgebra
10/12/2010
Simplificando tenemos 9 r 2 − 18r + 8 = 0

r=
18 ± 324 − 4 ⋅ 9 ⋅ 8 18 ± 6 
r=
=
=
18
18
r =

4
3
2
esta es la solución válida puesto que r < 1
3
8 16
 2
2
a1 = 18  1 −  = 6 y la progresión es 6, 4 , , ,...... con an = 6 ⋅  
3 9
 3
 3
n −1
o an =
2n
3n −2
Ejercicio 6.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a ) x1+log x = 10 x
2 x ⋅ 4 x ⋅ 8 x = 4 2 2 x +7
b)
a ) x1+log x = 10 x ⇒ log x1+log x = log (10 x ) ⇒ (1 + log x ) log x = log10 + log x ⇒ log x + log 2 x = 1 + log x ⇒
log x = 1 ⇒ x = 10

⇒ log x = 1 ⇒ 
1
log x = −1 ⇒ x = 10
2
b)
⇒
2 ⋅ 4 ⋅ 8 = 2
x
x
x
4
2 x +7
x x 3x 2 x + 7
+ +
=
2 2 8
4
IES Pedro de Tolosa
x
2
x
4
ambas soluciones son válidas.
x
8
⇒ 2 ⋅ 4 ⋅8 = 2
⇒
2 x +7
4
⇒
4 x + 4 x + 3x = 4 x + 14
[5]
x
2
2x
4
2 ⋅2 ⋅2
3x
8
=2
2 x +7
4
⇒ 2
x x 3x
+ +
2 2 8
=2
2 x+7
4
⇒
⇒ 7 x = 14 ⇒ x = 2.
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