Examen de números reales. Curso 2010/2011

Examen de números reales
12/11/2010
Ejercicio 1.
Calcula el valor de las expresiones:
 9 4

50 6
a ) log8 
+ 324 −
+ 512 
2
 2

b) log 1 3 9 + log
2 2 − log 5
2
3
3
1
25
 9 4

 3 4 2 4 5⋅ 2 6 9 
50 6
a) log8 
+ 324 −
+ 512  = log8 
+ 2 ⋅3 −
+ 2 =
2
2
 2

 2

 3⋅ 2

 3⋅ 2 + 6 ⋅ 2 − 5⋅ 2 + 4 ⋅ 2 
5⋅ 2
= log8 
+ 3⋅ 2 −
+ 2 ⋅ 2  = log8 
=
2
2
2




5
1
5
5
5 1 5
= log8 4 ⋅ 2 = log8 2 2 = ⋅ log8 ( 2) = ⋅ log8 8 3 = ⋅ =
2
2
2 3 6
(
( )
)
b) log 1 3 9 + log
2
2 2 − log5
3
1
= log 1  
3  3
−2
3
( )
2
1
3
=
+ log
log
3
1
3
25
3
−2
3
+ log 2 2 4 − log5 5
3
2
= − + log
3
2
4
2
23 − log5
( )
2
6
4
1
2
5
=
3
2 6 2
3
 2
−−  = − + + =
3 4 3
2
 3
Ejercicio 2.
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los siguientes conjuntos de números:
a) 3 − x ≥
a)
3− x ≥
3
2
b) x + 4 < 10−2
3
3
3
⇒ d ( x,3) ≥ ⇒ x ≥ 3 +
2
2
2
y x ≤ 3−
+3/2
-3/2
1
3/2
3
3 9


⇒ x ∈  −∞ ,  ∪  , + ∞ 
2
2 2


3
2
4
9/2
5
b) x + 4 < 10−2 ⇒ x − ( −4 ) < 0′01 ⇒ d ( x , − 4 ) < 0′01 ⇒ − 4 − 0′01 < x < −4 + 0′01 ⇒ x ∈ ( −4′01 , − 3′99 )
-0,01
-4,05
IES Pedro de Tolosa
-4,01
-4
[1]
+0,01
-3,99
-3,95
Matemáticas I
Examen de números reales
12/11/2010
Ejercicio 3.
Calcula:
 1
5
9
4n − 3 
a ) lim  2 + 2 + 2 + ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ +

n →∞
n
n
n2 
n
n +1
 4n 2 + n  n 2
b) lim  2

n →∞ 3n + 1


 (1 + 4n − 3) ⋅ n 


 1 + 5 + 9 + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ( 4n − 3) 
5
9
4n − 3 
 1
2
a ) lim  2 + 2 + 2 + ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ +
=
lim
=
lim

=



n →∞ n
n
n
n 2  n →∞ 
n2
n2

 n →∞ 



 2n 2 − 1 
1

= lim 
= lim  2 − 2  = 2

2
n →∞
n 
 n
 n→∞ 
n +1
 4n 2 + n  n 2
b) lim  2

n →∞ 3n + 1



1 

  4n 2 + n 
 4+ n  4
 lim
=
 2
 = lim 
 n→∞  3n + 1  n→∞  3 + 1  3
⇒
n2 


 lim  n + 1  = lim  1 + 1  = 0
 n→∞  n 2  n→∞  n n 2 
n +1
 4n 2 + n  n 2  4 
⇒ lim  2
 =   =1
n →∞ 3n + 1
 3


0
Ejercicio 4.
Los ángulos interiores de un pentágono convexo están en progresión aritmética. Si sabemos que el mayor de
ellos mide 156o, encuentra el valor de los demás.
La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es 180º ⋅ ( n − 2 ) , con lo que los ángulos del
pentágono sumarán 540º.
Los ángulos en progresión aritmética serán x , x + d , x + 2d , x + 3d , x + 4d
como el mayor mide 156º ⇒ x = 156º o
Tomamos x = 156º , entonces :
x + 4d = 156º
156 + (156 + d ) + (156 + 2d ) + (156 + 3d ) + (156 + 4d ) = 540 ⇒ 780 + 10d = 540 ⇒ d = −24
Los ángulos del pentágono son 156º , 132º , 108º , 84º , 60º
IES Pedro de Tolosa
[2]
Matemáticas I
Examen de números reales
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Ejercicio 5.
Si A = 3,24 ⋅ 10
−15
; B = 8,1 ⋅ 105 ; C = 1,8 ⋅ 10−18 ;
A
D = 2,4 ⋅ 1012 , calcula el valor de  + C  ⋅ D ,
B

dando el resultado con dos cifras significativas.
Encuentra una cota para el error relativo que se ha cometido al hacer esa aproximación.
 3, 24 ⋅ 10−15

A

+
⋅
=
+ 1,8 ⋅ 10−18  ⋅ 2, 4 ⋅ 1012 = ( 0, 4 ⋅ 10 −20 + 1,8 ⋅ 10−18 ) ⋅ 2, 4 ⋅ 1012 =
C
D



5
B

 8,1 ⋅ 10

= ( 0, 004 ⋅ 10 −18 + 1,8 ⋅ 10−18 ) ⋅ 2, 4 ⋅ 1012 = (1,804 ⋅ 10−18 ) ⋅ 2, 4 ⋅ 1012 = 4,3296 ⋅ 10−6 ≈ 4, 3 ⋅ 10 −6
Ea = 4,3296 ⋅ 10−6 − 4,3 ⋅ 10−6 = 2, 96 ⋅ 10−8
Er =
2,96 ⋅ 10−8
≈ 6,84 ⋅ 10−3 < 0, 007
−6
4, 3296 ⋅ 10
Ejercicio 6.
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente es 18 y la diferencia entre los dos
primeros es 2. Determina la progresión.
Si puedo sumar infinitos términos de una progresión geométrica es que r < 1
a1
1− r
Las condiciones que nos dan son :
y en ese caso S =
2

a1 = 18 ⋅
 a1
 a1

= 18
a1
= 18
 a1 = 6
2



⇒ 1 − r
⇒ 
⇒ ( a1 ) = 36 ⇒ 
1 − r
 a1 = −6
 a1 − a1 ⋅ r = 2
 a1 (1 − r ) = 2
1 − r = 2


a1
1
4
Si a1 = −6 ⇒ 1 − r = − ⇒ r =
que no es posible por ser mayor que 1.
3
3
1
2
8 16 32 64
Si a1 = 6 ⇒ 1 − r = ⇒ r = ; y la progresión será : 6 , 4 , ,
,
,
, ⋅⋅⋅⋅
3
3
3 9 27 81
 a1
= 18

⇒
1 − r
 a1 − a2 = 2
2
an = 6 ⋅  
 3
n −1
⇒ an =
IES Pedro de Tolosa
2n
3n− 2
[3]
Matemáticas I