Tetraedro

Tetraedro
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Tetraedro no regular.
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser
forzosamente un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de
ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros,
forzosamente iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el
símplex tridimensional.
Contenido
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





1 Propiedades geométricas
2 Volumen
3 Tetraedro regular
4 Cálculo de dimensiones fundamentales
o 4.1 Volumen, área y desarrollo
o 4.2 Ángulos
o 4.3 Propiedades particulares
 4.3.1 Simetría
 4.3.2 Conjugación
 4.3.3 Proyecciones
 4.3.4 Secciones
 4.3.5 Composición, descomposición y maclado
o 4.4 Los tetraedros en la naturaleza y en la técnica
5 Referencias
6 Véase también
Propiedades geométricas
En todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que:

Los segmentos que unen los puntos medios de los tres pares de aristas opuestas
son concurrentes en un punto, que los divide por su mitad.

Los segmentos que unen cada vértice con los puntos de intersección de las
medianas de su cara opuesta son también concurrentes en un punto, que los
divide separando tres cuartas partes del lado del vértice respectivo (Teorema
de Commandinho).

Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por
un mismo punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.

Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en
un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro.

Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un
punto equidistante de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro.

Las alturas de un tetraedro sólo son concurrentes si las aristas opuestas son
perpendiculares.
Volumen
Existe una fórmula general para el cálculo del volumen de un tetraedro, sea o no
regular, en función de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de tres de sus vértices A, B
y C (supuesto el origen de coordenadas en el cuarto):
Otra fórmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un
tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas, y y
la distancia entre ambas , y es :
Esta fórmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un
terraplén, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de
la longitud de su coronación , la longitud en la base , y su altura .
Tetraedro regular
Es un poliedro formado por cuatro caras
que son triángulos equiláteros, y cuatro
vértices en cada uno de los cuales
concurren tres caras. Es uno de los cinco
poliedros perfectos llamados sólidos
platónicos. Además es uno de los ocho
poliedros convexos denominados
deltaedros. Aplicándole la nomenclatura
estándar de los sólidos de Johnson
podría ser denominado pirámide
triangular.
Para la escuela pitagórica el tetraedro
representaba el elemento fuego, puesto
que pensaban que las partículas (átomos)
del fuego tenían esta forma.
Cálculo de dimensiones
fundamentales
Tetraedro regular
Grupo
Número de caras
Sólidos platónicos
4
Polígonos que forman
Triángulos
las caras
equiláteros
Número de aristas
6
Número de vértices
4
Caras concurrentes
3
en cada vértice
Exclusivamente a partir de la arista a se
pueden calcular el resto de las
dimensiones fundamentales de un
tetraedro regular. Así, para las esferas
singulares del tetraedro:

Radio R de la esfera circunscrita
al tetraedro (la que contiene en su
superficie los cuatro vértices del
mismo):
Vértices contenidos
3
en cada cara
Grupo de simetría
Tetraédrico (Td)
Tetraedro
Poliedro conjugado
(autoconjugado)

Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del
tetraedro):

Radio ρ de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:
En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren en un
mismo vértice) son ortogonales entre sí, siendo la mínima distancia entre ellas el
segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio ρ de la esfera tangente
a las aristas del tetraedro.

La altura H del tetraedro (apoyado el tetraedro de manera estable sobre un
plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vértice
opuesto):
Volumen, área y desarrollo
Dado un Tetraedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la
siguiente fórmula:
Y el área total de sus caras A (que es 4 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:
Ángulos
Los ángulos planos que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los
sólidos platónicos, todos iguales; y con un valor de 60º (π/3 rad), al constituir los
ángulos interiores de un triángulo equilátero.
Los ángulos diedros que forman las caras son, como en el resto de los sólidos
platónicos, todos iguales, y pueden ser calculados como:
Los ángulos sólidos que forman los vértices son, como en el resto de los sólidos
platónicos, todos iguales, y pueden ser calculados como:
Propiedades particulares
Simetría
Un tetraedro regular tiene cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas
perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto de tetraedro; y seis planos de
simetría, los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace
que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 24: 2x(4x3).
Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría
tetraédricos, el denominado Td según la notación de Schöenflies.
(El tetraedro tiene también tres ejes de simetría de orden dos: las rectas que pasan
por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta.)
Conjugación
El tetraedro regular es el único sólido platónico conjugado de sí mismo (se suele
denominar autoconjugado), ya que el poliedro conjugado de un tetradro de arista a es
otro tetraedro de arista b, tal que:
Proyecciones
Las proyecciones ortogonales de un tetraedro regular sobre un plano pueden ser:


Triángulos;
o En particular, si el plano de proyección es paralelo a una cara, la
proyección del tetraedro es un triángulo equilátero, correspondiente a
una cara en verdadera magnitud.
Cuadriláteros;
o En particular, si el plano de proyección es paralelo a dos aristas
opuestas del tetraedro, la proyección es un cuadrado, con un lado igual
a la longitud de la arista del tetraedro dividida por la raíz cuadrada de
dos.
Secciones
Sección transversal.
Las infinitas secciones que podemos tomar de un tetraedro regular pueden resultar:


Triángulos;
o En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a una de
las caras del tetraedro es un triángulo equilátero.
Cuadriláteros;
o En particular, cualquier sección tomada por un plano paralelo a dos
aristas opuestas es un rectángulo.
o Si, además de ser paralelo a dos aristas opuestas, el plano de corte
equidista de ambas, la sección resultante es un cuadrado de lado mitad
de la arista del tetraedro. Como existen tres pares de aristas opuestas,
un tetraedro regular se puede seccionar de esta forma por tres planos
diferentes.
Composición, descomposición y maclado
Es posible incluir un tetraedro regular en un cubo de tal forma que cada uno de los
vértices del tetraedro coincida con un vértice del cubo, coincidiendo las aristas del
tetraedro con diagonales de las caras del cubo. El volumen del cubo necesario para
incluir un tetraedro en la forma descrita es el triple que el del tetraedro. Hay dos
posiciones posibles para incluir los tetraedros en el cubo en esta forma;

Las aristas de los tetraedros colocados en ambas posiciones son
perpendiculares entre sí (son las diagonales cruzadas de las caras del cubo).

Las tres secciones cuadradas de ambos tetraedros coinciden.

El sólido conjunto (o macla) de ambas es un poliedro compuesto denominado
estrella octángula de Kepler ("stella octangula").

El sólido común de ambos es un octaedro regular de arista mitad que la de los
tetraedros.
No es posible rellenar el espacio únicamente con tetraedros regulares (aunque, parece
ser, que Aristóteles así lo creía), pero sí es posible hacerlo con elementos formados por
una combinación de un octaedro regular y dos tetraedros regulares.
De las infinitas formas de truncar un tetraedro regular, hay dos que producen
resultados singulares:

Truncando el tetraedro con planos que pasen por el punto medio de sus aristas,
obtenemos un octaedro regular.

Truncando el tetraedro con planos que pasen por la tercera parte de sus
aristas, obtenemos un sólido arquimediano que toma el nombre genérico de
tetraedro truncado.
Un tetraedro no puede ser estelado, puesto que todas las intersecciones entre los
planos de las caras del tetraedro son aristas del tetraedro.
Los tetraedros en la naturaleza y en la técnica
Estructura tetraédrica del metano. Los enlaces C-H están dirigidos hacia los vértices
de un tetraedro regular.
La forma tetraédrica aparece en la naturaleza en ciertas moléculas de enlace
covalente. La más común de ellas es la molécula de metano (CH4), en la que los cuatro
átomos de hidrógeno se sitúan aproximadamente en los cuatro vértices de un
tetraedro regular del que el átomo de carbono es el centro.
Existen también estructuras cristalinas naturales de forma tetraédrica.
A pesar de ser el tetraedro un poliedro de forma simple y totalmente regular no
existen muchos objetos de uso común basados en su forma.
Como medio de almacenamiento es una forma desastrosa: no es posible rellenar el
espacio con ella, que sería la forma de no desperdiciar volumen entre las piezas;
tampoco resulta fácilmente apilable al no tener caras paralelas; y, además, es muy
ineficaz: para contener un litro de producto son necesarios más de 7,2 dm² de
"pared", mientras que utilizando un cubo con 6 dm² es suficiente. A pesar de todos
estos inconvenientes, la empresa sueca Tetra Pak desarrolló un envase de cartón
metalizado en forma tetraédrica en la década de 1950, únicamente porque su
fabricación resultaba singularmente sencilla: bastaba con enrollar una hoja de papel
formando un cilindro, para después aplastar sus dos extremos, pero en direcciones
perpendiculares, logrando con ello un tetraedro.
En cualquier posición que sea apoyado un tetraedro, uno de sus vértices queda
vertical hacia arriba. Por este motivo se basa en su forma la fabricación de ciertos
modelos de elementos móviles de balizamiento de carreteras ya que, al ser indiferente
la posición en la que se apoyen, su colocación es rápida y sencilla, y no pueden ser
derribados por los vehículos.
Tetrápodos para escollera.
Es una forma sencilla con gran facilidad para trabarse y engancharse, puesto que sus
vértices son muy agudos y dirigidos en las cuatro direcciones. Por este motivo se busca
su forma en elementos cuya principal función sea engancharse, como las anclas de
barco (en esquema, un ancla está formada por las dos aristas opuestas de un tetraedro
unidas por su perpendicular), o trabarse entre sí, como las escolleras de hormigón
armado para defensa contra el oleaje. Existen al menos tres modelos de uso frecuente
basados en la forma de un tetraedro regular:

Los tetrápodos, formados por cuatro troncos de cono colocados según las
alturas de un tetraedro regular, entre sus vértices y su centro.
Dolos para escollera.


Los doloses (plural de dolos), diseñados por el ingeniero Eric M. Merrifield,
formados por tres piezas rectas, dos materializando las aristas opuestas de un
tetraedro regular y una tercera uniéndolas por su perpendicular.
Los akmon (yunque), desarrollados en el Laboratorio de Hidráulica de Delf
(Países Bajos), de forma similar a los doloses, pero más robusta.
A principios del siglo XX Alexander Graham Bell, inventor del teléfono, experimentó
intensamente con cometas, con el fin de desarrollar el vuelo tripulado con vehículos
más pesados que el aire, y llegó tras una serie de experimentos a esta forma.
Las cometas tetraédricas están compuestas de múltiples celdas con forma de
tetraedro, en el que se materializan únicamente dos de sus caras. Llegó a construir
cometas enormes, formadas por un gran número de estas celdas.
Dado para juego de rol.
En 1907 construyó una de 3.393 celdas que arrastró con un barco de vapor, siendo
capaz de elevarla 50 m con un tripulante a bordo. Intentó después otras
construcciones aún más grandes, y equipadas con motor... pero no dieron el resultado
deseado. A los motores les faltaba potencia y las construcciones resultaban frágiles en
exceso, por lo que abandonó el proyecto, dedicándose a otras actividades.
La sonda espacial Mars Pathfinder de la NASA también tuvo forma de tetraedro,
cuyas caras se abrieron como pétalos al amartizar, el 4 de julio de 1997, para permitir
la salida del robot Sojourner que llevaba en su interior.
Otra aplicación práctica del tetraedro es la de dar forma al dado de cuatro caras,
cuya notación escrita es «d4»1 y al que se utiliza sobre todo en numerosos juegos de
rol. Al no mostrar este dado una cara hacia arriba, suele llevar marcado el valor de la
tirada en los vértices o en la base.