Inversiones, continuación.

Geometría MA2513
Segunda clase: inversiones, continuación.
Teniendo en cuenta las proposiciones 1 y 2 demostradas en la clase anterior:
Proposición 1.
Sean Z = (x, y) y C = (a, b) en IR2, entonces:
Las coordenadas x e y de Z satisfacen la ecuación 2ax + 2by = d, si y sólo si Z satisface
_ _
la ecuación C Z + C Z = d.
Proposición 2.
Sean Z = (x, y) y C = (a, b) en IR2, entonces:
Las coordenadas x e y de Z satisfacen la ecuación de la circunferencia
_
_
_
_
(x – a)2 + (y – b)2 = r2, si y sólo si Z satisface la ecuación Z Z – Z C – C Z + C C = r2.
A continuación analizamos la acción de la inversión en el círculo centrado en el origen y de
radio r, es decir, la que asigna a cada Z
+
el punto W = S(Z) =
r
2
, de donde Z =
Z
r
Z=
r
2
y
W
2
.
W
Esta inversión deja invariante a toda recta que pase por el origen, lo cual se sigue de
S(Z) =
r
2
r
=
2
Z
Z Z
Z
=
r
2
Z. .
| Z |2
Si se trata de una recta que no pasa por el origen, ésta consta de los puntos Z
+
que
2
2
_ _
_
r
r
satisfacen la ecuación C Z + C Z = d  0. Sustituyendo en la misma Z por
y Z por
:
W
W
C
_ r2
WW
+ C
= d, la cual multiplicada a ambos lados de la igualdad por
deviene en
W
d
W
r
2
2
2
r C
d
W +
r C
d
2
2
r C
W = W W , que equivale a W W –
W –
d
r C
d
W=0 ó
2
2
4
2
2
2
2


r C
r C 
r C  r C 
r C  r | C |


W W
–
W=0 ó W W
–
–
=0 ó
W
2


d
d 
d 
d 
d 
d






2
2
2
 4


W  r C W  r C  = r | C | ó
2

d 
d 
d



2
2
W
r C
d
2
 r2 | C | 
 , que corresponde a la
= 
 |d| 


2
2
circunferencia, que pasa por el origen, centrada en
r C
y de radio
r |C|
. Esto también
|d|
d
quiere decir, que toda circunferencia; C, que pasa por el origen: | Z – C | = | C |, es imagen por
2
_ _
r
la inversión S(Z) =
de la recta que no pasa por el origen: C Z + C Z = r2, de donde la
Z
_ _
imagen de la circunferencia C es igual a la imagen de la recta: C Z + C Z = r2 por S2, pero
según la proposición 3, v), S2 = id, lo cual implica que la imagen por S de la circunferencia
_ _
| Z – C | = | C | es igual a la recta que no pasa por el origen de ecuación C Z + C Z = r2.
La circunferencia que no pase por el origen, la centrada en C y de radio k, cuya ecuación,
_
_
_
_
_
_
_
_
según la proposición 2 es: Z Z – Z C – C Z + C C = k2 o Z Z – Z C – C Z + C C – k2 = 0 al
aplicarle la inversión en el círculo de centro en el origen y radio r, se transforma por el cambio
r
W = S(Z) =
2
r
en la ecuación
2
_
_
r
C–C
+ C C – k2 = 0, la cual multiplicada a
W
W
2
r
r
–
W W
Z
(CC  k )
2
2
=
WW
– W
(| C |  k )
2
r C
(| C |  k )
2
2
+
queda:
(| C |  k )
2
2
r C
2
2
WW
ambos lados de la igualdad por
WW –W
2
r
2
4
= 0, ecuación que puede reescribirse
(| C |  k )
2
2
como:





2
r C

–
2
2
2
2
(| C |  k )
(| C |  k ) 

2
W W
r
r C


2
2
2
r C
r C
r C


W
–
+
2
2
2
2
2
2

(| C |  k ) (| C |  k )
(| C |  k ) 


4
(| C |  k )
2
2
=0 ó
2
2
4
2


r C
r C
r
r C
W 
=
–
=
2
2
2
2
2
2
2
2

(| C |  k )  (| C |  k ) (| C |  k ) (| C |  k )


2


r C
W 

2
2

(| C |  k ) 


2
4
r |C|
2
–
(| C |  k )
2
2 2
r
4
4
(| C |  k )
2
r | C |  r (| C |  k )
2
=
2
4
2
2
(| C |  k )
2
2 2
2


r k
 , de
=
= 
 (| C |2  k 2 ) 
2
2 2
(| C |  k )


4
r k
2
donde la imagen de la circunferencia que no pasa por el origen, centrada en C y de radio k:
_
_
_
_
Z Z – Z C – C Z + C C = k2 deviene en la circunferencia que tampoco pasa por el origen
centrada en el punto
2
2
W
r C
(| C |  k )
2
2
r
2
(| C |  k )
2
2
C y radio
2

r k

 | | C |2  k 2


, cuya ecuación es:
|

2
2


r k

 ó
=
 (| C |2  k 2 ) 


2
W
r C
(| C |  k )
2
2
=
2

r k

 | | C |2  k 2


.
|

Cuadro resumen de la acción de la inversión S(Z) =
r
2
sobre rectas y circunferencias.
Z
Objeto
Recta que pasa por O
Recta que no pasa por
O
Ecuación
_ _
CZ+ C Z = 0
Se transforma en
Ecuación
_ _
Recta que pasa
CZ + C Z = 0
por O
_ _
CZ+ C Z = d  0
Circunferencia
que pasa por O
Circunferencia que pasa
|Z–C|=|C|
por O
Circunferencia que no
pasa por O
Recta que no
pasa por O
Circunferencia
|Z–C|=k|C|
que no pasa por O
2
W
r C
=
d
 r2 | C | 


 |d| 


_ _
C Z + C Z = | C |2
2
W
r C
(| C |  k )
2
2
=
2

r k

 | | C |2  k 2

Queda ver qué ocurre con las inversiones en círculos centrados fuera del origen.
Sean SC la inversión en el círculo de centro C y radio r y S la inversión en el círculo
centrado en el origen y de radio r. Recuerde que la imagen de un punto Z mediante SC se
calcula trasladando Z según -C, luego invirtiendo Z – C según S y finalmente, trasladando
esta imagen según C, obteniendo así: SC(Z) = S(Z – C) + C. Teniendo esto en mente, una
recta que no pasa por C trasladada según -C se transforma en una recta que no pasa por el
origen, cuya imagen según S es una circunferencia que sí pasa por el origen, la cual al ser
trasladada otra vez según C da logar a una circunferencia que pasa por C.
El estudiante debe completar las acciones de esta inversión en el resto de los casos.
Ahora pasamos a estudiar otro problema que involucra a las inversiones. Para poder plantear
de manera que se entienda correctamente el mismo, enunciamos primero la siguiente …
Definición.
Una aplicación f : IRk  IRk, con k = 2 ó 3, se dice conforme, si mantiene la magnitud de los
ángulos.
Notas:
i)
ii)
La definición no requiere que una aplicación conforme mantenga el sentido de
algún ángulo, sólo la magnitud se preserva. Esto quiere decir, que algunos ángulos
 son transformados en -.
En cuanto a ángulos, alguno o ambos de cuyos lados sean rectas que no pasen
por el origen, la inversión transforma al lado (o a los lados) que no pasan por el
origen, en circunferencia(s). La imagen por la inversión del ángulo dado en este
caso es el ángulo formado por la(s) tangente(s) a la(s) circunferencia(s) en la
imagen del vértice del ángulo. Este caso será tratado en breve y explicado a
cabalidad en su momento.
Veamos que la inversión S(Z) =
r
2
preserva ángulos.
Z
Si se trata de ángulos cuyos lados son rectas que pasan por el origen, entonces al aplicar S al
mismo éste permanece invariante, pues las imágenes por S de rectas que pasan por el origen
permanecen invariantes.
Veamos primero qué ocurre con un ángulo, uno de cuyos lados pasa por el origen, al aplicarle
la inversión S =
r
2
Z
.


|

Suponga que el ángulo es  y que su vértice es el punto A(a, b). Sus lados son: la recta de
_ _
ecuación C Z + C Z = k  0, en donde C(c, d), ó 2cx + 2dy = k y la recta que pasa por el
origen y por A, el vértice del ángulo, que se puede describir como el conjunto de múltiplos del
vector w = (a, b). Un vector no nulo ortogonal al primer lado es u = (c, d) y uno ortogonal al
otro lado es v = (b, -a), pues es ortogonal al vector w = (a, b), que es paralelo al lado que pasa
por el origen. En la siguiente figura ilustramos lo dicho hasta ahora:


El lado que pasa por A y por el origen permanece invariante al aplicarle S, pero el otro lado
se transforma en la circunferencia C’ de centro
r
2
C y radio
d
2
puntos Z
+
que satisfacen Z 
r C
d
=
 r2 | C | 

, que consta de los
 | d| 


 r2 | C | 

 . Esto quiere decir que el ángulo en que se
 |d| 


transforma  es el que la recta que pasa por A y por el origen forma con la tangente en el
punto S(A) a la circunferencia en que se transforma el otro lado.
El centro de la circunferencia C’ es el punto que denotamos también con C’:
r
2
C, está en la
d
recta que pasa por el origen y es paralela al vector u = (c, d).
La circunferencia pasa por el origen y por S(A) =
r
2
Z, por lo que su centro también está en
2
|Z|
la mediatriz del segmento que pasa por el origen y por S(A). Ilustramos la situación en la
siguiente figura:
En la figura anterior se debe probar  = ’. Para probar esto observe primero el pequeño
triángulo rectángulo en P de vértices O, A y P. Su ángulo en A es , pues se opone al
mismo. Por esta razón su ángulo en O es , en donde  +  = 90°. Ahora bien, los triángulos
OMC y S(A)MC son congruentes, de donde el ángulo MS(A)C mide  y por ser recto el
ángulo formado por el segmento C’S(A) y la tangente a la circunferencia C’ en el punto S(A)
se tiene que esta tangente forma con la recta OS(A) un ángulo de  = 90° – , lo cual implica
’ = , pues son opuestos por el vértice.
Se deja al estudiante el análisis del resto de los casos.
Para inversiones centradas en un punto C distinto del origen y de radio r se traslada el
ángulo según el vector -C, se aplica a éste la inversión en el origen de radio r, la cual ya
sabemos que preserva ángulos, y se traslada este ángulo según C. Puesto que las
traslaciones son conformes, resultan las inversiones en general también conformes.