Geometría : La circunferencia

Geometría : La circunferencia
Definición 1
La circunferencia es el lugar geométrico ( conjunto de puntos ) del plano que
está a igual distancia de un punto dado. Tal punto se llama centro y tal distancia se
llama radio.
Definición 2.
Definiremos algunos segmentos, rectas y regiones importantes de la
circunferencia.
1.- Cuerda
: Se llama cuerda al segmento que une dos puntos de la circunferencia.
2.- Diámetro : Se llama diámetro a cualquier cuerda que pase por el centro.
3.- Secante : Se llama secante a cualquier recta que pase por dos puntos de la
circunferencia.
4.- Tangente : Se llama tangente a cualquier recta que pase por un único punto de la
circunferencia.
5.- Radio
: Se llama radio al segmento que une un punto de la circunferencia y su
centro.
6.- Angulo del centro: Un ángulo del centro es el formado por dos radios.
7.- Angulo inscrito : Un ángulo inscrito es el formado por dos cuerdas que se tocan
en un punto de la circunferencia.
8.- Angulo semi inscrito : Se llama ángulo semi inscrito al formado por una tangente y
una cuerda, teniendo como vértice el punto de tangencia.
9.- Círculo
: Se llama círculo a la región del plano finita delimitada por la
circunferencia.
10.- Arco de circunferencia : Se llama arco de circunferencia a la porción de
circunferencia entre dos puntos de ella.
11.- Sector circular : Se llama sector circular a la porción de círculo delimitado por
dos radios y el arco que subtienden.
12.- Segmento circular : Se llama segmento circular a la porción de círculo delimitado
por una cuerda y el arco de circunferencia definido por los
extremos de la cuerda.
Ejercicios.
Haga un dibujo donde describa cada uno de estas definiciones.
Observación.
El arco subtendido por algún ángulo es el arco de circunferencia que generan
los extremos del ángulo.
Teorema 1. ( relación entre ángulo del centro y ángulo inscrito)
La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro
que subtiende el mismo arco de circunferencia.
Demostración.
C
ACB es el ángulo inscrito y AOB es
el ángulo del centro. CD es diámetro.
CO = AO = radio, luego el triángulo
AOC es isósceles. De igual forma el
triángulo BOC es isósceles. Por tanto,
A
B
ángulo CAO = ángulo ACO = x
Ángulo OCB = ángulo OBC = y. Pero
D
ángulo AOD = 2x ; ángulo DOB = 2y
Por tanto ángulo inscrito ángulo ACB = x + y ; y el ángulo del centro
Ángulo AOB = 2x + 2y = 2 (x + y) = 2 ángulo ACB. Quedando demostrado que la
Medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro que
subtienden el mismo arco de circunferencia.
Observación.
¿ Qué ocurre con ángulos inscritos como los siguientes?
Se invita a resolver la relación entre este tipo de ángulos inscrito con su ángulo del
centro.
Corolario 1.
Dos ángulos inscritos que subtiendan el mismo arco son iguales.
Definición 3.
Un triángulo se llama inscrito en una circunferencia si sus vértices son puntos
de la circunferencia.
Corolario 2.
Un triángulo inscrito en una circunferencia tal que uno de su lados es un diámetro
entonces tal triángulo es rectángulo.
Definición 4.
Dada una circunferencia se llama perímetro a la longitud de arco de toda la
circunferencia. Se llama área a la medida del círculo.
Teorema 2. ( área y perímetro de una circunferencia)
Dada una circunferencia de radio R .Entonces :
Su perímetro es dado por : 2R
Su área es dada por
: R 2
donde   3.1415 ....
Demostración. (se hará posteriormente).
Teorema 3. ( área de sector circular).
El área del sector circular formado por un ángulo del centro cuya medida es
x radianes, en una circunferencia de radio R, es :
xR 2
2
Demostración.
Resuelva según la proporción :
R 2 áreadelsec torcircular

2
x
Teorema 4 ( longitud de arco de una circunferencia).
Sean A y B dos puntos de una circunferencia de radio R. Si el ángulo del centro
AOB, O centro de la circunferencia, mide x radianes entonces la longitud del arco
AB; subtendido por el ángulo del centro de medida x, es :
Rx
Demostración.
Haga una proporción como la del teorema anterior.
Teorema 5 ( ángulo semi inscrito con ángulo del centro)
La medida del ángulo semi inscrito es la mitad del ángulo del centro que subtiende
el mismo arco de circunferencia.
Demostración.
B
A
T
El ángulo del centro es AOB = x. Como el radio OA es perpendicular con AT, la
recta tangente, entonces el ángulo OAT = 90º. Pero el ángulo OAB = 90º- x/2.
Con lo cual el ángulo BAT = x/2. Es decir, el ángulo semi inscrito mide la mitad
del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
Teorema 6( circunferencias secantes)
Dos circunferencias ambas de radio R y centros O y O’ se cortan en los puntos
A y B. Entonces la secante a las circunferencias que pasan por A y B es perpendicular
al segmento OO’ que une los centros.
Teorema 7 ( tangente y radio )
La recta tangente y el radio que une el punto de tangencia y el centro O de una
circunferencia son perpendiculares.
Ejercicios.
Revise bien las definiciones dadas de regiones, segmentos y rectas en una
circunferencia para poder resolver estos problemas.
1.- Determinar el perímetro de una circunferencia de radio 10 cm.
2.- Determinar el área de una circunferencia de radio 10 cm.
3.- Determinar el área del sector circular de una circunferencia de radio 10 si el ángulo
del centro mide 45º.
4.- Determinar la longitud del arco de una circunferencia si el ángulo del centro que la
subtiende mide 60º.
5.- Determinar el perímetro de una circunferencia si recorrió 100 mt y dio 10 vueltas
completas.
6.- Determinar el radio de una circunferencia si recorrió 100 mt y dio 10 vueltas
completas.
7.- Determinar el área de un segmento circular si el arco que lo define es subtendido por
un ángulo del centro de 30º.
8.- Determinar lo que recorrió una circunferencia ,de radio 10, girando sin resbalar y
en línea recta si dio 10 vueltas completas.
9.- Demostrar el teorema de longitud de arco de una circunferencia.
10.- Determinar la longitud de arco que subtiende un ángulo inscrito cuya medida es de
30º.
11.- Dos circunferencias de igual radio se cortan en los puntos A y B. Si los centros son
O y O’ determinar el área de la región entre las circunferencias, sabiendo que
AOB = 30º.
12.- Demostrar el teorema de circunferencias secantes.
Ayuda: Use congruencias de triángulos en la demostración.
13.- Demostrar el teorema de tangente y radio.
Ayuda : use el teorema de las circunferencias secantes y vaya apartándolas hasta que
sean tangentes.
14.- Por un punto P exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB,
siendo A y B puntos de tangencia. Si el ángulo AOB = 120º determinar el ángulo
APB.
15.- Un triángulo equilátero es inscrito en una circunferencia demuestre que las tranversales de gravedad se cortan en el centro de la circunferencia.
16.- Un triángulo equilátero es inscrito en una circunferencia de radio 10 cm.
Determinar el área del triángulo.
17.- Un triángulo equilátero de lado a es inscrito en una circunferencia
determinar el radio de la circunferencia en términos de la medida a del lado del
triángulo equilátero.
18.- Tres circunferencias de radio 10 se intersectan dos a dos cada una pasando por el
centro de la otra. Determinar el área del sector que delimitan las tres circunferencias.
19.- Tres circunferencias de radio 10 cm son tangentes dos a dos. Determinar el área
de la región delimitada por las tres circunferencias.
20.- Cuatro circunferencias de radio 10 cm son tangentes dos a dos y dispuestas en dos
líneas. Determinar el área de la región delimitada por las cuatro circunferencias.
Teorema 8( cuerdas que se cortan en una circunferencia)
Dada una circunferencia de centro O y radio R, se trazan cuerdas AB y CD, las cuales
se cortan en E. Entonces se obtiene la siguiente relación.
B
D
AE x EB = CE x ED
A
C
Demostración.
Trace los segmentos AD y BC y demuestre que los triángulos ADE y CEB son
Semejantes y usando el teorema de Thales se obtiene la relación pedida.
Teorema 9( Secantes que se cortan en P, punto externo a circunferencia.)
Sea dada una circunferencia de radio R y centro O. Por P, punto externo a la
circunferencia, se trazan dos secantes obteniéndose la siguiente relación.
D
C
A
B
PC x PD = PB x PA
P
Demostración.
Trace DB y AC y demuestre que los triángulos PDB y PCA son semejantes.
Y realizando las proporciones del teorema de Thales se obtiene la relación pedida.
Teorema 10 ( de la secante y tangente)
Sea dada una circunferencia de radio R y centro O. Por P, punto externo a la
circunferencia, se trazan dos secantes obteniéndose la siguiente relación.
A
PB x PA = PQ2
B
Q
P
Polígonos
Definición 5.
Un polígono de n lados es una figura plana determinada por n rectas que se
cortan dos a dos. Las intersecciones dos a dos de tales rectas se llaman vértices y los
segmentos que generan dos vértices adyacentes se llaman lados.
Observación.
Dada una circunferencia de radio R y centro O. Por O se trazan n diámetros
tal que el ángulo completos ( 2 radianes ) es subdividido en n partes iguales. Luego
2
se forman n ángulos del centro todos congruentes y de medida
. Cada uno de estos
n
diámetros, sus extremos, son puntos de la circunferencia. Dos de estos puntos
adyacentes al ser unidos por un segmento conforman un lado y cada uno de estos puntos
se llaman vértices. Así se genera un polígono con la particularidad que todos sus lados
son congruentes. Este tipo de polígono se llama ‘ Polígono regular convexo de n lados ’
Definición 6.
Diremos que un polígono es convexo si al tomar dos puntos cualquiera de su
interior y al ser unidos por un segmento tal segmento está completamente contenido en
el polígono.
Definición 7.
Un polígono se llama regular, si todos sus lados son entre sí congruentes.
Definición 8.
Se llama cuadrilátero a un polígono de cuatro lados.
Definición 9.
Se llama paralelógramo a un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
Teorema 11( Paralelogramo)
En un paralelógramo los lados opuestos son congruentes.
Demostración.
Trace una diagonal generando dos triángulos y demuestre que tales triángulos
son congruentes. Use el axioma de ángulos alternos internos.
Teorema 12 ( ángulos de un cuadrilátero)
Los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo suman 360º.
Demostración.
Trace una diagonal, dividiendo el cuadrilátero en dos triángulos, ponga nombres
a todos los ángulos y sume, use que la suma de ángulos interiores de un triángulo es
180º.
Teorema 13 ( cuadrilátero inscrito en una circunferencia)
Los cuadriláteros convexos inscritos en una circunferencia satisfacen que los
ángulos interiores que se oponen suman 180º.
Demostración.
Use el teorema del ángulo inscrito y el centro.
Teorema 14 ( ángulos de un polígono regular convexo)
La suma de los ángulos interiores de un polígono regular convexo de n lados es
igual a :
180º (n  2)
Demostración.
Desde el centro del polígono convexo ( centro de la circunferencia circunscrita)
trace segmentos que unan tal centro con los vértices. Se generarán n triángulos.
Demuestre que son congruentes entre sí y que son isósceles. Luego sume.
Ejercicios.
En cada problema fíjese en lo que se pide ( tesis) y la información que se le da
Además, mire bien en el cómo decidir qué teoremas usar para la demostración de
estos ejercicios.
1.- Demuestre que las diagonales de un cuadrado se cortan perpendicularmente.
2.- Demuestre que las diagonales de un paralelógramo se dimidian.
3.- Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares.
4.- Demuestre que el área de un paralelógramo es dado por : bh donde b es un lado
y h es la perpendicular bajada desde el vértice superior al lado b.
5.- Determine la suma y la medida de cada ángulo interior de un pentágono.
6.- Demuestre el teorema del paralelógramo.
7.- Demuestre el teorema del ángulos de un cuadrilátero.
8.- Demuestre el teorema del cuadrilátero inscrito en una circunferencia.
9.- Demuestre el teorema de ángulos de un polígono convexo.
10.- Dada una circunferencia se trazan las cuerdas AB y CD que se cortan en E.
Si AE = x ; EB = 2x – 4 ; CE = 6 ; ED = 2x+3 . Determinar la medida de AE.
11.- Dada una circunferencia de centro O y radio R. Por P ,punto exterior a la
circunferencia, se trazan secantes PD y PA; cortándola en A, B, C y D como se
muestra en el teorema 9. Si PC = x ; PA = 3x –5 ; PB = 5 : PD = 2x –5. Determinar
la longitud de PA y PD.
12.- Determinar el área de un paralelógramo cuyos lados miden 10 y 15 centímetros
y el ángulo formado entre ellos es de 30º.
13.- Demuestre el teorema 10. Use el teorema 9.
14.- Dado un cuadrilátero ABCD se trazan las diagonales AC y BD, las cuales se cortan
en E. Si AE = 12 , EC = 15 , BD = 18 y el ángulo AED = 30º; determinar el área
del cuadrilátero ABCD.
15.- Determinar el área de un pentágono regular convexo inscrito en una circunferencia
de radio 10 cm.
16.- Determinar el perímetro de un pentágono regular convexo inscrito en una
circunferencia de radio 10 cm.
17.- Determinar el área de un pentágono regular convexo circunscrito a una
circunferencia de radio 10 cm.
18.- Determinar el perímetro de un pentágono regular convexo circunscrito a una
circunferencia de radio 10 cm.
19.- Determine una fórmula para la suma de los ángulos externos de cualquier
polígono regular convexo.
20.- Determine una fórmula para el número de diagonales que se pueden trazar en
un polígono regular convexo.