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OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA
Problemas resueltos y comentados por:
José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo
XIX OLIMPIADA DE FÍSICA – AUSTRIA, 1988
1.- La absorción y emisión de un fotón esa un proceso reversible. Un
buen ejemplo se encuentra en la excitación de un átomo desde el estado
fundamental a uno de mayor energía y el subsiguiente retorno al estado
fundamental. En tal caso podemos detectar la absorción de un fotón a
partir del fenómeno de la emisión espontánea o fluorescencia. Algunas
de las más modernas técnicas instrumentales utilizan este principio para
la identificación de los átomos y también para medir o calcular el valor
de la velocidad en el espectro de velocidades del haz de electrones.
En un experimento idealizado un ión con una sola carga viaja, con
velocidad v , en dirección opuesta a un haz de luz láser. La longitud de
onda del láser se puede variar. Un ión en reposo se puede excitar a un
nivel superior de energía al interaccionar con la luz láser de longitud de
onda 600 nm. Pero si ese mismo ión se mueve con una cierta velocidad
hacia la luz del láser entonces, de acuerdo con el efecto Doppler, se
necesita que este emita una longitud de onda diferente a la anterior. El
espectro de velocidades de los iones está comprendido entre v=0 y v
=6000 m/s
1.1.1.-- ¿Qué rango de longitudes de onda del láser debe utilizarse para
lograr la excitación de todos los iones cuyo espectro de velocidades es el
indicado anteriormente?
1.1.2.- Un análisis riguroso del problema exige la aplicación del
principio de relatividad, el cual conduce a la expresión
cv
f´  f
c v
Calcular la diferencia que existe en utilizar la fórmula clásica del efecto
Doppler
1.2.- Suponiendo que los iones se aceleran mediante una diferencia de
potencial U antes de excitarlos mediante la luz del láser, determinar la
relación entre el espectro de velocidades de los iones y el potencial
acelerador U.
q
C
1.3 La relación carga masa de cada uno de los iones es
y
 4.10 6
m
kg
poseen dos niveles de energía que corresponden a las longitudes de onda
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149
600 nm y 600+10-3 nm. Mostrar que la luz de las dos longitudes de onda
utilizadas para excitar los iones se solapan cuando no se aplica a los
iones voltaje acelerador.
Si se utiliza un voltaje acelerador es posible separar los dos espectros de
la luz de manera que no haya solapamiento entre ellos. Calcular el valor
mínimo de U para que esto suceda.
1.1.1.- Rango de longitudes de onda
Cuando el láser está en reposo y el ión se mueve hacia el láser, la ecuación del efecto
Doppler es:
 v
f´ f o 1  
 c
Siendo f´ la frecuencia que recibe el ión, fo la frecuencia del láser, v la velocidad de
desplazamiento del ión hacia el láser y c la velocidad de la luz.
Por otra parte el ión solamente pasa a un estado de mayor energía cuando recibe la luz
del láser de frecuencia f*, esto ocurre tanto si el ión está en reposo como si se desplaza
con velocidad v, por tanto, la ecuación del efecto Doppler se escribe
v

f*  f o 1  
c

c
3.108
Cuando el íon está en reposo v = 0 y f* = fo =

 5.1014 Hz
λ m 600.109
Cuando su velocidad es v = 6000 m/s
 v
f*  f o 1   
 c
 v
c v
λ M  λ m 1    λ m 

 c
 c 
c
c  v

1   
λm λM  c 
c v
 c  v  λmv
Δλ  λ M  λ m  λ m 
 1 

  λm  λm 
c
 c 
 c

600nm* 6.103
3.108
m
s
m
s  0,012 nm
Para que todos los iones puedan excitarse la longitud de onda del láser debe estar
comprendida entre 600 nm y 600,012 nm.
1.1.2. Análisis riguroso…
Escribimos las formulas
 v
f D´  f o 1  
 c
;
f R´  f o
cv
cv
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150
Los subíndices D y R significan Doppler clásico y relativista, respectivamente.
Despejamos fo de la primera y lo sustituimos en la segunda
f D´ c c  v
f D´ c
f 


cv cv
c2  v2
f D´
´
R
1
f D´
6.103 
v2

1


1

2
f R´
2c2
2 * 3.108 
v2
c2
f D´
f 

v2
1 2
2c
´
R
2

f D´
 1  2.1010
f R´

La formula clásica es válida para esta velocidad de los iones.
1.2.- Determinar la relación entre el espectro de velocidades de los iones y el
potencial acelerador U.
1
2qU
Para los iones de velocidad cero mv2m  qU  v m 
2
m
Para los iones de velocidad v:
1
1
mv2  qU  mv2M
2
2
Δv  v M  v m  v 2 

vM  v2 
2qU
m
2qU
2qU

m
m
Si U es pequeño no existe apenas cambio en el espectro de las velocidades.
Si U es muy grande el espectro de velocidades es cada vez más pequeño y tiende a cero.
1.3 Mostrar que la luz de las dos longitudes de onda utilizadas para excitar los
iones se solapan cuando no se aplica a los iones voltaje acelerador.
Primer nivel de energía sin voltaje acelerador
Cuando la velocidad de los iones es cero λ (1)
m  600 nm
Cuando la velocidad de los iones es v
λ (1) λ (1)  v 
 v
f *  f o 1    m  M 1   
c
c  c
 c
λ (1)
M 
λ (1)
600 nm
m

 599,988 nm
v
6.103
1
1
c
3.108
Segundo nivel de energía sin voltaje acelerador
-3
Cuando la velocidad de los iones es cero λ (2)
m  600  10 nm
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151
Cuando la velocidad de los iones es v
λ (2) λ (2)  v 
 v
f *  f o 1    m  M 1   
c
c  c
 c
λ (2)
M 
λ (2)
600  10-3 nm
m

 599,989 nm
v
6.103
1
1
c
3.108
Para observar el solapamiento
λ (2)
m
λ (2)
M
λ (1)
m
λ (1)
M
Fig.1
599,997
599,993
599,988
600,001
1.3 .-Calcular el valor mínimo de U para que esto suceda.
De la figura1 se deduce que para que no haya solapamiento
(1)
λ (2)
M (U)  λ m (U)
 
1
m v (1)
m
2
2
 qU

λ (1) λ (1) (U)  v (1)
 v
1  m
f *  f o 1    m  m
c
c 
c
 c

λ (1)
m (U) 
600
 103 8U 
1 



c


v (1)
m 
2qU
 103 8U
m

 

 103 8U 
1 

600nm λ (1)
(U)
m


c


(1)
Vamos a calcular v (2)
M´ (U)


2
1
1
mv2  qU  m v (2)
M (U)
2
2

v (2)
v2 
M (U) 
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2qU
m
152
 v (2)
λ (2)
λ (2)
(U) 
 v
m
m (U)
1  M

f  f o 1   

c
c 
c 
 c
*

 v (2)
(U) 

600  10 nm  λ (U)1  M
c 

-3
(2)
m
600  10-3
λ (2)
m (U) 
(2)


2qU


v2 
m 
1 


c




El valor mínimo de U se consigue cuando las ecuaciones (1) y (2) sean iguales
600
1

3
10
8U
c

600  0,001
36.106  8.106 U
1
c
600  600

36.106  8.106 U
103 8U
 600,001 600,001
c
c
0,001* c  600* 36.106  8.106 U  600,001* 103 8U
3.105  600* 103 36  8U  600,001* 103 8U



300  600 36  8U  600,001 8U
La última ecuación la resolvemos por tanteos sucesivos
U
100 V
200 V
150 V
155 V
160 V
600 36  8U
17348
24268
21094
21432
21766
600,001 8U
16971
24000
20785
21128
21466
Diferencia
377>300
268<300
309>300
304>300
300=300
No se producirá solapamiento cuando U  160 V
2.- Una rueda cilíndrica de densidad uniforme y masa M =0,40 Kg y
radio R =0,060 m3, y espesor d=0,010 m , está suspendida del techo
mediante de dos cuerdas ligeras. Cada cuerda se puede enrollar sobre el
eje de la rueda . El radio de dicho eje es r = 0,0030 m. La masa del eje y
de las cuerdas se consideran despreciables. Cuando la rueda se gira
manualmente las cuerdas se enrollan sobre el eje hasta que el centro de
mas de la rueda está a una altura de 1m por encima del suelo. Si la
rueda se deja en libertad está desciende verticalmente al mismo tiempo
que gira. Las curdas se desenrollan en su totalidad y la rueda alcanza su
punto más bajo, luego, las cuerdas se enrollan, en sentido opuesto, de
nuevo sobre el eje y la rueda asciende. Se supone que las cuerdas están
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en posición vertical y los puntos donde la cuerda toca al eje están
directamente debajo de sus respectivos puntos de suspensión (ver la
figura inferior)
A
S
R
r
s
S eje por el cdm;
SA = r
A generatriz del eje de
rotación
2.1.- Determinar la velocidad angular de la rueda cuando el centro de
masas ha recorrido la distancia s, hacia abajo.
2.2.- Determinar las distintas energías de la rueda cuando s= 0,50 m
2.3.- Calcular la tensión de la cuerda cuando la rueda está descendiendo
2.4.- Calcular la velocidad angular ’como función del ángulo  cuando
la cuerda comienza a arrollarse en el eje en el sentido opuesto al que
estaba cuando descendía.
Dibujar un gráfico de variables que describa el movimiento (en
coordenadas cartesianas) y también la velocidad del centro de masas en
función de .
A

r
S
v
v
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2.5.- Si cada cuerda resiste una tensión T =10 N sin romperse, encontrar
la máxima longitud de cuerda que puede desenrollarse sin romperse.
2.1.- Velocidad angular de la rueda
Cuando la rueda haya descendido una altura s, su energía potencial se ha transformado
en cinética de traslación del centro de masas y en cinética de rotación alrededor del eje
perpendicular a la rueda y que pasa por el centro de masas
Mgs 
1
1
1
1 1
Mv 2  Iω 2  Mv 2  * MR 2 ω 2
2
2
2
2 2
La velocidad lineal del centro de masas está relacionada con la velocidad angular de la
rueda v  ω r
gs 
1 2 2 1 2 2
ω r  R ω
2
4

ω
2gs
R2
r2 
2
2.2.- Determinar las distintas energías de la rueda cuando s= 0,50 m
Si tomamos como origen de la energía potencial el suelo las distintas energías de la
rueda son:
Energía cinética de traslación:
2gs
*r2 
2
R
r2 
2
1
2
*
9,8
*
0,5
 E Tc  * 0,4*
* 0,00302  9,75.103 J
2
2
0,060
0,00302 
2
E TC 
1
1
1
Mv 2  Mω 2 r 2  M
2
2
2
Energía cinética de rotación:
2gs
1
2 * 9,8* 0,5
 * 0,4* 0,0602 *
 1,95 J
2
4
R
0,0602
2
2
r 
0,0030 
2
2
Energía potencial respecto del suelo
E CR 
1 2 1 1
Iω  * MR 2 *
2
2 2
E p  Mgs  0,4* 9,8* 0,5  1,96 J
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2.3.- Calcular la tensión de la cuerda
Las ecuaciones son las siguientes:
2T  Mg  Ma
T
2T * r  Iα
aα r
Mg
T tensión de cada cuerda, a =aceleración del centro de masas,  =aceleración angular
de la rueda. I =momento de inercia.
2T  Mg  Mα r  M

2T r
2T r2
4T r2
4r 2

*r  M


T
2


1
I
R2
R2

MR 2
2

MgR 2
  Mg  T 
2R 2  4r 2

0,4* 9,8* 0,0602
T
 1,97 N
2 * 0,0602  4 * 0,00302
2.4.- Determinar la velocidad angular en función del ángulo 
Cuando la cuerda se ha desenrollado en su totalidad se produce un rebote y la situación
inicial y final queda reflejada en la figura

T
A

S
v
v
v
r
v

t
t+
Se deduce que el momento que hace girar a la rueda respecto de A vale: MgcosΦ * r y
la ecuación diferencial del movimiento
MgcosΦ * r  I A
d 2Φ
dt 2
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A partir de esta ecuación obtenemos
2
 dΦ 
d

2
Mgcos Φ * r dΦ d Φ dΦ
1  dt 
Mgcos Φ * r dΦ
*
 2 *


*
IA
dt
dt
2
dt
IA
dt
dt

2
2Mg sen Φ * r
 dΦ 

 Cte
 
IA
 dt 
Cuando  =0 la velocidad angular de la rueda se debe a la caída desde una altura H y
hemos visto que vale
ω
2gH

R2
2
r 
2
2MgH

R2
2
Mr  M
2
2MgH
IA
Luego la constante es:
2
2MgH
 dΦ 
Cte  
 
IA
 dt 
Finalmente
2
2Mgrsen Φ 2MgH
 dΦ 
2


 ω 
IA
IA
 dt 

ω
2Mgr senΦ 2MgH

IA
IA
La velocidad máxima se obtendrá cuando sen  =1 =90º
ω MAX 
2Mg
H  r 
IA
La velocidad mínima se obtendrá cuando sen  =-1 =180º
ω MIN 
2Mg
H  r 
IA
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2.4.- b) Dibujar un gráfico de variables que describa el movimiento (en coordenadas
cartesianas) y también la velocidad del centro de masas en función de 
2Mg
H
IA
En O ω' 0 
En E ω'MAX
2ª
caída
O
2Mg
H  r 
IA
B
0º
270º
90
º
4ª
caída
360º

180º
En cuanto al módulo de la velocidad v’ = ’.r
semejante a la de ’.
se puede trazar otra gráfica
2Mg
H  r  ;
IA
v'MAX  r.ω.MAX  r.
v'0  r.ω.0  r.
3ª
caída
E
2Mg
H  r 

IA
En B ω'MIN 
1ª
caída
’
A
2Mg
H  ;
IA

r
S
2Mg
H  r 
v'min  r.ω.min  r.
IA
v
v
La componente v’x = -v’ sen  v
v x vy
La componente v’y = -v’ cos 
vx’
1ª
caída
2ª
caída
3ª
caída
4ª
caída
E
O
0º
270º
90
º
360º
180º

B
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vy’
1ª
caída
2ª
caída
3ª
caída
4ª
caída
E
270 360º
º
0º
O
B
90
º

180º
2.5.- Si cada cuerda resiste una tensión T =10 N sin romperse, encontrar la máxima
longitud de cuerda que puede desenrollarse sin romperse.
r
A

S
v
v
T
R
r
A
vMAX
Mg
S
1
1
MR 2  mr 2 . Pero suponiendo que
2
2
m, la masa del eje, es mucho menor que la masa total del disco M, ponemos
1
I S  MR 2 .
2
El momento de inercia respecto al eje S es I S 
El momento de inercia respecto al eje A es:
I A  I S  Mr 2 
 R2

1
MR 2  Mr 2  M
 r 2 
2
 2

Las tensiones de las dos cuerdas deben soportar el peso de la rueda y proporcionar la
fuerza centrípeta para girar
La velocidad máxima ocurre en el punto más bajo. Las tensiones de las dos cuerdas
deben soportar el peso de la rueda y proporcionar la fuerza centrípeta para girar
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2T  Mg  Mω 2MAX r 
2
 2T  Mg  2 R


r


2
 Mr 
2T  Mg 2Mgr  H  2gr  H 



Mr
IA
 2 R2 
 r 

2



  4gr  H  

2
0,0602 
 20  0,4* 9,8 
 2T  Mg  2 R 



 0,00302 

 r 
2 
2 
 Mr 
 0,4* 0,0030 
H
r 
 0,0030 1,23 m
2g
2 * 9,8
Por otra parte, la conservación de la energía nos permite obtener también 2 MAX
1
I A ' 2MAX  Mh(r  H )
2
  ' 2MAX 
2Mgr  H  2gr  H 

IA
 2 R2 
 r 

2 

Igualando ambas expresiones obtenemos
 2T  Mg  2 R

 r 
2
 Mr 
2

  4gr  H 

3.- Un gas formado por iones positivos de algún elemento (a alta
temperatura) y electrones. El ión positivo pertenece a un átomo de
número atómico Z desconocido. Se sabe que este ión tiene solamente un
electrón en la corteza (capa exterior). Sea este ión representado por el
símbolo A(Z-1)+
Valores de constantes físicas:
0 =8,85.10-12 As/Vm; e=1,602.10-19 A.s; q2=e2/40 =2,037.10-28J.m
Constante de Planck ћ =1,054.10-34 J.s;
Radio atómico de Bohr rB = ћ2 /mq2 =5,29.10-11 m;
Energía de Rydberg ER=q2/2rB=2,180.10-18 J;
me (en reposo) = 9,108.10-31 kg;
mp (en reposo). c2=1,503.10-10 J
Cuestión 3.1
Sabemos que el ión A(Z-1)+, que tiene solamente un electrón en su capa
externa, se encuentra en el estado inferior de energía. En este estado, el
cuadrado de la distancia promedio entre el electrón y su núcleo r 2 cuyas
componentes sobre los ejes x, y y z sean (Δx)2, (Δy)2 y (Δz)2
respectivamente. También el cuadrado del momento promedio esté dado
por p02=(Δpx)2+(Δpy)2 +(Δpz)2 .
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160
Dado que por el principio de incertidumbre se tiene que Δpx  ћ /2Δx,
Δpy  ћ/2Δy, Δpz  ћ/2Δz, se pide escribir la desigualdad que
corresponde al producto (p0)2.(r0)2 aplicando dicho principio.
Solución 3.1:
Tenemos las relaciones dadas en el enunciado,
ro2=(Δx)2 +(Δy)2 +(Δz)2 ;
p02=(Δpx)2+(Δpy)2 +(Δpz)2 ;
Δpx  ћ /2Δx, Δpy  ћ /2Δy, Δpz  ћ /2Δz
y además
(Δx)2 = (Δy)2 = (Δz)2 = r02/3
por consiguiente:
p02 
2
4
 1
1
1 



2
2
y  z 2 
 (x)
p02 
2
4
 3
3. 2 
 r0 
y por
tanto
p02.r02  9/4 . ћ2
Cuestión 3.2
El ión representado por A(Z-1)+ puede capturar otro electrón, pasar a
A(Z-2)+ y emitir como consecuencia un fotón. Escribir una ecuación que
permita calcular la frecuencia de dicho fotón.
Solución 3.2
Tenemos los datos siguientes:

ve ......Módulo de la velocidad del electrón externo antes de la captura.

vi ....... Módulo de la velocidad del ión A(Z-1)+ antes de efectuar dicha captura.

v f ......Módulo de la velocidad del ión A(Z-1)+ después de efectuar la captura
En =h. ...... Energía del fotón emitido
Las ecuaciones necesarias son las de la conservación de la energía y del momento.
El principio de conservación de la energía queda establecido:
½ .me .ve2 + ½ (M+me).vi2 + E(A(Z-1)+) = ½ (M+me).vf2 + E(A(Z-2)+)
E(A(Z-1)+) y E(A(Z-2)+) indican la energía del electrón en la capa exterior de los iones A(Z1)+ y A(Z-2)+ respectivamente.
La conservación del momento queda:



h.ν 
m e .v e  M  m e .v i  M  Zm e .v f 
u
c

El vector u es el vector unitario en la dirección del fotón emitido.
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Cuestión 3.3
Calcular la energía del ion A(Z-1)+ usando el valor de la mínima
energía. El cálculo se puede abordar con aproximación basado en los
principios siguientes:
A) La energía potencial del ion A(Z-1)+ se puede expresar en términos
del valor promedio de 1/r. ( en este caso del valor r 0 que está dado en
el problema).
B) En el cálculo de la energía cinética del ión usar el valor promedio del
cuadrado del momento, dado en 3.1 después de ser simplificado,
(p0)2 . (r0)2  (ћ)2
Solución 3.3
Z.e2
Zq2
p2
; Energía cinética Ec =

4ππ0 r0
r0
2.me
Suponemos el movimiento del electrón confinado en el plano x-y, aplicando el principio
de incertidumbre como en 3.1 puede escribirse:
Energía potencial del electrón
Ep = -
ro2 = (Δx)2 +(Δy)2
p 02 
2
4
po2 =( Δpx)2 + (Δpy)2
 1
1  2  2 2  2 4

   .


2
(y)2  4  ro2 ro2  4 ro2
 (x)
p 02 .r02   2
Entonces la energía total del electrón es:


E A (Z1)  
p o2
Zq2
2
Zq2



2me
ro
ro
2me ro2
La energía será mínima cuando dE /dro=0
dE
2
Zq2


0
dr0
m e ro3
ro2

E A (Z1) 

de donde se saca
1 Zq2 m e
,

ro
2
2
2
m e  Zq 2 
 2  Zq 2 m e 
2 Zq m e



Zq
=




2   
2me   2 
2
teniendo en cuenta que el radio de Bohr es rB = ћ2/meq2
ER=q2/2rB , queda


E A (Z1)  
en resumen
y de esta

2
y la energía de Rydberg es
m e .q 2 2 2
q 2 Z2
.q
Z


 E R Z 2
2rB
2 2

E A (Z1)  E R Z 2
Cuestión 3.4
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Calcular la energía del ion A(Z-2)+ tomándolo en el estado más bajo y
usando los mismos principios que en el caso de A(Z-1)+. Dada la
distancia promedio de cada uno de los dos electrones en la capa externa
(en la forma que se tomó r0 en 3.3), llamándolas r1 y r2 y asumiendo que
la distancia promedio entre los dos electrones está dada por r1 + r2 , y el
momento promedio de cada electrón obedece al principio de
incertidumbre, esto es, (p1)2 . (r1)2  ( ћ)2 y (p2)2 . (r2)2  (ћ)2
Sugerencia: Usar como dato que en el estado mas bajo de energía es r1 =
r2
Solución 3.4
En el caso en que el ión A(Z-1)+ captura un segundo electrón
La energía potencial de ambos electrones sería Epp = -2 Zq2 /ro
La energía cinética de los dos electrones: Epc = 2 p2 /2me = ћ2/me.ro2
q2
q2
Energía potencial debida a la interacción entre los dos electrones Epi =   
r1  r2 2.r0
La energía total del ión A(Z-2)+ será la suma de las tres energías,
2
2.Z.q2 q 2
E A (Z2) 


r0
2.r0
m e r02
dE
El mínimo de energía se produce cuando
 0 , y por tanto
dr0



Que simplificada es, 
2. 2
2.Z.q2
q2


0
m e .ro3
ro2
2.ro2
2. 2
q2
 2.Z.q2 
0
2
m e .ro
y con el radio de Bohr rB 
2
m e .q 2
queda
2.q2 rB
1
1
1
q2
 Z  
 2.Z.q2  , es decir
4
2
ro rB 
ro
Con este valor de r0 sustituido en la ecuación de la energía, obtenemos su valor mínimo
2
1
1


Z 
2 Z  .q 2
2 
 
1
4
4 
E A( Z 2) (min)
.
 
. Z  
2
me
rB
4
rB




1 
1   2
E A (Z 2)  (min)  . Z   
 2q 2 
rB 
4   m e rB

2
2


como rB 
, tenemos en la ecuación
 q 2 luego el último factor en
2
m
r
m e .q
e B
2
corchetes vale – q .


2
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Y escribimos la ecuación




E A (Z2) 
2q2 
1
(min)  
. Z  
2rB 
4
2
y por fin tenemos la
energía mínima:
1

E A( Z 2) (min) 2ER  Z  
4

2
Cuestión 3.5
Considerar en particular que el ión A(Z-1)+ se encuentra en reposo en el
nivel más bajo cuando captura un electrón adicional y el electrón
capturado está también en reposo antes de su captura. Determinar el
valor numérico de Z si la frecuencia del fotón emitido que acompaña al
electrón capturado es 2,057.1017 rad/s. Identificar elemento que da lugar
al ión.
Solución 3.5
El ion A(Z-1)+ está en reposo cuando captura el segundo electrón también en reposo antes
de la captura.
 2,057.1017


La frecuencia del fotón emitido está dada por
Hz
2
2.
Y en los apartados anteriores obtuvimos para las energías de ambos estados:


E AA(Z1)  E R Z2 y


1

E A (Z2)  (min)  2ER  Z  
4

La ecuación de la energía puede ser simplificada en la forma
2
E(A(Z-1)+) - E(A(Z-2)+) = ћ.= h.
esto es
2

1 

 E R .Z2   2ER  Z     .ω
4  


y con los números
1 

2,180.1018  Z 2  Z ( Z  ) 2   1,05.1034.2,607.1017
4 

es decir
Z 2  Z  12,7  0 , cuya solución con sentido físico es Z 
1  1  51
 4,1
2
Esto implica que Z = 4, y por tanto se trata del Berilio
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