El concepto de aceleración

El concepto de velocidad.
El nuevo auto de Aquiles
Aquiles y Doña Tortuga se dirigen al
supermercado en el auto deportivo que se acaba
de comprar Aquiles. Doña Tortuga quería probar
el nuevo auto y Aquiles ha accedido gentilmente
a dejarla conducir. Poco después de salir de casa
los para un policía.
Policía: ¡Señora, usted iba a 100 kilómetros por
hora!
Doña Tortuga: Eso es imposible, señor, he
estado viajando sólo siete minutos. Es ridículo,
¿cómo puedo ir a 100 kilómetros por hora
cuando no he viajado una hora?
Policía: ¡Cuénteselo usted al juez!
Aquiles: pero, Doña Tortuga tiene razón. le juro
señor policía que sólo hace siete minutos que
salimos de casa. Mire, precisamente todavía
tengo en la mano la factura del parking.
Policía (poniendo una expresión dudosa):Lo que
quiero decir, señora, es esto: si usted siguiera
yendo de la misma manera como iba ahora, en la
hora siguiente habría recorrido 100 kilómetros.
Doña Tortuga: Bien, mi pie no estaba en el
acelerador, y el auto estaba deteniéndose: así
que si yo continuara yendo de esa manera no
recorrería 100 kilómetros.
Aquiles: Y, en cualquier caso, si siguiera
moviéndome de la manera como usted, señor
agente, dice que lo estamos haciendo durante
una hora más, ¡nos iríamos contra esa pared al
final de la calle!
Policía (con ligeros síntomas de impaciencia):
Mire, señora, su velocímetro marcaba 100
cuando pasó usted por el control.
Doña Tortuga: precisamente le iba a comentar al
señor Aquiles que el velocímetro no está
funcionando con propiedad
Aquiles: ¡no me diga usted eso!. ¡Acabo de
comprar este coche y ya tiene un fallo!. Voy a
demandar a esa empresa. Señor policía, puede
usted tomar nota..."25 de julio de..."
Policía: ¡eh!, no empiece con esa...que de la
multa no se va a librar.
Doña Tortuga: sí, señor Policía, pero tampoco
cambie usted de tema. ¿Qué quiere usted decir
con lo de los 100 kilómetros a la hora?
Policía (que ya empezaba a pensar en que todo
esto era una tomadura de pelo): Sí, por supuesto,
antes de andar una hora usted chocaría esa
muralla, pero si anduviera un segundo, recorrería
28 metros; señora, usted iba a 28 metros por
segundo y si siguiera andando, el próximo
segundo estaría a 28 metros y la muralla está
más lejos.
Doña Tortuga: ¡Sí, pero no hay ninguna ley que
prohiba ir a 28 metros por segundo!. Hay sólo
una ley que prohibe ir a 100 kilómetros por hora.
Policía: Pero... es la misma cosa.
Doña Tortuga: ¿Cómo que es la misma cosa?. Si
fuera la misma cosa no habríamos entrado en
toda esta discusión acerca de los 28 metros por
segundo.
Policía: Mire, está acabando usted con mi
paciencia. Ahora mismo me acompañan los dos
al juzgado.
Horas más tarde, Doña Tortuga y Aquiles
comparecen ante el Juez de Guardia.
Juez de Guardia: ¿qué demonios es toda esa
cháchara con lo de los 100 kilómetros por hora,
los 28 metros por segundo y demás?. No estoy
dispuesto a aguantar toda esta pedantería.
Doña Tortuga: perdóneme usted, señoría, pero el
señor policía estaba afirmando que nuestra
velocidad era de 28 metros por segundo, y no
hay ninguna ley que prohiba ir a esa velocidad.
Juez de Guardia: pero la ley es clara. En la vía
donde usted se encontraba no se puede circular
a 100 kilómetros por hora, y eso es lo mismo que
los 28 metros por segundo.
Doña Tortuga: ¿cómo?
Juez de Guardia: mire, si usted prosiguiera
1/3600 de una hora andando a 100 kilómetros
por hora habrá usted recorrido 1/3600 de 100
kilómetros. ¿De acuerdo?.
Doña Tortuga: ¡umm!, déjeme pensarlo un
instante... umm... ¡sí, claro!
Juez de Guardia: y eso son aproximadamente 28
metros.
Aquiles (sacando su contador automático de
granos de arena): es verdad, Doña Tortuga...
¡mire usted el resultado!.
Doña Tortuga: ahhh... y eso significa que he
recorrido 28 metros en 1/3600 de una hora que
es precisamente un segundo. ¡28 metros por
segundo!.
Juez de Guardia: ¿Por fin ha caído usted en la
cuenta?
Doña Tortuga: pero...
Juez de Guardia: sí, ya sé que me va a decir
usted que incluso durante ese segundo el coche
estaba parando y por tanto que no podría ir a 28
metros por segundo, aún durante ese pequeño
intervalo de tiempo.
Doña Tortuga: reconozco que es usted muy
agudo, señoría
Juez de Guardia: efectivamente, nuestros
agentes están dotados de los últimos medios
técnicos. Y con ellos pueden tomar intervalos de
tiempo realmente cortos, digamos una
millonésima de segundo, y medir la distancia que
ha recorrido un auto en ese pequeño instante.
Aquiles: ¿cómo es eso?
Doña Tortuga: si me permite, señoría, lo
explicaré yo misma. En una millonésima de
segundo, el sofisticado radar del agente le habrá
indicado que el coche había recorrido 28
millonésimas de metro, es decir, 28 milésimas de
milímetro. Así, que si multiplicamos por un millón
ambas cantidades obtenemos los 28 metros por
segundo. Y si multiplicamos ésta a su vez por
3600 obtenemos una suma de 100,000 metros
recorridos en una hora, lo que nos lleva a los 100
kilómetros por hora de los que hablaba el señor
agente.
Juez de Guardia: efectivamente, eso es lo que
indica el informe del radar. Así que ahora paguen
su multa y váyanse a casa.
Aquiles: ¡pues vaya faena!. Todo esto para
terminar pagando la multa.
Doña Tortuga (mientras salen de la sala del
juzgado): estimado amigo, mírelo de este modo.
Hemos aprendido cómo se mide la velocidad
instantánea.
Aquiles: ¿la velocidad qué?
Doña Tortuga: la velocidad instantánea. Fíjese,
que no hace falta ir durante mucho tiempo a 100
kilómetro por hora para afirmar que en algún
instante podemos llevar esa velocidad. El truco
está en escoger una cantidad de tiempo lo más
pequeña posible, de tal manera que el auto no se
haya movido mucho durante esa pequeña
fracción de tiempo. Esa es una idea hermosa y
vale el precio que hemos pagado por la multa.
Aquiles: sí, pero ahora conduciré yo... que ya me
preocuparé de no alcanzar los 100 kilómetros por
hora en ningún instante, por muy pequeño que
usted decida elegirlo.
Efectivamente la rapidez media de un cuerpo
en movimiento puede ser capturada si se
mide como el espacio recorrido por unidad
de tiempo. Pongámoslo de una manera clara
como (ec.[1])
Sin embargo, no está tan claro lo que
debemos medir cuando un cuerpo está
cambiando de velocidad constantemente, tal
y como ocurre con un objeto en caída. Es
decir, si un cuerpo se suelta desde una altura
de 5 m y tarda del orden de 1 s en caer, ¿
concluimos que el cuerpo se mueve a unos 5
m/s?. Bien, podemos decir que su rapidez
media es de unos 5 m/s, pero sabemos que
el cuerpo se empieza moviendo muy
despacio y acaba moviéndose relativamente
más rápido. Entonces, ¿cuál es el truco aquí?.
Bueno, lo ideal sería calcular la velocidad en
intervalos de tiempo cada vez más chicos, es
decir, cada 0,1 s, o cada 0,001 s y así hasta
que obtengamos una precisión que nos
satisfaga. Pero aquí se nos presenta el
problema de que esto es muy difícil de
hacer: ¡trate el lector de medir la caída de un
objeto en menos de un segundo y verá a lo
que me refiero!. No vamos por el buen
camino.
Otra posibilidad sería ver qué es lo que pasa
cuando tiro un cuerpo desde 10 m de altura.
¿Tardará del orden de 2 s en llegar al suelo?.
No, tarda mucho menos que 2 segundos,
incluso menos de un segundo y medio. La
pregunta es inmediata: ¿desde que altura hay
que tirar un cuerpo para que tarde 2 s en
llegar hasta el suelo?. La respuesta es unos
20 m. Y para que el mismo objeto tarde unos
3 s en caer, hay que tirarlo desde unos 45 m
de altura. Podemos observar lo que ocurre
en los datos de la tabla 1.
Altura de caída
Tiempo
Rapidez media
aproximado de
caída
5m
1s
5 m/s
20 m
2s
10 m/s
45 m
3s
15 m/s
80 m
4s
20 m/s
125 m
5s
25 m/s
180 m
6s
30 m/s
Tabla 1
Si nos fijamos en la rapidez media, la
relación con el tiempo es clara. La rapidez de
caída es proporcional al tiempo. En otras
palabras, si consideramos caídas de objetos
que tomen el doble de tiempo, la rapidez
media aumenta al doble, si el tiempo es
triple, la rapidez media aumentará al triple y
así sucesivamente. Esto podemos expresarlo
de la siguiente manera (ec.[2])
FUENTE: http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/2921/lec102.htm
El concepto de aceleración
El número constante g que aparece en la
ecuación [2] es lo que se denomina
aceleración de la gravedad. La aceleración
no es más que la cantidad de cambio de
rapidez por unidad de tiempo. ¿Cómo
podemos hacer una primera estimación de
este número tan importante?. Parece
sencillo a primera vista. Si nos fijamos en la
tabla 1, podrá parecer que se deduce
inmediatamente que la proporción entre el
tiempo y la rapidez es de un factor 5, puesto
que si multiplicamos el valor del tiempo de
caída por 5 obtenemos el valor de la rapidez
media. Pero, ¡alto ahí!. Tenemos que ser
más cuidadosos. La rapidez media es sólo
un valor representativo, puesto que ya
hemos señalado que la verdadera rapidez de
un cuerpo en caída cambia constantemente,
es decir, el verdadero valor de g estará
determinado por la rapidez instantánea. Es
aquí donde aparece nuestra complicación
esencial.
Hagamos una representación gráfica de la
rapidez instantánea frente al tiempo. Al ser
proporcionales, esto es una línea recta con
una cierta inclinación desconocida que está
dada precisamente por el valor de la
constante g
Figura 1.
Representación de la
rapidez instantánea
frente al tiempo
Figura 2. Representación
de la rapidez instantánea
frente al tiempo indicando
algunas medidas del espacio
recorrido.
El truco consiste en darse cuenta que
podemos medir el espacio total recorrido si
calculamos el producto de la rapidez
instantánea para un intervalo de tiempo
suficientemente chico y sumamos las
contribuciones para cada instante. En la
figura 2 están representadas estos productos
para pequeños instantes alrededor de cada
segundo transcurridos, pero no es difícil
darse cuenta que si consideramos todos los
instantes cubriremos toda el área del
triángulo de la figura.
Calculemos entonces el área de los
sucesivos triángulos hasta 1 s, hasta 2 s y
así hasta 6 segundos, recordando que la
altura del triángulo es la rapidez instantánea
que se calcula según la ecuación [2]. Los
resultados se muestran en la tabla 2.
Rapidez
t
v Área del Altura Tiempo
(segundos) = triángulo de aproximado media
caída de caída
g
·t =v·t/
5m 1s
5 m/s
2
1
g g/2
2
2g 2g
3
3g 9g/2
4
4g 8g
5
5g 25g/2
6
6g 18g
Tabla 2
20 m 2 s
10 m/s
45 m 3 s
15 m/s
80 m 4 s
20 m/s
125 m 5 s
25 m/s
180 m 6 s
30 m/s
Tabla 1
Si ahora el lector se molesta en comparar las
tablas 1 y 2 verá que si hacemos g = 10,
obtenemos los valores deseados para el
espacio recorrido.
¿Qué unidades tiene g ?. Recordemos que g
es una aceleración y se expresa como un
cambio de velocidad por unidad de tiempo,
es decir m/s cada segundo que
habitualmente se expresa como m/s2. Por
tanto es más correcto poner g = 10 m/s2.
Podemos ahora ir un poco más lejos y hallar
una relación general entre el espacio
recorrido en la caída y el tiempo de la
siguiente manera (ec. [3])
Que se puede representar gráficamente
como una parábola, tal y como se puede ver
en la figura 3.
Figura 3. Representación del espacio
recorrido frente al tiempo en la caída de un
cuerpo.
FUENTE: http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/2921/lec104.htm