Syllabus Probabilidad y Estadistica

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIDAD ACADÉMICA SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Ingeniería Ambiental
TERCER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Elaborado por: Ing. Delcy Nogales Rosado
Gestión Académica I/2008
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de
la sociedad.
Estimado (a) Estimado (a) estudiante:
El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han
puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una
educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus
procesos de aprendizaje y los hagas muchos más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y
cuidarlo.
Aprobado por: Ing. Gelen Perlina Tondelli Méndez
Fecha: Enero de 2008
SELLO Y FIRMA
JEFATURA DE CARRERA
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
2.1
2.2
2.3
SYLLABUS
Asignatura:
Código:
Requisito:
Carga Horaria:
Horas Teóricas:
Horas Prácticas:
Créditos:
I.
OBJETIVOS
ASIGNATURA.
Probabilidad y Estadística
MAT – 233
MAT – 102
100
Horas
Teórico
Prácticas
60 horas
40 horas
5
GENERALES
DE
LA

Analizar el comportamiento de datos,
mediante su ordenación, organización,
clasificación y resumen correspondiente,
partiendo de los conceptos fundamentales de
estadística descriptiva, a un nivel creativo.

Determinar probabilidades de ocurrencia de
diversas situaciones, eventos y problemas
comunes en ingeniería, mediante la toma de
decisiones
adecuadas
en
base
a
incertidumbre, partiendo de los conceptos
fundamentales de estadística inferencial.

TEMA 3.
3.1
3.2
3.3
Valorizar la importancia de la estadística
aplicada en los sistemas estadísticos para la
toma de desiciones.

3.4
Utilizar un paquete estadístico (SPSS), como
herramienta para desarrollar problemas del
área.
II.
PROGRAMA
ASIGNATURA.
ANALÍTICO
DE
3.5
3.6
LA
UNIDAD I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA.
TEMA 1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Introducción a la Estadística.
Estadística - Concepto.
Importancia de la Estadística
Clasificación de la Estadística
Población y Muestra
Concepto de variable estadística – Clases
de variables estadísticas.
Sumatorias y productorias.
Intervalos
Medidas Cualitativas
TEMA 2.
Distribución de frecuencias
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Filas de Datos.
Ordenación de de datos
Distribución discreta – frecuencia absoluta
simple
2.4 Gráficos de distribución.
2.5 Frecuencias
relativas
–
Frecuencias
acumuladas – Frecuencias acumuladas
relativas
2.6 Propiedades de la tabla de distribución de
frecuencias.
2.7 Distribución de frecuencias continua.
2.8 Clases – Limites de clases – Amplitud de
clases – Marca de clases.
2.9 Histogramas y Polígonos de Frecuencias.
2.10 Procedimiento para la construcción de una
distribución de frecuencias.
2.11 Frecuencias
relativas
–
Frecuencias
acumuladas – Frecuencias acumuladas
relativas
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3
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
Medidas estadísticas
La Media aritmética.
Media aritmética para una tabulación
discreta
Media aritmética para una tabulación
continua.
Propiedades de la media aritmética.
Ventajas y desventajas de la media
aritmética.
La mediana para una tabulación discreta
La mediana para una tabulación continua.
La moda una tabulación discreta
La moda una tabulación continua.
Relaciones entre media, mediana y moda
Media geométrica.
Media armónica.
Cuantiles – (Cuartiles, deciles y percentiles).
Diagrama de dispersión.
Tipos de regresión.
Mínimos cuadrados.
TEMA 4.
4.1
4.2
4.3
4.4
A Q
Medidas de Posición
Medidas de Dispersión
Dispersión o variación.
Rango.
Desviación media ó promedio de desviación.
Desviación típica.
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4.5
4.6
4.7
5.9 Combinatoria – Permutación - Variación
5.10 Diagramas de Árbol
Varianza y Desviación Estándar
Dispersión Relativa.
Laboratorio Práctico.
TEMA 6.
UNIDAD II: INTRODUCCIÓN A LA
PROBABILIDAD
TEMA 5.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
6.1
6.2
6.3
6.4
Teoría elemental de la probabilidad
Definición de Probabilidad.
Espacio muestral y eventos
Principio de multiplicación.
Probabilidad de un evento.
Eventos compuestos – Eventos excluyentes.
Probabilidad condicional.
Regla general de la multiplicación.
Eventos independientes.
6.5
6.6
6.7
6.8
Distribuciones de probabilidad
Definición.
Función de probabilidad.
Esperanza matemática.
La Media, la Varianza y la Desviación
Estándar
de
una
Distribución
de
Probabilidad
Distribución Binomial
Distribución Hipergeometrica
Distribución de Probabilidad de Poisson
La Distribución de Probabilidad Normal
Estándar.
III.- ACTIVIDADES A REALIZAR POR LAS BRIGADAS UDABOL

Tipo de Asignatura: De acuerdo a las características de la carrera y de la asignatura la materia de
Probabilidad y Estadística es una materia de tipo B.

Diagnostico para la detección del problema: Actualmente en la ciudad de Santa Cruz se ha
incrementado el parque automotor, este incremento ocasiona una creciente contaminación del aire
debido los gases que desprenden los motores de los automóviles. Frente a esta contaminación la
dirección de medio ambiente periódicamente realiza una campaña para medir el nivel de contaminación
de CO. NO e hidrocarburos que se encuentran en los gases.

Nombre del proyecto: La materia de Probabilidad y Estadística contribuirá al proyecto de ”Control de
las emisiones del parque automotor y sus efectos en la salud”.
TRABAJO A REALIZAR POR
LOS ESTUDIANTES
Llenar las boletas con los
datos
de
CO,
NO
o
hidrocarburos.
LOCALIDAD, AULA O
LABORATORIO
EXTERMINAL
Llenar las boletas con los
datos
de
CO,
NO
o
hidrocarburos.
EXTERMINAL
Realizar
un
informe
interpretando los datos con
cuadros y gráficos en la feria
de la carrera.
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INCIDENCIA SOCIAL
Medición de la
emisiones de gas de
1000 automóviles
después del
primer parcial
Medición de la
emisiones de gas de
1000 automóviles
después del
segundo parcial
Estudiantes de la
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FECHA
PREVISTA
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3 de junio
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IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
●
la empresa durante el semestre tendrá el restante
30% de la nota.
PROCESUAL O FORMATIVA.
V. BIBLIOGRAFÍA
A lo largo del semestre se realizarán 2 tipos de
actividades. Las primeras serán de aula, que
consistirán en clases teóricas, exposiciones,
repasos cortos, trabajos grupales (resolución de
casos y Dif´s).
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA


Las segundas serán las Brigadas que consistirán
en lo siguiente:

El proyecto se dividirá en 3 partes a ser
defendidas de manera gradual entes de cada
evaluación. La primera y segunda parte tendrán un
valor de 25 puntos de los 50 correspondientes a
la evaluación procesual.
Quezada Nel: Estadísticas con SPSS
14,(Signatura Topografica: 519.53 Qu39).
Walpole Ronald: Probabilidad y estadística
para ingenieros. (Signatura Topografica:
519.5 W16).
Canavos, George C., 1990:Probabilidad y
Estadística: Aplicaciones y Métodos. Ed.
McGraw Hill. (Signatura Topografica: 519.5
C16)
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE
APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen parcial
o final

Se realizarán 2 evaluaciones parciales con
contenido práctico sobre 50 puntos cada uno.


Millar, I. et al: Probabilidad y estadística para
ingenieros, Editorial Prentice Hall. 1996
Mendenhal, W. et al. Estadística matemática
con aplicaciones, Editorial Iberoamericana
Hermoso Gutiérrez, J.A. y Hernández
Bastida, A., 1997
El examen final consistirá en un examen escrito
(con un valor del 70% de la nota del final) y la
presentación de informe del proyecto realizado en
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VI. PLAN CALENDARIO.
SEMANA
ACTIVIDADES
OBSERVACIONES
1
TEMA 1 (1.1 a 1.4)
2
TEMA 1 (1.5 a 1.9)
3
TEMA 2 (2.1 a 2.3)
4
TEMA 2 (2.4 a 2.6)
5
TEMA 2 (2.7 a 2.9)
6
TEMA 2 (2.10 a 2.11)
7
TEMA 3 (3.1 a 3.4)
EVAL PARC I
8
TEMA 3 (3.5 a 3.9)
EVAL PARC I
9
TEMA 3 (3.10 a 3.11)
10
TEMA 4 (4.1 a 4.3)
11
TEMA 4 (4.4 a 4.5)
12
TEMA 4 (4.5 a 4.7)
13
TEMA 5 (5.1 a 5.2)
14
TEMA 5 (5.3 a 5.4)
EVAL PARC II
15
TEMA 5 (5.4 a 5.6)
EVAL PARC II
16
TEMA 6 (6.1 a 6.3)
17
TEMA 6 (6.3 a 6.6)
18
TEMA 6 (6.6 a 6.8)
19
EVALUACIÓN FINAL
20
EVALUACIÓN FINAL
21
SEGUNDA INSTANCIA
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Presentación de notas
Presentación de notas
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Presentación de Actas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: PRIMERO
ESTADÍSTICA
La estadística estudia los métodos
científicos para recoger, organizar, resumir y
analizar datos, así como para sacar conclusiones
válidas y tomar decisiones razonables basadas en
tal análisis.
POBLACIÓN Y MUESTREO
Al recoger datos relativos a las
características de un grupo de individuos u
objetos, sean alturas y pesos de estudiantes de
una universidad, suele ser imposible o nada
práctico observar todo el grupo, en espacial si es
muy grande. En vez de examinar al grupo entero,
llamado Población o universo, se examina a una
pequeña parte del grupo llamada muestra.
Una población puede ser finita o infinita. Por
ejemplo, la población consistente en todas las
máquinas ensambladas en un taller un cierto día
es finita, mientras que la determinada por los
posibles resultados de sucesivas lanzadas de una
moneda es infinita.
ESTADISTICA INDUCTIVA Y DESCRIPTIVA
Si una muestra es representativa de una
población,
es posible inferir importantes
conclusiones sobre la población a partir del
análisis de esa muestra. La fase de la estadística
que trata este tema se llama estadística
inductiva.
La parte de la estadística que solo se
ocupa de describir y analizar un grupo dado, sin
sacar conclusiones sobre un grupo mayor, se
llama estadística descriptiva o deductiva.
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VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
Una variable es un símbolo tal como X,Y,Z
o B, que puede tomar un conjunto prefijado de
valores, llamado dominio de esa variable. Si la
variable puede tomar un solo valor, se llama
constante.
Una variable que puede tomar cualquier
valor entre dos valores dados se dice que es una
variable continua, en caso contrario diremos que
la variable es discreta.
Ejemplos:
El número N de hijos en una familia puede ser
0,1,2,3,…. Pero no 2,5 ó 3,7. Es una variable
discreta.
La altura H de una persona, que puede ser 62
pulgadas,
62,56 pulgadas ó 65,3 pulgadas.
Dependiendo de la precisión de la medida, es una
variable continua.
En general, las mediciones dan lugar a datos
continuos y las enumeraciones o recuentos a
datos discretos.
REDONDEO DE DATOS
El resultado de redondear un número
como 72.8 en unidades es 73, pues 72.8 está
más próximo de 73 que de 72.
Al redondear 72.465 en centésimas nos
hallamos ante un dilema, ya que está equidistante
de 72.46 y de 72.47. En tales casos se adopta
redondear al entero par que preceda al 5. Así
pues, 72.465 se redondea a 72.46, 183.575 se
redondea a 183.58.
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NOTACIÓN CIENTÍFICA
Al escribir números, especialmente los
que tienen muchos ceros antes o después del
punto decimal, interesa emplear la notación
científica mediante potencias de 10.
Ejemplo:
101 = 10
102 = 10X10 =100
108
=
100000000
100 = 1
10-1 = 0.1
10-5 = 0.00001
864000000 = 8.64 X 10 8
0.00003416
=
3.416 X 10-5
Nótese que al multiplicar un número por 103 el
punto decimal se mueve tres posiciones a la
derecha, y al multiplicar por 10-6 se mueve seis
posiciones a la izquierda.
DÍGITOS SIGNIFICATIVOS
Si una altura se anota con la mejor
precisión posible como 65.4 in., eso significa que
está entre 65.35 y 65.45. Los dígitos empleados,
aparte de los ceros necesarios para localizar el
punto decimal, se llama dígitos significativos o
cifras significativas.
Ejemplo:
65.4
tiene 3 cifras significativas
4.5300 tiene cinco cifras significativas
0.0018 tiene dos cifras significativas
0.001800 tiene cuatro cifras significativas
GRÁFICOS
Un grafico es una representación de la relación
entre variables. Muchos tipos de gráficos aparecen
es estadística,
según la naturaleza de los
involucrados y el propósito del gráfico. Entre ellos:
gráficos de barras, circulares, etc, llamados
también diagramas.
CUESTIONARIO DE WORK PAPER 1
1. Defina que es estadística. Cite 3 ejemplos
concretos.
2. ¿Qué es población. Cite 3 ejemplos.
3. ¿Qué es muestra?. Cite 3 ejemplos.
4. Decir cuales de los que siguen representan
datos discretos y cuales continuos
a) Número de acciones vendidas un día
en la bolsa de valores
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b) Temperaturas
medidas
en
un
observatorio cada media hora
c) Ingresos anuales de los profesores de
enseñanza básica
d) Longitudes
de
1000
tornillos
producidos en una empresa
5. Expresar los siguientes números sin usar
potencias de 10
a) 132.5 x 104
b) 418.72 x 10-5
c) 280 x 10-7
d) 3.487 x 10-4
e) 0.0001850 x 105
f) 52 x 105
g) 89.63 x 10-3
h) 0.00056 x 10-3
6. Expresar los siguientes números usando
potencias de 10
a) 100000000
b) 102596000
c) 0.00000056
d) 458.23698
e) 0.00000089
f) 0.000000000011
g) 33.333333333
h) 0.000256
7. Cuantos dígitos significativos hay en estos
números?
a) 2.54
b) 0.004500
c) 3510.000
d) 3.51
e) 100000
f) 378
g) 4.5
h) 500.8
i) 00.06
8. Redondear los siguientes números con la
precisión indicada
a) 3256 centenas
b) 5.781 decenas
c) 125.9995 dos cifras decimales
d) 2184.73 decenas
e) 46.7385 centésimas
f) 0.0045 milésimas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: Distribución de Frecuencias
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: PRIMERO
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
Variable
La distribución de frecuencia es la representación
estructurada, en forma de tabla, de toda la
información que se ha recogido sobre la variable
que se estudia.
Variable Frecuencias absolutas Frecuencias relativas
(Valor) Simple Acumulada
Simple
Acumulada
X1
n1
N1
f1 = n1/N f1
X2
n2
n1+n2
f2 = n2/N f1 + f2
...
...
...
...
...
Xn-1
nn-1
n1+n2+..+nn-1 fn-1 = nn-1/N f1+f2+..+fn-1
Xn
nn
N=∑ ni
fn = nn/N F=∑ i
Siendo X los distintos valores que puede tomar la
variable.
Siendo n el número de veces que se repite cada valor.
Siendo f el porcentaje que la repetición de cada valor
supone sobre el total
Ejemplo: Medimos la altura de los niños de una
clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):
Niño Estatura Niño Estatura Niño Estatura
1
1,25
11
1,23
21
1,21
2
1,28
12
1,26
22
1,29
3
1,27
13
1,30
23
1,26
4
1,21
14
1,21
24
1,22
5
1,22
15
1,28
25
1,28
6
1,29
16
1,30
26
1,27
7
1,30
17
1,22
27
1,26
8
1,24
18
1,25
28
1,23
9
1,27
19
1,20
29
1,22
10
1,29
20
1,28
30
1,21
Si presentamos esta información estructurada,
obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia:
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(Valor)
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
Frecuencias
absolutas
Acumula
Simple
da
1
1
4
5
4
9
2
11
1
12
2
14
3
17
3
20
4
24
3
27
3
30
Frecuencias
relativas
Acumula
Simple
da
3,3%
3,3%
13,3%
16,6%
13,3%
30,0%
6,6%
36,6%
3,3%
40,0%
6,0%
46,6%
10,0%
56,6%
10,0%
66,6%
13,3%
80,0%
10,0%
90,0%
10,0% 100,0%
Si los valores que toma la variable son muy
diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas
veces, entonces conviene agruparlos por intervalos,
ya que de otra manera obtendríamos una tabla de
frecuencia muy extensa que aportaría muy poco
valor a efectos de síntesis. (Tal como se verá en la
siguiente lección).
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA AGRUPADA
Supongamos que medimos la estatura de los
habitantes (H) de una vivienda y obtenemos los
siguientes resultados (cm):
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H Estatura H Estatura H
1
1,15
11
1,53
21
2
1,48
12
1,16
22
3
1,57
13
1,60
23
4
1,71
14
1,81
24
5
1,92
15
1,98
25
6
1,39
16
1,20
26
7
1,40
17
1,42
27
8
1,64
18
1,45
28
9
1,77
19
1,20
29
10
1,49
20
1,98
30
f)
Estatura
1,21
1,59
1,86
1,52
1,48
1,37
1,16
1,73
1,62
1,01
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Si presentáramos esta información en una tabla de
frecuencia obtendríamos una tabla de 30 líneas
(una para cada valor), cada uno de ellos con una
frecuencia absoluta de 1 y con una frecuencia
relativa del 3,3%. Esta tabla nos aportaría escasa
información.
En lugar de ello, preferimos agrupar los datos por
intervalos, con lo que la información queda más
resumida (se pierde, por tanto, algo de
información), pero es más manejable e informativa:
Estatura
Cm
1,01 – 1,10
1,11 – 1,20
1,21 – 1,30
1,31 – 1,40
1,41 – 1,50
1,51 – 1,60
1,61 – 1,70
1,71 – 1,80
1,81 – 1,90
1,91 – 2,00
Frecuencias
absolutas
Simple acum.
1
1
3
4
3
7
2
9
6
15
4
19
3
22
3
25
2
27
3
30
Frecuencias
relativas
Simple Acum..
3,3%
3,3%
10,0%
13,3%
10,0%
23,3%
6,6%
30,0%
20,0%
50,0%
13,3%
63,3%
10,0%
73,3%
10,0%
83,3%
6,6%
90,0%
10,0% 100,0%
El número de tramos en los que se agrupa la
información es una decisión que debe tomar el
analista: la regla es que mientras más tramos se
utilicen menos información se pierde, pero puede
que menos representativa e informativa sea la
tabla.
CUESTIONARIO WORK PAPER No.2
1. Responda a las siguientes preguntas. Tome
como referencia la tabla
a) Defina lo que es una tabla de frecuencias
b) que es un intervalo de clase?. Cite un
ejemplo
c) que es un límite de clase? Cite un ejemplo
d) que es una frontera de clase? Cite un
ejemplo
e) Como se obtienen las fronteras de clase?
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10
m)
n)
que es el tamaño o anchura de un intervalo
de clase?
que es la marca de clase?
indique las reglas para construir una tabla
de frecuencias
dibuje un histograma de frecuencias para la
tabla
dibuje un polígono de frecuencias para la
tabla
encuentre las frecuencias relativas para la
tabla
encuentre
las
frecuencias
relativa
acumuladas para la tabla
cuántas familias tienen menos de 7 hijos?
que porcentaje de familias tiene entre 4 y 9
hijos?
Cantidad de
frec
hijos
1-3
10
4-6
5
7-9
4
10-12
1
2. Establezca la veracidad o falsedad de las
siguientes proposiciones. Reemplace cada
enunciado falso por la proposición verdadera.
a) Toda distribución de clases tiene un
intervalo de clase
b) El número de clases depende del número
de valores observados
c) La serie de datos es una distribución de
frecuencias
d) La distribución de frecuencia es un arreglo
de valores ordenados en que la frecuencia
de cada valor se reporta o se muestra.
e) La
distribución
de
frecuencias
no
agrupadas es un arreglo de intervalos de
valores ordenados que muestran la
frecuencia de cada intervalo.
3. En la organización de los datos recolectados en
una distribución de frecuencias:
a) ¿Por qué el número de clases no debe ser
muy grandes ni muy pequeño?
b) ¿Por qué a veces es necesario tomar
intervalos de longitudes diferentes?
c) ¿Por qué a veces es necesario tomar
intervalos de clase abierto o cerrados?
4. los siguientes datos, muestran la cantidad
desastres naturales reportados en el año 2006.
(datos INE)
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Tipos de Desastres
Inundación
Sequía
Helada
Granizada
Deslizamiento,
Mazamorra
Viento Huracanado
Incendio
Sismo
#
868
16
121
194
36
8
33
2
1. ¿Qué tipo de variable es?
2. dibuje polígono de frecuencias
3. interprete el polígono.
6. Los
siguientes datos son pesos de 40
estudiantes varones de una universidad,
con precisión en libras:
138
164
150
132
144
163
199
154
165
146
140
135
161
145
135
135
149
157
146
158
173
142
147
135
153
142
150
156
145
128
Encontrar:
a) el rango
b) tabla de frecuencias
c) histograma de frecuencias
d) frecuencias relativas
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11
e) frecuencias relativas acumuladas
d) Cuantos estudiantes pesan menos de 154
libras?
e) Cuantos estudiantes pesan al menos 135
libras?
f) h) cuantos estudiantes pesan mas de 126
libras pero menos de 172 libras?
7. Las calificaciones finales de Estadística de 80
estudiantes
68 65 89 57 90 95 79 53
73 78 67 81 93 69 65 85
61 78 73 68 62 60 76 93
66 62 73 60 77 76 75 75
96 80 82 74 95 62 76 72
79 67 73 94 85 76 85 60
65 75 87 75 78 88 63 71
86 88 75 78 63 59 68 75
84 75 61 88 62 78 83 74
79 82 97 72 71 74 71 77
Encontrar:
a) la calificación mas alta
b) la mas baja
c) el rango
d) tabla de frecuencias
e) histograma
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: MEDIDAS DE POSICIÓN
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: SEGUNDO
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Las medidas de posición nos facilitan información
sobre la serie de datos que estamos analizando.
Estas medidas permiten conocer diversas
características de esta serie de datos.
Las Medidas de Posición son de dos tipos:
Centrales y no Centrales.
a) Medidas de posición central: informan sobre
los valores medios de la serie de datos. Las
principales medidas de posición central son las
siguientes:
La media geométrica se suele utilizar en series de
datos como tipos de interés anuales, inflación, etc.,
donde el valor de cada año tiene un efecto
multiplicativo sobre el de los años anteriores. En
todo caso, la media aritmética es la medida de
posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo se
utilizan todos los valores de la serie, por lo que no
se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor
(tanto en el caso de la media aritmética como
geométrica) se puede ver muy influido por valores
extremos, que se aparten en exceso del resto de la
serie. Estos valores anómalos podrían condicionar
en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta
representatividad.
1. Media: es el valor medio ponderado de la serie
de datos. Se pueden calcular diversos tipos de
media, siendo las más utilizadas:
1.1. Media aritmética: se calcula multiplicando
cada valor por el número de veces que se repite. La
suma de todos estos productos se divide por el total
de datos de la muestra:
2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se
sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50%
de valores son inferiores y otro 50% son
superiores).
No presentan el problema de estar influido por los
valores extremos, pero en cambio no utiliza en su
cálculo toda la información de la serie de datos (no
pondera cada valor por el número de veces que se
ha repetido).
X = ∑ fi Xi
N
1.2. Media geométrica: se eleva cada valor al
número de veces que se ha repetido. Se multiplican
todo estos resultados y al producto fiinal se le
calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la
muestra).
3.- Moda: es el valor que más se repite en la
muestra.
Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de
frecuencias con los datos de la estatura de los
alumnos que vimos en el tema 2.
G = √ X1 f1* X2 f2* X3 f3*….
n
Según el tipo de datos que se analice será más
apropiado utilizar la media aritmética o la media
geométrica.
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 3
Variable
Frec. Abs.
Simpl
(Valor)
Acum
e
1,20
1
1
1,21
4
5
1,22
4
9
1,23
2
11
1,24
1
12
1,25
2
14
1,26
3
17
1,27
3
20
1,28
4
24
1,29
3
27
1,30
3
30
Frec. Relativas
Simple
acum.
3,3%
13,3%
13,3%
6,6%
3,3%
6,0%
10,0%
10,0%
13,3%
10,0%
10,0%
3,3%
16,6%
30,0%
36,6%
40,0%
46,6%
56,6%
66,6%
80,0%
90,0%
100,0%
1.- Dados los datos ordenados y no agrupados:
Tabla 1
33 33 44
64
68 76
92
Tabla 2
33
38
64
68
76
92
92
Hallar:
a) el valor mínimo y máximo.
b) las medias que conoce.
c) la mediana, moda.
d) el primer cuadril, segundo cuadril y
tercer cuadril.
Calcular los valores de las distintas posiciones
centrales.
2.- Las notas obtenidas en un examen final con 40
estudiantes se dan en la siguiente tabla:
Solución:
1.- Media aritmética:
Aplicando la fórmula:
72 54 63 27 81 72 63 72 36 90
99 45 54 54 45 63 72 45 81 27
X = (1.20*1+1.21*4+1.22*4+1.23*2+…+1.30*3)/30 =
1.253
Por lo tanto, la estatura media de este grupo de
alumnos es de 1,253 cm.
2.- Media geométrica:
G = √1.2n1 * 1.214 * …*1.303 = 1,253 cm
En el ejemplo la media aritmética y la media
geométrica coinciden, pero no tiene siempre por
qué ser así.
3.- Mediana: La mediana de esta muestra es 1,26
cm., ya que por debajo está el 50% de los valores y
por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar
la columna de frecuencias relativas acumuladas.
En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3
ocasiones, la media se situaría exactamente entre
el primer y el segundo valor de este grupo, ya que
entre estos dos valores se encuentra la división
entre el 50% inferior y el 50% superior.
36 54 63 72 90 81 27 45 72 90
45 63 72 81 36 63 72 90 99 54
Hallar:
a) el rango
b) las medias que conoce aplicando datos
no agrupados y agrupados.
c) la mediana, moda, aplicando datos no
agrupados y agrupados.
d) Media aritmética y media geométrica
e) Dibujar un gráfico adecuado para
entender los resultados a simple vista
f) el primer, segundo, tercer cuadril,
aplicando datos no agrupados y
agrupados.
3.- Un ingeniero visita 25 cooperativas de naranjas
en el valle trópico y en cada uno anoto el
número de plantas atacadas por un cierto
hongo, obteniéndose los siguientes datos:
15 18 19 25 16
18 19 18 17 17
16 16 15 18 19
4.- Moda: Hay 3 valores que se repiten en 4
ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto
esta seria cuenta con 3 modas.
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18 17 20 20 17
18 18 15 19 17
Hallar:
a) las medias que conoce aplicando datos
agrupados.
b) la mediana, moda, aplicando datos
agrupados.
c) Representar gráficamente.
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
4.- Un país se enfrenta a una tasa de inflación del
2% en el primer año, 5% en el segundo año y
12,5% en el tercero. Hallar la media más baja
de las tasas de inflación.
7.- La tabla siguiente da la distribución de la
variable “número de hijos” correspondiente a un
conjunto de 43 familias:
X
f
1
2
3
4
5
6
7
8
5.- La tabla siguiente muestra la cantidad de
computadores producidos al mes en el año 2004:
Cantidad de
f
computadores
1-8
2
9-16
15
17-24
10
25-32
8
33-40
9
41-48
12
49-56
5
57-64
3
11
9
6
3
3
2
1
8
ENCONTRAR:
a) La media aritmética
b) La mediana
c) La moda
a) La media geométrica
b) La media armónica
8. Encontrar la moda del siguiente conjunto de
valores:
a) 4,4,10,9,15,12,7,9,7
b) 8,11,4,3,2,5,10,6,4,1,10,8,12,6,5,7
X
F
Encontrar:
a) La media aritmética
b) La mediana
c) La moda
d) La media geométrica
e) La media armónica
f) La media cuadrática
g) El rango
6.- En el Mutún se registraron observaciones
referentes a los pesos de 50 lingotes de acero
producidos, la muestra fue obtenida de la
producción semanal y las unidades que están
dadas en kg.
462
98
480
75
498
56
516
42
534
30
552
21
570
15
588
11
606
6
624
2
9. Sabemos que a partir de la siguiente fórmula,
podemos encontrar la moda para datos
agrupados:
94.5 96.2 95.4 93.7 91.9 94.2 95.7 94.7 94.3 92.7
93.9 93.6 94.6 92.3 94.4 94.1 93.7 94.2 93.7 94.0
94.4 92.8 93.2 93.6 95.5 94.3 93.0 95.5 95.3 92.4
93.7 92.7 93.3 94.6 96.4 94.7 92.7 95.0 93.0 92.9
93.9 92.7 91.6 93.6 93.7 92.9 93.6 95.7 93.8 84.8
Hallar:
a) la tabla de distribución de frecuencia
optima.
b) Medidas de Tendencia central que desee
c) Interprete los resultados
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Donde:
L1 : frontera inferior de la clase modal
Δ1 : Exceso de la frecuencia modal sobre la
de la clase inferior inmediata
Δ2 : Exceso de la frecuencia modal sobre la
de la clase superior inmediata
C : Anchura del intervalo de la clase modal
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: MEDIDAS DE DISPERSIÓN
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: SEGUNDO
Medidas de dispersión
Estudia la distribución de los valores de la serie,
analizando si estos se encuentran más o menos
concentrados, o más o menos dispersos.
Existen diversas medidas de dispersión, entre las
más utilizadas podemos destacar las siguientes:
1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la
muestra y se calcula por diferencia entre el valor
más elevado y el valor más bajo.
3.- Desviación típica: Se calcula como raíz
cuadrada de la varianza. O se puede definir como:
√ (x - x)2
S=
4.- La Varianza: Se define como el cuadrado de la
desviación típica y viene dada por:
δ = S2
Rango = max - min
2.- Desviación Media: O desviación promedio de
un conjunto de N números X1, X2, X3,… Xn, de
define como:Mide la distancia existente entre los
valores de la serie y la media. Se calcula como
sumatorio de las diferencias al cuadrado entre
cada valor y la media, multiplicadas por el número
de veces que se ha repetido cada valor. El
sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la
muestra.
La varianza siempre será mayor que cero.
Mientras más se aproxima a cero, más
concentrados están los valores de la serie
alrededor de la media.
DM =
5.- Coeficiente de variación de Pearson: se
calcula como cociente entre la desviación
típica y la media.
Var (%) = S / X
Ejemplo: Para datos del Tema 2 y vamos a
calcular sus medidas de dispersión.
Rango: Diferencia entre el mayor valor de la
muestra (1,30) y el menor valor (1,20).
Luego el rango de esta muestra es 10 cm.
2.- Desviación Típica: recordemos que la media de
esta muestra es 1,253. Luego, aplicamos la
fórmula:
∑ │x - x│
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
4.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula
como cociente entre la desviación típica y la media
de la muestra.
Var = 0,0320 / 1,253
Frecuencias
Frecuencias relativas
Variable absolutas
Acumul
Acumulad
(Valor) Simple
Simple
ada
a
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21
4
5
13,3%
16,6%
1,22
4
9
13,3%
30,0%
1,23
2
11
6,6%
36,6%
1,24
1
12
3,3%
40,0%
1,25
2
14
6,0%
46,6%
1,26
3
17
10,0%
56,6%
1,27
3
20
10,0%
66,6%
1,28
4
24
13,3%
80,0%
1,29
3
27
10,0%
90,0%
1,30
3
30
10,0%
100,0%
S2x 
Luego,
Var = 0,0255 %
(1,20  1,253 )2·1 (1,21  1,253 )2·4 (1,22  1,253 )2·4  ... (1,30  1,253 )2·3
30
Por lo tanto, la Desviación Típica es:
S = 0.032 Cm
3.- Varianza: es la desviación típica al cuadrado:
El interés del coeficiente de variación es que al ser
un porcentaje permite comparar el nivel de
dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la
desviación típica, ya que viene expresada en las
mismas unidas que los datos de la serie.
Por ejemplo, para comparar el nivel de dispersión
de una serie de datos de la altura de los alumnos
de una clase y otra serie con el peso de dichos
alumnos, no se puede utilizar las desviaciones
típicas (una viene vienes expresada en cm y la
otra en kg). En cambio, sus coeficientes de
variación son ambos porcentajes, por lo que sí se
pueden comparar.
δ = 0.001 cm
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 4
1. Los siguientes datos, muestran la superficie de áreas protegidas de nuestro país en has.
Sajama
95874
Tunari
300000
Determinar:
Isiboro Secure
1302757
a) Desviación típica
b) Que significa que la S disminuya o aumente?
Noel Kempff Mercado
1523446
c) Coeficiente de variación.
Torotoro
16570
d) Que significa el dato del coeficiente de variación
Carrasco
622600
para este caso?
Eduardo Avaroa
714745
Manuripi
747000
Tariquía
246870
Cordillera de Sama
108500
Apolobamba
483744
Estación Biológica del Beni
135000
Pilón Lajas
400000
El Palmar
59484
San Matías
2918500
Amboró
637600
Cotapata
40000
Madidi
1895750
Kaa-Iya del Gran Chaco
3441115
Otuquis
1005950
Aguaragüe
108307
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2.
Los siguientes datos, muestran la producción de petróleo en los continentes (expresada en porcentaje).
Asia
10
América del norte
17
África
11
Centro y sur América
Determinar:
f) Desviación típica
g) Que significa que la S disminuya o aumente?
h) Coeficiente de variación.
i) Que significa el dato del coeficiente de variación para este
caso?
8
Europa
22
Medio oriente
32
3. Supongamos que medimos la estatura de los habitantes de una vivienda y obtenemos los siguientes
resultados (cm):
Habitante
Habitante 1
Habitante 2
Habitante 3
Habitante 4
Habitante 5
Habitante 6
Habitante 7
Habitante 8
Habitante 9
Habitante 10
Estatura
1,15
1,48
1,57
1,71
1,92
1,39
1,40
1,64
1,77
1,49
Habitante
Habitante 11
Habitante 12
Habitante 13
Habitante 14
Habitante 15
Habitante 16
Habitante 17
Habitante 18
Habitante 19
Habitante 20
Estatura
1,53
1,16
1,60
1,81
1,98
1,20
1,42
1,45
1,20
1,98
Habitante
Habitante 21
Habitante 22
Habitante 23
Habitante 24
Habitante 25
Habitante 26
Habitante 27
Habitante 28
Habitante 29
Habitante 30
Estatura
1,21
1,59
1,86
1,52
1,48
1,37
1,16
1,73
1,62
1,01
Determinar:
a) Desviación media
b) Desviación típica: S
c) Que significa que la S disminuya o aumente?
d) Coeficiente de variación.
e) Que significa el dato del coeficiente de variación para este
caso?
4. El siguiente gráfico, muestra las exportaciones de madera aserrada en el año 2004.
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
a) que opina acerca del tema?
b) Obtenga una tabla de datos a partir del
gráfico
c) Obtenga la media aritmética
d) Obtenga la desviación media
e) Analice ambos resultados y concluya que
pueden significar según el tema.
f) Que opina acerca del gráfico?. Le parece
positivo o negativo que Bolivia este entre
los países que mas exportan madera en el
mundo?. Porque si o porque no.
g) Compare con otros de Sudamérica (Brasil y
Venezuela). Obtenga el rango con ambos
países y analice los resultados, teniendo
en cuenta la cantidad de bosque que
pueden tener los tres países analizados
h) que puede concluir de todo los incisos
anteriores?
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
TITULO: REGRESIÓN LINEAL
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: TERCER
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Trata de establecer la forma de la relación entre
variables, es decir se trata de encontrar una
relación funcional, que para el caso de dos
variables será de la forma Y=f(x).
Y = a0 + a1x
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 5
1.
CHACALTAYA es la pista de esquí mas alta
del mundo, situado en el departamento de la paz,
debido al calentamiento global que esta sufriendo
nuestro planeta, dicha pista está sufriendo un
deshielo incontrolable. Intente pronosticar como
será el deshielo para el año 2015 y 2020. También
identifique
según
su
pronóstico
cuando
desaparecerá completamente.
Los datos que se tienen registrados, son los
siguientes:
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN
Trata de establecer el grado de relación entre dos
variables, es decir, de medir cuan relacionadas
están entre si las variables.
REGRESIÓN LINEAL
Cuando los puntos del diagrama de dispersión, se
los puede expresar con una recta de la forma:
Año
1977
1979
1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6%
7,2%
9%
11,7%
15%
24%
33%
38%
42%
Porcentaje 5%
de deshielo
2.
El siguiente grafico, muestra el área de bosques tropicales, desde el año 1800 al 2000 (en millones de
hectáreas), a nivel mundial Determine, haciendo un análisis de regresión, el comportamiento para el
año 2050.
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
TITULO: TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: TERCER
Hechos históricos
Probabilidad, rama de las matemáticas que se
ocupa de medir o determinar cuantitativamente la
posibilidad de que ocurra un determinado suceso.
La probabilidad está basada en el estudio de la
combinatoria y es fundamento necesario de la
estadística
anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo
XVI, habían aportado importantes contribuciones a
su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó
como un intento de responder a varias preguntas
que surgían en los juegos de azar, por ejemplo,
saber cuántos dados hay que lanzar para que la
probabilidad de que salga algún seis supere el 50%
La creación de la probabilidad se atribuye a los
matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal
y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos
La probabilidad de un resultado se representa con
un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La
probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá
siempre.
pues {2, 3, 4, 5} tiene 4 sucesos elementales y la
experiencia admitía, en total, seis posibilidades.
El cálculo matemático de probabilidades se basa en
situaciones teóricas en las cuales puede
configurarse un espacio muestral cuyos sucesos
elementales tengan todos la misma probabilidad.
Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad
de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos
dados, la probabilidad de cada uno de los
resultados es 1/36.
Probabilidad condicional.
En estos casos, la probabilidad de un suceso
cualquiera S, se calcula mediante la regla de
Laplace:
Si la ocurrencia de E1 no afecta la probabilidad de
ocurrencia de E2, entonces:
Si E1 y E2 son dos sucesos, la probabilidad de que
E2 ocurra dado que haya ocurrido E1 se denota por:
Pr { E1 I E2 }
Y se llama probabilidad condicional de E2 dado E1.
Pr { E1 I E2 } = Pr { E2 }
P[E] = número de eventos o sucesos elementales
de S / número total de sucesos elementales
Diremos que E1 y E2 son sucesos independientes.
Si la ocurrencia de E1 afecta la probabilidad de
ocurrencia de E2, entonces:
Definición Clásica
Supongamos que un suceso E, tiene h
posibilidades de ocurrir entre un total de n
posibilidades, cada una de las cuales tiene la
misma oportunidad de ocurrir que las demás.
Entonces, la probabilidad de que E ocurra se
denota por:
Pr { E1 I E2 }
Diremos que E1 y E2 son sucesos dependientes.
Si denotamos por E1E2 el suceso de que “ambos E1
y E2 ocurran”, llamado un suceso compuesto,
entonces:
Pr { E1 E2 } = Pr { E1 } * Pr { E2 I E1 }
P = Pr { E } =
La probabilidad de que no ocurra E, se denota por:
q = Pr no { E } =
1 – p = 1 – Pr { E }
n-h
= 1 –
n
h
=
Pr { E1 E2 } = Pr { E1 } * Pr { E2 } = (1/2)*(1/2) = 1/4
n
Así pues, p + q = 1, es decir, Pr { E } + Pr no
{E} = 1
Por ejemplo
Sea E, el suceso de lanzar un dado una vez y que
salga 2, 3, 4 o 5. Hay seis formas en que puede
caer un dado (n), y 4 posibles números que
deseamos obtener (h). Entonces, según la fórmula
planteada:
Pr { E } =
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Sucesos mutuamente excluyentes
Dos o más sucesos se llaman sucesos mutuamente
excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos
excluye la de los otros. De modo que si E1 y E2 son
sucesos mutuamente excluyentes, entonces Pr {
E1 E2 } = 0
Si E1 + E2 denota el suceso de que “ocurra E1 o
bien E2 o ambos a la vez”, entonces:
Pr { E1 + E2 } = Pr { E1 } + Pr { E2 } – Pr { E1 E2 }
Por ejemplo
Sean E1 el suceso “sacar un as de una baraja” y E2
“sacar un rey”. Entonces, pr{E1} = 4/52 y P {E2} =
P[{2, 3, 4, 5}] = 4/6
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Por ejemplo
Sean E1 y E2 los sucesos “cara en el quinto
lanzamiento” y “cara en el sexto lanzamiento” de
una moneda, respectivamente. Entonces, E1 y E2
son sucesos independientes y, por tanto, la
probabilidad de que salga cara en ambos intentos
es:
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4/52. La probabilidad de sacar un as o un rey en un
solo ensayo es:
Pr{ E1 + E2 } = Pr { E1 }+Pr { E2 } = (1/13) + (1/13) =
2/13
Pues no es posible sacar ambos a la vez, y son ,
por tanto, sucesos mutuamente excluyentes.
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 6
Encontrar Las siguientes probabilidades:
1. al lanzar un dado una vez, aparezca 3,4 o 5
2. al lanzar dos dados una vez, la suma sea par
3. al lanzar dos dados una vez, ambos números
se repitan
4. al lanzar una moneda tres veces, obtengamos
al menos 2 caras
5. que aparezca una cara en la próxima lanzada
de una moneda, si han salido 23 sellos en 48
lanzadas.
6. al lanzar un par de dados la suma des 4
7. encontrar la tuerca defectuosa si entre 4000 ya
examinadas, 10 eran defectuosas
8. encontrar una memoria defectuosa si entre 350
ya examinadas 2 eran defectuosas.
9. sumar 8 o 5 en una lanzada de un par de
dados.
10. lanzar 3 monedas y obtener al final cara.
11. al lanzar un dado una vez, aparezca 3
12. al lanzar dos dados una vez, la suma sea
impar
13. al lanzar dos dados una vez, ambos números
se repitan
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14. al lanzar una moneda tres veces, obtengamos a
lo más 2 caras
15. que aparezca una cara en la próxima lanzada
de una moneda, si han salido 55 sellos en 70
lanzadas.
16. al lanzar un par de dados la suma sea 4
17. encontrar una memoria defectuosa si entre
5000 ya examinadas, 2 eran defectuosas
18. sumar 8 o 5 en una lanzada de un par de
dados.
19. lanzar 3 monedas y obtener al final sello.
20. lanzar tres monedas y obtener a lo más 1 cara
21. lanzar tres veces una moneda y obtener por lo
menos un sello y una cara
22. lanzar tres veces una moneda y obtener Sello
Sello
23. Se saca al azar una bola de una caja que
contiene, 5 bolas rojas, 4 blancas y 9 azules.
Hallar la probabilidad de que la bola extraída
sea: a)roja, b)blanca, c) azul, d) no roja, e) roja
o blanca, f) roja o blanca o azul.
24. un dado se lanza dos veces. Hallar la
probabilidad de obtener 1,4 o5 en la primera
tirada ó 3 en la segunda.
25. una caja contiene, 6 bolas rojas, 2 blancas y 3
azules. Se extraen al azar dos bolas. Hallar la
probabilidad de que ambas sean rojas si la
primera extraída: a)si se devuelve a la caja la
bola, b) si no se devuelve.
26. De una baraja de 52 naipes, mezclados al
azar, se sacan dos naipes. Hallar la
probabilidad de que ambos sean ases si la
primera extraída: a)se devuelve a la baraja b)no
se devuelve.
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
TITULO: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: TERCER
ESPERANZA MATEMÁTICA
Si p es la probabilidad de que una persona reciba
una cantidad S de dinero, la esperanza matemática
de define como:
Por ejemplo: el número de permutaciones que se
pueden dar de las letras a,b,c tomadas de dos en
dos, es:
3P2
E = pS
= 3! / (3-2)! = 3 * 2 = 6
y son: ab,ba,ac,ca,bc,cb
ANALISIS COMBINATORIO
El análisis combinatorio facilita el encuentro de
probabilidades de sucesos complicados. Se basa
en el principio fundamental de: si un suceso puede
ocurrir de n1 maneras, y si cuando éste ha ocurrido
otro suceso puede ocurrir de n2 maneras, entonces
el número de maneras en que ambos pueden
ocurrir en el orden especificado es n1n2.
COMBINACIONES
Una combinación de n objetos tomados de r en r
es una selección ordenada de r objetos de entre n.
Y se define como:
n
r
FACTORIAL DE N
Se define como:
Por ejemplo: el número de combinaciones que se
pueden dar de las letras a,b,c tomadas de dos en
dos, es:
n! = n (n-1)(n-2) . . . 1
Por ejemplo: el factorial de 5, es: 5! = 5*4*3*2*1 =
120
PERMUTACIONES
Una permutación de n objetos tomados de r en r es
una elección ordenada de r objetos de entre n. Y se
define como:
nPr
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3
2
= 3! / 2! (3-2)! = (3 * 2) * 2! = 3
y son: ab, ac, bc
CUESTIONARIO WORK PAPER 7
1. ¿Cuál es el precio justo para participar en un
juego en el que se ganan 25 Bs con
probabilidades de 0.2 y 10 Bs con una
probabilidad de 0.4?
= n! / (n-r)!
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= n! / r! (n-r)!
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2. si llueve, un vendedor de paraguas gana 30 Bs
al día, y si no llueve pierde 6 Bs al día. ¿Cuál
es su esperanza matemática si la probabilidad
de lluvia es 0.3?
3. A y B juegan a tirar una moneda tres veces.
Gana el primero que saque cara. Si A lanza
primero y el montaje de la apuesta es 20 Bs.
¿cuánto debe poner cada uno para que el juego
sea justo?
4. cada número de lotería cuesta 15 Bs. Si el
premio mayor fuera de 1000000 Bs. Con un
probabilidad de obtener el premio de 0.000003.
¿Será justo el precio de 1.5 Bs?
5. De cuantas maneras pueden colocarse 3 libros
en una caja donde caben 2?
6. De cuantas maneras pueden sentarse 5
personas en un sofá de 3 plazas?
7. De cuántas maneras pueden colocarse 7 libros
en una estantería, si: a) cualquier colocación
es admitida, b) 3 libros particulares han de estar
juntos y c) 2 libros particulares deben ocupar
los extremos?
8. cuántos numeros de 5 cifras diferentes se
pueden formar con los dígitos 1,2,3 . . . 9 si a)
cada numero ha de ser impar y b) los dos
primeros dígitos han de ser pares?
9. de cuantas maneras pueden escogerse 3
hombres y 2 mujeres de entre 10 hombre y 15
mujeres, si: a) no se impone restricción alguna
y b) un hombre concreto ha de ser elegido, c)
una mujer no será escogida
10. de cuántas maneras pueden seleccionarse 6
cuestiones
de
un
total
de
10?
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 8
UNIDAD O TEMA: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
TITULO: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, NORMAL Y POISSON
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: TERCER
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA
Una distribución de probabilidad discreta es una
lista de todos los resultados de un experimento y la
probabilidad que se asocia a cada uno de ellos,
esta conformada por variables discretas.
de que el suceso ocurra exactamente X veces en N
intentos, viene dada por:
N
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA
Una distribución de probabilidad continua es una
lista que indica todos los resultados probables de
un experimento, así como la probabilidad de
ocurrencia de estos resultados, esta distribución
esta conformada por variables continuas.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso en
un solo intento y q es la probabilidad de que no
ocurra en un solo intento; entonces la probabilidad
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px qn-x
P(X) =
X
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Se utiliza para distribuciones de probabilidad
contínua, llamada también curva normal o
distribución gaussina, definida por la ecuación:
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Y=
a) La probabilidad de obtener 3 veces el
numero 2.
b) La distribución de probabilidad para los
eventos de 0,1,2,3,4 y 5 de obtener el
numero 2 en el lanzamiento del dado.
c) La media o valor esperado y la
desviación estándar de la distribución de
probabilidad
d) Representar
la
distribución
de
probabilidad en un diagrama: “x” vs. “P(x)
1
e-1/2 (x-µ)2/δ2
δ√2π
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de probabilidad discreta:
λxe-λ
X!
P(x) =
CUESTIONARIO WORK PAPER # 8
Distribución de Probabilidad discreta
1. Existe interés en conocer el número de
veces que aparece “escudo” en cuatro
lanzamientos de una moneda. Determine:
a)
La distribución de probabilidad para
los eventos de 0,1,2,3 y 4 escudos en
cuatro lanzamientos de una moneda.
b)
Representar la distribución de
probabilidad en un diagrama: “x” vs. “P(x)
2. Determine la media y la desviación
estándar de la siguiente distribución de
probabilidad discreta:
x
3
7
10
13
P(x)
0.2
0.4
0.1
0.3
6. En una industria se realiza el control de calidad
a lotes de 30 componentes de producción, cada lote
será considerado aceptable si no contiene más de 4
componentes defectuosos. El procedimiento para el
muestreo consiste en la selección de 7
componentes al azar y se deberá rechazar el lote
cuando se encuentre un componente defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
exactamente un componente defectuoso en la
muestra, si existen 4 componentes defectuosos en
todo el lote?
Distribución de Probabilidad de Poisson
7.
El numero de clientes que llegan por hora a
ciertas instalaciones de servicio automotriz con
media igual a 7. Determine la probabilidad de que
mas de diez clientes lleguen en un periodo de dos
horas
Distribución de Probabilidad Binomial
3.
Una maquina produce en promedio el 3%
de piezas defectuosas. Para realizar el control de
calidad se realiza un muestreo, seleccionando 5
piezas de su producción. Determinar:
a)
La distribución de probabilidad para los
eventos de 0,1,2,3,4 y 5 piezas defectuosas.
b)
La media y desviación estándar de la
distribución de probabilidad
4.
Distribución de Probabilidad Hipergeometrica
5. Una población consta de 15 artículos, 4 de los
cuales se encuentran defectuosos, se elige una
muestra representativa de 3 artículos. Determinar:
a) La probabilidad de que exactamente 3
artículos de la muestra representativa se
encuentren defectuosos.
b) La distribución de probabilidad para 0,1,2 y
3 artículos defectuosos.
c) La media o valor esperado y la desviación
estándar de la distribución de probabilidad
8.
De acuerdo a registros policiales, en Santa
Cruz como promedio mensual producirse ocho
intentos de suicidio. Asumiendo que el numero de
estos intentos sigue una distribución de Possion,
calcular la probabilidad de que se produzcan:
a) Dos intentos de suicidio.
b) Ningún intento.
c) Mas de tres intentos
d) El diagrama de distribución.
Se lanza un dado 5 veces. Determinar:
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9.
En una central telefónica que recibe 2
llamadas cada tres minutos; Calcular la
probabilidad de que en el periodote seis minutos se
presenten:
a)
b)
c)
d)
e)
10.
La estación de trenes tiene la capacidad de
atender 3 trenes por minuto. La media observada
de atenciones por minuto es igual a 1. Determinar:
a) La probabilidad de que en un minuto dado
no llegue ningún tren
b) La probabilidad de un cierto minuto
lleguen más de tres trenes a la estación.
c) La probabilidad de que llegue uno o
menos.
d) La probabilidad de que como mínimo
lleguen dos
e) La probabilidad de que como máximo
lleguen cuatro.
llamadas
Ninguna llamada
Como mínimo cuatro llamadas
Como máximo tres llamadas
Llegue uno o menos.
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´S # 1
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: PRIMERA
Visite la página web del INE (Instituto Nacional de
Estadística. Obtener información acerca de cinco
temas ambientales que sean de su interés. De
estos cinco temas escoja uno que le haya
impactado por los datos.
Generar opiniones acerca de ellos, por ejemplo:
¿Cuál fue el motivo por el cual los datos le causo
impacto? ¿Por qué cree que el índice es elevado o
bajo?, plantee soluciones y agregue lo que usted
convenga necesario para explicar el interés que
tuvo en el tema y los resultados acerca de este
Sitios WEB recomendados.
http://www.ine.gov.bo
Bibliografía arriba citada
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CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´S # 2
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: PRIMERA
Visite la página web del INE (Instituto Nacional de
Estadística). Obtener información acerca de cinco
temas referente al medio ambiente en nuestro país.
De estos cinco temas escoja uno que le haya
impactado por los datos.
Generar opiniones acerca de ellos, por ejemplo:
¿Cuál fue el motivo por el cual los datos le causo
impacto? ¿Por qué cree que el índice es elevado o
bajo?, plantee soluciones y agregue lo que usted
convenga necesario para explicar el interés que tuvo
en el tema y los resultados acerca de este
(Individual)
Sitios WEB recomendados.
http://www.ine.gov.bo
http://www.eldeber.com.bo
Bibliografía arriba citada
CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF´S # 3
UNIDAD O TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
TITULO: SOFTWARE ESTADÍSTICO SPSS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: SEGUNDA
Ingresar a la página web www.dnogales.com,
bajar su trabajo de estadística para ambiental.
Obtener en un software estadístico, todos los
datos ahí citados. Presentar también vía la página
web. (Grupo de 3 personas como maximo)
Sitios WEB recomendados.
SPSS for window V 11
http://www.software/estadistico
http://www.cibernetia.com/tesis_es/MATEMATICAS/ESTADISTICA/1
CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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