Conceptos de Estadistica

DISTRIBUCION NORMAL:
Puesto que la densidad de probabilidad normal no puede integrarse en forma
cerrada entre cada par de limites A Y B las probabilidades relacionadas con
las Distribuciones Normales se obtienen usualmente de Tablasa Especiales.
DISTRIBUCION GAMMA:
Varias densidades de probabilidda importantes ,cuyas aplicaciones se
explicaran mas adelante son casos especiales de la distribucion gamma .Esta
distribucion tiene la densidda de probabilidad
F(x)={
1/ 1 (a) Xa –1 e-x /
para x>.0 a.> 0
en otra parte
>0
Donde (a) es un valor de la funsion gamma definida por
 a-1 e-x dx
(a)=0 X
La integracion por partes muestra que
(a)=(a-1)  (a-1)
para toda a> 1 y po ende , que (a) =(a-1) cuando a es un numero entero positivo
La media y la varianza de la distribucion gamma pueden obtenerse con el uso de la funcion
gamma y sus propiedades especiales ya mencionadas .Para la media tenemos

a-1 e-x/ dx
= 1/ (a)  x.x
0
y tras conceder que y =x/, obtenemos

=/(a)  y e-y dy =  (a+1)/ (a)
0
Despues ,haciendo uso de la identitad (a+1)=a. (a) llegamos al resultado
Media de la Distribucion Gamma
= a
Usando metodos similares ,atmbien es posible demostrar que la varianza de la distribucion
Gamma esta dada por
a2 = a2
En el caso especial en el que a=1, obtenemos la distribucion exponencial ,cuya densidad de
probabilidad es entonces
(x)=1/ e-x/ para x > 0 > 0
0
en otra parte
y cuya media y varinza son = y a2 = 2
LA DISTRIBUCION BETA:
(a+1)
 (x) = (a). () xa –1 (1-x) -1 para 0<x<1,a>0
en otra parte
La media y la varianza de esta Distribucion esta dad por
=a/a+ y a2 = a/(a+)2 (a++1)
LA DISTRIBUCION DE WEIBULL:
Estrechamente relacionadacon la distribucion exponencial esta la distribucion de
Weibull,cuya densidad de probabilidda esta dada por
(x)= ax-1 e-ax
para x>0,a, >0
0
en otra parte
Para demostrar esta relacion ,evaluamos la probabilidad de que una variable aleatoria con
la distribucion de Weibull adopte un valor menor que a es decir la integral.
a

ax -1 e-ax dx
0
Efectuado el cambio de variables y=x obtenemos
a
 ae-ay dy =1-e-aa
0
y como puede verse y es un valor de una variable aleatoria con una distribucion
exponencial.
La media de la distribucion de Weibull con los parametros a y  puede obtenerse evaluando
la integral

-1
=  x.ax e-u du
0
y reconociendo las integral como (1+1/) es decir como un valor de la funcion Gamma
Encontramos que la media de la distribucion de Weibull esta dada por
=a-1/ (1+1/)
DISTRIBUCION EXPONENCIAL:
La distribucion exponencial tiene funcion de densidad
F(x)=xe- x x>= 0
=0
Media y Varianza de la Distribucion Exponencial
La media y la varianza de dist exp son

 
E(x) = x x e-xx dx=-xe -xx + e-xx dx =1/x
0
0 0
=[
y

V(x) =  x2 e-xx dx –(1/x)2
0


-x2 e-xx + 2  x e –xx dx] – (1/x)2 = 1/x 2
0
0
La desviacion estandar es 1/x y en consecuencia la media y la desviacion estandar son
iguales
La funcion genera matriz de momento es
Mx(t)=(1-t/x)-1
Siempre que t< x
DISTRIBUCION DE LA QUE SE DEDUCE CLARAMENTE LO MISMO QUE SU
HISTIGRAMA QUE LA DISTRIBUCION DE LAS MEDIAS ES EN F
BINOMIAL NEGATIVA:
La distribucion de probabilidad para una variable aleatoria se conoce como distribucion
binomial negativa .La formula de esta distribucion .
La distribucion de probabilidda binomial negativa
La distribucion de probabilidad para una variable aleatoria binomial negativa esta dada
por:
r y-1
P(y)=(y-1 Y R-1) P q (y=r,r+1,r+2...)
Donde p=probabilidda de éxito con una sola prueba de Bemoulli
q=1 –p
y=Numero de pruebas hasta que se observa el r-esimo éxito
La media y la varianza de una variable aleatoria bin.neg.son. respectivamente
=r/p y T2 rq/p2
propiedad de falta de memoria de la distancia exponencial. La distancia exponencial tiene
una interesante y unica propiedad de falta de memoria para variables continuas esto es;
s
P(x7x + 1x7x) = P( x7x + s )
P( x7x )
-x(x + s)
-xs
=e
=e
-xx
e
Por lo que ;
P(x7x + s1x7x) = P(x7s)
Por ejemplo, si un tubo de rayos catodicos tiene una distancia exponencial de tiempo de
falla y se advierte que al tiempo t continua funcionando, entoncaes la vida restante tiene la
misma distancia de falla de tiempoque el tubo tenia en el tiempo cero.
DISTRIBUCION
La distancia t fue introducida por W. S. Hosset, que hizo publicaciones bajo el nombre de
“Student” (1908) la distancia t es la distancia de la variable aleatoria.
T= x
r/n
Bajo las siguientes hipotesis. N es un entero positivo que se llama numero de grados de
libertad de la distancia t ; X y Y son variables aleatorias independientes, de las cuales X es
normal con media 0 y varianza 1 y Y tiene distancia ji cuadrada con n grados de libertad.
La variable t representa con frecuencia por t. La distribucion t tiene densidad
Para n 1, esta es la distribucion de Bauchiy que nos tiene valor medio,.Para n= 2,3…, el
valor medio de la distancia t es ;
Para n = 1y2, la distancia t no tiene varianza. Para n=3,4...,tenemos
T= n
n-2
Cuando aumenta , la funcion de distancia de la distancia t tiende ala funcion de la distancia
normal, con valor medio O y varianza 1.
DISTANCIA GEOMÉTRICA
Supongamos que en una secuencia de ensayos nos interesa el numero de insayoen el que
ocurre el primer éxito, y que todos menos el primero de los supuestos adyacentes en la
distancia binominal son satisfechos; en otras palabras, n no es fijo, evidentemente, si el
primer éxito ocurre en el x-esimo ensayo, deven antesederlo x-1 fracasos en x-1 ensayos es
(1-p) x-1. Asi pues si multiplicamos esta exprecion por la palabra .P de un éxito el el
xe’xesimo ensayo esta dada por
G(x,p)=p(1-p)x-1 para x=1,2,3,4..
Esta distribucion de probabilidad se llama distribucion Geometrica y su media es
=1/n
DISTRIBUCION MULTINOMIAL:
Una generalizacion inmediata de la distribucion binomial surge del hecho de que cada
ensayo pueda tener mas de dos resultados posibles
Esto sucede ,por ejemplo cuando a un producto manufacturado se le clasifica como superior
,promedio o deficiente o cuando el desempeño de un estudiante puede mereser la
calificacion A,B,C,D,E..
Para tratar en general este tipo de problemas ,consideremos el caso en el que hay n ensayos
independientes ,cada uno de los cuales permite K resultados mutuamente excluyentes
,cuyas respectivas probabilidades son p,p2,..pk (con k pi=1) Haciendo referencia a los
resultados como del primer tipo ,segundo tipo ..., y K esimo tipo, nos interesa la
probabilidad f(x1,x2...xk) de obtener x resultados del primer tipo x2 resultados del
segundo tipo ... y xk resultados del k esimo tipo con  k Xi=n
Usando argumentos similares a los que empleamos en l aderivacion para la distribucion
binomial ,es posible demostrar que la prob deseada esta dada por
F(x1,x2.....,xk)= n!/x1!,x2!…xk! p1. p2 …. Pk
Para cada x1=0,1..n para cada I sujeta a la restriccion k =n La distribucion de
probabilidad conjunta cuyos valores de la x las probabilidades se llama distribucion
multinomial , debe su nombre al hecho de que para los diversos valores de la x1, las
probabilidades estan dadas por los terminos correspondientes a ala expansion multinomial
de (p1+p2+....+pk)
DISTRIBUCION UNIFORME:
La distribucion Uniforme con los parametros  tiene la funcion de densidad de
probabilidda
F(x)=1/ para < x < 
En otra parte
Para determinar la media y la varianza de la distribucion uniforme evaluamos primero las
dos integrales

=
0 x. 1/ -x dx= + /2
2= x2. 1/-x

dx=x2+x+x+2/3
0
= +/2
Media de la distribucion Uniforme de la formula T2 = 2-2
Detreminamos que
2
2
Varianza d el adistribucion uniforma T =1/12  -x)
INSTITUTO TECNOLÓGICO
DE MATAMOROS
CARLOS JOSAFAT RODRIGUEZ
DE LA CRUZ
HORA: 10:00 – 11:00 AM
R11
AULA:
PROFR. Ing. Fidencio Sandoval
Conceptos de la materia de Estadistica
H. Matamoros, Tam. A 26 De Septiembre del 2002