158 Modos de propagación TEM

TEM
Modos de propagación
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MODOS ELECTROMAGNÉTICOS DE
PROPAGACIÓN
En una onda electromagnética, un campo eléctrico variable en el espacio-tiempo
produce un campo magnético también variable, que a su vez genera un campo eléctrico
y así sucesivamente se produce la propagación de la energía electromagnética.
Un sistema de transmisión se puede definir como un dispositivo para guiar
energía de un punto a otro. El cable de alimentación de un aparato doméstico es una
línea de transmisión e igualmente son los cables que van de una estación generadora
hasta una fábrica o una residencia habitacional; los pares telefónicos, los cables de
audio, video, y las innumerables fibras nerviosas de nuestro cuerpo, todas son líneas de
transmisión. Las interconexiones de circuitos eléctricos son líneas de transmisión, y en
un sentido más amplio, las guías de onda, las fibras ópticas y los radio enlaces son
también líneas de transmisión. La figura 9-1 nos muestra algunos modelos de líneas de
transmisión. Las líneas de transmisión son abundantes y de variedad infinita, pero
independientemente del tipo, longitud o construcción, todas funcionan de acuerdo con
los mismos principios básicos del electromagnetismo: las ecuaciones de Maxwell.
9.1. Modos de propagación
Los modos fundamentales de propagación de las ondas electromagnéticas los
podemos clasificar, de acuerdo a sus características, en la siguiente forma:
1.- Modo TEM (transverso electromagnético). En este modelo, E y H son
enteramente transversales a la dirección de propagación. Todos los tipos bifilares,
incluyendo líneas coaxiales. La potencia útil se transmite en los medios dieléctricos
alrededor de los conductores en el espacio entre ellos. Cuando los conductores tienen
pérdidas, las ondas que se propagan a lo largo de estas líneas no son estrictamente ondas
transverso-electromagnéticas.
2.- Modos TE (transverso eléctrico) y TM (transverso magnético). Ambos tienen
componentes en la dirección de propagación. Las guías de onda, las varillas dieléctricas
y las fibras ópticas operan en estos modos de propagación.
3.- Las ondas espaciales generadas en modos TE o TM degeneran en ondas de
modo TEM entre antenas de un sistema de radio comunicaciones. La potencia se
propaga a través del espacio.
159
.
Las intensidades del campo electromagnético (E y H), en una región dieléctrica, y
libre de cargas, deben satisfacer la ecuación vectorial homogénea de Hemholtz, es decir:
160
  H  jE
De acuerdo con las características de los diferentes modos de propagación
podemos gráficamente interpretar su configuración. La figura 9-2 nos presenta los
esquemas vectoriales representativos de los diferentes modos de propagación, y donde
el eje z representa la dirección fundamental de propagación.
z
H
Sz
Modo TEM
Ez = Hz = 0
E
z
H
S
Ez
Modo TE
Ez = 0; Hz  0
z
S
E
Modo TM
Ez  0; Hz = 0
H
Figura 9-1 Modos de propagación: Esquemas vectoriales
De acuerdo con los modos de propagación existentes en las estructuras de los
sistemas de transmisión de sección transversal uniforme, podemos establecer
formulaciones características para cada uno de ellos.
Las intensidades del campo electromagnético, E y H, en una región libre de cargas
deben satisfacer la ecuación vectorial homogénea de Hemholtz, es decir:
161
 2 E   2 E  0 

 2 H   2 H  0
(9.1a)
donde E y H representan fasores tridimensionales, y  la constante de fase.
El operador Laplaciano  puede ser dividido en dos partes: t para las
coordenadas que definen la sección transversal del sistema y z para la coordenada que
se identifica con el eje longitudinal del dispositivo de transmisión. Para un sistema de
sección rectangular, la representación en coordenadas cartesianas es la siguiente:

2 
 2 E   2 xy   2 z E    2 xy  2 E
z 



(9.1b)
  2 xy E   2 E
(9.1c)
Compaginando la ecuación (9.1c) con la correspondiente de la expresión (9.1a),
se obtiene:


 2 xy E  2   2 E  0
(9.1d)
De manera similar obtenemos:


2 xy H  2   2 H  0
(9.1e)
Cada una de las expresiones (9.1d) y (9.1e) representa tres ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales de segundo orden, cuya solución depende de la
geometría del sistema y de las condiciones de contorno representativas de las
características de las interfaces materiales y de sus dimensiones.
Resulta que las diferentes componentes de E y de H no son todas independientes,
y por lo tanto, no será necesario resolver las seis ecuaciones para sus seis componentes
de E y de H.
Examinemos las interrelaciones entre las diferentes componentes del campo,
B
haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell, a partir de   E  
, obtenemos:
t
 Ez
  Ey   j Hx
y
 Ez
  Ex 
 j Hy
x
(9.1f)
(9.1g)
162
E y
x

E x
  jH z
y
(9.1h)
A partir de   H  jE , obtenemos:
H z
 H y  jE x
y
 H x 
H y
x

(9.1i)
H z
 jE y
x
(9.1j)
H x
 jE z
H y
(9.1k)
Operando con las expresiones obtenidas (9.1f) – (9.1k), podemos expresar las
componentes transversales del campo en función de las componentes longitudinales. De
esa manera obtenemos:
Hx  
1
h2
 H z
E
 
 j z
y
 x



(9.1l)
Hy  
1
h2
 H z
E
 
 j z
x
 y



(9.1m)
Ex  
1
h2
 E z
H
 
 j z
y
 x



(9.1n)
Ey  
1
h2
 E z
H
 
 j z
x
 y



(9.1ñ)
donde h2 = 2 + 2.
9.1.1. Modo Transverso electromagnético
Para el modo TEM, las ecuaciones (9.1l) – (9.1ñ) nos indican una solución trivial
(todas las componentes del campo son iguales a cero), al menos que h2 sea igual a cero.
Es decir, que para que el modo TEM exista se debe cumplir:
TEM   j   j 
(9.1.1a)
163
Este resultado denota que el modo TEM tiene características similares al de
propagación de una onda plana uniforme viajando en un medio indefinido, con una
constante de propagación igual a j()½. Este modo de propagación, también, lo
encontramos en las líneas de transmisión bifilares sin pérdidas. Los resultados obtenidos
para las componentes transversales del rotacional y de la divergencia para los campos E
y H, en el caso del modo TEM, nos indican que la distribución espacial del campo
corresponde al campo bidimensional en condiciones casi estacionarias, es decir, es
independiente de la frecuencia.
De acuerdo con la Teoría de Circuitos una línea de transmisión en su forma más
simple consiste en dos conductores paralelos entre los cuales se establece una tensión
que produce una circulación de corriente a lo largo de los conductores. El espacio entre
los conductores lo ocupa un medio de características dieléctricas. Consideremos la
propagación de una onda electromagnética plana y uniforme, linealmente polarizada, en
un medio dieléctrico, lineal, homogéneo e isótropo, y en el cual existen un par de planos
perfectamente conductores, paralelos y de gran extensión, como se indica en la figura 93.
z
y
S
H
E
x
Figura 9-3 Onda plana guiada entre planos conductores paralelos
Las componentes del campo asociadas con la onda progresiva son:
E  l x Ei0 exp jz
H  ly
E0i

exp jz 
(9.1.1b)
(9.1.1c)
164
Al no existir componentes longitudinales del campo, la presencia de los planos
conductores no afecta la estructura de la onda. Los planos conductores introducen las
siguientes condiciones de contorno:
En x = 0, y en x = a:
Ey = Ez = 0
Dx =  E0i = q
Hy =  ( E0i /) =  K
Si consideramos el espacio ocupado por el sistema como una celda cuyas
superficies inferior y superior las representan los planos conductores de ancho y = b y
su longitud indefinida en dirección z y separación x = a, la tensión entre los planos y la
corriente a lo largo de la estructura serán:
a
V   E  dx  aE i0
(9.1.1d)
0
I   H  dy  b
E i0

(9.1.1e)
Estos resultados nos indican que la impedancia de entrada al sistema (z = 0) es
igual:
Z
a
b
(9.1.1f)
Ésta representa la impedancia característica de una línea bifilar de cintas
paralelas, conductoras perfectas y de extensión indefinida.
Si la línea tiene una extensión (longitud) finita, como se indica en la figura 9-4,
observamos lo siguiente:
La onda que se propaga en ese sistema tiene la siguiente estructura:
i
r
E  E 0 exp j z   E 0 exp j z  


E0i
E0r
H
exp j z  
exp j z 



(9.1.1g)
La tensión y la corriente a lo largo del sistema serán, de acuerdo a las ecuaciones
(9.1.1g), iguales a:
165
Vz   V0i exp jz   V0r exp jz 

V0i
V0r

Iz  
exp jz  
exp jz  
Z0
Z0

z = -L
x=a
(9.1.1h)
z=0
x=a
Terminal
del generador
Terminal
de la carga
x=0
x=0
Figura 9.4 Línea bifilar de longitud L
Para este caso las condiciones de contorno son:
En z = 0, a circuito abierto:
V = V0
I=0
Al aplicar estas condiciones de contorno a las ecuaciones (9.1.1h) obtenemos:
166
V0i  V0r 
V0
2
Por consiguiente, las ecuaciones (9.1.1h) se transforman en:
V z   V0 cos  z


V0

I z    j
sen z 
Z0

I/j
(9.1.1i)
V
V(z), I(z)
Figura 9-5 Distribución de tensión y de corriente en una línea sin pérdidas y con
terminal de la carga (z = 0) en circuito abierto.
En los terminales del generador (z = -L), la impedancia de entrada a la línea está
dada por la relación:
V L 
 Z L   Z G  jZ 0 cotL
I L 
(9.1.1.j)
167
Figura 9-5 Impedancia de entrada de una línea bifilar sin pérdidas
de longitud eléctrica L, (0 L  5/2)
Al hacer un desarrollo en serie de las ecuaciones (9.1.1i), que representan la
distribución de tensión de corriente en una línea bifilar, sin pérdidas y operando en el
modo TEM, obtenemos:
1
 1

2
4
V z   V0 1  z   z   ...
4!
 2!

Iz    j
(9.1.1k)
V0z  1
1

2
4
1  z   z   ...

Z 0  3!
5!

(9.1.1l)
Estas expansiones en serie del sen(z) y del cos(z) nos permiten obtener
modelos circuitales para las líneas de transmisión, de acuerdo a su longitud eléctrica.
Para el caso de una línea corta (L << 1), obtenemos:
V L  V0

Z0
1


V0
  ZG   j
I L  j L
L jC1
Z0

ZG = 1/jC1 
(9.1.1m)
L << 1
168
z = -L
z=0
La impedancia de entrada de una línea eléctricamente corta (L<<1) es
equivalente a una reactancia capacitiva.
Si de las expansiones en serie (9.1.1k) y (9.1.1l) tomamos los dos primeros
términos, obtenemos como resultado:

 1
2
V  L   V0 1  L  

Z0  1
 2!


2
1  L   
  ZG   j

L  3
V

 1
2
I  L   j 0 L 1  L   
Z 0  3!
 
j
Este
 Z 0 L 1 / 2 



j



3
  1 / 2 L


Z0
resultado
representa
la
(9.1.1n)
impedancia
de
un
circuito
serie
LC.
Figura 9-6 Circuito equivalente de una línea bifilar sin pérdidas
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