Clase Nº 3

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Clase Nº 3:
Lunes 05/junio/2012
CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS
Si tenemos que calcular el campo eléctrico en un punto del espacio provocado por un cuerpo cargado,
en principio, podríamos proceder del siguiente modo. Dividimos a todo el cuerpo en una gran
cantidad N de pedacitos. Cada uno de ellos tendrá una pequeña parte de la carga total del cuerpo.
Calculamos el campo producido por cada pedacito como si fuera una carga puntual. Esto lo hacemos
para cada uno de esos “elementos de carga”. Es decir N veces. Luego sumamos vectorialmente estos N
vectores E y obtenemos el campo que buscamos usando la fórmula que ya vimos:

1 N qi
r  ri 
E



3
4 o i 1 r  ri
Bueno, esto es fácil de decir pero seguramente resultará demasiado laborioso para hacer.
Vamos a tratar de mejorar este método. En primer lugar hacemos que el número de elementos de carga
sea muy grande. Es decir que N  . Por lo tanto cada “pedacito” ahora se convierte en una porción
infinitesimal de carga dq. La suma finita se transforma en una “suma” infinita. Es decir, en una
integral. La posición de cada uno de los elementos infinitesimales (“puntuales”) de carga la indicamos

con un vector posición variable r ` x`iˆ  y` ˆj  z`kˆ . Las coordenadas x`, y` y z` deben “recorrer” toda
la distribución de carga. Son los infinitos puntos “fuente”. El punto donde queremos calcular el

campo es fijo y está indicado por el vector posición: r  xiˆ  yˆj  zkˆ , donde x, y y z son las
coordenadas de dicho punto “campo”. Entonces:

E
1
4 o
dq  
 r  r` r  r `
3
Si la carga está distribuida en un volumen definimos la densidad volumétrica de carga en Coulomb/m3:
dq

, por lo tanto dq   dVOL y…
dVOL

1
 dVOL  
(Integral triple)
r  r `
E

4 o VOL r  r` 3
Si la carga está distribuida en una superficie (dos dimensiones), definimos la densidad superficial, en
dq
Coulomb/m2, de carga  
, por lo tanto dq   dS y entonces…
dS

1
 dS  
(Integral doble)
r  r `
E


4 o SUP r  r` 3
Si la distribución de carga es unidimensional (“línea de carga”), definimos la densidad longitudinal de
dq
carga, carga por unidad de longitud, en Coulomb/m,  
; por lo tanto cada elemento infinitesimal
dl
de carga se expresará como: dq   dl , entonces…

1
 dl  
(Integral simple)
r  r `
E


4 o r  r` 3
Estas integrales pueden resolverse en coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas. En cada caso
habrá que expresar los elementos infinitesimales en las coordenadas correspondientes.
dVOL  dx dy dz
En coordenadas cartesianas:
Si la superficie es paralela al plano xy: dS dx dy . Si la superficie es paralela al plano yz: dS dy dz
Si la línea es recta y paralela al eje x: dl  dx . Etcétera.
2
Unidad 1
Problema 10 explicado
10)Un varilla delgada de longitud L está ubicada sobre el eje x. Está cargada unifomemente con una
densidad lineal de carga (carga por unidad de longitud). Determinar el campo eléctrico en un punto del eje
x ubicado a una distancia d de uno de los extremos de la varilla.
En el esquema adjunto se muestra la
varilla ubicada sobre el eje x con su
centro coincidiendo con el origen de
coordenadas. Nuestro problema es
determinar el campo eléctrico en un
punto ubicado en el eje x a una
distancia d de uno de los extremos de
la varilla.
L
L
 L  L 
La carga de la varilla está dada por Q   L2  dx    L2 dx           L ya que la densidad de


2
2
 2  2 
carga es constante a lo largo de la varilla. Si la densidad de carga dependiera de x, es decir si =(X),
entonces  quedaría dentro del integrando.
A partir de la ley de Coulomb y de la definición de campo eléctrico podemos calcular el campo eléctrico

1 q
en un punto del espacio provocado por una carga puntual: E 
rˆ
4 o r 2
Si la carga puntual está ubicada sobre el eje x y deseamos calcular el campo en un punto del mismo eje,

q
1
la expresión anterior nos queda: E 
iˆ
4 o ( x  x`) 2
En esta expresión x es la posición del punto en el que se desea calcular el campo (punto “campo”) y x` es
la posición en la que está ubicada la carga puntual q (punto “fuente”).
Antes de resolver completamente el problema de la varilla, vamos a resolver un problema que en cierta
forma es análogo, pero que posiblemente nos ayude a entender mejor la integración que realizaremos
después.
_________ . ___________
Supongamos que en lugar de la varilla continua tuviéramos
cuatro cargas puntuales cada una de valor Q/4 ubicadas
como se indica en la siguiente figura. ¿Cómo
calcularíamos el campo en el punto P?
Debemos calcular el campo que produce cada carga en el
punto P y luego realizar la suma vectorial de estos cuatro
vectores. Es decir, podemos aplicar el principio de
superposición1.
Está claro que esta distribución de cuatro cargas puntuales
no es equivalente a la varilla, pero si la varilla la dividimos
en cuatro segmentos iguales y a cada uno de ellos lo
consideramos como una carga puntual, obtenemos esta
distribución y podemos esperar que el valor del campo en
P calculado de este modo se aproxime al correcto.
Si el “efecto” (el campo) es una función lineal de la “causa” (la carga) el campo producido por varias cargas se puede calcular
sumando (vectorialmente, ya que el campo es una magnitud vectorial) los campos producidos por cada una de las cargas
individualmente.
1
3
Determinemos los cuatro vectores:

E1 
1
Q

E2
iˆ
2
4 o 
7 
4 d  L 
8 


1
Q
E2 
iˆ
2
4 o 
3 
4 d  L 
8 


1
Q
2
4 o 
5 
4 d  L 
8 


1
Q
E2 
iˆ
2
4 o 
1 
4 d  L 
8 

iˆ
Aplicando el principio de superposición obtenemos:

1 Q 4
1
E
iˆ

2
4 o 4 k 1 
2k  1 
L
d 
8


Por supuesto este resultado es tan sólo una aproximación, ya que estamos considerando a la varilla continua, formada
solamente por 4 elementos finitos y a cada uno de ellos como una carga puntual. Si quisiéramos obtener por este método
un resultado más preciso deberíamos consideran a la varilla formada por N   cargas puntuales y cada una de ellas con
un valor de carga infinitesimal. Lo que habría que hacer es
igual a

E
Q N
1
iˆ y debería dar

2
4 o N  N k 1 
2k  1 
L
d 
8


1
lím


L
E
iˆ con la condición Q   L . Para resolver problemas de este tipo fue inventado el cálculo
4 o d (d  L)
integral...
_________ . ___________
Este resultado se puede mejorar si consideramos a la varilla formada por N cargas puntuales. Si N 
cada carga puntual es ahora una fracción infinitesimal de la carga Q, que denominamos dq y la sumatoria
se transforma en una integral:

E
1
4 o
L/2
dq
 x  x`
2
L
iˆ 
2
1
4 o
L/2
 dx` ˆ
i
 x  x`
2
L
2
Es importante observar que la variable de integración es x` es decir la posición de cada carga “puntual”
dq y la integral se extiende a toda la región donde hay carga: la porción del eje x entre –L/2 y L/2 (la
varilla).
En la integral x es una constante igual a (d+ L/2), la posición del punto P. Resolución de la integral:
u  x  x`

E

E
1
4 o
du  dx`
L/2
dq
 x  x`
L
2
2
iˆ 
 u 1  1
 du
2

 


u
du


 u2

 1  u

4 o
L/2
dx`
 x  x`
L
2
iˆ 
2




1
1 ˆ

L

iˆ

i 
L
L
4 o 
4

d
(
d

L
)
o
x
x 

2
2 
 1
  1 
iˆ 
iˆ


4 o  u   L / s
4 o  x  x`  L / s
L/2
L/2
4
Analicemos la expresión obtenida. Vemos que el campo en el punto P depende de la carga total de la
varilla Q = L. También depende de la distancia d. Cuanto mayor sea esta distancia el campo es más
débil.

En particular si d >> L podemos considerar que d+L  d , entonces: E 
1
Q ˆ
i
4 o d 2
Es decir, si el punto en el cual evaluamos el campo está muy lejos de la varilla, d >> L, entonces la
fórmula coincide con el caso de una carga puntual Q ubicada a una distancia d del punto P. Dicho de
manera muy imprecisa: desde un punto P ubicado muy lejos, la varilla de longitud L “se ve” como un
punto….
Unidad 1
Problema 15 explicado
15) Hallar el campo eléctrico en todo punto del eje x para las siguientes distribuciones de carga continuas.
a) Un anillo de radio a, y ancho despreciable, ubicado sobre el plano yz , cuyo centro coincide con el origen
de coordenadas, cargado uniformemente con una densidad de carga lineal . Graficar la componente Ex de
dicho campo en función de x.
Ubicaremos al anillo sobre el plano yz y
con su centro en el origen. Calcularemos
el campo en un punto del eje x. Los
puntos “fuente” son los elementos
infinitesimales de carga dq ubicados en
una circunferencia de radio a centrada
en el origen y ubicada sobre el plano yz.
El punto “campo” es un punto genérico
del eje x.
Cada uno de estos elementos
infinitesimales de carga provoca en
dicho punto un vector infinitesimal cuya
dirección se corresponde con la recta
que une el punto “fuente” con el punto
“campo”. Estos vectores infinitesimales
tienen componente en x y componente transversal al eje x. Cuando se realice la integración para todo el
anillo, estas componentes transversales se anularán de a dos, ya que para cada vector dE existe otro vector
cuya componente transversal tiene igual módulo y sentido opuesto.
A partir del gráfico podemos obtener:
r  x iˆ  0 ˆj  0 kˆ r ` 0 iˆ  a cos  ` ˆj  a sen  `kˆ

Entonces a partir de plantear E 
E
1
4 o


 ad `
a2  x2

3
1
4 o
r  r `  a2  x2
 dl  
 r  r` r  r ` en este caso obtenemos:
3
 xiˆ  a cos`ˆj  a sen`kˆ 
5
Aplicando propiedad distributiva:
 2

2
2

1 
 ad `

ad

`

ad

`
ˆ
E
xiˆ  
a cos  ` ˆj  
a sen  `k 

3
3
3

4 o  0 a 2  x 2
0
0
a2  x2
a2  x2



Es importante destacar que la variable de integración es el ángulo ` ya que x es constante, para la integral,
porque se refiere a la posición de un punto del eje x (punto “campo”). La carga eléctrica está distribuida
sobre una circunferencia de radio a y por lo tanto “recorrerla” es equivalente a hacer variar el ángulo `
entre 0 y un giro (360º).
Las integrales que dan como resultado a las componentes Ey y Ez del campo se anulan y sólo queda la
componente Ex:
E  Ex iˆ 
E  Ex iˆ 


1
 ax

4 o
1
4 o
a2  x2





2

 d ` iˆ
3
0
(  2 a) x ˆ
i
3
2
2
a x

Entonces podemos ver que el campo en un punto del eje x sólo tiene componente en la
dirección x. Este resultado se hubiera podido obtener proyectando los vectores
infinitesimales dE sobre el eje x, es decir, multiplicando por cos . El resultado también
se podría haber obtenido de:
dEx 
1
 ad `
4 o a  x
2
2

Análisis de la función Ex x 
x
a x
cos  
2
2
1
(  2 a) x
4 o

a2  x2

3

x
a  x2
1
4 o
2

Qx
a2  x2

3
 Es una función impar: Ex(x)= Ex(x)
 Ex decrece al aumentar x. Para x  , Ex  0
 Para valores de x >> a, la expresión aproximada coincide con la expresión del campo de una carga
1
Qx
1 Q
puntual: Ex 

3
4 o x 2
4 o x 2
 
 Para x = 0, Ex = 0. En el centro del aro cada carga infinitesimal produce un campo en el centro de
igual intensidad. Por cada elemento de carga que produce un campo con cierto sentido, existe otro
elemento diametralmente opuesto que produce un campo con sentido opuesto.
 Si el campo es nulo en el origen y es nulo en infinito y además es una función continua,
necesariamente deben existir puntos extremos en x > 0 y en x > 0. Por lo tanto podemos buscar esos
puntos extremos derivando la función con respecto a x e igualando a cero.
6
Campo eléctrico provocado por un disco plano circular de radio R y espesor despreciable cargado
uniformemente en superficie, en puntos del eje del disco
Vamos a resolver este problema aprovechando el resultado anterior. Consideraremos al disco plano
como anillos de radio r` y de ancho infinitesimal dr`. Cada uno de estos anillos contiene una cantidad
infinitesimal de carga dQ. Luego, integrando la variable r` desde 0 hasta R, obtendremos el campo
buscado.
Cada anillo de ancho infinitesimal contiene una cantidad de carga dQ    2 r `dr `.
Cada uno de estos anillos produce en un punto del eje x un campo eléctrico que debe verificar la fórmula
1   2 r `dr ` x
hallada para el anillo: dEx 
4 o (r `) 2  x 2 3


Entonces el campo se obtiene haciendo:
Ex 
R
1
4 o
 2 x  
0
u  (r `) 2  x 2
Ex 
Ex 
(r `) 2  x 2
4 o

3
du  2r `dr `
u2
1
Ex  

r `dr `
1 du
2 u
u1
 2 x  
 
3
u2
 u 1 2 
1
1

x

 2 x   u 2 du   1  
4 o
2 u1
4 o 

 2  u1
u2
3
R
1

x 
x 
1
1  x  1
1
2
2
2
(
r
`)

x











 0
2 o 
2 o  R 2  x 2
x 2  2 o  x
R2  x2 

2 o
x


x
 
x
 

 sg ( x) 

2
2
2
2
R  x  2 o 
R x 
x
Análisis de la función
 Es una función impar: Ex(x)= Ex(x)
 Ex decrece al aumentar x. Para x  , Ex  0
 Para valores de x >> R, la expresión aproximada, ¿coincide con la expresión del campo de una carga
puntual?
 Para x = 0, ¿se cumple que Ex = 0?
 Para x << R, o para R, el disco es equivalente a un plano de tamaño infinito uniformemente
cargado. En este caso: Ex 
 ˆ
i
2 o
 ˆ
E
i
2 o
E

sg ( x) que es lo mismo que
2 o
x0
x0
Entonces, en este caso el campo es uniforme. Es decir no depende de x. Su valor es constante sin
importar si el punto “campo” está cerca o lejos del plano cargado. El campo tiene un sentido a una
lado del plano y tienen sentido opuesto al otro lado del plano.